Imprese e reti di imprese - 6. Elementi di teoria dei giochi non

Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash
Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi
Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash
Giochi ripetuti e folk theorem
Imprese e reti di imprese
6. Elementi di teoria dei giochi non cooperativi
Giuseppe Vittucci Marzetti1
Corso di laurea triennale in Scienze dell’Organizzazione
Facoltà di Sociologia
Università degli Studi di Milano-Bicocca
A.A. 2011-12
1 Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale, Università degli Studi di Milano-Bicocca, Via
Bicocca degli Arcimboldi 8, 20126, Milano, E-mail: [email protected]
Giuseppe Vittucci Marzetti
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Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash
Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi
Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash
Giochi ripetuti e folk theorem
Layout
1
Giochi in forma normale ed equilibrio di Nash
Cos’è la teoria dei giochi
Definizione di gioco
Funzione di risposta ottima
Equilibrio di Nash
2
Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi
Giochi in forma estesa
Equilibri di Nash e minacce non credibili
Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
3
Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash
Giochi di contrattazione
Soluzione di contrattazione di Nash
Soluzione generalizzata di Nash
Soluzione di Nash e modello di contrattazione di Rubinstein
4
Giochi ripetuti e folk theorem
Giochi e supergiochi
Dilemma del prigioniero ripetuto
Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali
Giochi ripetuti un numero finito di volte
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Giochi in forma estesa ed equilibrio perfetto nei sottogiochi
Giochi di contrattazione e soluzione di contrattazione di Nash
Giochi ripetuti e folk theorem
Cos’è la teoria dei giochi
Definizione di gioco
Funzione di risposta ottima
Equilibrio di Nash
Cos’è la teoria dei giochi
Teoria dei giochi
La teoria dei giochi è quella branca dell’economia che “studia le scelte di
soggetti razionali in un contesto strategico” (Grillo & Silva, 2009)
Con soggetto razionale si intende un agente in grado di:
valutare le conseguenze di ogni propria azione;
esprimere un sistema coerente di preferenze su tali conseguenze;
selezionare la scelta cui è associata la conseguenza preferita.
Un contesto di scelta è strategico quando le conseguenze di
un’azione per un soggetto dipendono, oltre che dalle sue scelte, ma
anche dalle scelte compiute da altri soggetti razionali.
La nascita della moderna teoria dei giochi è comunemente fatta
risalire al 1944, anno della pubblicazione del libro Theory of Games
and Economic Behavior di John von Neumann e Oskar Morgenstern .
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Cos’è la teoria dei giochi
Definizione di gioco
Funzione di risposta ottima
Equilibrio di Nash
Definizione di gioco
Per caratterizzare un gioco è necessario definire tre elementi:
giocatori (players);
strategie (strategies), ovvero possibili azioni di ogni giocatore;
guadagni/perdite (payoffs) di ogni giocatore in ogni combinazione
possibile di strategie (strategy profile).
In termini formali, un gioco generico Γ in forma normale è definito
come:
Γ = h N , {S1 , S2 , . . . , SN }, {u1 , u2 , . . . , uN } i
dove
N = {1, 2, . . . , N} è l’insieme dei giocatori;
Si (i ∈ N ) è l’insieme delle strategie del giocatore i;
ui (.) (i ∈ N ) è la payoff function del giocatore i, la funzione cioè che
associa ad ogni possibile combinazione strategica (strategy profile), il
payoff del giocatore i, cioè un numero che misura il guadagno del
giocatore.
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Cos’è la teoria dei giochi
Definizione di gioco
Funzione di risposta ottima
Equilibrio di Nash
Un classico esempio: il dilemma del prigioniero
Due giocatori: N = {A, B};
Strategie: SA = SB = {C , NC };
Funzioni dei payoff:
uA (C , C ) = −5, uA (C , NC ) = 0, uA (NC , C ) = −7,
uA (NC , NC ) = −1;
uB (C , C ) = −5, uB (C , NC ) = −7, uB (NC , C ) = 0,
uB (NC , NC ) = −1;
B
A
C
C
−5,−5
NC
0,−7
NC
−7, 0
−1,−1
Tabella: Matrice dei payoff
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Definizione di gioco
Funzione di risposta ottima
Equilibrio di Nash
Funzione di risposta ottima
La risposta ottima (best reply o best response) di un giocatore è la
strategia che massimizza il payoff del giocatore, date e costanti le
strategie degli altri giocatori.
Es.: la risposta ottima di A quando B confessa (sB = C ) è
confessare (sA = C ).
