Imprese e reti di imprese - 6. Elementi di teoria dei giochi non
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Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Imprese e reti di imprese 6. Elementi di teoria dei giochi non cooperativi Giuseppe Vittucci Marzetti1 Corso di laurea triennale in Scienze dell’Organizzazione Facoltà di Sociologia Università degli Studi di Milano-Bicocca A.A. 2011-12 1 Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale, Università degli Studi di Milano-Bicocca, Via Bicocca degli Arcimboldi 8, 20126, Milano, E-mail: [email protected] Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese 1/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Layout 1 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Cos’è la teoria dei giochi Definizione di gioco Funzione di risposta ottima Equilibrio di Nash 2 Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi in forma estesa Equilibri di Nash e minacce non credibili Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso 3 Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi di contrattazione Soluzione di contrattazione di Nash Soluzione generalizzata di Nash Soluzione di Nash e modello di contrattazione di Rubinstein 4 Giochi ripetuti e folk theorem Giochi e supergiochi Dilemma del prigioniero ripetuto Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali Giochi ripetuti un numero finito di volte Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese 2/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Cos’è la teoria dei giochi Definizione di gioco Funzione di risposta ottima Equilibrio di Nash Cos’è la teoria dei giochi Teoria dei giochi La teoria dei giochi è quella branca dell’economia che “studia le scelte di soggetti razionali in un contesto strategico” (Grillo & Silva, 2009) Con soggetto razionale si intende un agente in grado di: valutare le conseguenze di ogni propria azione; esprimere un sistema coerente di preferenze su tali conseguenze; selezionare la scelta cui è associata la conseguenza preferita. Un contesto di scelta è strategico quando le conseguenze di un’azione per un soggetto dipendono, oltre che dalle sue scelte, ma anche dalle scelte compiute da altri soggetti razionali. La nascita della moderna teoria dei giochi è comunemente fatta risalire al 1944, anno della pubblicazione del libro Theory of Games and Economic Behavior di John von Neumann e Oskar Morgenstern . Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese 3/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Cos’è la teoria dei giochi Definizione di gioco Funzione di risposta ottima Equilibrio di Nash Definizione di gioco Per caratterizzare un gioco è necessario definire tre elementi: giocatori (players); strategie (strategies), ovvero possibili azioni di ogni giocatore; guadagni/perdite (payoffs) di ogni giocatore in ogni combinazione possibile di strategie (strategy profile). In termini formali, un gioco generico Γ in forma normale è definito come: Γ = h N , {S1 , S2 , . . . , SN }, {u1 , u2 , . . . , uN } i dove N = {1, 2, . . . , N} è l’insieme dei giocatori; Si (i ∈ N ) è l’insieme delle strategie del giocatore i; ui (.) (i ∈ N ) è la payoff function del giocatore i, la funzione cioè che associa ad ogni possibile combinazione strategica (strategy profile), il payoff del giocatore i, cioè un numero che misura il guadagno del giocatore. Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese 4/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Cos’è la teoria dei giochi Definizione di gioco Funzione di risposta ottima Equilibrio di Nash Un classico esempio: il dilemma del prigioniero Due giocatori: N = {A, B}; Strategie: SA = SB = {C , NC }; Funzioni dei payoff: uA (C , C ) = −5, uA (C , NC ) = 0, uA (NC , C ) = −7, uA (NC , NC ) = −1; uB (C , C ) = −5, uB (C , NC ) = −7, uB (NC , C ) = 0, uB (NC , NC ) = −1; B A C C −5,−5 NC 0,−7 NC −7, 0 −1,−1 Tabella: Matrice dei payoff Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese 5/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Cos’è la teoria dei giochi Definizione di gioco Funzione di risposta ottima Equilibrio di Nash Funzione di risposta ottima La risposta ottima (best reply o best response) di un giocatore è la strategia che massimizza il payoff del giocatore, date e costanti le strategie degli altri giocatori. Es.: la risposta ottima di A quando B confessa (sB = C ) è confessare (sA = C ). La funzione di risposta ottima (best reply function) del giocatore i è una funzione che, ad ogni combinazione strategica degli altri giocatori, associa la risposta ottima di i: bi (s−i ) = argmax ui (si , s−i ) si ∈Si dove con s−i si indicano le strategie giocate da tutti i giocatori escluso i; Es.: la funzione di risposta ottima di A è bA (NC ) = bA (C ) = C . Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese 6/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Cos’è la teoria dei giochi Definizione di gioco Funzione di risposta ottima Equilibrio di Nash Equilibrio di Nash Un equilibrio di Nash è un profilo strategico (s) tale che la strategia di ogni giocatore è una risposta ottima alle strategie degli altri: si∗ ∈ bi (s∗−i ), ∀i ∈N Definizione equivalente: ui (si∗ , s∗−i ) ≥ ui (si , s∗−i ), John Forbes Nash Jr. ∀ si ∈ Si , ∀ i ∈ N In un equilibrio di Nash nessun giocatore ha un incentivo a deviare; Nel dilemma del prigioniero l’unico equilibrio di Nash è s∗ = (C , C ). (1928) Nobel Memorial Prize in Economics 1994 Nel 1994 viene assegnato il Nobel per le Scienze Economiche a J. Harsanyi, J. Nash e R. Selten “per la loro analisi pionieristica degli equilibri nella teoria dei giochi non cooperativi”. Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese 7/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Giochi in forma estesa Equilibri di Nash e minacce non credibili Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Giochi in forma estesa Nei giochi in forma normale (strategic form), i giocatori agiscono simultaneamente; Nei giochi dinamici, le scelte sono effettuate in un determinato ordine temporale; La rappresentazione dei giochi dinamici – in forma estesa (extensive form) – utilizza una struttura ad albero: ciascun vertice rappresenta un punto di decisione per un giocatore; le ramificazioni sono le azioni che il giocatore può compiere; a ciascun vertice finale è associato un vettore di payoff. E IN I F F -2,-2 A E A F -1,-2 -2,-1 Giuseppe Vittucci Marzetti OUT 0,3 A 1,1 Imprese e reti di imprese 8/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Giochi in forma estesa Equilibri di Nash e minacce non credibili Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Equilibri di Nash e minacce non credibili La nozione di equilibrio di Nash non riesce ad escludere i casi di minacce non credibili (non credible threats). Esempio: un’impresa (E ) deve decidere se entrare (IN) o meno (OUT ) in un mercato; l’incumbent (I ) deve decidere se ingaggiare una guerra dei prezzi (F ) o meno (A); due equilibri di Nash: (OUT ,F ) e (IN,A); ...ma (OUT ,F ) contiene una minaccia non credibile: una volta che E è entrato ad I non conviene guerreggiare. E I E IN F -1,-1 A 1,1 OUT 0,2 0,2 IN F (-1,-1) Giuseppe Vittucci Marzetti OUT I Imprese e reti di imprese A (0,2) (1,1) 9/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Giochi in forma estesa Equilibri di Nash e minacce non credibili Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi In base al principio di razionalità sequenziale, la strategia di un giocatore dovrebbe specificare risposte ottime ad ogni nodo dell’albero. Secondo la definizione di Selten, un equilibrio di Nash è perfetto nei sottogiochi (subgame perfect Nash equilibrium), se le strategie di equilibrio hanno la caratteristica di costituire un equilibrio di Nash di ciascun sottogioco; Un sottogioco (subgame) è una parte del gioco in forma estesa che inizia in un nodo (contenuto in un insieme di informazione di cui è l’unico elemento) e contiene tutti i nodi che seguono. Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese Reinhard Selten (1930) Nobel Memorial Prize in Economics 1994 10/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Giochi in forma estesa Equilibri di Nash e minacce non credibili Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso Per eliminare gli equilibri di Nash non perfetti nei sottogiochi, è possibile usare l’induzione a ritroso (backward induction): 1 2 3 vai agli ultimi nodi di decisione e seleziona le risposte ottime dei giocatori cui spetta muovere in ciascuno di quei nodi; vai in ciascuno dei nodi precedenti e seleziona la risposta ottima sulla base delle strategie individuate nello step 1; continua il processo fino a giungere al nodo iniziale. E IN OUT I F -1,-1 A 0,2 1,1 Figura: Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi nel gioco di entrata Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese 11/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Giochi di contrattazione Soluzione di contrattazione di Nash Soluzione generalizzata di Nash Soluzione di Nash e modello di contrattazione di Rubinstein Giochi di contrattazione Un