Appunti sulla Probabilità

STATISTICA E PROBABILITA’
nella Scuola Secondaria di secondo grado
Mathesis Roma, 8 novembre 2016
Ferdinando Casolaro(1)
[email protected] - [email protected]
Appunti estratti dal corso di Statistica (periodo 2004-2007) tenuto alla Facoltà di
Scienze MM.FF.NN. (laurea in Scienze Ambientali) dell'Università del Sannio.
I temi trattati in questi appunti sono reperibili nel volume “Atti Terni 2011”, sul sito
www.aifnapoli2.it nella sezione “RELAZIONI TRA FISICA E MATEMATICA”.
Programma: da distribuire nel corso di 5 anni, come avviene per le geometrie e per
l'algebra.
Le medie: media aritmetica, media aritmetica ponderata; media geometrica ; media
armonica.
Medie di posizione: mediana; moda.
Indici di variabilità: scarto semplice, varianza, scarto quadratico medio.
Elementi di analisi combinatoria. Principi fondamentali del calcolo combinatorio.
Fattoriale di un numero intero positivo, coefficiente binomiale, binomio di Newton.
Disposizioni, permutazioni, combinazioni semplici e con ripetizioni.
Introduzione alla Probabilità. Cenni storici; la definizione classica; la definizione
frequentista; la definizione soggettiva; la definizione assiomatica. Eventi
incompatibili; eventi indipendenti. La probabilità condizionata; Principio di
probabilità totale e teorema di Bayes.
Insiemi infiniti: numerabilità e continuità. Cenni sulle serie numeriche ed
approccio intuitivo all’integrale definito; la serie geometrica nelle applicazioni
probabilistiche: un esempio significativo.
Le variabili casuali. Definizione di variabile casuale; distribuzione di probabilità.
Variabili casuali discrete e continue: il valore medio, la varianza, la deviazione
standard.
Alcuni esempi di distribuzioni. Distribuzione binomiale. Distribuzione normale.
Distribuzione di Poisson.
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1
La probabilità
Calcolo delle probabilità: i vari aspetti della probabilità e le questioni riguardanti
gli insiemi discreti (finiti e numerabili). Il teorema di Bayes e la sua applicazione
nei quesiti assegnati agli esami di Stato.
1) Definizione classica di probabilità.
E’ il rapporto tra il numero
nf
dei casi favorevoli ed il numero n dei casi possibili:
p (a) 
nf
n
Tale definizione è valida solo se i casi sono equiprobabili.
2) Definizione frequentista di probabilità.
E’ una definizione che nasce dall’esperienza, cioè dall’osservazione di una ripetizione
di prove e dal numero di volte in cui si verifica l’evento richiesto.
La probabilità frequentista è, dunque, il rapporto tra la frequenza f con cui si è
verificato l’evento richiesto in n osservazioni precedenti ed il numero n stesso.
p (a) 
f
n
quando il numero delle osservazioni è “abbastanza grande”. L’espressione
“abbastanza grande” ha un significato relativo allo specifico evento che si sta
analizzando. Guido Castelnuovo definisce la probabilità frequentista mediante la
seguente affermazione (legge empirica del caso):
“In una serie di prove ripetute un gran numero di volte, nelle stesse condizioni,
ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza relativa (probabilità
frequentista) che è presso a poco uguale alla sua probabilità, l’approssimazione
cresce al crescere del numero delle prove”.
L’affermazione di Castelnuovo esprime la cosiddetta legge dei grandi numeri:
Con il crescere del numero delle prove, è sempre più probabile che la frequenza
relativa di un evento si avvicini alla sua probabilità.
3) Definizione soggettiva di probabilità.
Premettiamo il quesito assegnato nel liceo PNI nell’anno scolastico 2005/2006.
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2
Bruno de Finetti (1906-1985), tra i più illustri matematici italiani del secolo
scorso, del quale ricorre quest’anno il centenario della nascita, alla domanda:
“che cos’è la probabilità?” era solito rispondere: “la probabilità non esiste!”.
Quale significato puoi attribuire a tale risposta? E’ possibile collegarla a una
della diverse definizioni di probabilità che sono state storicamente proposte?
Il significato da attribuire alla frase “la probabilità non esiste!” si evince dal concetto
di probabilità soggettiva. La probabilità soggettiva p di un evento E è la misura del
grado di fiducia espresso dal numero reale p, tale che una scommessa di quota p su E
sia coerente, cioè tenga conto delle condizioni reali.
La probabilità soggettiva è utilizzata nel caso in cui non abbia senso considerare ciò
che è avvenuto per una successione di eventi analoghi o si deve assegnare una
probabilità anche agli eventi in cui i casi possibili sono infiniti.
Dato un numero reale p (0 < p < 1) ed una somma di danaro Q, diciamo che si effettua
una scommessa di quota p su un evento E se, versando la somma pQ si riceve
l’importo Q solo se si verifica l’evento E.
Il guadagno dello scommettitore, nel caso di vincita è:
Q – pQ = Q(1 – p)
Da cui si evince che se fosse p > 1, la scommessa sarebbe sempre in perdita.
4) Definizione assiomatica di probabilità.
E’ una definizione che si basa su un’assiomatica che presenta analogie alla struttura
della geometria euclidea ed alla costruzione della teoria della misura.
Precisamente, si fissano degli assiomi su cui viene costruita una serie di operazioni
che permettono l’analisi della previsione di eventi.
Ad ogni evento A dello spazio campione
p, tale che:
1)
0

p(A)

 ( A   ) associamo un numero reale
1
cioè, la probabilità è una funzione che ad ogni elemento dello spazio campione
associa un numero reale compreso tra 0 e 1.
2)
Se S è l’evento certo, si ha p(S) = 1.
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3

