Programma (definitivo) del corso di Istituzioni di Algebra Superiore

Programma (definitivo) del corso di
Istituzioni di Algebra Superiore - (Cod.929SM) - a.a. 2010-11
Laurea Magistrale in Matematica (2 anni)[SM34]; - Università di Trieste
docente: prof. Walter Spangher
(1) Linguaggio categoriale
• (1.1) - Categorie - Cenni sulle assiomatiche della ”Teoria degli insiemi”; classi ed
insiemi; universo. Definizione di categoria; Esempi classici, categorie di struttura; Sottocategoria piena; Categoria duale, esempi; Categoria prodotto.
Funtori covarianti e contravarianti; funtore di dimenticanza; i funtori hX , hX ; Bifuntori
e riduzione a funtori monovariabile.
• (1.2) - Proprietà dei morfismi - Monomorfismi, epimorfismi, isomorfismi; esempi in
categorie di struttura: univocità degli isomorfismi, ma non dei morfismi; trasporto di
struttura, esempi.
• (1.3) - Morfismi funtoriali - Definizioni; isomorfismi funtoriali; composizione di
funtori e di morfismi funtoriali; Isomorfismi di categorie; scheletro; esempi classici in
categorie di struttura; equivalenza di categorie; funtori fedeli, pieni e pienamente fedeli;
funtori essenzialmente suriettivi; caratterizzazione delle equivalenze (senza dim.). La
”quasi categoria” Hom(C1 , C2 ) e la nozione di ”universo”; i morfismi funtoriali hw , hw per
w morfismo.
• (1.4) - Primi problemi di universalità - Somme dirette e prodotti diretti; Problemi
di applicazioni universali per categorie di struttura; primi esempi.
• Riferimenti: [La74, Ch.I, § I.1 − .. − § I.4], [Bu-De, Ch.1], [BTE4, §3].
(2) Premesse: Categoria degli anelli commutativi con unità.(An).
• (2.1) - Strutture algebriche: richiami - Strutture algebriche: indotte, quozienti,
prodotto; teoremi di omomorfismo; morfismi indotti per passaggio al quoziente.
Relazioni di preordine e ordine; ordine opposto; insiemi filtranti (superiormente) e cofinalità; insiemi bene ordinati e assioma di Zermelo; esempi classici. Insiemi/Famiglie
induttive e lemma di Zorn.
Proprietà a.c.c. e del massimale; insiemi noetheriani
(risp.artiniani).
• (2.2) - Anelli commutativi con unità - Anello nullo, Z; scelta dei morfismi; caratteristica di un anello; anello di polinomi A[Xi ]i∈I , sua universalità e proprietà dei suoi
divisori dello zero (richiami su monoidi privi di torsione e ordinabili, termordering ed
ordini lexicografici); Richiami su PID ed UFD; Prodotti diretti di anelli; problema di
esistenza di somme dirette.
• (2.3) - Ideali primi - Ideali primi e massimali; Sistemi moltiplicativamente chiusi
(smc) e teorema di Krull; smc saturati (caratterizzazione ed esempi classici); elementi
primi e loro prodotti finiti; caratterizzazioni degli UFD; alcuni casi in cui la massimalità
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in una famiglia di ideali implica ideale primo: teor. di Herstein (annullatori di elementi
non nulli di un A-modulo), teor. di Cohen (ideali non f.g.), teor. di Isaacs (ideali non
principali); ideali primi minimali, esistenza;
Radicale di Jacobson (storia e caratterizzazioni); nilradicale, ideali radicali e proprietà;
anelli ridotti e passaggio al ridotto come funtore; Teorema di evitamento di ideali primi
(McCoy); Anelli locali e semilocali, esempi; omomorfismi locali e la sottocategoria Loc.
Ideali comassimali; teorema cinese del resto (per anelli e moduli) e conseguenze.
• (2.4) - Operazioni tra ideali - Intersezioni, somme di ideali; prodotti di ideali; radicali.
Ideale quoziente I : J e J-saturazione di I (i.e.: I : J ∞ ); proprietà varie e tecniche di
computazione. Tabelle di proprietà associative, distributive, ecc.;
Ideali estesi e contratti (relativi ad un omomorfismo f : A → B) e proprietà varie.
