Problema - Politecnico di Torino

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Problema
Un uomo di massa m si trova sul bordo estremo di una piattaforma di massa M , a forma di disco di raggio R,
che ruota attorno al suo asse verticale con velocità angolare costante ωi . L’uomo è inizialmente fermo rispetto
alla piattaforma, e ruota solidalmente con essa rispetto al suolo. Ad un certo istante (t = 0) l’uomo decide di
spostarsi camminando radialmente verso il centro della piattaforma; dopo aver percorso una distanza d = R/3
l’uomo si ferma nuovamente rispetto al sistema della piattaforma (istante t = tf ).
R
NB: I punti 1. e 2. sono preliminari in quanto riguardano nozioni estremamente basilari. Se le
risposte ai punti 1. e 2. non risulteranno corrette, i restanti punti non verranno considerati.
1. Quale delle seguenti affermazioni è corretta ? (riscrivere la risposta corretta per esteso e solo sul foglio protocollo,
non qui sotto): [4 punti]
(a) l’energia meccanica del sistema disco+uomo a t = tf è uguale a quella in t = 0;
(b) l’energia cinetica del sistema disco+uomo si conserva;
(c) il momento angolare del sistema disco+uomo a t = tf è uguale a quello in t = 0;
(d) nell’intervallo t ∈ [0, tf ] si conservano sia l’energia meccanica che il momento angolare del sistema
disco+uomo
2. Calcolare la velocità angolare ωf della piattaforma quando la persona ha raggiunto la nuova posizione
in funzione di ωi , m e M , e commentare se maggiore o minore di quella iniziale ωi (NB: si modellizzi la
persona come un punto materiale di massa m); [4 punti]
———————————————————————————————————–
3. Calcolare l’energia cinetica Ki (all’istante t = 0) e Kf (all’istante t = tf ) del sistema, in funzione di ωi , m,
M e R. Stabilire se Ki < Kf , Ki > Kf o se Ki = Kf ; [5 punti]
4. Calcolare l’espressione del lavoro compiuto W dalle forze di attrito in funzione di ωi , m, M e R, e commentare il segno di W ; [3 punti]
5. Valutare ωf nel caso particolare ωi = 2 s−1 , m = 60 Kg e M = 300 Kg; [1 punto]
6. Valutare W nel caso specifico dei dati del punto 5., per una piattaforma di raggio R = 3 m. [1 punto]
(Il momento d’inerzia di un disco rispetto all’asse passante per il centro vale rispettivamente ID = 21 M R2 .)
Dr. Fabrizio Dolcini
Esercitazioni di Fisica I, Dipart. di Fisica del Politecnico di Torino
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SOLUZIONE
1. Quando la piattaforma ruota, l’uomo rimane solidale con essa compiendo una traiettoria circolare. Ciò
è dovuto alla forza di attrito tra piattaforma e uomo, che fa compiere all’uomo la traiettoria circolare.
Quando poi cammina radialmente, l’uomo sposta il punto di applicazione di tale forza di attrito. Il moto
del sistema disco + uomo avviene nel piano, per cui il momento angolare è diretto lungo la direzione
verticale z. Oltre alle forze di attrito disco-uomo (interne al sistema), l’altra forza che agisce sul sistema
disco + uomo è la reazione vincolare del perno che tiene fisso il centro della piattaforma (forza esterna al
sistema). A causa di tale forza, il sistema non è isolato strettamente parlando (e infatti la quantità di moto
non è conservata). Tuttavia la reazione vincolare non esercita alcun momento perché tale forza è applicata
al centro del disco stesso, e non ha alcun effetto sul momento angolare. Pertanto, per quanto riguarda
il momento angolare, il sistema può considerarsi isolato. Il momento angolare disco + uomo dunque si
conserva, ossia rimane costante nel tempo mentre l’uomo si sposta. Al contrario, l’energia meccanica del
sistema disco + uomo (che in questo caso coincide con l’energia cinetica) non si conserva. Infatti, per
camminare radialmente verso il centro del disco, l’uomo sfrutta a sua volta l’attrito con il disco, che è una
forza non conservativa. Pertanto la risposta corretta è:
il momento angolare del sistema disco+uomo a t = tf è uguale a quello in t = 0
2. Per determinare la velocità angolare finale del sistema sfruttiamo la conservazione del momento angolare
del sistema. Notiamo che il momento angolare del sistema è diretto lungo l’asse verticale z, e che esso si
esprime, istante per istante, come
Lz = Iω
dove I è il momento d’inerzia rispetto all’asse z e ω la velocità angolare di rotazione. Pertanto abbiamo:
Lz (t = 0)
= Lz (t = tf )
Ii ωi
=
da cui
ωf =
If ωf
(1)
Ii
ωi
If
(2)
Modellizzando l’uomo come un punto materiale di massa m, i momenti d’inerzia iniziale e finale valgono
rispettivamente
1
M
2
2
2
Ii = ID + mR = M R + mR = m +
R2
(3)
2
2
!
