Matematica e... Capitolo Quattro Le equazioni

Matematica e...
Capitolo Quattro
Le equazioni
August 3, 2012
1
1.1
Le equazioni
La storia
Le equazioni moderne nascono nel ’600 con l’algebra di Vite e Cartesio. Prima
di allora, si trovavano in versi, nella foma
Quando el cubo con le cose appresso
se eguaglia qualche numero discreto
................................
che oggi scriviamo
x3 + ax = n
In Matematica si incontrano spesso uguaglianze tra espressioni algebriche. Nello
studio dellaritmetica e dei polinomi abbiamo visto eguaglianze del tipo
a(b + c) = ab + ac proprietá distributiva del prodotto rispetto ala somma
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 sviluppo del quadrato di un binomio
(x + y)(x − y) = x2 − y 2 prodotto della somma di un binomio per la propria
differenza
Queste eguaglianze esprimono proprietá generali dei numeri reali e sono vere
per qualsiasi valore attribuito alle variabili che vi occorrono. Altre uguaglianze,
invece, come
2a = 6
x2 = x
x+y =5
Sono vere se alle lettere si sostituiscono solo alcuni valori e false in generale. Per
esempio, la prima uguaglianza é vera p per a = 3 ed é falsa per a = 4. Infine,
vi sono uguaglianze che risultano sempre false qualunque sia il valore attribuito
alle variabili. Ad esempio
x=x+1
e
x2 + y 2 = −3
1
Sono sempre false. La prima perché non esiste alcun numero che sia uguale
a esso stesso piú uno. La seconda perché un quadrato é sempre positivo e a
maggior ragione la somma di due quadrati non puó essere negativa.
Definizione 1. Siano E1 ed E2 due espressioni algebriche. Si chiama
equazione algebrica una formula del tipo E1 = E2
Esempio. Sono equazioni algebriche le formule
x2 + y 2 = −3
e
x + y − 2 = 4.
Non sono equazioni algebriche le formule
p
x2 + 1 = 1
e
2x = 4
Per adesso le uniche equazioni che studieremo sono quelle algebriche e come
tali le chiameremo semplicemente equazioni. Le espressioni che si trovano a
sinistra e a destra si chiamano termine sinistro e termine destro , rispettivamente.
In unequazione come in unespressione algebrica- troviamo termini numerici e
termini letterali. Tra questi ultimi, distinguiamo le incognite e i parametri. Si
tratta di una distinzione estranea alla matematica e praticata nelle scienze applicate, in particolare nelle scienze applicate . Cerchiamo di chiarirla. Definizione
2 sia E1 = E2 un equazione e sia V linsieme dei suoi termini letterali. Chiamiamo incognite un sottoinsieme proprio X dei termini in V Chiamiamo
parametri gli elementi di V − X. Trattandosi di matematica applicata, la distinzione tra parametri e incognite si riduce a una regola pratica. Le incognite
sono le ultime lettere dellalfabeto greco, {x, y, ....z} e i parametri sono le prime
lettere {a, b, c...}
Esempio l’equazione
x2 + y 2 = a2
Le incognite sono x e y, il parametro a.
Esempio Un treno viaggia con velocitá iniziale v0 e comincia a frenare a 1
m/sec2 . Se impiega 200 metri per fermarsi, qual’é il suo tempo di frenata?
Dall’equazione oraria
v = v0 + at
ricaviamo
0 = v0 − t
che é un’equazione parametrica nell’incognita t e con parametro v0 .
Naturalmente, un’ equazione pu avere solo incognite e nessun parametro. Nel
seguito, studieremo le equazioni a una incognita .
Definizione 3 sia E1 = E2 unequazione nella incognita x.e sia a un numero
reale. Chiamiamo x = a la sostituzione dellincognita x con a. Sia x = a una
sostituzione. Se la applichiamo a tutte le occorrenze di x in una equazione,
otteniamo una asserzione che pu essere vera o falsa. Per esempio, sia lequazione
2
x − 1 = 0 e la sostituzione x = 1. Allora la sostituzione trasforma lequazione
nellasserzione
1=1
Che vera. Invece, la sostituzione x = 0 trasforma lequazione nella formula
−1 = 0
che falsa.
Definizione 4 Una soluzione di unequazione é una sostituzione che la trasforma
in una asserzione vera.. Risolvere unequazione vuol dire trovare una soluzione
dellequazione.
Esempio x = 1 e x = −1 sono soluzioni dell’equazione x2 − 1 = 0
Se x = a é soluzione dellequazione diciamo che il numero reale a verifica
lequazione.
Chiamiamo dominio di un’ equazione linsieme dei numeri reali che , sosstitutiti
alla incognita,, trasformano lequazione in una asserzione.
Esempio l’equazione
1
1
+
=0
x 1−x
ha come dominio l’insieme R − {0, 1}.
Definizione 5. Uneguaglianza un’ equazione verificata da qualsiasi numero reale nel suo dominio.
Per esempio, lequazione
1
1
= 2
2
(x − 1)
x − 2x + 1
ha come dominio R − {−1}ed é vera per qualsiasi numero in questo insieme.
1.2
Classificazione delle equazioni
Definizione 6. Unequazione é letterale se contiene dei parametri. In caso
contrario si dice numerica.