• Riferimenti: [La74, Ch.II, § I-...III], [BTE3, §2], [BAC(1-2), Ch.II, §1], [AM81, Ch.I],
[Ka74, Ch.1.1], [Mat86, §1.1], [No76, §5.3], [Re76, pp.62-63].
(3) Algebra lineare, A-moduli: premesse.(M odA ).
• (3.1) - La categoria M odA - Moduli sinistri e destri; anello opposto; applicazioni
A-lineari; HomA (M, N ) e EndA (M ); sequenze esatte, sequenze esatte corte; prodotti
diretti, somme dirette; somma ed intersezione di sottomoduli e sequenze esatte (alla
Grassmann); biprodotti e loro caratterizzazione con i morfismi; nucleo, conucleo, immagine e coimmagine come morfismi e funtori, loro universalità; somme dirette interne;
sequenze esatte corte split.
• (3.2) - Caccia sul diagramma - Primi esempi; Lemma dei cinque e corollari; Diagramma del serpente e sua funtorialità.
• (3.3) - Sistema di generatori - Modulo libero su un insieme/universalità; sistemi
di generatori, sistemi liberi, basi; anelli IBN e anelli commutativi; esempio di anello
non IBN; caratterizzazione dei corpi; Moduli finitamente generati e di presentazione
finita; Annullatore, moduli fedeli e passaggio al fedele; sistemi di generatori minimali;
Lemma di Nakayama (I parte) e conseguenze nel caso locale; ”Determinantal Trick” e
sue applicazioni per moduli f.g.: Lemma di Nakayama (II parte), endomorfismi suriettivi.
• Riferimenti: [La74, Ch.III, § I, IV], [BA2, Ch.II §1], [Ro79, Ch.3,pp.57-62], [Mat86,
Ch.1.2].
(4) Limiti proiettivi ed induttivi.
• (4.1) - Funtori aggiunti - Funtori aggiunti a sx/dx; prime proprietà; esempi, oggetti
liberi.
• (4.2) - Sistemi proiettivi - Sistema proiettivo in una categoria e suo limite proiettivo (inverso); proprietà varie del limite proiettivo; prodotti diretti; limiti proiettivi
in Ens e M odA ; Intersezione come limite proiettivo; categoria dei sistemi proiettivi;
morfismo prodotto e morfismo lim(ui ); l’isomorfismo funtoriale: HomC (N, lim Mi ) '
←−
←−
lim HomC (N, Mi ); Casi particolari: prodotti fibrati; cofinalità; Limite proiettivo come
←−
funtore aggiunto a dx del funtore ”costante”.
• (4.3) - Sistemi induttivi - Sistema induttivo in una categoria e suo limite induttivo (diretto); proprietà varie, somme (coprodotti) diretti; funtorializzazione e morfismo lim(ui );
−→
l’isomorfismo funtoriale: HomC (lim Mi , N ) ' lim HomC (N, Mi ); Casi particolari: somme
−→
←−
amalgamate; cofinalità.- Limiti induttivi in Ens, M odA e categorie di struttura nel caso
filtrante e non; il filtro degli intorni di un punto x ∈ X (X sp.topologico) e germi di
funzioni in x: caso generale e casi particolari già noti; Limite induttivo come funtore
aggiunto a sx del funtore ”costante”. Funtori aggiunti e comportamento con lim e lim.
←− −→
• Riferimenti: [La74, Ch.I.6,Ch.II], [Ro79, Ch.I pp. 36-56], [BTE3, §7], [BA2, §6].
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(5) Categorie additive ed abeliane
• (5.1) - Categorie additive - Categorie additive, biprodotti; funtori additivi (fra categorie additive); nuclei e conuclei, immagine e coimmagine, monomorfismi ed epimorfismi
in categorie additive.
• (5.2) - Categorie abeliane - Categorie preabeliane e abeliane, esempi; Funtori esatti,
esatti a sx, esatti a dx; sequenze esatte corte e funtori esatti; esattezza a sx dei funtori
hX , hX ; esattezza a dx (risp. a sx) di un funtore aggiunto a sx (risp. a dx), ed il caso dei
lim e lim; esattezza del limite induttivo filtrante in M odA ; caratterizzazioni varie delle
←− −→
sequenze esatte split; Enunciato del thm. di Mitchell e conseguenze.
