IL CONCETTO MATEMATICO DI
“ABBONDANZA” E IL RELATIVO
GRAFICO PER LA RH1
Francesco Di Noto, Michele Nardelli (Gruppo B. Riemann)
Abstract
In this paper we show some connections between “abundance”
a = σ(n)/n and RH1 hypothesis
(RH1 = RH)
Riassunto
In questo lavoro riepilogativo e di ricerca mostreremo come un solo
concetto matematico (l’abbondanza = σ(n)/n a ) con relativi grafici (nei
riferimenti) potrebbe mostrare la possibile verità di tre congetture diverse:
Goldbach, numeri primi gemelli e ipotesi equivalente RH1 ( con relativo
grafico in questo lavoro), in quanto escluderebbe i contro-esempi nulli
per ognuna di esse. Somiglianza del grafico RH1 con il grafico della
funzione di Landau, altra ipotesi RH equivalente con contro esempio
nullo.
Da Wikipedia riportiamo parzialmente la definizione di numero
1
abbondante:
Un numero abbondante è un numero naturale minore della somma dei suoi divisori interi
(escludendo sé stesso).
Per esempio, 12 è un numero abbondante perché è inferiore alla somma dei suoi divisori:
(1+2+3+4+6)=16.
La sequenza dei numeri abbondanti comincia così: (Sequenza A005101 dell'OEIS)
12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108,
112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 180, 186, 192, 196, 198,
200, 204, 208, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270...
Il primo numero dispari abbondante è 945.
Tutti i multipli interi dei numeri abbondanti e dei numeri perfetti sono a loro volta numeri
abbondanti”
E quindi l’abbondanza, dal punto di vista matematico, è data dalla
formula
a = σ(n) / n
Un buon software per il calcolo di σ(n) è “anadivi” del prof.
Giuseppe Merlino (Rif.1)
Per esempio, il valore dell’abbondanza a per il numero 260 è
a (260) = σ(260)/260 = 328/260= 1,2615
(260 è infatti un numero composto con i seguenti divisori: 1, 2, 4, 5, 10,
13, 20, 26, 52, 65, 130. Poiché la somma dei suoi divisori è 328 > 260, è
un numero abbondante).
mentre per i numeri perfetti P, com’è noto, è sempre a(P) = 1
2
Con l’estensione del concetto matematico di abbondanza (finora limitato
quasi sempre ai numeri composti, tipo fattoriali ecc.), mostreremo
l’impossibilità di contro-esempi per le tre più note congetture :
quella di Goldbach, quella dei numeri primi gemelli e la RH1, un’ipotesi
RH equivalente (lo stesso potremmo dire per altre congetture con grafici
simili, di tipo comet (cioè a forma di cometa), vedi Rif. 7)
Per quanto riguarda l’abbondanza di Goldbach rimandiamo al Rif.1,
sulla connessione tra i numeri primoriali e la congettura di Goldbach, per
l’abbondanza relativa ai numeri gemelli invece ai Rif. 2, 3 e 4.
Per il nostro scopo, qui ci interessano di più i fattoriali e la loro
abbondanza reale, calcolabile con l’exe “anadivi” del prof. Giuseppe
Merlino (Rif.3)
Ecco una nostra Tabella per i valori reali di a per i primi 10 numeri
fattoriali, i più pericolosi per la RH1:
3
TABELLA 1
N! =
σ(n) con anadivi
a = σ(n)/n
1! =
2! =
1
2
0
1
0
0,5
3! =
6
6
1
(6= numero perfetto)
4! =
24
36
1,5
5! =
120
240
2
6! =
720
1 698
2,358
7! =
5040
14 304
2,838
8! =
40320
118 800
2,946
9! =
362880
1 118 160
3,081
10! =
3628800
11 705 288
3.022
Tabella per le abbondanze di hn
Veniamo ora alla RH1, con hn = ancora superiore a n!, come sopra visto
Rif. 6)
4
“TABELLA 2
n!
a = Hn/n
a’ = σ(n)/n
a – a’ > 0
3! = 6
4! =24
5! = 120
6! = 720
7! = 5 040
11,58/6 = 1,93
60,31/24 = 2,51
364,39/120 =3,03
2530,87 = 3,51
19813,70/5040
=3,93
1
1,5
2
2,35
2,83
0,93
1,01
1,03
1,16
1,1
…
…
…
…
Un'altra tabella con valori più alti è la seguente (Rif.6):
“Come si vede L(n) cresce al crescere di n=6k. Nella tabella 2 riportiamo anche
esempi di numeri superabbondanti e abbondanti colossali, come nel precedente
lavoro L equivalenza di Lagarias RH1 = RH esaminata con i soli numeri
fattoriali .
