(2,0) è centro di simmetria per è necessario

LICEO SPERIMENTALE
Problema 2
1. Per dimostrare che (2,0) è centro di simmetria per f x   2  x  4 x  x 2 è necessario
dimostrare che f 4  x    f x  . Si ha:
f 4  x   2  4  x  44  x   4  x  
2
  x  2  4  x 4  4  x  
 x  2 4 x  x 2   f x 
La derivata prima di f x   2  x  4 x  x 2 è
2 x
f ' x    4 x  x 2  2  x  

4x  x2
2x 2  4 x  2
4x  x2
Pertanto la tangente in (2,0) ha equazione y  mx  2 con m  f ' 2 
2x 2  4 x  2
4x  x2
 2 ,
pertanto l’angolo formato con la direzione positiva delle ascisse è
  arctan  2  180  arctan 2  11634'
2. Il coefficiente angolare della retta tangente in x  2  t è pari a
m  f ' 2  t  

2 2  t   42  t   2
2
42  t   2  t 
  2t
2
4  t2
2
Il coefficiente angolare della retta tangente in x  2  t è pari a
m  f ' 2  t  

2 2  t   42  t   2
2
42  t   2  t 
2
 2
  2t
2
 2
4  t2
Essendo i due coefficienti angolari uguali, si deduce che le rette tangenti in x  2  t e x  2  t
sono parallele.
Le rette parallele alla retta 21x  10 y  31  0 si ricavano risolvendo l’equazione
2x 2  4 x  2

21
10
4x  x
Possiamo risolvere tale equazione graficamente, e per fare ciò è necessario individuare eventuali
2
estremi
f ' x  
relativi
di
2x 2  4 x  2 
f ' x  
2x 2  4 x  2 
4x  x2
;
calcolando
si evince che la funzione f ' x  
la
derivata
prima
di
2x 2  4 x  2 
ha un minimo relativo
4x  x2
4x  x2
in 2,2 , ovvero è decrescente in (0,2) e crescente in (2,4). Poiché il minimo relativo in questo
caso è anche assoluto e vale -2, l’equazione
2x 2  4 x  2

21
non ha alcuna soluzione visto
10
4x  x2
che il secondo membro è minore dell’ordinata del minimo assoluto, pertanto non esistono rette
tangenti parallele alla retta 21x+10y+31=0.
Analogamente, poiché 
23
 2 , deduciamo che esistono tangenti parallele alla retta di
12
equazione 23x+12y+35=0.
2
3. L’area richiesta è pari a A  2 2  x 
0

2
3
2
16

4 x  x dx  4 x  x 2 2   .
3
0 3
2

4. I punti in cui hx   sin f x   sin 2  x  4 x  x 2  1 sono i punti che risolvono il seguente
sistema:


2
2  x  4 x  x 
2

0  x  4
Tale sistema può essere risolto graficamente e dal grafico si evince che le soluzioni sono distinte
e sono due:
I suddetti punti sono anche di massimo assoluto per hx   sin f x  .
La funzione hx   sin f x  assume valore nullo agli estremi dell’intervallo [0,4]. I punti di


minimo assoluto vanno ricercati nei punti in cui hx   sin f x   sin 2  x  4 x  x 2  1 e
quindi sono i punti che risolvono il seguente sistema:


2
2  x  4 x  x  
2


0

x

4

Anche in questo caso per via grafica si ricavano che i minimi assoluti sono due.
Per il calcolo dei minimi relativi, per simmetria consideriamo il solo intervallo [0,2] e
 2x 4x 4xx 2 ; il fattore

2
calcoliamo la derivata prima, pari a h' x   cos 2  x  4 x  x 2 
2x 2  4 x  2
4x  x
è
2

positivo

2


è positivo in 0,2  2 e negativo altrove, mentre il fattore cos 2  x  4 x  x 2

per

f x   2  x  4 x  x 2

2
2
 2  x  4 x  x 2 
assume

.
2
Poiché
per
nell’intervallo
valori
0 x2
[0,2],
la
la

funzione
disequazione
 2  x  4 x  x 2  0 non è mai soddisfatta, pertanto resta da discutere la disequazione
0  2  x  4 x  x 2 

0  2  x  4 x  x 2 

. Tale disequazione è già stata implicitamente discussa nella
2
determinazione dei punti ad ordinata 1, ovvero guardando lo stesso grafico si evince che


2
è soddisfatta per 0  x  x A  xB  x  2 . In sostanza la disequazione
cos 2  x  4 x  x 2  0 è soddisfatta per 0  x  x A  xB  x  2 , pertanto mettendo assieme i
risultati della positività dei singoli fattori e ricordando che 0  x A  2  2 ,2  2  xB  2 , si

evince che la funzione hx   sin f x   sin 2  x  4 x  x 2
2 
2 


ha un minimo relativo in
2 , sin2 . Per simmetria la funzione presenta anche un massimo relativo in

2 , sin2 .
In conclusione la funzione presenta due massimi assoluti in x A ,1, xB ,1 , due minimi assoluti in
xC ,1, xD ,1 ,



un minimo relativo in F  2  2 , sin2


ed un massimo relativo in

G  2  2 , sin2 . Il grafico di hx   sin f x   sin 2  x  4 x  x 2 è il seguente:


Da cui si evince che l’equazione hx   sin f x   sin 2  x  4 x  x 2  k ha quattro
soluzioni distinte se e solo se il valore di k è compreso tra l’ordinata del minimo relativo e
quella del massimo unitario, o per simmetria tra l’ordinata del massimo relativo e minimo
assoluto ovvero
sin2  k  1  1  k   sin2
4
L’integrale
 hx dx , per simmetria è nullo.
0