• Riferimenti: [La74, Ch.III § II], [Bu-De, Ch.5, §1 − 6].
(6) A-moduli (II parte)
• (6.1) - Oggetti proiettivi e iniettivi - Oggetti proiettivi (risp. iniettivi) e loro caratterizzazioni; somma diretta proiettiva (risp. prodotto diretto iniettivo); addendi diretti
di moduli liberi; M odA con sufficienti oggetti proiettivi (risp. iniettivi -senza dim); problemi inerenti ai moduli proiettivi, tipo congettura di Serre, anelli PID, ereditari. Moduli
proiettivi f.g. e ”big” proiettivi (thm. di Kaplansky senza dim.) su anelli locali.
• (6.2) - Moduli di presentazione finita - Lemma di Schanuel (risp. co-Schanuel) e
sua generalizzazione; risoluzioni finite libere FFR e caratteristica di Eulero: proprietà.
Moduli di presentazione finita (p.f.) e carattezzazione con le sizigie; tecnica dimostrativa
standard per moduli p.f.• (6.3) - Noetherianità, Artinianità - Moduli/anelli noetheriani (risp. artiniani):
definizioni e prime proprietà; sequenze esatte corte; richiami sulle catene di JordanHölder, lunghezza e relativa proprietà additiva; Modulo artin+noether = di lunghezza
finita; esempi; Teorema ”della base” di Hilbert; thm. di Akizuki(senza dim.): anello
artiniano=noetheriano di dimensione zero; endomorfismi suriettivi (risp. iniettivi) di
moduli noetheriani (risp.artiniani); endomorfismo suriettivo di anello noetheriano; anelli
noetheriani sx /dx come anelli IBN; anelli con moduli fedeli noetheriani (risp. artiniani);
cenni sui thm. alla Eakin-Nagata.
• Riferimenti: [Mat86, Ch.1.2;1.3; p.159], [BA2, §2.2], [Ro79, p.92-94], [Bu-De, Ch.6.1],
[MaL71, Ch.VIII.4].
(7) Prodotto tensoriale
• (7.1) - Prodotto tensoriale - I funtori: .. × N e hN come funtori aggiunti in Ens;
applicazioni A-bilineari; funtorializzazione di BilA (M, N ; P ) e suo isomorfismo funtoriale con HomA (M, HomA (N, P )); prodotto tensoriale M ⊗A N di due A-moduli (caso A
commutativo) come soluzione di un problema d’applicazione universale; cenni sulle applicazioni A-bilanciate e prodotto tensoriale (caso non commutativo); funtorializzazione del
prodotto tensoriale; .. ⊗A N come funtore aggiunto a sx di HomA (N, ...); primi isomorfismi canonici; esattezza a destra; prodotto tensoriale di moduli quozienti; commutazione
con i limiti induttivi; prodotto tensoriale di moduli proiettivi; esempi.
• (7.2) - Bimoduli ed associatività del prodotto tensoriale - Bimoduli e multimoduli; struttura di (A, B)-bimodulo di M ⊗A N per MA e A NB ; L’isomorfismo di
(A, B)-bimoduli: (M ⊗A N ) ⊗B P ' M ⊗A (N ⊗B P ) per MA ,A NB ,B P . ; applicazioni
A-trilineari (risp- multilineari) ed associatività del prodotto tensoriale; l’isomorfismo di
aggiunzione generale: HomB (M ⊗A N, P ) ' HomA (M, HomB (N, P )), per MA , A NB , PB .
• (7.3) - Prodotto tensoriale di algebre - Nozione generale di A-algebra; algebre
associative con unità e omomorfismo strutturale; categoria delle A-algebre associative e
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loro prodotto tensoriale; somma diretta di A-algebre commutative e prodotto tensoriale;
esempi e casi particolari.