3)
Se
 è l’evento impossibile, si ha: p(  ) = 0.
A1 , A2 ,..., An sono
Ai  Aj  , i  j ), si ha:
4)
Se
n eventi che si escludono a vicenda (cioè
n
n
i 1
i 1
p ( Ai )   p( Ai )
In una σ-algebra (cioè per un insieme di infinità numerabile), si ha:


i 1
i 1
p ( Ai )   p( Ai ) .
La concezione assiomatica della probabilità permette di concepire l’insieme di tutti i
possibili esiti che si possono verificare come uno spazio (spazio di probabilità o
spazio dei campioni).
Un esito (o un evento) è detto punto campione.
Eventi incompatibili.
Due eventi si dicono incompatibili se si escludono a vicenda. In tal caso, se
E1 ed
E2 sono due eventi incompatibili, risulta:
E1  E2  
Esempio:
Estraendo una carta da un mazzo napoletano, siano
E1 , E2 , E3 , i seguenti eventi:
E1 : la carta sia 2;
E2 : la carta sia una figura;
E3 : la carta sia di spada.
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E1 ed E2 sono incompatibili; sono invece compatibili le
coppie di eventi ( E1 , E3 ) e ( E2 , E3 ).
E’ evidente che i due eventi
Eventi indipendenti.
Due eventi si dicono indipendenti quando il verificarsi del primo non altera la
probabilità del verificarsi dell’altro.
Esempio: Un’urna contiene 100 palline di quattro colori diversi:
25 palline bianche;
25 palline nere;
25 palline rosse;
25 palline verdi.
1
.
4
Se rimettiamo la pallina nell’urna e ripetiamo una seconda estrazione, gli eventi:
La probabilità che, estraendo una pallina dall’urna, essa sia rossa è uguale a
E1 : pallina rossa dalla prima estrazione;
E2 : pallina rossa dalla seconda estrazione,
sono indipendenti in quanto si ha:
p( E1 ) = p( E2 ) =
1
.
4
Se invece effettuiamo la seconda estrazione senza rimettere la pallina nell’urna,
indicato con E2 l’evento che la pallina sia rossa,
perché risulta:
p( E1 ) =
25
1
 ;
4
100
E2 non è indipendente da E1 ,
p( E2 ) =
25
.
99
Evento totale. Evento composto.
Dati due o più eventi (parziali):
- si dice evento totale (unione degli eventi) di essi, l’evento che consiste nel verificarsi
dell’uno o dell’altro dei vari eventi parziali.
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- si dice evento composto (intersezione degli eventi) da essi, l’evento che consiste nel
verificarsi di tutti gli eventi parziali.
Principio della probabilità totale.
Dati due eventi parziali, la probabilità del loro evento totale è uguale alla somma delle
probabilità dei due eventi parziali diminuita della probabilità del loro evento
composto. Nel linguaggio degli insiemi si ha:
p( E1  E2 )  p( E1 )  p( E2 )  p( E1  E2 ) )
Nel caso che gli eventi siano incompatibili, risulta: E1  E2   , per cui si ha:
p( E1  E2 )  p( E1 )  p( E2 )
che è il principio della probabilità totale per eventi incompatibili.
Principio della probabilità composta
Se un evento è composto di due o più eventi indipendenti, la sua probabilità è il
prodotto delle probabilità dei vari eventi componenti. Nel linguaggio degli insiemi si
ha:
p( E1  E2 )  p( E1 )  p( E2 )
Esempio:
Si estrae una carta da un mazzo di 52; qual è la probabilità che sia una figura o una
carta di cuori?
Indicato con E1 l’evento che la carta sia una figura, e con E2 l’evento che la carta
sia di cuori, è evidente che i due eventi non sono incompatibili, perché una carta può
essere una figura di cuori. Quindi risulta:
p( E1  E2 )  p( E1 )  p( E2 )  p( E1  E2 ) =
12 13
3
22 11