Unequazione si dice frazionaria se lincognita occorre al denominatore. In caso
contrario, si dice intera
3
Esempi
x+1
2x − 5
=
3
3
é unequazione numerica intera perché non vi sono altre lettere oltre lincognita
x e questa non compare mai al denominatore.
x+y+z =1
unequazione numerica intera in tre incognite x, y, z
x
= 3x − 1
3x − 2
é unequazione numerica frazionaria perché non vi sono lettere oltre lincognita e
questa compare al denominatore
x
2
− x2 =
1+m
1−m
unequazione letteraria intera. Infatti oltre alla incognita x che non compare mai
al denominatore- vi é anche il parametro m.
x+a+y
axy
=
a+m
m
é unequazione letterale intera nelle incognite x e y, mentre a ed m sono parametri
x−a
b
=
2x − 1
x−2
é unequazione letterale frazionaria: infatti oltre alla incognita x che compare al
denominatore- vi sono i parametri a e b.
4
x+y+k
1+x
=
kx
x−k
é un ’equazione letterale frazionaria in cui x e y sono le incognite e k il parametro
1.3
Le soluzioni di unequazione in una incognita
Risolvere una equazione in una incognita significa determinare linsieme delle
soluzioni. Tale insieme, che indicheremo con S, un insieme di numeri reali. Si
possono presentare i seguenti casi:
1. Linsieme delle soluzioni é finito. In questo caso lequazione sará detta
determinata
2. Linsieme delle soluzioni é vuoto. Questo vuol dire che qualunque numero
si sostituisca all ncognita, esso non verifica lequazione. In questo caso
lequazione non ha soluzioni ovvero é impossibile.
3. Linsieme delle soluzioni non é finito, ovvero con notazione impropria- infinito. In questo caso lequazione é indeterminata.
Esempio
sempio Consideriamo l’ equaziuone x2 − 4 = 0. Affermare che un numero é
soluzione di questa equazione vuol dire asserire che il suo quadrato 4. I numeri
il cui quadrato 4 sono 2 e -2.. Quindi le soluzioni dell’equazione sono +2 e -2
Lequazione data ha perdatnto due soluzioni ed é determinata
Consideriamo lequazione x = x + 5 E evidente che qualunque numero si sostituisca al posto di x , lequazione data diventa falsa. Perci lequazione non ha
soluzioni ed é quindi impossibile.
4) Consideriamo lequazione (x + 1)2 = x2 + 2x + 15) Vediamo immediatamente che lequazione deriva dalla formula che esprime lo sviluppo del quadrato
di un binomio. Poiché questa formula é una propriet generale dei numeri reali, lequazione diventa vera per qualsiasi valore si sostituisca alla x. Perció
lequazione indeterminata. Si nota che essa é anche unidentitá.
Consideriamo lequazione
1
1
=
x2 − 25
(x − 5)(x + 5)
E evidente che essa non é unidentit. Luguaglianza non é vera per qualsiasi valore
di x perché per x = −5 e x = 5, le espressioni a sinistra e a destra perdono
significato. Quindi lequazione é indeterminata ma non é unidentitá.
Consideriamo lequazione
√
x2 = x
√
√
Per x = 2 si ha 22 = 2 che é vera. ma per x = −2 si ha che 2 = −4 che é
falsa. Quindi lequazione non é unidentit, nonostante abbia un insieme infinito
di soluzioni, ovvero sia indeterminata.
1.4
Equazioni equivalenti
Le due equeazioni 2x = 6 e x = 3 sono intuitivamente ”equivalenti” perché
hanno lo stesso insieme di soluzioni: {3}.
5
Le qquazioni x2 = 4 e x = 2 non sono equivalenti perché non hanno le stesse
soluzioni. x = −2 verifica la prima equazione ma non la seconda.
Definizione Die equazioni sono equivalenti se hanno lo stesso insieme di
soluzioni.
E’ facile vedere che questa relazione é riflessiva, simmetrica e transitiva, come
tutte le relazioni di equivalenza.
Primo principio di Equivalenza Sommando o sottraendo a entrambi i
termini di unequazione la stessa espressione algebrica si ottiene unequazione
equivalente a quella data
In base a questo principio possiamo sommare uno stesso numero a entrambi
i termini dellequazione.
Secondo principio di equivalenza Moltiplicando o dividendo entrambi i
membri di unequazione per uno stesso numero diverso da zero., si ottiene unequazione equivalente allequazione data.
Come vedremo tra breve, applicheremo tali principi per risolvere unequazione
intera di primo grado in una incognita. In generale, per risolvere unequazione
di questo tipo, si cerca di trasformarla, applicando i principi ora enunciati in
unaltra ad essa equivalente, ma di forma piú sempklice, fino ad arrivare alla
forma x = a.
Esempio
1
x=1+ x
2
sottraiamo 21 x da entrambi i termini dellequazione, per il primo principio di
equivalenza
1
1
1
1
x=1+ x→x− x=1+ x− x
2
2
2
2
che diventa
1
x− x=1
2
ovvero
1
x=1
2
Adesso moltiplichiamo entrambi i membri per 2
1
1
x=1→2· x=1·2→x=2
2
2
Tutte le equazioni di ciascun passaggio sono equivalenti e quindi per la proprietá
transitiva dellequivalenza,
1
x=1+ x
2
é equivalente a
x=2
6
1.5
Una questione interessante. Esistono altre soluzioni?
Se cosi fosse ,procedendp per assurdo, per un certo a diverso da 2, sarebbe
1
a=1+ a
2
Ma , procedendo come prima, otterremmo che a = 2 e questa una contraddizione. Quindi la risposta no, la soluzione della nostra equazione é una
sola.
7