Modello di Solow 1

DIPARTIMENTO DI SCIENZE ECONOMICHE AZIENDALI MATEMATICHE E STATISTICHE
Politica economica internazionale
a. a. 2016-2017
Materiali per il corso.
E. Podrecca, M. Zenezini
Il modello di Solow1
Il modello senza progresso tecnico
Consideriamo un’economia (chiusa e senza intervento dello stato) in cui viene prodotto un solo
bene (che può essere consumato e investito) mediante una tecnologia rappresentabile da una
relazione continua tra il prodotto, Y, il capitale, K, e il lavoro, L. La relazione è descritta dalla
seguente funzione di produzione
1 =
;
dove il deponente t indica il tempo. Il tempo non entra nella funzione direttamente, ovvero non
agisce come una forza deterministica in grado di determinare il livello di produzione: la produzione
dipende solo dal livello degli input di produzione: tuttavia tanto gli input di produzione quanto la
produzione possono cambiare nel tempo. Obiettivo del modello è scoprire le caratteristiche del
processo mediante il quale i livelli di attività dell’economia possono cambiare nel tempo.
Ipotizziamo che la funzione (1) presenti rendimenti costanti di scala nei suoi argomenti K e L.
Questo significa che
2 ;
=
;
per ogni c > 0.
Possiamo interpretare questa ipotesi in due modi:
i) L’economia ha esaurito la possibilità di sfruttare guadagni connessi alla specializzazione.
Consideriamo un’economia “piccola”: possiamo pensare che se il capitale e il lavoro raddoppiano,
c = 2, il prodotto aumenti più di due volte, grazie alla possibilità di trarre vantaggio dal fatto di
essere “specializzata” nello stesso modo in cui questo può avvenire per un’impresa “specializzata”
nella produzione di un particolare bene. Se aumentando gli input di c volte il prodotto non aumenta
più di c volte, ma esattamente di c volte, allora questa possibilità è esaurita. Possiamo quindi
pensare che l’economia sia abbastanza grande da non avere più a disposizione i vantaggi “di
efficienza” associati alla piccola dimensione.
ii) Possiamo pensare che non vi siano altri input importanti nella produzione, ad esempio la terra o
le risorse naturali. Se vi fossero altri input importanti e non potessero essere aumentati, allora
l’aumento congiunto del capitale e del lavoro non potrebbe generare un aumento nella stessa
proporzione del prodotto perché il fattore fisso agirebbe come un vincolo.
L’ipotesi di rendimenti costanti di scala permette di scrivere la (1) in forma intensiva. Ponendo
infatti c = 1/L, possiamo scrivere
3 1
;1 =
1
;
R SOLOW "A Contribution to the Theory of Economic Growth", Quarterly Journal of Economics, vol. 70, 1956.
1
Dove K/L è il capitale per unità di lavoro e F/L = Y/L è la produttività del lavoro, il prodotto per
unità di lavoro. Possiamo scrivere: K/L = k e Y/L = π.
A questo punto la tecnologia del sistema può essere rappresentata come una relazione tra la
produttività del lavoro, π e il rapporto capitale-lavoro per l'economia nel suo complesso, k:
(4 )
π t = f ( kt )
Assumiamo che la forma intensiva della funzione di produzione (4) soddisfi le seguenti condizioni:
a) f(0) = 0
b) f’(k) > 0
c) f’’(k) < 0
d1) lim
d2) lim
→
→
′
′
“ nessun input, nessun output”
“ il prodotto marginale del capitale è positivo”
“il prodotto marginale del capitale è decrescente (vale la legge dei rendimenti
decrescenti)”
=∞
=0
Le condizioni d1, d2, dette condizioni di Inada, permettono che l’economia non diverga: la prima
condizione dice che il prodotto marginale del capitale tende ad essere molto grande quando
l’ammontare di capitale è molto piccolo, la seconda dice che il prodotto marginale del capitale è
molto piccolo quando il capitale è molto grande.
Le funzioni che soddisfano le condizioni a, b, c, d, sono rappresentabili come nella fig. 1
Figura 1
La funzione di produzione
π = f(k)
k
Se L è il volume di occupazione, la produzione totale dell'economia vale (data la clausola di
rendimenti costanti di scala)
Yt = π t Lt = f (k t ) Lt
(5)
Supponiamo ora che una parte della produzione venga investita e risparmiata: I ed S sono
rispettivamente l’investimento e il risparmio aggregato. Imponiamo la condizione di equilibrio
macroeconomico continuo, ovvero
(6)
It
=
St
“gli investimenti sono eguali ai risparmi”.