2
d
M
1
2
2
2
If = ID + m(R − d) = M R + m(R − d) = m 1 −
+
R2
(4)
2
R
2
Sostituendo (3) e (4) in (2) otteniamo
ωf
M
R2
2
2
M
d
+
R
2
m+
=
m 1−
R2
ωi =
e semplificando,
ωf =
2+
2 1−
M
m
d 2
R
+
M
m
ωi
(5)
Osserviamo che il denominatore è più piccolo del numeratore, e dunque ωf > ωi , come ci sia aspettava.
Infatti il momento d’inerzia totale diminuisce quando l’uomo si sposta verso il centro, e dunque la velocità
angolare aumenta affinché il momento angolare possa conservarsi.
NB: Il momento angolare si conserva anche mentre l’uomo si sposta radialmente. Se ad un istante t
(intermedio tra t = 0 e tf , ossia 0 < t < tf ) l’uomo si trova in una posizione radiale r intermedia
(R − d < r < R), possiamo scrivere che
Lz (t) = cost
∀t
(6)
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Esercitazioni di Fisica I, Dipart. di Fisica del Politecnico di Torino
3
Tuttavia, mentre l’uomo si sposta radialmente il momento d’inerzia I del sistema disco+uomo varia nel
tempo. In generale, possiamo scrivere la conservazione del momento angolare come:
Lz (t = 0)
= Lz (0 < t < tf ) = Lz (tf )
Ii ωi
I(t) ω(t)
=
∀t
= If ωf
(7)
o equivalentemente come
Lz (r = R)
Ii ωi
= Lz (R − d < r < R) = Lz (r = R − d)
I(r) ω(r)
=
= If ωf
(8)
dove L(r), I(r) e ω(r) indicano rispettivamente il momento angolare, il momento d’inerzia e la velocità
angolare del sistema disco+uomo quando l’uomo si trova ad una distanza r dal centro del disco.
3. Ricordando ora che l’energia cinetica di rotazione si scrive come
K=
1 2
Iω
2
Abbiamo
Ki
=
=
=
1
Ii ω 2 =
2 i
1
M
m+
R2 ωi2 =
2
2
M
m
2+
ωi2 R2
4
m
(9)
e
Kf
1
If ωf2
2
= [uso ora (2)]
2
1
Ii
=
If
ωi
=
2
If
2 4
m+ M
R
1
2
ω2 =
=
2
2 m 1 − d + M R2 i
R
2
M 2
m+ 2
1
ωi2 R2 =
=
2 m 1 − d 2 + M
R
2
=
[moltiplico num. e den. per m42 ]
2
2+ M
1
m
ωi2 R2 =
=
2 2 2 1 − d 2 + M
m
R
m
2
2+ M
m
m
ωi2 R2
=
4 2 1 − d 2 + M
R
m
=
(10)
Confrontando Ki e Kf osserviamo che
Kf
Ki
=
2+
2 1−
M
m
d 2
R
+
M
m
>1
(11)
ossia l’energia cinetica (che in questo caso coincide con l’energia meccanica) non si conserva: nel passare
da t = 0 a t = tf K aumenta (Kf > Ki ).
4. Per calcolare il lavoro delle forze d’attrito possiamo procedere in due modi
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• Primo modo
Possiamo calcolare il lavoro delle forze di attrito applicando il teorema dell’energia cinetica, ossia
W = Kf − Ki
(12)
dove W è il lavoro delle forze che agiscono sul sistema disco+uomo; in questo caso le uniche forze
che agiscono sul sistema sono proprio quelle mutue di attrito. Pertanto il lavoro delle forze di attrito
vale:
W
Kf − Ki =
Kf
− 1) =
= Ki (
Ki
= [uso ora (9) e (11)]
2+ M
m
M
m
=
2+
ωi2 R2
d 2
4
m
2
1
−
+
R
{z
}|
|
{z
=
=Ki
!