52 52 52 52
26
Probabilità condizionata.
La valutazione della probabilità di un evento dipende anche dallo stato di
informazione di cui si è in possesso.
I due esempi che seguono rappresentano due situazioni diverse:
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1)
Calcolare la probabilità che il getto di due dadi dia 10 (evento A).
2)
Calcolare la probabilità che il getto di due dadi dia 10, sapendo che un dado ha
dato 6 (evento A/B).
Nel primo caso si deve considerare l’intero universo U degli eventi elementari
derivanti dal getto dei due dadi; nel secondo si deve considerare solamente un suo
sottoinsieme, e precisamente quello i cui elementi sono coppie di numeri di cui
almeno uno sia un 6.
Nel primo caso si ha:
U ≡ {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); (2,2);
(2,3); (2,4); (2,5); (2,6); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4);
(3,5); (3,6); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6);
(5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5;5); (5,6); (6,1); (6,2);
(6,3); (6,4); (6,5), (6,6)}
cioè, lo spazio dei campioni è costituito da 36 elementi.
Nel secondo caso si deve considerare solamente un suo sottoinsieme, precisamente
quello i cui elementi sono coppie di numeri di cui almeno uno sia 6:
U 6 ≡ {(1,6); (2,6); (3,6); (4,6); (5,6); (6,6); (6,1); (6,2);
(6,3); (6,4); (6,5)}.
Nel primo caso, il sottoinsieme U 3 dei punti di U costituiti da coppie che danno per
somma 10 è:
U 3 ≡ {(4,6); (6,4); (5,5)}
e, quindi, essendo gli eventi equiprobabili, ci basta applicare la definizione classica; la
3
1
probabilità p(A) è
=
.
36 12
Nel secondo caso, l’insieme U 6 è costituito da 11 elementi, per cui il sottoinsieme
U 2 dei punti di U 6 costituiti da coppie che danno per somma 10 è:
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U 2 ≡ {(4,6); (6,4)}
per cui risulta che la probabilità p(B) è
2
.
11
Questo secondo esempio ci introduce il concetto di probabilità condizionata, cioè si
chiede di:
calcolare la probabilità che si verifichi l’evento A ≡ {il getto di due dadi dia 10}, a
condizione che sia dato l’evento B ≡ {un dado ha dato 6}, che è individuato dai punti
di U 6 .
In tal caso diciamo che si calcola la probabilità che si verifichi l’evento A
condizionato a B che si esprime con p (A/B).
Osserviamo che l’insieme U 2 ≡ {(4,6); (6,4)} è costituito dai punti comuni sia ad A
che a B, cioè ad A  B la cui probabilità nello spazio campione U, è data da:
2
p( A  B ) =
,
36
mentre l’insieme U 6 , costituito dai punti che hanno una coordinata uguale a 6, è
costituito da 11 elementi, per cui la probabilità che si verifichi l’evento B è:
11
p (B) =
.
36
Allora risulta:
2
2
p( A  B)
36
p (A/B) =
= 11  11
p( B)
36
Tale relazione si può considerare anche di tipo classico, perché la probabilità del
1
verificarsi di una qualsiasi coppia è
, cioè gli eventi sono equiprobabili:
36
i casi favorevoli sono 2 su 36: {(4,6); (6,4)};
- i casi possibili (un dado abbia dato 6) sono 11 su 36:
{(1,6); (2,6); (3,6); (4,6); (5,6); (6,6); (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5)}
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8
Generalizzando quanto detto, si hanno dunque le due relazioni:
p (A/B) =
p( A  B)
;
p( B)
p ( A  B)  p ( A / B)  p ( B) ,
che individuano le leggi della probabilità condizionata.
OSSERVAZIONE –
Nell’esempio del lancio di due dadi, vogliamo determinare la probabilità, che dato 4 il
valore del primo dado, lanciando il secondo,
- la somma sia 6: evento A;
- la somma sia 7: evento B;
Indicato con E l’evento che il primo dado dia 4, è evidente che
A  E = {(4,2)}
per cui la probabilità che A ed E si verifichino contemporaneamente è
1
36 .
Osserviamo che i punti degli spazi campioni di A e di B sono rispettivamente:
A ≡ {(1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1)}
B ≡ (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6)}
6
Dove, essendo E l’evento che il primo dado dia 4, la probabilità p(E) è
.
36
Si ha allora:
mentre:
1
36  1
p( A  E )
p (A/E) =
= 6
6;
p( E )
36
5 6
5
 =
p (A)· p (E)=
36 36 216 ,
per cui gli eventi A ed E non sono indipendenti, essendo:
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9
p ( A  E )  p (A)· p (E)
Ripetendo lo stesso ragionamento con l’evento B per calcolare la probabilità p (B/E)
(cioè, la somma sia 7 dato 4 per il primo dado), si vede che :
cioè: p ( B  E ) 
B  E = {(4,3)},
1
6
quindi:
1
36  1
p( B  E )
p (B/E) =
= 6
6,
p( E )
36
come nel caso precedente. Osserviamo, però, che lo spazio campione di B è costituito
da 6 punti, per cui risulta:
p (B)· p (E)=
6 6 1
 =
= p( B  E ) ,
36 36 36
per cui i due eventi sono indipendenti.
Teorema di Bayes.
Nelle applicazioni (in particolare in ambito ambientale e geologico), due qualsiasi
eventi H1 e H 2 , si possono immaginare come cause possibili per un evento A
osservato.
Il teorema di Bayes permette di calcolare la probabilità affinché si possa verificare
l’evento H1 (l’evento H 2 ) una volta che si è osservato l’evento A già verificato.
Con semplici passaggi algebrici, dalla relazione di probabilità condizionata, si deduce
la formula di Bayes:
p ( H1 / A) 
p( H1 )  p( A / H1 )
p( H1 )  p( A / H1 )  p( H 2 )  p( A / H 2 )
Tale relazione va estesa ad un numero n di eventi (cause per l’evento A)
H1 , H 2 ,..., H n :
p ( H1 / A) 
p ( H1 )  p ( A / H 1 )
p( H1 )  p( A / H1 )  p( H 2 )  p( A / H 2 )  ...  p( H n )  p( A / H n )
1.10
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10
Esempio
Il montaggio di un’apparecchiatura è effettuato con componenti di buona qualità o con
componenti di qualità mediocre. Nel primo caso, la probabilità di funzionamento
corretto per una durata di tempo T è di 0,95, mentre nel secondo caso è di 0,70. Il
40% delle apparecchiature contiene componenti di buona qualità. Supponendo che al
collaudo un’apparecchiatura funzioni correttamente per la durata T, si calcoli la
probabilità che essa sia costituita da componenti di buona qualità (si applichi il
teorema di Bayes).
Evento A: “l’apparecchiatura funziona al collaudo per un tempo T”.
Evento H1 : “l’apparecchiatura è montata con elementi di buona qualità”.
Evento H 2 : “l’apparecchiatura è montata con elementi di mediocre qualità”.
La probabilità p ( H1 ) = 0.40;
La probabilità p ( H 2 ) = 0.60;
La probabilità p ( A / H1 ) = 0.95;
La probabilità p ( A / H 2 ) = 0.70;
Pertanto, risulta:
p ( A / H1 )  p ( H1 )
=
p( A / H1 ). p( H1 )  p( A / H 2 )  p( H 2 )
0.95  0.40
 0.475
=
0.95  0.40  0.70  0.60
p ( H1 / A) 
1.11
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11
Distribuzione di probabilità
Variabili casuali discrete e continue
Si chiama variabile casuale una funzione che associa ad ogni evento
elementare E dello Spazio Campionario S uno ed un solo numero reale.
Una variabile casuale si dice discreta quando può assumere solo particolari valori in
punti isolati di un intervallo.
Una variabile casuale si dice continua se i suoi valori possono variare con continuità in
un intervallo, che può essere limitato o illimitato.
Dal punto di vista didattico-metodologico è opportuno introdurre questi concetti
attraverso semplici esempi che possano permettere agli allievi un apprendimento di
carattere laboratoriale.
Problema 1. - Consideriamo lo spazio degli eventi (spazio campionario) associato al
lancio di tre monete. Qual è il numero totale delle volte in cui si presenta croce?
Osserviamo che, lanciando contemporaneamente le tre monete, croce si può presentare:
1. zero volte (evento E0) (tre volte testa). 2. una volta (evento E1) (due volte testa).
3. due volte (evento E2) (una volta testa). 4. tre volte (evento E3) (zero volte testa).
E’ opportuno far rappresentare agli allievi la seguente tabella, da cui si evince
immediatamente la variabile indipendente che indichiamo con X:
Punti dello spazio campionario
Numero di volte che esce croce:
CCC
3
CCT
2
CTC
2
CTT
1
TCC
2
TCT
1
TTC
1
TTT
0
Attribuendo ad ogni valore della variabile casuale X la corrispondente probabilità, si
ottiene la distribuzione di probabilità di X.
Nel nostro caso lo spazio campionario S è costituito da otto elementi:
S ≡{CCC, CCT, CTC, CTT, TCC, TCT, TTC, TTT}.
1.12
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12
Poiché la variabile X può assumere: {una sola volta il valore zero, tre volte il valore
uno, tre volte il valore due, una volta il valore tre}, l’insieme
{X0=0, X1=1, X2=2, X3=3}
individua il dominio D della nostra funzione ai cui valori sono associate,
rispettivamente, le seguenti probabilità:
D≡{p0=1/8, p1=3/8, p2=3/8, p3=1/8}.
La legge che associa ad ogni valore della variabile casuale Xk - k = 0…3 - il
corrispondente valore della probabilità pk è detta distribuzione di probabilità della
variabile casuale discreta X.
Non è superfluo far notare agli allievi che se chiedo la probabilità affinché si verifichi
uno solo degli eventi dello spazio campionario S (precisamente, lanciando i dadi uno
alla volta, chiedo la probabilità affinché si verifichi CCC, oppure TTC,…ecc.) ci
troviamo ad operare nel caso classico di eventi equiprobabili, per cui la probabilità di
ogni evento è 1/8.
In questo caso la corrispondenza tra gli elementi dello spazio campionario S e gli
elementi del dominio D della variabile casuale X è biettiva per cui, operativamente, il
dominio D si può identificare con lo spazio campionario S.
Problema 2. - Determinare la distribuzione di probabilità della variabile X che
esprime il punteggio ottenuto lanciando due dadi:
I valori di X ai quali corrispondono le probabilità p(X) sono:
X:
2
3
p(X): 1/36 2/36
4
3/36
5
4/36
6
5/36
7
6/36
8
9
5/36 4/36
10
3/36
Pertanto, l’insieme
{1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36
rappresenta la distribuzione di probabilità della variabile casuale X.
11
12
2/36 1/36.
2/36 1/36}
E’ opportuno far rappresentare agli allievi le coppie [X, p(X)] sul piano cartesiano
perché uno degli aspetti più significativi dei problemi proposti è l’osservazione che, con
i valori di X sulle ascisse e i valori di p(X) sulle ordinate, i punti ad ordinata massima si
hanno nella parte centrale della rappresentazione e i punti ad ordinata minima agli
1.13
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13
estremi della rappresentazione, come gli stessi allievi avranno modo di constatare negli
anni successivi con la rappresentazione della curva di Gauss.
Indicato con x il numero reale che rappresenta il valore della variabile casuale X, la terna
{S, D, p(x)} è detta Spazio di Probabilità.
Pertanto, uno spazio di probabilità è una terna {S, D, p(x)}, dove S è un insieme
qualunque (in genere pensato come l’insieme dei risultati possibili di un esperimento
casuale), D è detta σ-algebra, ovvero un insieme (gli eventi) per i quali si può calcolare
una probabilità, e p(x) è una misura di probabilità su S; precisamente:
p(x) : S→ [0, 1].
Distribuzione di variabili casuali continue
Se i valori di una variabile casuale variano con continuità in un intervallo, essa si dice
continua.
I parametri essenziali nella rappresentazione analitica di una variabile casuale continua
sono:
1. La media aritmetica μ (che nella curva normale, essendo simmetrica, coincide con la
moda e la mediana) corrisponde all'asse di simmetria della curva e definisce la
posizione, sull'asse delle ascisse, della curva. Cambiando la media della curva questa
trasla lungo l'asse x.
2. La deviazione standard σ (o scarto quadratico medio) corrisponde alla distanza tra la
media e il punto di flesso della curva (dove la curva attraversa la sua tangente) e
determina l'ampiezza della curva stessa.
3. La varianza σ2 fornisce una misura di quanto i valori assunti dalla variabile si
discostino dalla media, per cui la varianza è un indice di variabilità.
Data una distribuzione di una variabile su una popolazione di elementi, la varianza
è la media aritmetica del quadrato delle distanze dei valori dalla loro media
 x   