La funzione di risposta ottima (best reply function) del giocatore i è
una funzione che, ad ogni combinazione strategica degli altri
giocatori, associa la risposta ottima di i:
bi (s−i ) = argmax ui (si , s−i )
si ∈Si
dove con s−i si indicano le strategie giocate da tutti i giocatori
escluso i;
Es.: la funzione di risposta ottima di A è bA (NC ) = bA (C ) = C .
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Definizione di gioco
Funzione di risposta ottima
Equilibrio di Nash
Equilibrio di Nash
Un equilibrio di Nash è un profilo strategico
(s) tale che la strategia di ogni giocatore è
una risposta ottima alle strategie degli altri:
si∗ ∈ bi (s∗−i ),
∀i ∈N
Definizione equivalente:
ui (si∗ , s∗−i )
≥
ui (si , s∗−i ),
John Forbes Nash Jr.
∀ si ∈ Si , ∀ i ∈ N
In un equilibrio di Nash nessun giocatore ha
un incentivo a deviare;
Nel dilemma del prigioniero l’unico equilibrio
di Nash è s∗ = (C , C ).
(1928)
Nobel Memorial Prize in
Economics 1994
Nel 1994 viene assegnato il Nobel per le Scienze Economiche a J. Harsanyi, J. Nash e
R. Selten “per la loro analisi pionieristica degli equilibri nella teoria dei giochi non
cooperativi”.
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Giochi in forma estesa
Equilibri di Nash e minacce non credibili
Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Giochi in forma estesa
Nei giochi in forma normale (strategic form), i giocatori agiscono
simultaneamente;
Nei giochi dinamici, le scelte sono effettuate in un determinato
ordine temporale;
La rappresentazione dei giochi dinamici – in forma estesa (extensive
form) – utilizza una struttura ad albero:
ciascun vertice rappresenta un punto di decisione per un giocatore;
le ramificazioni sono le azioni che il giocatore può compiere;
a ciascun vertice finale è associato un vettore di payoff.
E
IN
I
F
F
-2,-2
A
E
A
F
-1,-2 -2,-1
Giuseppe Vittucci Marzetti
OUT
0,3
A
1,1
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Equilibri di Nash e minacce non credibili
Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Equilibri di Nash e minacce non credibili
La nozione di equilibrio di Nash non riesce ad escludere i casi di
minacce non credibili (non credible threats).
Esempio:
un’impresa (E ) deve decidere se entrare (IN) o meno (OUT ) in un
mercato;
l’incumbent (I ) deve decidere se ingaggiare una guerra dei prezzi (F )
o meno (A);
due equilibri di Nash: (OUT ,F ) e (IN,A);
...ma (OUT ,F ) contiene una minaccia non credibile: una volta che
E è entrato ad I non conviene guerreggiare.
E
I
E
IN
F
-1,-1
A
1,1
OUT
0,2
0,2
IN
F
(-1,-1)
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OUT
I
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A
(0,2)
(1,1)
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Equilibri di Nash e minacce non credibili
Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
In base al principio di razionalità sequenziale,
la strategia di un giocatore dovrebbe
specificare risposte ottime ad ogni nodo
dell’albero.
Secondo la definizione di Selten, un equilibrio
di Nash è perfetto nei sottogiochi (subgame
perfect Nash equilibrium), se le strategie di
equilibrio hanno la caratteristica di costituire
un equilibrio di Nash di ciascun sottogioco;
Un sottogioco (subgame) è una parte del
gioco in forma estesa che inizia in un nodo
(contenuto in un insieme di informazione di
cui è l’unico elemento) e contiene tutti i nodi
che seguono.
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Reinhard Selten (1930)
Nobel Memorial Prize in
Economics 1994
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Equilibri di Nash e minacce non credibili
Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Per eliminare gli equilibri di Nash non perfetti nei sottogiochi, è
possibile usare l’induzione a ritroso (backward induction):
1
2
3
vai agli ultimi nodi di decisione e seleziona le risposte ottime dei
giocatori cui spetta muovere in ciascuno di quei nodi;
vai in ciascuno dei nodi precedenti e seleziona la risposta ottima sulla
base delle strategie individuate nello step 1;
continua il processo fino a giungere al nodo iniziale.