2
Supponiamo ora che propensione al risparmio sia costante e pari ad s, 0 < s < 1, ovvero
(7) St = sYt “funzione del risparmio”
Dalla (7) e dalla (5), tenendo conto della (6) otteniamo
I t = sYt = sf (k t ) Lt
(8)
dove le variabili datate sono riferite ad uno specifico momento del tempo. Si noti che, in
un’economia chiusa e senza intervento dello stato, il tasso di risparmio coincide con il tasso
d’investimento.
I
Si noti che sf (k t ) = t
Lt
è l’investimento per addetto, i i = sπ.
Ipotizziamo che il capitale si deprezzi in ogni periodo al tasso δ: in altri termini l’ammortamento
δKt è l’ammontare di capitale che viene ritirato o distrutto nel periodo t per obsolescenza e logorio
fisico.
L'investimento lordo è definito come la variazione dello stock di capitale, Kt – Kt-1, più
l’ammortamento
(9)
I t = ( K t − K t −1 ) + δK t
Ponendo
(10)
−
= ∆ , tenendo conto della (8) possiamo scrivere la (9) nel modo seguente
∆K t = sf (k t ) Lt − δK t
Rammentando ora che k=K/L, possiamo scrivere
(11)
∆k t =
 ∆K t ∆Lt 
∆K t Lt − K t ∆Lt


=
k
−
t
K
L
L2
t 
 t
Sia ora θ = L/P il tasso di occupazione (rapporto tra occupati e popolazione, P). Possiamo scrivere
(12)
∆θ =
 ∆L ∆P
∆Lt LPt − Lt ∆Pt
= θ t  t − t
2
Pt
P
 Lt



Se il tasso di occupazione è costante, ∆θ = 0, allora
∆Lt ∆Pt
∆Lt ∆Pt
=
=
. Poniamo n =
, il tasso
Lt
Pt
Lt
Pt
di crescita della popolazione.
Consideriamo inizialmente il caso n = 0.
Il modello di Solow con popolazione costante (n = 0).
Sostituendo la (10) nella (11), con n = 0, otteniamo
3
(13)
∆k t = k t
∆K t
sf (k t ) Lt − δK t
sf (k t )
K
= kt
= kt
− δk t t = sf (k t ) − δk k
Kt
Kt
Kt
Kt
Lt
La (13) è una semplice equazione dinamica che dice come varia il rapporto capitale lavoro a
seconda del livello del rapporto capitale lavoro. Illustriamo la cosa con un esempio numerico: la
variazione del capitale per addetto è pari alla differenza tra l’investimento per addetto e
l’ammortamento per addetto (si noti che δk = δK/L).
Esempio numerico. Supponiamo che, nel 2010, il livello del capitale per addetto in un certo paese
sia stato pari a 100, k = 100, che il prodotto per addetto sia stato pari a 50, f(k) = 50, che il tasso di
risparmia siat pari al 20 per cento, s = 0,2 e che il tasso di ammortamento sia stato pari al 5 per
cento, δ = 0,05; scriveremo
∆k = 0,2×50-0,05×100 = 10 – 5 = 5
La variazione dello stock di capitale per addetto è stata pari a 5. Nel 2011 lo stock di capitale sarà
dunque pari a 105 = 100 + 5.
La nozione di stato stazionario
L’equazione (13) descrive come varia il capitale per addetto nel corso del tempo. Si vede che se
l’investimento è maggiore dell’ammortamento, sf(k) > δk, allora il capitale aumenterà, se invece
l’investimento è inferiore all’ammortamento, sf(k) < δk, allora il capitale diminuirà. Pertanto se
(14)
sf (k t ) = δk k
il capitale non varia: l’economia si trova in uno stato stazionario.
Rappresentiamo graficamente tale situazione nella fig. 2 nella quale è riprodotta la funzione di
produzione, f(k), l’investimento sf(k) e l’ammortamento, δk: tutte le variabili sono espresse in
funzione di k e tutte sono misurate per unità di lavoro.