2


dove  X  i
n
xi
2
X
è la media aritmetica di
i
i
X
n
.
1.14
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14
In statistica viene molto spesso utilizzata la radice quadrata della varianza, cioè
2
lo scarto quadratico medio (o deviazione standard o scarto tipo)  X   X . Con
riferimento a questa notazione la varianza si trova quindi anche indicata come  2 .
In statistica si utilizzano solitamente due stimatori per la varianza su un campione di
cardinalità :
 x  x 

n
S
2
n
i 1
 x  x 
n
2
i
S n21
n
2
i 1
i
n 1
x1  x2  ... xn
è la media campionaria. Il primo è detto varianza campionaria,
n
mentre il secondo è detto varianza campionaria corretta.
Dove x 
Distribuzione di Poisson
Consideriamo il caso delle cosiddette “n prove ripetute”: ad esempio, si debba calcolare
la probabilità p che un evento si verifichi un numero k di volte su n prove ripetute, con n
relativamente piccolo. In generale, in questi casi la probabilità p assume valori
abbastanza piccoli e si può determinare solo con un grande numero di prove.
Si utilizzano allora delle formule approssimate di cui la più significativa è la
distribuzione di Poisson che è espressa dalla relazione:
k 
pk 
e
k!
dove λ è il valore medio della variabile casuale binomiale x e k è il numero di volte in
cui si verifica l’evento richiesto.
Esempio.
Ad un centralino di una ditta pervengono mediamente 10 telefonate al minuto, la
probabilità che in un minuto pervengano 6 telefonate è data da:
p6 
6
k!
e
10
106