E
IN
OUT
I
F
-1,-1
A
0,2
1,1
Figura: Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi nel gioco di entrata
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Giochi di contrattazione
Soluzione di contrattazione di Nash
Soluzione generalizzata di Nash
Soluzione di Nash e modello di contrattazione di Rubinstein
Giochi di contrattazione
Un gioco di contrattazione (bargaining game o Nash bargaining game) è
un semplice gioco con due giocatori utilizzato per modellare i processi di
negoziazione:
Due giocatori devono accordarsi sulla divisione di un bene, supposto
infinitamente divisibile (es.: una somma di denaro, X);
Se la somma delle due richieste (x1 e x2 ) è:
minore o uguale alla quantità del bene disponibile (x1 + x2 ≤ X ),
entrambi ricevono quanto chiesto;
maggiore della quantità del bene disponibile (x1 + x2 > X ), non si
raggiunge un accordo e i giocatori ricevono rispettivamente d1 e d2 .
I payoff del giocatore i (i ∈ {1, 2}) sono:
xi se x1 + x2 ≤ X
ui (xi , xj ) =
di se x1 + x2 > X
(d1 , d2 ) è chiamato punto di disaccordo (disagreement point),
corrispondente all’utilità che ciascun giocatore è in grado di
garantirsi in caso di mancato accordo.
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Giochi di contrattazione
Soluzione di contrattazione di Nash
Soluzione generalizzata di Nash
Soluzione di Nash e modello di contrattazione di Rubinstein
Giochi di contrattazione
x2
X
A
B
d2
d1
X
x1
L’area verde è lo spazio dei profili strategici ammissibili;
Il segmento AB è l’insieme degli equilibri di Nash del gioco di
contrattazione.
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Soluzione di contrattazione di Nash
Soluzione generalizzata di Nash
Soluzione di Nash e modello di contrattazione di Rubinstein
Soluzione di contrattazione di Nash
La soluzione di contrattazione di Nash (Nash bargaining solution) è
una combinazione di strategie (x1∗ , x2∗ ) tale che:
(x1∗ − d1 )(x2∗ − d2 ) ≥ (x1 − d1 )(x2 − d2 )
per ogni coppia di strategie ammissibili (x1 , x2 ).
Nash dimostra che questa soluzione è l’unica che soddisfa
simultaneamente gli assiomi di:
Pareto-ottimalità: non è possibile incrementare il benessere di uno
dei due giocatori senza diminuire quello dell’altro;
Invarianza: rispetto a trasformazioni affini positive della funzione di
utilità: ui′ (xi , xj ) = a + b · ui (xi , xj );
Simmetria: indipendente dall’identità dei giocatori;
Indipendenza dalle alternative irrilevanti: se
due giochi hanno identico punto di disaccordo;
lo spazio di payoff del primo è interamente contenuto nello spazio dei
payoff del secondo;
la soluzione del secondo gioco fa parte allo spazio delle soluzioni
ammissibili del primo gioco;
allora i due giochi devono avere la stessa soluzione.
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Soluzione generalizzata di Nash
Soluzione di Nash e modello di contrattazione di Rubinstein
Soluzione di contrattazione di Nash
x2
X
A
E
d2
B
d1
x1∗ =
X − d1 − d2
+ d1
2
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X
x2∗ =
x1
X − d1 − d2
+ d2
2
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Soluzione generalizzata di Nash
Soluzione di Nash e modello di contrattazione di Rubinstein
Soluzione generalizzata di Nash
Rimuovendo l’assioma di simmetria è possibile caratterizzare una
famiglia di soluzioni generalizzate di Nash, uniche rispetto ad un
parametro che misura il potere contrattuale (bargaining power ) α
(0 < α < 1);
La soluzione generalizzata di Nash (generalized Nash solution) è una
combinazione di strategie (x1∗ , x2∗ ) tale che:
(x1∗ − d1 )α (x2∗ − d2 )1−α ≥ (x1 − d1 )α (x2 − d2 )1−α
per ogni coppia di strategie ammissibili (x1 , x2 ).
Le soluzioni sono:
x1∗ = α(X − d1 − d2 ) + d1
x2∗ = (1 − α)(X − d1 − d2 ) + d2
Nel caso di stesso potere contrattuale (α = 1/2), la soluzione
generalizzata coincide con quella di Nash.
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Giochi di contrattazione
Soluzione di contrattazione di Nash
Soluzione generalizzata di Nash
Soluzione di Nash e modello di contrattazione di Rubinstein
Soluzione di Nash come equilibrio perfetto nei sottogiochi
del gioco di contrattazione a offerte alterne
Rubinstein (1982) analizza un particolare modello di contrattazione:
due giocatori devono decidere come dividersi una “torta”;
il giocatore 1 propone una possibile divisione;
il giocatore 2 accetta oppure fa una controproposta;
il giocatore 1 accetta oppure fa una controproposta; e cosı̀ via...
i giocatori sono “impazienti” e scontato il tempo necessario per
giungere all’accordo.