La fig. 2 mostra il livello di capitale, kss, al quale la linea dell’ammortamento interseca la funzione
dell’investimento: questo è il rapporto capitale-lavoro di stato stazionario. Se il capitale è a questo
livello, allora il capitale non varia. Dato questo rapporto capitale-lavoro, la funzione di produzione
permette di determinare il livello del prodotto per addetto di stato stazionario, πss.
Se il capitale non è al livello kss, allora varierà: come?
Supponiamo che k1 < kss, come nella figura 3: come si può vedere, in questo caso l’investimento è
maggiore dell’ammortamento, sf(k) > δk, per cui il capitale aumenta
∆k > 0 come indicato dalle
frecce. Se invece partiamo da k2, l’ammortamento è maggiore dell’investimento e il capitale deve
diminuire, come indica la figura.
4
Figura 2
Lo stato stazionario
πss
π = f(k) prodotto per addetto
sf(k) investimento per addetto
δk ammortamento
kss
k
Figura 3
Convergenza verso lo stato stazionario
π
πss
sf(k)
δk
0
k1
kss
k2
k
Dettaglio analitico.
Con k = 0, f(0) = 0 e quindi sf(0) = δ0, per cui l’ammortamento e l’investimento si incrociano
nell’origine 0 del grafico. La prima condizione di Inada dice che per valori “piccoli” di k la
pendenza tende ad infinito e quindi è maggiore della pendenza positiva della linea degli
ammortamenti, pari a δ, per cui la funzione degli investimenti giace al di sopra della linea
dell’ammortamento (il capitale aumenta); la seconda condizione di Inada dice che per valori
“grandi” di k, la pendenza tende a 0 ed è quindi inferiore alla pendenza della linea degli
ammortamenti, e la curva degli investimenti giace al di sotto della linea dell’ammortamento (il
capitale diminuisce). Le due condizioni insieme sono sufficienti per concludere che la linea degli
ammortamenti e la funzione degli investimenti devono incrociarsi ad un determinato livello di k (a
tale livello il capitale non varia).
5
Esempio numerico.
Poniamo che la tecnologia sia espressa dalla relazione
π = kα e che s = 0,2, δ = 0,05. Qual è il
livello di prodotto per addetto di stato stazionario, con α = 0,5?
Dalla condizione (14) traiamo
1
k
 s  1−α
sk = δk → = a = k 1−α → k ss =   → π ss = (k ss ) α
δ k
δ 
Le produttività marginali dei fattori capitale e lavoro, che saranno pari ai prezzi reali dei fattori
(costo reale del capitale e salario reale), data la condizione di max del profitto su mercati
perfettamente concorrenziali) saranno:
s
α
MPK: αkssα-1=α(δ/s) e MPL: (1- α)kssα= (1- α)(s/δ)α/(1−α)
(nota, con n diverso da zero le espressioni sarebbero: MPK=α(δ+n)/s) e MPL= (1- α)(s/δ+n)α/(1−α)
Con i valori indicati kss = (0,2/0,05)1/0,5 = 16, πss = 4
Costo reale del capitale: 0,125, Salario reale: 0,125
Si noti che un più alto valore di s implica valori più alti di k e di π nello stato stazionario, mentre
un più alto valore di δ implica valori più bassi del rapporto capitale-lavoro e del prodotto per
addetto nello stato stazionario. Il prodotto e il capitale per lavoratore sono poi crescenti con il
coefficiente α. (0 < α < 1).
Differenze di reddito tra due paesi nello stato stazionario
Consideriamo due economie, A e B, con la stessa tecnologia π = kα , che presentano i seguenti
parametri “fondamentali”
sA > sB
δA = δB
αA = αB.
Quale rapporto esiste tra i livelli di prodotto per addetto di stato stazionario nei due paesi? Possiamo
scrivere
αA
π ss A
π ss B
 s A  1−α A
 
δ
= Aα
B
 s B  1−α B
 
δB 
ottenendo
π A
π ss B
ss
(15)
s
=  A
 sB
α
 1−α


6
Pertanto il paese con un più alto tasso di risparmio avrà un più alto livello di prodotto per lavoratore
di stato stazionario.
E’ possibile elaborare confronti facendo variare gli altri parametri.
Confronti tra due paesi
Consideriamo due economie con la stessa tecnologia.
Avremo le seguenti situazioni dinamiche
1) Se due paesi hanno lo stesso tasso d’investimento, ma differenti livelli di reddito, il paese con il
reddito minore presenterà tassi di crescita maggiori. Supponiamo, senza perdita di generalità, che
πA > πB.