• (7.4) - Estensione degli scalari - Per un omomorfismo ϕ : A → B di anelli commutativi : funtore restrizione degli scalari ϕ∗ : M odB → M odA e relative proprietà; problema
di applicazione universale e funtore estensione degli scalari ϕ∗ : M odA → M odB (con
ϕ∗ (M ) = M ⊗A B); prime proprietà e l’isomorfismo d’aggiunzione HomB (ϕ∗ (M ), N ) '
HomA (M, ϕ∗ (N )) (anche per A-algebre);
formule varie: ϕ∗ (M ) ⊗B ϕ∗ (M 0 ) ' ϕ∗ (M ⊗A M 0 ), e composizione di estensione degli
scalari: (ψ ◦ ϕ)∗ = ψ ∗ ◦ ϕ∗ (con attenzione ai paradossi).
• (7.5) - Alcune algebre graduate - Algebra tensoriale; algebra simmetrica; algebra esterna;
prime proprietà; algebra tensoriale/simmetrica/esterna di un modulo libero.
• Riferimenti: [La74, Ch:IV], [BA2, §3], [Ro79, Ch.I.2].
(8) Piattezza e fedele piattezza
• (8.1) - Piattezza - Definizione e primi esempi; comportamento con ker e Im, con
somme dirette, con limiti induttivi filtranti; legame con i moduli proiettivi; modulo p.f.
piatto come proiettivo (senza dim.); piattezza e ”torsion-free”; piattezza ed intersezione;
prodotto tensoriale di piatti; estensione degli scalari di un piatto; Algebre A-piatte e loro
comportamento per estensione degli scalari di HomA (M, N ).
• (8.2) - Moduli fedelmente piatti (f.p.)- Definizione e primi esempi; caratterizzazioni
varie della f.p.; confronto fra [piattezza+fedeltà] e [fedele piattezza]; estensione degli
scalari di un modulo f.p.; prodotto tensoriale con un modulo f.p.; per M f.p., ϕ : N 0 → N
mono (risp. epi, iso) ⇐⇒ 1M ⊗ ϕ mono (risp. epi, iso).
• (8.3) - Algebre fedelmente piatte - Caratterizzazioni; situazioni per omomorfismi
locali: storia (Serre-GAGA);
per ϕ : A → B f.p.: (i) MA f.g.(risp. p.f.) ⇐⇒ ϕ∗ (M ) f.g.(risp. p.f.),
(ii) per M p.f., f : N → M split ⇐⇒ 1B ⊗A f split (caso dei moduli proiettivi f.g.)
• Riferimenti: [La74, Ch.V, § III], [BAC(1-2), Ch.I, § 2, 3], [Lm78, Ch.1,Section 2],[Ro79,
Lemma 3.83].
(9) Localizzazioni
• (9.1) - Anelli delle frazioni - Il problema iniziale d’applicazione universale: soluzione
tramite quozienti di algebre polinomiali e prime proprietà; passaggio da parti di A a
smc e a smc saturati; soluzione tramite ”simmetrizzazione”; prime proprietà dell’Aalgebra S −1 A; anello totale delle frazioni; localizzazioni rispetto a smc S ⊆ T ; notazioni particolari Af , Ap ; Sistemi induttivi filtranti di smc Sα di un anello A, esempi;
(limα Sα )−1 A ' limα (Sα−1 A) ed in particolare Ap ' limf ∈p
A .
−→
−→
−→ / f
• (9.2) - Moduli delle frazioni - Problema di applicazione universale e soluzione via
”simmetrizzazioni”; isomorfismo fra i funtori S −1 e ...⊗A S −1 A di M odA in M odS −1 A ; Apiattezza di S −1 A; sottomoduli di S −1 M e sottomoduli S-saturati di M ; ideali di S −1 A;
ideali p-primari: proprietà varie; cenni sulla decomposizione primaria (di ideali): anelli
laskeriani e noetheriani; localizzazioni di moduli di omomorfismi: S −1 HomA (M, N ); considerazioni varie sull’anello locale Ap ; gli insiemi spettro primo, massimale e di Jacobson
L
[Spec(A), m-Spec(A), J-Spec(A)]; cenni sugli anelli di Jacobson-Hilbert; m∈m-Spec(A) Am
come A-modulo piatto e relative conseguenze.