 4.54  10 5  6.3  10 2  6.3%
720
1.15
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15
Statistica
1. La curva di Gauss e semplici esempi di fenomeni naturali per
l’analisi statistica.
Partendo da un quesito assegnato agli esami di Stato nell’anno scolastico 2006/2007
(Corso sperimentale PNI) vogliamo esporre un percorso che riteniamo possa facilitare,
già dal primo anno, l’apprendimento del significato della curva di Gauss analizzando
semplici fenomeni naturali..
Quesito 4 - Si consideri la funzione
f ( x) 
1
e
 2
 x   2
2 2
Se ne spieghi l’importanza nelle applicazioni della Matematica illustrando il
significato di μ, σ, σ2 e come tali parametri influenzino il grafico di f(x).
Soluzione
E' un quesito di Statistica, che chiede di analizzare la cosiddetta "curva degli errori"
(funzione gaussiana) che caratterizza l'andamento di tutti i fenomeni naturali. Il grafico
in oggetto è il seguente:
fig. 1
La funzione gaussiana è alla base delle analisi statistiche in ogni disciplina e la sua
conoscenza permette lo studio sociologico di gran parte dei fenomeni attraverso la
Statistica e il Calcolo delle Probabilità, discipline essenziali per la formazione delle
nuove generazioni che, a causa della velocizzazione degli eventi, vivono una realtà
dominata dall’incertezza.
1.16
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16
Questo quesito è stato molto criticato dai docenti perché ritenuto difficile ed estraneo
alle indicazioni ministeriali. Per affrontarlo, l’allievo deve conoscere alcuni elementi che
non si possono estrarre direttamente dalla formula.
Prima di analizzare i dettagli della relazione analitica proposta e specificare gli elementi
che essa contiene (μ, σ, σ2), riteniamo opportuno, già nel primo anno di corso
(ma anche nelle classi del primo ciclo) che l’insegnante proponga, attraverso
grafici, l’andamento di alcuni fenomeni naturali che dimostrano come nell’analisi di eventi giornalieri e naturali - la concentrazione maggiore è
situata nel periodo medio.
Costruzione di semplici grafici relativi a problemi naturali.
Primo approccio alla comprensione della gaussiana.
1) Con un campione di mille studenti, costruire un istogramma che presenta sull’asse
delle ascisse le seguenti fasce di altezza (in centimetri):
< 150 - da 150 a 160 - da 160 a 170 - da 170 a 180 - da 180 a 190 - da 190 a
200 - > 200,
e sull’asse delle ordinate, il numero di studenti per ogni fascia.
Si vede immediatamente che la fascia centrale presenta i valori massimi, mentre gli
studenti di altezza inferiore a 150 cm e gli studenti di altezza superiore a 200 centimetri
presentano i valori più bassi (fig. 3.1).
fig. 1.1
2) Costruire l’istogramma che presenta sull’asse delle ascisse i mesi dell’anno e sulle
ordinate la misura della fascia oraria compresa tra l’alba e il tramonto.
1.17
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17
Si hanno i seguenti dati: gennaio e dicembre: 8.00  17.00
giugno-luglio: 5.00
 21.00.
I valori massimi sono concentrati nei mesi centrali, giugno-luglio, i valori minimi agli
estremi rappresentati dai mesi di gennaio e dicembre (fig. 3.2).
fig. 1.2
3) Disegnare un vulcano ed indicare sulla figura i punti in cui si sviluppa la massima
energia.
E’ evidente che la figura del vulcano ha l’andamento della curva di Gauss; è interessante
far notare agli allievi come i valori di massima energia si hanno nella parte centrale in
cui è concentrata una massa maggiore, coerentemente al principio di equivalenza massaenergia (fig. 3.3).
fig. 1.3
Come ultimo esempio, possiamo osservare il grafico ufficiale del censimento 2001,
relativo alla distribuzione della popolazione residente in Italia per sesso e classi di età
(fig. 3.4).
1.18
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18
fig. 1.4
Censimento 2001- tratto da “Matematica per la scuola superiore, vol.1” – A. Giambò,
R. Giambò
1.19
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19
2. - Le funzioni a campana e la distribuzione normale.
Per comprendere la relazione (1)
 x   2

1
2
f ( x) 
e 2
 2
bisogna che si chiarisca il significato dei parametri che presenta e l'andamento del
grafico della funzione di fig. 1.1 che rientra nelle cosiddette "funzioni a campana" per
rappresentare le "distribuzioni normali". Precisamente:
1. la media aritmetica μ;
2. lo scarto quadratico medio σ (o deviazione standard) [misura la dispersione dei dati
intorno al valore atteso];
3. la varianza σ2 [fornisce una misura di quanto i valori assunti dalla variabile, si
discostino dalla media];
4. la distribuzione normale.
5. Il grafico della funzione exp x
E se parliamo a studenti di lingue diverse?
1. Proporre inizialmente esempi del mondo reale attraverso semplici grafici.
2. Successivamente i primi elementi analitici di Statistica descrittiva.
3. Di seguito rappresentare graficamente le funzioni elementari, in particolare exp x
e ln x mediante costruzione tabulare.
Un discorso analogo va fatto per il calcolo delle Probabilità, partendo già dal primo
biennio con giochi di dadi, carte e classifiche dei campionati di calcio.
Questi concetti, (abbastanza semplici), devono però essere legati al processo logico che
è alla base della costruzione del grafico della funzione, in particolare la funzione
esponenziale, essenziale alla comprensione delle funzioni a campana e, quindi, la
logaritmica.
A tale scopo, riteniamo che già nel primo biennio si debbano proporre agli allievi
esercitazioni sulla costruzione di semplici grafici relativi a problemi naturali, per
evidenziare come questi hanno sempre l’andamento della curva di Gauss che, in ambito
statistico, fa parte di quei grafici che individuano le “cosiddette” distribuzioni normali.
Che cos'è una distribuzione normale?
Le distribuzioni normali sono una famiglia di distribuzioni che hanno le stesse
caratteristiche e lo stesso andamento. Graficamente sono rappresentate da curve
1.20
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20
simmetriche rispetto ad una retta, con valori più concentrati verso il centro e meno
nelle estremità laterali, che hanno un andamento di curve a campana (ma non tutte le
curve a campana sono distribuzioni normali).
Una distribuzione normale può essere espressa matematicamente in funzione di due
parametri: la media (µ) e lo scarto tipo (o deviazione standard) (fig. 2.1) come caso
particolare della curva a campana f ( z )  e  z
2
e del grafico della funzione
f ( z)  k e 
ottenuta da:

