20 febbraio

5A
X è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale di parametri n e p (non noti), di cui
si conosce la media μX=60.
A) È possibile che la varianza valga Var(X)=20?
B) È possibile che la varianza valga Var(X)=70?
C) È possibile che sia n=20?
D) È possibile che sia n=80?
Se la risposta è no, giustificarlo, se la risposta è sì, determinare i parametri (n e) p.
So che μX= np e Var(X) = np(1-p).
0<(1-p)<1, e 0<p<1, quindi si ha sempre Var(X)<μX,<n, il che permette di dire che sono impossibili i
casi B) e C).
Nel caso A) 1-p = Var X/μX=1/3, cioè p = 2/3; ne segue n= μX/p = 60/(2/3)=90.
Nel caso D) p=μX/n = 60/80 = 3/4.
6A
Si estrae un numero a caso fra 1 e 100 (estremi compresi).
A) è più probabile che sia un multiplo di 3 o che fra le sue cifre compaia un “1”?
B) sapendo che il numero estratto è un multiplo di 3, qual è la probabilità che“1” sia una delle sue
cifre?
C) sapendo che “1” è una delle cifre del numero estratto, qual è la probabilità che sia un multiplo
di 3?
Indichiamo con A l’evento “ il numero estratto è multiplo di 3” e con B l’evento “1 è una delle cifre
del numero estratto”.
A)Fra 1 e 100 i multipli di 3 sono 33, i numeri che hanno 1 fra le loro cifre sono 1 + 10 + 8 + 1 = 20,
quindi P(A)=33/100 , p(B)= 20/100<p(A)
6 è il numero degli elementi di AB (12-15-18-21-51-81), quindi p(AB)= 6/100
B) p(B|A) = p(AB)/p(A) = 6/33 = 2/11
C) p(A|B)=p(AB)/p(B) = 6/20 = 3/10
5B
X è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale di parametri n e p (non noti), di cui
si conosce la media μX=50.
A) È possibile che la varianza valga Var(X)=30?
B) È possibile che la varianza valga Var(X)=80?
C) È possibile che sia n=30?
D) È possibile che sia n=100?
Se la risposta è no, giustificarlo, se la risposta è sì, determinare i parametri (n e) p.
Nel caso A) 1-p = Var X/μX=3/5, cioè p = 2/5; ne segue n= μX/p = 50/(2/5)=125.
Nel caso D) p=μX/n = 50/100 = 1/2.
6B
Si estrae un numero a caso fra 1 e 100 (estremi compresi).
A) è più probabile che sia un multiplo di 6 o che fra le sue cifre compaia uno “0”?
B) sapendo che il numero estratto è un multiplo di 6, qual è la probabilità che“0” sia una delle sue
cifre?
C) sapendo che “0” è una delle cifre del numero estratto, qual è la probabilità che sia un multiplo
di 6?
Indichiamo con A l’evento “ il numero estratto è multiplo di 6” e con B l’evento “0 è una delle cifre
del numero estratto”.
A)Fra 1 e 100 i multipli di 6 sono 16, i numeri che hanno 0 fra le loro cifre sono 10, quindi
P(A)=16/100 , p(B)= 10/100<p(A)
3 è il numero degli elementi di AB (30,60,90), quindi p(AB)= 3/100
B) p(B|A) = p(AB)/p(A) = 3/16
C) p(A|B)=p(AB)/p(B) = 3/10
5C
X è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale di parametri n e p (non noti), di cui
si conosce la media μX=40.
A) È possibile che la varianza valga Var(X)=20?
B) È possibile che la varianza valga Var(X)=60?
C) È possibile che sia n=20?
D) È possibile che sia n=50?
Se la risposta è no, giustificarlo, se la risposta è sì, determinare i parametri (n e) p.
Nel caso A) 1-p = Var X/μX=1/2, cioè p =1/2; ne segue n= μX/p = 40/(1/2)=80.
Nel caso D) p=μX/n = 40/50 = 4/5.
6C
Si estrae un numero a caso fra 1 e 100 (estremi compresi).
A) è più probabile che sia un multiplo di 4 o che fra le sue cifre compaia un “4”?
B) sapendo che il numero estratto è un multiplo di 4, qual è la probabilità che“4” sia una delle sue
cifre?
C) sapendo che “4” è una delle cifre del numero estratto, qual è la probabilità che sia un multiplo
di 4?
Indichiamo con A l’evento “ il numero estratto è multiplo di 4” e con B l’evento “4 è una delle cifre
del numero estratto”.
A)Fra 1 e 100 i multipli di 4 sono 25, i numeri che hanno 4 fra le loro cifre sono 1 + 10 + 8 = 19,
quindi P(A)=25/100 =1/4, p(B)= 19/100<p(A)
7 è il numero degli elementi di AB (4-24-40-44-48-64-84), quindi p(AB)= 7/100
B) p(B|A) = p(AB)/p(A) =7/25
C) p(A|B)=p(AB)/p(B) = 7/19