gioco di contrattazione (bargaining game o Nash bargaining game) è un semplice gioco con due giocatori utilizzato per modellare i processi di negoziazione: Due giocatori devono accordarsi sulla divisione di un bene, supposto infinitamente divisibile (es.: una somma di denaro, X); Se la somma delle due richieste (x1 e x2 ) è: minore o uguale alla quantità del bene disponibile (x1 + x2 ≤ X ), entrambi ricevono quanto chiesto; maggiore della quantità del bene disponibile (x1 + x2 > X ), non si raggiunge un accordo e i giocatori ricevono rispettivamente d1 e d2 . I payoff del giocatore i (i ∈ {1, 2}) sono: xi se x1 + x2 ≤ X ui (xi , xj ) = di se x1 + x2 > X (d1 , d2 ) è chiamato punto di disaccordo (disagreement point), corrispondente all’utilità che ciascun giocatore è in grado di garantirsi in caso di mancato accordo. Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese 12/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Giochi di contrattazione Soluzione di contrattazione di Nash Soluzione generalizzata di Nash Soluzione di Nash e modello di contrattazione di Rubinstein Giochi di contrattazione x2 X A B d2 d1 X x1 L’area verde è lo spazio dei profili strategici ammissibili; Il segmento AB è l’insieme degli equilibri di Nash del gioco di contrattazione. Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese 13/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Giochi di contrattazione Soluzione di contrattazione di Nash Soluzione generalizzata di Nash Soluzione di Nash e modello di contrattazione di Rubinstein Soluzione di contrattazione di Nash La soluzione di contrattazione di Nash (Nash bargaining solution) è una combinazione di strategie (x1∗ , x2∗ ) tale che: (x1∗ − d1 )(x2∗ − d2 ) ≥ (x1 − d1 )(x2 − d2 ) per ogni coppia di strategie ammissibili (x1 , x2 ). Nash dimostra che questa soluzione è l’unica che soddisfa simultaneamente gli assiomi di: Pareto-ottimalità: non è possibile incrementare il benessere di uno dei due giocatori senza diminuire quello dell’altro; Invarianza: rispetto a trasformazioni affini positive della funzione di utilità: ui′ (xi , xj ) = a + b · ui (xi , xj ); Simmetria: indipendente dall’identità dei giocatori; Indipendenza dalle alternative irrilevanti: se due giochi hanno identico punto di disaccordo; lo spazio di payoff del primo è interamente contenuto nello spazio dei payoff del secondo; la soluzione del secondo gioco fa parte allo spazio delle soluzioni ammissibili del primo gioco; allora i due giochi devono avere la stessa soluzione. Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese 14/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Giochi di contrattazione Soluzione di contrattazione di Nash Soluzione generalizzata di Nash Soluzione di Nash e modello di contrattazione di Rubinstein Soluzione di contrattazione di Nash x2 X A E d2 B d1 x1∗ = X − d1 − d2 + d1 2 Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese X x2∗ = x1 X − d1 − d2 + d2 2 15/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Giochi di contrattazione Soluzione di contrattazione di Nash Soluzione generalizzata di Nash Soluzione di Nash e modello di contrattazione di Rubinstein Soluzione generalizzata di Nash Rimuovendo l’assioma di simmetria è possibile caratterizzare una famiglia di soluzioni generalizzate di Nash, uniche rispetto ad un parametro che misura il potere contrattuale (bargaining power ) α (0 < α < 1); La soluzione generalizzata di Nash (generalized Nash solution) è una combinazione di strategie (x1∗ , x2∗ ) tale che: (x1∗ − d1 )α (x2∗ − d2 )1−α ≥ (x1 − d1 )α (x2 − d2 )1−α per ogni coppia di strategie ammissibili (x1 , x2 ). Le soluzioni sono: x1∗ = α(X − d1 − d2 ) + d1 x2∗ = (1 − α)(X − d1 − d2 ) + d2 Nel caso di stesso potere contrattuale (α = 1/2), la soluzione generalizzata coincide con quella di Nash. Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese 16/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Giochi di contrattazione Soluzione di contrattazione di Nash Soluzione generalizzata di Nash Soluzione di Nash e modello di contrattazione di Rubinstein Soluzione di Nash come equilibrio perfetto nei sottogiochi del gioco di contrattazione a offerte alterne Rubinstein (1982) analizza un particolare modello di contrattazione: due giocatori devono decidere come dividersi una “torta”; il giocatore 1 propone una possibile divisione; il giocatore 2 accetta oppure fa una controproposta; il giocatore 1 accetta oppure fa una controproposta; e cosı̀ via... i giocatori sono “impazienti” e scontato il tempo necessario per giungere