Spiegazione. Con la stessa tecnologia (dunque, con riferimento agli esempi precedenti, con
π = kα, α uguale nelle due economie, e con lo stesso tasso di ammortamento) i paesi avranno lo
stesso livello di prodotto per lavoratore di stato stazionario, πssA = πssB. Se il paese con il reddito
maggiore si trova con un reddito minore dello stato stazionario, πA < πssA allora l’altro paese si
troverà ad una distanza ancora maggiore dallo stato stazionario; dovendo raggiungere lo stesso
πssB/ πB > , πssA/ πA. Se il paese più povero ha un
livello, allora la crescita di B sarà maggiore
ss
reddito superiore allo stato stazionario, πB > π B allora il paese ricco sarà ancora più lontano dallo
stato stazionario e il suo reddito diminuirà più velocemente di quello del paese povero. Se, infine, il
paese povero ha un reddito inferiore allo stato stazionario e il paese ricco al di sopra di tale livello,
il paese povero crescerà e il paese ricco diminuirà il suo reddito.
2) Se due paesi hanno lo stesso livello di reddito, ma differenti tassi d’investimento, allora il paese
con un maggior tasso d’investimento avrà una maggiore crescita.
Spiegazione. Il paese con il più alto tasso d’investimento avrà il più alto livello di prodotto di stato
stazionario. Se entrambi i paesi sono al di sotto dello stato stazionario, allora il paese con il tasso
d’investimento più alto sarà più distante dall’equilibrio e crescerà più in fretta. Se entrambi i paesi
si trovano al di sopra dello stato stazionario, il paese con il più basso tasso d’investimento sarà più
distante dallo stato stazionario e la sua crescita negativa sarà più pronunciata. Poiché i due paesi
hanno lo stesso reddito, può succedere che il paese con il più alto livello di stato stazionario si trovi
sotto lo stato stazionario mentre l’altro paese si trova sopra lo stato stazionario e anche in questo
caso il primo paese crescerà mentre il secondo vedrà cadere il suo reddito.
3) Se un paese aumenta il proprio tasso d’investimento, il tasso di crescita aumenterà.
Se il paese si trova in stato stazionario, il tasso di crescita è nullo; pertanto, se il tasso
d’investimento aumenta si determinerà un nuovo livello di reddito di stato stazionario e l’economia
dovrà crescere per raggiungerlo. Se il paese è sotto lo stato stazionario, un aumento del tasso
d’investimento fa aumentare la distanza tra il reddito attuale e il nuovo reddito di stato stazionario e
questo farà aumentare il tasso di crescita. Se il paese si trova sopra lo stato stazionario un aumento
del tasso d’investimento riduce la distanza con lo stato stazionario e la crescita aumenterà (o la
riduzione del reddito rallenterà). Il reddito aumenterà finché il paese raggiunge il nuovo più alto
livello di reddito di stato stazionario, dopodiché il reddito cesserà di variare. In questo caso si dice
che una variazione una tantum del tasso di investimento provoca effetti permanenti sul livello di
reddito di stato stazionario ed effetti temporanei sul tasso di crescita.
7
Avvertenza.
Le deduzioni precedenti poggiano sulla relazione (13) dalla quale si vede che il tasso di crescita del
capitale per addetto sarà tanto maggiore quanto maggiore è la distanza tra l’investimento e
l’ammortamento.
∆k t = sf (k t ) − δk k →
∆k t sf (k t )
=
−δ
kk
kt
Illustrazione numerica.
Consideriamo di nuovo un’economia con i seguenti parametri
π = kα
α = 0,5
s = 0,2
δ = 0,05.
Sappiamo che questa economia presenta kss = 16
Il tasso di crescita del capitale per addetto è dato da
∆k t sf (k t )
0,2k 0,5
=
−δ =
− 0,05
kk
kt
k
Possiamo quindi calcolare il tasso di crescita del capitale per addetto, gk, per diversi valori di k.
k
gk
8
12
16
18
24
0,166
0,091
0
-0,051
-0,25
stato stazionario
Come si vede, il tasso di crescita è tanto maggiore quanto più distante è l’economia dallo stato
stazionario e l’economia si trova sotto lo stato stazionario, mentre il tasso di decrescita è tanto
maggiore quanto più distante è l’economia dallo stato stazionario e l’economia si trova sopra lo
stato stazionario.
8