La Nash bargaining solution è un equilibrio di Nash perfetto nei
sottogiochi di questo modello di contrattazione quando il lasso di
tempo tra un’offerta e l’altra tende a zero.
1
x1
2
x2
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Giochi e supergiochi
Dilemma del prigioniero ripetuto
Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali
Giochi ripetuti un numero finito di volte
Giochi e supergiochi
Supergioco
Sequenza di giochi giocati da uno stesso insieme di giocatori.
Supergiochi con dipendenza temporale
Supergioco in cui i payoff di ogni gioco costituente in una fase t
dipendono dalla successione delle strategie scelte dai giocatori nelle fasi
precedenti.
Giochi ripetuti
Supergiochi in cui il gioco costituente (stage game) è lo stesso in ogni
fase.
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Giochi e supergiochi
Dilemma del prigioniero ripetuto
Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali
Giochi ripetuti un numero finito di volte
Dilemma del prigioniero ripetuto
In ciascuno di T periodi, due giocatori (A e B) giocano un dilemma
del prigioniero come quello in tabella;
I giocatori sono impazienti e scontano i payoff futuri ad un tasso δ
(0 < δ < 1);
Il payoff di ogni giocatore è dato dal flusso scontato dei payoff
generati in ciascun gioco costituente:
Gi = ui (s1,0 , s2,0 ) + δui (s1,1 , s2,1 ) + . . . + δ T ui (s1,T , s2,T )
=
T
X
δ t ui (s1,t , s2,t )
t=0
B
A
D
D
d,d
C
w ,l
C
l,w
c,c
Tabella: Matrice dei payoff (l < d < c < w )
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Dilemma del prigioniero ripetuto
Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali
Giochi ripetuti un numero finito di volte
Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali
Il passaggio dal dilemma del prigioniero semplice a quello ripetuto fa
emergere possibili equilibri cooperativi (NC , NC ) nel gioco
costituente;
Trigger strategy (Friedman, 1971): ogni giocatore i ∈ N S
inizia giocando C ;
continua a giocare C fino a quando l’altro gioca C ;
gioca D per sempre in caso contrario.
È un equilibrio di Nash se, per ciascuno
dei due giocatori:
P
∞
t
i guadagni della cooperazione:
t=0 δ c;
sono maggiori della
defezione
e
conseguente
punizione da parte
P
t
dell’altro: w + ∞
δ
d
;
t=1
cioè se:
∞
X
t
δ c−
t=0
w+
∞
X
t=1
t
δd
!
δ≥
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=
c
δd
−w −
≥0
1−δ
1−δ
w −c
w −d
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Giochi ripetuti un numero finito di volte
Folk theorem
In base ad una popolare versione debole del folk theorem, nei giochi
ripetuti, se gli agenti non sono troppo impazienti, esistono sempre
profili strategici che in equilibrio supportano miglioramenti paretiani
rispetto ad equilibri di Nash statici, cioè relativi al gioco costituente,
subottimali;
Folk theorem (Friedman (1971)
Sia s∗ un equilibrio statico con payoff u∗ . Per ogni vettore di payoff u
tale che ui ≥ ui∗ per tutti i giocatori i, esiste un δ̄ < 1 tale che, per ogni
δ > δ̄, c’è un equilibrio perfetto nei sottogiochi con payoff u.
Intuizione: se i giocatori sono pazienti e il gioco è ripetuto per un
numero infinito di volte, qualsiasi guadagno finito di un periodo è
annullato da una anche piccola perdita di utilità in ciascun periodo
futuro.
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Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali
Giochi ripetuti un numero finito di volte
Giochi ripetuti un numero finito di volte e paradosso della
catena di vendita
Se il dilemma del prigioniero è ripetuto un numero finito di volte,
può mostrarsi via backward induction che l’unico equilibrio di Nash è
quello di non cooperazione:
Nell’ultimo periodo non ci sarà nessun vantaggio a non deviare
dall’equilibrio cooperativo;
Allora neanche nel periodo precedente potrà esserci qualche
vantaggio a non deviare;
...
Nel primo periodo non ci sarà nessun incentivo a deviare....
Questa proposizione, dimostrata da Selten (1978), è nota come
paradosso della catena di vendita (chain store paradox).
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