Tabella 2 numeri colossali
n=6k
h(n)
Σ(n)
L(n)
rL
rR
2520
9556
9359
197,73
1,0210
0,98695
5040
19813,70
19343
470,18
1,0243
0,99446
55440=11*7!
240865,88
232127
8738,88
1,0376
1,01702
720720=11*13*7!
3388772,70
3249726
139046,70
1,0427
1,02769
4324320=6*11*13*7! 21248371
20319979
928392
1,0456
1,03337
21621600
109943891
104972868
4971023
1,0473
1,03676
367567200
1966723222
1889662975
77060246
1,0407
1,03288
6983776800
39034892710
3776200040
1238692668
1,0336
1,027036
160626866400
933604818926 907059914600 26544901330
1,0292
1.02510
5
Tabella 2 numeri colossali
In pratica è sempre h(n)> σ(n) e se chiamiamo rL il rapporto Lagarias il tutto è
equivalente a: rL = h(n)/σ(n)>1.
Se ci soffermiamo solo sui valori della tabella è come se il grafico avesse una
gobba con punto più alto 1,0473. Lo stesso tipo di grafico a gobba si presenta in
altri casi che riguardano i numeri primi, come nel TNP (Teorema dei numeri
primi)…, ma tale gobba non impedisce al TNP di essere vero (dimostrato da
Hadamard e Vallee - Poussin); né, nell’equivalenza Lagarias RH1= RH, essa
impedisce alla RH1 di essere vera (con rL >1 e quindi senza contro esempi rL ≤
1)”. (Rif 6)
La differenza tra hn e σ(n) per i fattoriali è L(n) = hn – σ(n), e, affinché la
RH sia vera, occorre che L(n) > 0; e infatti lo è, a guardare le tabelle e il
grafico per la Tabella 1; la differenza hn – σ(n) cresce sempre più con n
e quindi non sarà mai nulla.
Lo stesso succede per le relative abbondanze a ed a’
Da qui la verità della RH1 = RH
GRAFICO nostra TABELLA 2
6
Questo grafico somiglia moltissimo al nostro grafico della funzione di
Landau come RH equivalente (Rif. 8), e quindi entrambi i grafici sono
forti indizi della verità della RH , ottenuti tramite le ipotesi RH equivalenti
RH1 ed RH L (funzione di Landau)
Grafico per la verifica dell’affermazione di Landau sul Logaritmo integrale
7
Conclusioni
Come abbiamo visto (a – a’) > 0 è equivalente a (Hn – σ(n ) > 0), e il
grafico 1 mostra come tale differenza cresce sempre più (zona evidenziata
in giallo), e quindi mostra come la RH1 sia vera, e di conseguenza anche
la RH, poiché RH1 = RH difatti la RH1 è un’ipotesi RH - equivalente
Riferimenti
1) software anadivi.exe scritto dal prof. Giuseppe Merlino, sui siti:
http://teoriadeinumeri.sitiwebs.com/
http://giuseppemerlino.wordpress.com/teoria-dei-numeri/
l’algoritmo “anadivi” seguente per il calcolo di σ(n)
8
, con
Copia di anadivi.exe
http://blog.libero.it/numeriprimi/
2) “I numeri primi gemelli e l’abbondanza di Goldbach”
Gruppo Eratostene in Sezione “Articoli su Goldbach
3) “I numeri primi gemelli e l’abbondanza di Goldbach”
Gruppo Eratostene,
idem
4) “Nuova relazione di Goldbach - Abbondanza di Goldbach”, idem
Gruppo Eratostene
5) “I numeri primoriali p# alla base della dimostrazione definitiva
della congettura di Goldbach (nuove evidenze numeriche)”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli su questo sito:
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
6) “Dai numeri multipli di 6 alla Riemann Hypothesis (i criteri di Robin
e Lagarias”) Rosario Turco, gruppo Eratostene, sul sito
www.gruppoeratostene.com , sezione “Articoli su Riemann”
7)”IPOTESI SULLA VERITA’ DELLE CONGETTURE SUI
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NUMERI PRIMI CON GRAFICI COMET E CONTRO
ESEMPI NULLI (Legendre, Goldbach, Riemann…)”
Michele Nardelli ,Francesco Di Noto, su questo sito.
8) “La funzione di Landau come ipotesi RH equivalente II”
(La nostra proposta di dimostrazione empirica con tabelle e grafico
comet; ulteriori connessioni con le partizioni di numeri)
Francesco Di Noto e Michele Nardelli, su questo sito
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