1
f ( x) 
e
 2
avendo posto:
k
1
 2
z2
 x   2
2 2
z
x
2
fig. 2.1
I parametri essenziali sono:
La media aritmetica μ (che nella curva normale, essendo simmetrica, coincide con la
moda e la mediana) corrisponde all'asse di simmetria della curva e definisce la
posizione, sull'asse delle ascisse, della curva. Cambiando la media della curva questa
trasla lungo l'asse x.
La deviazione standard σ (o scarto quadratico medio) corrisponde alla distanza tra la
media e il punto di flesso della curva (dove la curva attraversa la sua tangente) e
determina l'ampiezza della curva stessa.
la varianza σ2 fornisce una misura di quanto i valori assunti dalla variabile si discostino
dalla media.
In fig. 2.2 sono rappresentati grafici di distribuzione normale in cui si può notare come
le curve normali differiscano per il modo in cui i valori si distribuiscono.
1.21
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21
In fig. 2.3 si può osservare come, al variare della media e della varianza, la curva subisca
sia uno spostamento sull’asse delle ascisse, sia un appiattimento; se si fa variare solo la
varianza e si tiene costante la media, la curva si appiattisce quando la varianza cresce e
diventa più appuntita quando la varianza cala, mentre il centro rimane lo stesso.
fig. 2.2
fig. 2.3
Per calcolare le probabilità che una variabile casuale X assuma valori compresi
all’interno di intervalli della retta reale, si utilizza la distribuzione normale
standardizzata, la cui importanza sta nel fatto che le probabilità corrispondenti alle
superfici racchiuse dalla curva normale sono state tabulate e vengono riportate in
apposite tabelle, per cui possono essere determinate senza dover ricorrere al calcolo di
integrali.
La distribuzione normale standardizzata presenta le stesse caratteristiche della
distribuzione normale non standardizzata. Ciò che distingue le due distribuzioni è che la
normale standardizzata ha Media = 0 e Deviazione standard = 1, per cui è rappresentata
da una sola curva (fig. 2.4), mentre la distribuzione normale generale è costituita da
infinite curve.
1.22
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22
fig. 2.4
Equazione della curva normale
L'ordinata di un punto sulla curva normale che rappresenta la funzione di
distribuzione è definita da:
dove µ è la media e
è lo scarto tipo,
è un numero costante uguale a 3,14159,
ed e è la base dei logaritmi naturali ed è uguale a 2,718282.
La variabile casuale X può variare da +  a -  .
La funzione y tende a 0 quando x si allontana di più di tre scarti tipo dalla media, sia a
sinistra che a destra.
Una tale densità di probabilità presenta come parametri caratteristici la media μ, la
varianza σ2, o la devazione standard σ definita come la radice quadrata della varianza
1.23
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23
e che rappresenta la distanza, sull’asse delle ascisse, tra la media μ e i flessi della
curva stessa che si trovano a x = σ ± μ.
Discutiamo ora il significato della media μ e della varianza σ2 al variare dell’una e
fissata l’altra.
Fissata la varianza σ2, al variare della media μ, la forma della campana non
muta, ma trasla lungo l’asse delle ascisse, come mostra la figura sottostante. Infatti x
= μ è asse di simmetria e in corrispondenza di x = μ la funzione assume valore
1
massimo
 2 .
Fissata la media μ, al variare della varianza σ2, la densità cambia forma.
Infatti, al decrescere della varianza σ2 (e quindi di σ), la campana si restringe sempre
di più e il massimo, raggiunto per x = μ, aumenta. Viceversa, al crescere della
varianza σ2 (e quindi di σ), la campana si allarga sempre di più, il suo massimo
diminuisce, fino a che la densità tende a coincidere con l’asse delle ascisse se σ2 tende
all’infinito. Infatti, in questo caso, il valore massimo è nullo.
Queste considerazioni mostrano che la media μ è un parametro posizionale, mentre σ 2
misura la dispersione intorno a μ, Infatti, al variare di μ, a parità di varianza σ 2, la
densità subisce solo una traslazione, mentre a parità di μ, al crescere di σ2, i flessi x =
σ ± μ si allontanano da μ e la densità di probabilità attribuisce maggiore probabilità ai
valori più lontani dal valore centrale. Invece, al decrescere di σ2, a parità di μ, i flessi
si avvicinano al valore centrale ed aumenta la probabilità che la variabile aleatoria
assuma valori attorno al valore centrale.
1.24
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24
3. Temi assegnati agli esami di Stato
Anno 2007/2008.
Quesito 1 – Siano dati un cono equilatero e la sfera in esso inscritta. Si scelga a
caso un punto all’interno del cono. Si determini la probabilità che tale punto sia
esterno alla sfera.
Soluzione:
Il Volume del cono equilatero con raggio R è V =
Dalle relazioni: Area sfera 
4 r
;
3
3
 3
r  R  tg
3