M
m
−1
fattore di incremento
6= 0
(13)
}
Da questa espressione si vede nuovamente che l’energia cinetica non si conserva, ossia Kf 6= Ki . La
differenza in energia cinetica è dovuta alle forze di attrito, che compiono un lavoro positivo. Infatti
il fatto che l’uomo si muova di moto rotatorio solidale alla piattaforma indica che su di esso agisce
una forza centripeta, che non è nient’altro che la forza di attrito tra uomo e piattaforma. Quando
l’uomo si sposta verso il centro (stesso verso in cui è diretta la forza) tale forza compie lavoro positivo.
Come si vede da (13), il lavoro delle forze di attrito ammonta ad una percentuale
2+
2 1−
M
m
d 2
R
+
M
m
dell’energia cinetica Ki posseduta inizialmente dal disco.
• Secondo modo
Possiamo calcolare il lavoro direttamente dalla definizione. La forza in gioco è la forza di attrito
tra l’uomo e la piattaforma, che mantiene la persona in rotazione con la piattaforma stessa. Si
tratta dunque della forza centripeta che, quando l’uomo si trova ad una distanza r dal centro della
piattaforma, è pari a
Fatt (r) = −m ω 2 (r) r
(14)
dove si deve tener conto del fatto che la velocità angolare ω (dell’uomo e della piattaforma) varia
man mano che la persona si muove verso il centro. Quando l’uomo cammina verso il centro della
piattaforma, sposta il punto di applicazione di tale forza, che dunque compie lavoro. Per valutare
ω(r) utilizziamo di nuovo la conservazione del momento angolare [che vale ad ogni distanza r, come
osservato nell’Eq.(8)]
I(r) ω(r) = Ii ωi
(15)
e possiamo scrivere che
Ii
ωi
I(r)
ω(r) =
(16)
dove
Ii
=
I(r)
=
1
M R2 + mR2
2
1
M R2 + mr2
2
(17)
(18)
Pertanto il lavoro è dato da
Z
W
R−d
Fatt (r) dr =
=
R
Z
R
= −
Z
Fatt (r) dr =
R−d
R
=
m ω 2 (r) r dr
(19)
R−d
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5
Sostituendo l’Eq.(16) si ottiene
Z R
I2
W =
m 2 i ωi2 r dr =
I (r)
R−d
Z R
1
= m Ii2 ωi2
r dr =
2
R−d I (r)
2
Z R
r
1
2
2
2
M R + mR
ωi
= m
dr =
1
2
2 2
2
R−d
2 M R + mr
2
Z R
1
r
= m
M + m ωi2
dr =
1
r 2 2
2
R−d
2 M + m( R )
=
=
=
=
=
=
[cambio di variabile x = r/R]
2
Z 1
1
x
m
M + m ωi2 R2
dx =
1
d
2 2
2
1− R
2 M + mx
2
1
1
1
1
m
M + m ωi2 R2 −
=
2
2m 12 M + mx2 1− d
R
!
2
1
M
1
1
2 2
− M
=
m
+ m ωi R
d 2
2
2m M
2 +m
2 + m(1 − R )
!
M
+
m
1 M
2 2
2
+ m ωi R
−1 =
M
d 2
2 2
2 + m(1 − R )
!
M
1 M
2 2
m +2
+ m ωi R
−1 =
M
d 2
2 2
m + 2(1 − R )
!
M
m M
2 2
m +2
+ 2 ωi R
−1 =
M
d 2
4 m
m + 2(1 − R )
(20)
che coincide con l’espressione (13) trovata col primo modo.
5. Sostituendo nell’espressione (5) i valori numerici dati, otteniamo
ωf
2+
=
ωi =
M
m
Kg
/
2 + 300
60 Kg
/
2
2
/
300 Kg
/
− 13 m
+
m
/
60 Kg
/
2 1−
=
2 1
=
=
M
m
d 2
R
+
s−1 =
2+5
2 s−1 =
2 · 49 + 5
14 −1
=
53 s
9
=
2.38 s−1
(21)
6. Sostituendo in (13) i dati riportati nel testo, otteniamo

W
=
=
=
=
60 Kg
4
300 Kg
/
60 Kg
/
4

· 9 m2  s2
2 1
m2 2 + 5
15 Kg (2 + 5) 36 2
−1 =
8
s
9 +5
m2
7
15 · 7 · 36 53 − 1 Kg 2 =
s
9
713.2 J
2+
Kg
/
2 + 300
60 Kg
/
2
Kg
/
/
− 13 m
+ 300
m
/
60 Kg
/


− 1 =
(22)
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