• (9.3) - Topologia di Zariski di Spec(A) - Il funtore Spec : An → Top; gli aperti
speciali Xf di X=Spec(A) e la corrispondenza biunivoca con particolari smc diA; la
biiezione {ideali radicali diA} ↔ {chiusi di X}; quasi-compattezza di X; cenni su spazi
topologici noetheriani e noetherianità di X; Topologia (T0 ) (di Kolmogoroff) e sobrietà
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di X (cenni); omeomorfismo fra Xf e Spec(Af ); Caratterizzazione della connessione di X
(senza dim.) e verifiche per i casi locale e dominio.
• (9.4) - Lavori e giuochi sullo spettro - Proprietà ”puntuali”, ”locali” e ”globali”;
il problema della ricerca di ”equazioni” per proprietà aperte,chiuse, localmente chiuse,..;
Supporto di un modulo e sua chiusura nel caso f.g.; alcuni passaggi dal ”puntuale” al ”locale”; esistenza di omomorfismi ”globali” (e/o globali split) per omomorfismi ”puntuali”
Qn
e/o ”locali”; partizioni dell’unità {f1 , . . . , fn } ed A-algebra fedelmente piatta i=1 Afi
ed applicazioni; Ur = {p ∈ X|µ(p, M ) ≤ r} aperto per M f.g. (analogo per M p.f. e
VF = {p ∈ X|Mp libero}); rango di un modulo proiettivo e sue proprietà; moduli proiettivi
f.g. con rango su un anello semilocale.
• Riferimenti: [Mat86, Ch.2 § 4], [BAC(1-2), Ch.II, § 2, 3, 4, 5], [Lm78, Ch.1,Section 3],
[Ro79, pp. 97-107].
Bibliografia (parziale e di massima)
[AM81] M.F. Atiyah, I.G.Macdonald, Introduzione all’algebra commutativa-appendice di P.Maroscia, Feltrinelli, Milano, 1981 (ed.originale-parziale: Introduction to commutative algebra,Wesley, 1969).
[BTE3] N. Bourbaki, Théorie des Ensembles Ch.3, (Ensembles ordonnés, . . . ), Hermann, Paris, 1963.
[BTE4] N. Bourbaki, Théorie des Ensembles Ch.4, (Structures), Hermann, Paris, 1966.
[BA2] N. Bourbaki, Algèbre Ch.2, (Algèbre linéaire), Hermann, Paris,1962.
[BAC(1-2)] N. Bourbaki, Algèbre commutative, Ch. 1,2, Hermann, Paris, 1961.
[Bu-De] I. Bucur, A. Deleanu, Introduction to the theory of categories and functors, Wiley, London, 1968.
[CLO97] D. Cox, J. Little, D. O’Shea, Ideals, varieties, and algorithms, Springer-Verlag, Berlin, 1997.
[Ka74] I. Kaplansky, Commutative rings, (II ed.), Univ.Chicago Press, Chicago, 1974.
[Ku85] E. Kunz, Introduction to commutative algebra and algebraic geometry, Birkhäser, Boston, 1985.
[La74] J.P. Lafon, [FFAC]-Les formalismes fondamentaux de l’algèbre commutative, Hermann, Paris, 1974.
[Lm78] T.Y. Lam, Serre’s conjecture, LNM 635, Springer, Berlin, 1978.
[MaD68] I.G. MacDonald , Algebraic Geometry: Introduction to Schemes, Benjamin, New York, 1968.
[MaL71] S. Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, GTM 5, Springer, Berlin, 1971.
[Mat86] H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge Univ. Press, 1986.
see: http://rapiddigger.com/download-4104709-commutative-ring-theory-h-matsumura-djvu.html
[Mu06] D. Murfet, Matsumura:Commutative Algebra, http://therisingsea.org/notes/Matsumura.pdf , 05.10.2006.
[No76] D.G. Northcott, Finite free resolutions, Cambridge Univ. Press, 1976.
[Re76] B. Renschuch, Elementare und praktische idealtheorie, VEB, Berlin, 1976.
[Ro79] J.J. Rotman, An introduction to homological algebra, Academic Press, New York, 1979.