6
R3 .
R
3
,
3
si deduce il volume della sfera inscritta nel cono equilatero che è dato da:
V =
4 3 3
R .
27
La probabilità che il punto P sia interno alla sfera è data dal rapporto tra i due volumi
4
. Allora, la probabilità richiesta (cioè, che il punto sia esterno alla sfera, è:
9
4 5
pe  1   .
9 9
e vale
1.25
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25
Anno 2007/2008.
Quesito 9 - In una classe composta da 12 maschi e 8 femmine, viene scelto a caso
un gruppo di 8 studenti. Qual è la probabilità che, in tale gruppo, vi siano
esattamente 4 studentesse?
Soluzione
20 studenti
12 maschi
8 femmine
Gruppo di 8 studenti
(4 maschi, 4 femmine)
1) Quanti punti ha il mio spazio campione? Cioè quante combinazioni di 8 studenti
posso avere?
 20
20!
N t  C20,8     
= 125970
 8  8! 12!
2)
Affinché nel gruppo ci siano 4 studentesse, gli altri 4 devono essere studenti,
quindi, nello spazio campione di 12 maschi devo individuare quanti gruppi di 4
studenti posso ottenere, cioè le combinazioni di 12 elementi a 4 a 4:
12 12!
C12, 4     
 4  8! 4!
3)
Analogamente, nel gruppo di 8 femmine devo individuare quanti gruppi di 4
studentesse posso ottenere, cioè le combinazioni di 8 elementi a 4 a 4:
8 
8!
C8, 4     
 4  4! 4!
Poiché gli eventi:
1.26
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26
A: uscita femmina;
B: uscita maschi;
sono indipendenti, la probabilità di avere, nel gruppo di 8 studenti, 4 maschi e 4
femmine (cioè A∩B che rappresenta i casi favorevoli) è data dal prodotto p(A) ∙ p(B).
Essendo A e B eventi equiprobabili, posso applicare la definizione classica di
probabilità:
-
12  8  12!
8!
C

C



casi favorevoli: 12, 4  8, 4     
4
4
8
!
4
!
4
!
4
!
  
-
casi possibili: C20,8     
 8  8! 12!
 20
20!
Pertanto, indicato con E l’evento <nel gruppo di 8 ci sono 4 femmine>, la probabilità
affinché tale evento si verifichi è:
 8  12 
8! 12!
   

4
4
4
!
4
!
8! 4!
  
p(E) =
=
20!
 20 
 
12! 8!
8 

1155
4199 = 0.275
1.27
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27
Anno 2006/2007
Quesito 8 - A Leonardo Eulero (1707-1783), di cui quest’anno ricorre il terzo della
nascita, si deve il seguente problema: “Tre gentiluomini (Filomeno, Patrizia,
Serafina) giocano insieme: nella prima partita il primo perde, a favore degli altri
due tanto denaro quanto possiedono. Nella seconda partita, il secondo perde la
somma delle quantità che possiedono il primo e il terzo giocatore (il primo e il terzo
raddoppiano la somma che posseggono). Da ultimo, nella terza partita, il primo e il
secondo guadagnano ciascuno dal terzo gentiluomo tanto denaro quanto ne
avevano prima. A questo punto smettono e trovano che ciascuno ha la stessa
somma, cioè 24 luigi. Si domanda con quanto denaro ciascuno si sedette a giocare”.
Soldi
Filomeno
Patrizia
Serafina
- iniziali
x
y
z
- dopo 1°
giocata
x-y-z
2y
2z
- dopo 2°
giocata
2(x-y-z)
- dopo 3°
giocata
4(x-y-z)
2y-(x-y-z)-2z =
= -x+3y-z
4z
2(-x+3y-z) 4z-2(x-y-z)-(-x+3y-z) =
= -x-y+7z
Poichè la somma finale è di 24 luigi per ognuno dei giocatori, bisogna risolvere il
seguente sistema :
4( x  y  z )  24

2( x  3 y  z )  24
 x  y  7 z  24

 x  yz  6

 x  3 y  z  12
 x  y  7 z  24

le cui soluzioni sono:
x = 39;
y = 21;
z = 12.
Anno 2005/2006 – Corso di ordinamento e PNI
1.28
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28
Quesito 1 - Si narra che l’inventore del gioco degli scacchi chiedesse di essere
compensato con chicchi di grano: un chicco sulla prima casella, due sulla seconda,
quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiando il numero dei chicchi fino alla
64-esima casella. Assumendo che 1000 chicchi pesino circa 38 grammi, si calcoli il
peso in tonnellate della quantità di grano pretesa dall’inventore.
Soluzione
Indicato con N il numero dei chicchi di grano, si ha:
63
N  1  2  2  2  ..... 2   2n
1
2
3
63
n 0
che è una serie geometrica di ragione 2, la cui somma è:
q h1  1


