Soluzioni - Osservatorio di Arcetri

COMPITO 1 (28/09/09)
Soluzioni
★ Solo per esame da 9CFU. Un protone è posto nel vuoto tra le armature di un
condensatore a facce piane e parallele, di capacità C=10-12 F con carica Q=2×10-12 C.
Supponendo che il protone parta con velocità nulla dalla piastra positiva, con quale
velocità arriva alla piastra negativa? Se impiega un tempo t = 2×10-6 s, qualʼè la
distanza tra le due piastre? Qualʼè la superficie delle piastre di un condensatore che
abbia stessa capacità, stessa distanza tra le piastre ma un materiale dielettrico con
εr=6.5?
La differenza di potenziale tra le armature è:
Applicando la conservazione dellʼenergia:
ΔV = Q/C = 2 V.
1/2 mp Vfin2 = e ΔV → Vfin = 1.96×104 m/s
Il moto tra le armature è uniformemente accelerato con velocità iniziale nulla per cui
d = 1/2 a t2
a è lʼaccelerazione che vale a = F/m = e E/m = e ΔV /( md). Si sostituisce nella relazione
precedente e si ricava una semplice equazione in d. Più semplicemente si può ricordare
che per un moto unif. accelerato con velocità iniziale nulla vale
Vfin = a t
da cui d = 1/2 Vfin t = 2 cm.
Infine si ricordi che C = εr ε0 A/d dove A è lʼarea delle piastre, da cui si ottiene
A = C d / (εr ε0) = 3.5 cm2
★ Solo per esame da 6CFU. La massa massima che un pallone aerostatico di raggio
R=3.9 m riempito di He riesce a sollevare è m=250 kg. Sapendo che la densità dellʼaria
è da=1.3 kg/m3 e trascurando il peso dellʼinvolucro del pallone, si calcoli il numero di moli
di He contenute allʼinterno del pallone.
Il peso del pallone (ovvero dellʼelio contenuto) e della massa appesa deve essere
equilibrato dal peso dellʼaria spostata ovvero, semplificando per g,
mHe + m = maria
da cui mHe = 4/3 π R3 daria - m = 73 kg.
Il peso di una mole di He (peso atomico 4) è 4 g per cui n = 73 kg / 4 g = 18250.
★ In un contenitore sono contenute 6 moli di N2. Il gas compie una trasformazione isocora
venendo riscaldato per un tempo t da una resistenza R=25 Ω in cui circola una corrente
i=1.5 A. Calcolare:
a) per quanto tempo la corrente deve passare attraverso la resistenza affinchè il gas,
alla temperatura di T = 50 °C raddoppi la sua pressione;
b) la variazione di entropia del gas;
c) la velocità media delle particelle di gas allʼinizio ed alla fine della trasformazione.
Il calore ceduto dalla resistenza per effetto Joule è Q = i2 R t
Applicando il primo principio della Termodinamica e ricordando che per un gas perfetto
ΔEint = n cV ΔT (con cV = 5/2 Rgas per un gas biatomico Rgas è la costante dei gas per
distinguerla dalla resistenza R) si ottiene
ΔEint = Q (L = 0 in trasf. isocora) ovvero t = n cV ΔT / ( i2 R ).
Se la trasformazione è isocora dalla legge dei gas perfetti P/T = cost. ovvero Tfin = 2 T,
da cui ΔT = 2T - T = T ovvero
t = n cV ΔT / ( i2 R ) = n 5/2 Rgas T / ( i2 R ) = 716 s
durante la trasformazione dal I principio della TD dQ = n cV dT ovvero dS = n cV dT/T da
cui S = n cV ln (Tfin/T) = n 5/2 Rgas ln(2) = 86.4 J/K.
Infine dal modello cinetico dei gas perfetti
1/2 m V2 = 5/2 kB T
m, la massa delle particelle è anche data da m = Mmol/NA dove Mmol è la massa di una
mole e NA è il numero di Avogadro per cui
V2 = 5 kB T NA / Mmol = 5 R T / Mmol con Mmol = 2 * 14 g mol-1 = 28 g mol-1
ovvero V = 536 m/s alla temperatura iniziale e 758 m/s a quella finale.
★ Un calorimetro ideale contiene una massa dʼacqua ma=2 kg alla temperatura Ta=15 °C.
Si inserisce un blocco di ghiaccio di massa mg=1 kg alla temperatura di Tg=-10 °C.
Determinare:
a) stato finale (solido, liquido o miscela dei due) del sistema;
b) la temperatura finale del sistema;
c) la massa di ghiaccio che si scioglie.
La quantità di calore necessaria a portare il ghiaccio a T=0 °C è
Q1 = mg cg (-Tg) = 5 kcal
La quantità di calore necessaria per fondere tutto il ghiaccio è
Q2 = mg qfus = 80 kcal
La quantità di calore che può cedere lʼacqua del calorimetro per arrivare a T=0 °C è
Q3 = ma ca Ta = 30 kcal
La quantità di calore che dovrebbe cedere lʼacqua per diventare ghiaccio è
Q4 = ma qfus = 160 kcal
dal confronto tra i vari calori si può ricavare che lʼacqua nel calorimetro non è in grado di
fondere tutto il ghiaccio (Q3 < Q1+Q2) e del resto il pezzo di ghiaccio non è in grado di far
solidificare tutta lʼacqua del calorimetro (Q1+Q2 < Q3+Q4). Per cui lo stato finale del
sistema deve essere una miscela di acqua e ghiaccio. Detta mx la massa di ghiaccio che
si scioglie
Q1 + mx qfus = Q3
ovvero mx = (Q3-Q1)/qfus = 0.31 kg