all’accordo. La Nash bargaining solution è un equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi di questo modello di contrattazione quando il lasso di tempo tra un’offerta e l’altra tende a zero. 1 x1 2 x2 Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese 17/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Giochi e supergiochi Dilemma del prigioniero ripetuto Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali Giochi ripetuti un numero finito di volte Giochi e supergiochi Supergioco Sequenza di giochi giocati da uno stesso insieme di giocatori. Supergiochi con dipendenza temporale Supergioco in cui i payoff di ogni gioco costituente in una fase t dipendono dalla successione delle strategie scelte dai giocatori nelle fasi precedenti. Giochi ripetuti Supergiochi in cui il gioco costituente (stage game) è lo stesso in ogni fase. Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese 18/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Giochi e supergiochi Dilemma del prigioniero ripetuto Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali Giochi ripetuti un numero finito di volte Dilemma del prigioniero ripetuto In ciascuno di T periodi, due giocatori (A e B) giocano un dilemma del prigioniero come quello in tabella; I giocatori sono impazienti e scontano i payoff futuri ad un tasso δ (0 < δ < 1); Il payoff di ogni giocatore è dato dal flusso scontato dei payoff generati in ciascun gioco costituente: Gi = ui (s1,0 , s2,0 ) + δui (s1,1 , s2,1 ) + . . . + δ T ui (s1,T , s2,T ) = T X δ t ui (s1,t , s2,t ) t=0 B A D D d,d C w ,l C l,w c,c Tabella: Matrice dei payoff (l < d < c < w ) Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese 19/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Giochi e supergiochi Dilemma del prigioniero ripetuto Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali Giochi ripetuti un numero finito di volte Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali Il passaggio dal dilemma del prigioniero semplice a quello ripetuto fa emergere possibili equilibri cooperativi (NC , NC ) nel gioco costituente; Trigger strategy (Friedman, 1971): ogni giocatore i ∈ N S inizia giocando C ; continua a giocare C fino a quando l’altro gioca C ; gioca D per sempre in caso contrario. È un equilibrio di Nash se, per ciascuno dei due giocatori: P ∞ t i guadagni della cooperazione: t=0 δ c; sono maggiori della defezione e conseguente punizione da parte P t dell’altro: w + ∞ δ d ; t=1 cioè se: ∞ X t δ c− t=0 w+ ∞ X t=1 t δd ! δ≥ Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese = c δd −w − ≥0 1−δ 1−δ w −c w −d 20/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Giochi e supergiochi Dilemma del prigioniero ripetuto Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali Giochi ripetuti un numero finito di volte Folk theorem In base ad una popolare versione debole del folk theorem, nei giochi ripetuti, se gli agenti non sono troppo impazienti, esistono sempre profili strategici che in equilibrio supportano miglioramenti paretiani rispetto ad equilibri di Nash statici, cioè relativi al gioco costituente, subottimali; Folk theorem (Friedman (1971) Sia s∗ un equilibrio statico con payoff u∗ . Per ogni vettore di payoff u tale che ui ≥ ui∗ per tutti i giocatori i, esiste un δ̄ < 1 tale che, per ogni δ > δ̄, c’è un equilibrio perfetto nei sottogiochi con payoff u. Intuizione: se i giocatori sono pazienti e il gioco è ripetuto per un numero infinito di volte, qualsiasi guadagno finito di un periodo è annullato da una anche piccola perdita di utilità in ciascun periodo futuro. Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese 21/22 Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash Giochi ripetuti e folk theorem Giochi e supergiochi Dilemma del prigioniero ripetuto Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali Giochi ripetuti un numero finito di volte Giochi ripetuti un numero finito di volte e paradosso della catena di vendita Se il dilemma del prigioniero è ripetuto un numero finito di volte, può mostrarsi via backward induction che l’unico equilibrio di Nash è quello di non cooperazione: Nell’ultimo periodo non ci sarà nessun vantaggio a non deviare dall’equilibrio cooperativo; Allora neanche nel periodo precedente potrà esserci qualche vantaggio a non deviare; ... Nel primo periodo non ci sarà nessun incentivo a deviare.... Questa proposizione, dimostrata da Selten (1978), è nota come paradosso della catena di vendita (chain store paradox). Giuseppe Vittucci Marzetti Imprese e reti di imprese 22/22