n 0 q  1
h
264  1
0 2  1  264  1 ,
63
valore che rappresenta il numero di chicchi di grano. Poiché ogni chicco pesa 0.038 g.,
il peso della quantità di grano pretesa è:
P  (2 64  1)  0.038g  (264  1)  0.038  106 t  70  1010 t
Quesito 5 - Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo (a+b)n è uguale
a 2n per ogni n  N.
Soluzione
Basta ricordare la formula del binomio di Newton:
a  b
n
n
    a k b nk
k 0  k 
n
In cui, ponendo a = b = 1, si ha:
1  1
n
n
    1k  1nk  2 n , n  N
k 0  k 
n
Quesito 7 - Bruno de Finetti (1906-1985), tra i più illustri matematici italiani del
secolo scorso, del quale ricorre quest’anno il centenario della nascita, alla
domanda: “che cos’è la probabilità?” era solito rispondere: “la probabilità non
1.29
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29
esiste!”. Quale significato puoi attribuire a tale risposta? E’ possibile collegarla a
una delle diverse definizioni di probabilità che sono state storicamente proposte?
Soluzione
La probabilità soggettiva p di un evento E è la misura del grado di fiducia espresso
dal numero reale p, tale che una scommessa di quota p su E sia coerente, cioè tenga
conto delle condizioni reali.
La probabilità soggettiva è utilizzata nel caso in cui non abbia senso considerare ciò
che è avvenuto per una successione di eventi analoghi o si deve assegnare una
probabilità anche agli eventi in cui i casi possibili sono infiniti.
Dato un numero reale p (0 < p < 1) ed una somma di danaro Q, diciamo che si effettua
una scommessa di quota p su un evento E se, versando la somma pQ si riceve
l’importo Q solo se si verifica l’evento E.
Il guadagno dello scommettitore, nel caso di vincita è:
Q – pQ = Q(1 – p)
Da cui si evince che se fosse p > 1, la scommessa sarebbe sempre in perdita.
Quesito 8 – Un tiratore spara ripetutamente a un bersaglio; la probabilità di
colpirlo è di 0.3 per ciascun tiro. Quanti tiri deve fare per avere probabilità
≥
0.99 di colpirlo almeno una volta?
Soluzione
La probabilità che il tiratore colpisca il bersaglio è p = 0.3, mentre la probabilità che
non lo colpisca è pc = 0.7. Pertanto, la probabilità che su n tiri non colpisca mai il
bersaglio, ma lo colpisca all’n+1-esimo tiro è:
pn+1 = 1-0.7n.
Tale valore deve essere maggiore o uguale a 0.99, per cui si ha:
pn+1 = 1-0.7n ≥ 0.99  0.7n ≤ 0.01
cioè:
ln(0.7)n ≥ ln 0.01  n·ln(0.7) ≥ ln (0.01)
da cui:
n≥ n
ln (0.01)
 12.911
ln (0.7)
1.30
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30
cioè, il numero di tiri richiesti è: n = 13.
Anno 2004/2005 .
Quesito 9 – Qual è la probabilità di ottenere 10 lanciando due dadi? Se i lanci
vengono ripetuti qual è la probabilità di avere due 10 in sei lanci? E qual è la
probabilità di avere due 10 in almeno sei lanci?
Soluzione
Lo spazio campione relativo al lancio di due dadi è costituito dai seguenti punti:
U ≡ {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); (2,2);
(2,3); (2,4); (2,5); (2,6); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4);
(3,5); (3,6); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6);
(5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5;5); (5,6); (6,1); (6,2);
(6,3); (6,4); (6,5), (6,6)}
cioè, da 36 elementi, di cui i tre punti: (4,6); (5,5); (6,4) sono i casi favorevoli, cioè
l’evento che indichiamo con A, che la somma dia 10.; pertanto, essendo gli elementi
equiprobabili (ogni coppia ha probabilità uguale ad
1
36 ), la probabilità affinché si
verifichi il nostro evento A, può essere calcolata con il rapporto tra il numero dei casi
favorevoli ed il numero dei casi possibili:
p(A) =
3
1
 .
36 12
(Cancellare) Nel secondo caso si deve considerare solamente un suo sottoinsieme,
precisamente quello i cui elementi sono coppie di numeri di cui almeno uno sia 6:
U 6 ≡ {(1,6); (2,6); (3,6); (4,6); (5,6); (6,6); (6,1); (6,2);
(6,3); (6,4); (6,5)}.
Nel primo caso, il sottoinsieme U 3 dei punti di U costituiti da coppie che danno per
somma 10 è:
U 3 ≡ {(4,6); (6,4); (5,5)}
1.31
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31
e, quindi, essendo gli eventi equiprobabili, ci basta applicare la definizione classica; la
3
1
probabilità è
=
.
36 12
Nel secondo caso, l’insieme U 6 è costituito da 11 elementi, per cui il sottoinsieme
U 2 dei punti di U 6 costituiti da coppie che danno per somma 10 è:
U 2 ≡ {(4,6); (6,4)}
per cui risulta che la probabilità è
2
.
11
Anno 2002/2003 .
Quesito n.2: Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica
di cui alcune difettose. A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne
contiene 500 con il 20% difettose e C ne contiene 1000 con il 10%
difettose.
Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada. Qual è la probabilità che
essa sia difettosa?
Il quesito è abbastanza semplice e la sua risoluzione è pressoché immediata.
Considerati i tre eventi:
EA=<< è estratta una lampada difettosa dalla scatola A>>,
EB=<< è estratta una lampada difettosa dalla scatola B>>,
EC=<< è estratta una lampada difettosa dalla scatola C>>,
l’evento E richiesto è l’unione logica dei tre eventi suddetti che sono incompatibili.
Per il teorema della probabilità totale la probabilità dell’evento è
P(E)=P(EA)+ P(EB)+ P(EC))
1 5
1
P( E A )  

3 100 60
1 20
1
P( EB )  

3 100 15
1 10
1
P ( EC )  

3 100 30
P( E ) 
1
1
1
7
 

60 15 30 60
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Un meteorite cade sulla Terra; qual è la probabilità che il punto d’incontro si trovi fra
l’equatore e il tropico del Cancro (latitudine λ = 23° 27’ nord)?
Si determini la probabilità che, lanciando 8 volte una moneta non truccata, si ottenga 4
volte testa.
Bibliografia.
[1] F. Casolaro - Appunti di "Statistica e Calcolo delle Probabilità" tenuto al corso di
Scienze Ambientali dell'Università del Sannio negll'anno accademico 2006/2007.
[2] F. Casolaro-L. Paladino: "Didactics of Statistics in Sociology". First International
Conference on Recent Trends in Social Sciences: Qualitative Theories and
Quantitative Models (RTSS) - Iaşi (Romania), 23-25 September, 2012. Pagg. 228-241.
[2] A. Ventre - Decisioni utili - Editori Riuniti.
[3] Aldo G.S. Ventre - Viviana Ventre - “La decisione: comportamenti e scelte
razionali dell’individuo”. Liguori Editore.
[4] M. R. Spiegel - Statistica, coll. Schaum, ETAS libri
[5] M. R. Spiegel - Probabilità e Statistica, coll. Schaum, ETAS libri
[6] L. M. Ricciardi - S. Rinaldi , Esercizi di calcolo delle probabilità, Liguori Editore.
[7] A. Di Crescenzo - L. M. Ricciardi, Elementi di statistica. Liguori Editore.
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