Un lavoro in West Coast Yachts, Parte 2

Finanza aziendale
Stephen Ross, David Hillier, Randolph Westerfield, Jeffrey Jaffe, Bradford Jordan,
© 2012, The McGraw-Hill Companies srl
Caso di studio del capitolo 10 Un lavoro in West Coast Yachts, Parte 2
1. Si dovrebbe allocare una somma minima all’azione dell’azienda. Il principio della
diversificazione suggerisce di tenere un portafoglio eterogeneo. Investendo pesantemente
nell’azione dell’azienda non si crea un portafoglio diversificato. Per giunta, anche il reddito
proviene dall’azienda. Se quest’ultima dovesse entrare in crisi, i dipendenti perderebbero il
posto o lavorerebbero a orario ridotto. In questo caso l’investimento andrebbe in fumo, ma si
ridurrebbe anche il reddito. Basta guardare a quello che hanno passato i dipendenti di Enron o di
WorldCom per capire a quali problemi si potrebbe andare incontro investendo nell’azione
dell’azienda per cui si lavora. Vi si potrebbe allocare al massimo un 5-10% del portafoglio.
2. Questo non è il portafoglio meno rischioso in assoluto. Aggiungendo delle azioni, un asset più a
rischio, il rischio complessivo del portafoglio diminuirà. Lo dimostreremo nei problemi
successivi.
3. Possiamo usare le equazioni per il rendimento atteso del portafoglio e per la deviazione standard
del portafoglio, vale a dire:
E(RP) = wEE(RE) + wDE(RD)
σP = (w 2E σ 2E + w 2D σ 2D + 2wEwDσEσDρD,E)1/2
Usando queste equazioni e dei pesi di portafoglio che vanno da zero a 100 a intervalli del 10%,
otteniamo i seguenti rendimenti attesi e le seguenti deviazioni standard:
Peso del fondo azionario
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Rendimento atteso Deviazione standard
del portafoglio
del portafoglio
9.67%
10.8300%
9.89%
10.1531%
10.11%
9.7319%
10.32%
9.6001%
10.54%
9.7693%
10.76%
10.2247%
10.98%
10.9305%
11.20%
11.8420%
11.41%
12.9158%
11.63%
14.1149%
11.85%
15.4100%
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Il grafico del set di opportunità dei portafogli fattibili apparirà molto simile a questo:
14.00%
12.00%
10.00%
8.00%
Portfolio
expected
return
6.00%
4.00%
2.00%
0.00%
0.0000%
2.0000%
4.0000%
6.0000%
8.0000%
10.0000%
12.0000%
14.0000%
16.0000%
18.0000%
Portfolio standard deviation
4. Adesso possiamo usare il Solver per massimizzare questa espressione modificando il peso nella
cella-input “peso dell’azione”. Il vincolo è l’eguaglianza tra la deviazione standard del
portafoglio e la deviazione standard del fondo obbligazionario. Con il Solver, i pesi del fondo
azionario ad alta capitalizzazione e del fondo obbligazionario in questo portafoglio sono
rispetivamente:
wE = 0.5459
wD = 0.4541
Il rendimento atteso e la deviazione standard di questo portafogli sono pertanto:
E (R) = 0.5459 + 0.4541 (0.0967)
R(R) = 0.1086 o 10.86%
σ = [0.54592 (0.1541)2 (0.1083)2 + 2 (0.5459) (0.4541) (0.1541) (0.1083) (0.27)]1/2
σ = 0.1083 o 10.83%
È esattamente la stessa deviazione standard del fondo obbligazionario, ma il rendimento atteso è
superiore di oltre un punto percentuale.
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5. Per trovare il peso di ognuno degli asset che compongono il portafoglio a varianza minima,
partiamo dall'equazione per la varianza del portafoglio. Se S rappresenta il fondo azionario ad
alta capitalizzazione e B rappresenta il fondo obbligazionario, la varianza di un portafoglio
composto da due asset è:
2
σ P = w S2 σ S2 + w 2B σ 2B + 2wSwBσSσBρS,B
Poiché la somma dei pesi deve dare uno, possiamo scrivere la varianza del portafoglio come:
σ 2P = w S2 σ S2 + (1 – wS)2σ
2
B
+ 2wS(1 – wS)σSσBρS,B
Per trovare il minimo per ogni funzione, troviamo la derivata e poniamo la derivata uguale a
zero. Trovando la derivata della funzione di varianza, ponendola uguale a zero e risolvendo per
il peso del fondo azionario, troviamo:
wS = (σ2B – ρS, B)/(σ2S + σ2B – 2 ρS, B)
Usando questa espressione, troviamo il peso del fondo azionario, che deve essere:
wS = (0.10832 - 0.27)/[0.15412 + 0.10832 – 2 (0.27)]
wS = 0.2729
Di conseguenza, il peso del fondo obbligazionario è:
wB = 1 - wS
wB = 1 – 0.2729
wB = 0.7271
Il rendimento atteso di questo portafoglio è:
E (R) = 0.2729 (0.1185) + 0.7271 (0.0967)
E (R) = 0.1026 o 10.26%
La varianza del portafoglio è:
σ 2P = w S2 σ S2 + w 2B σ 2B + 2wSwBσSσBρS,B
σ 2P = (.27292)(.15412) + (.72712)(.10832) + 2(.2729)(.7271)(.1541)(.1083)(.27)
σ 2P = .009758
E la deviazione standard è:
σ = 0.0097581/2
σ = 0.09878 o 9.88 %
In presenza di questi rendimenti e di queste varianze, il portafoglio a varianza minima è
importante perché nessun investitore terrebbe ma è un portafoglio con un peso superiore in
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obbligazioni. Se l'investitore accresce il peso delle obbligazioni sul portafoglio, il rischio
aumenta e rendimento atteso diminuisce. Il risultato è illustrato nel problema 4.
6. Possiamo trovare il portafoglio ottimale di Sharpe con l'utilizzo del Solver. Per usare il
Solver, inseriamo l’indice di Sharpe in una cella. L'indice di Sharpe è:
Indice di Sharpe = E (R) – Rf/σ
Dobbiamo tener presente inoltre che il peso del debito nel portafoglio è uno meno il peso
dell'equity. Sostituendo le equazioni per il rendimento atteso del portafoglio e per la deviazione
standard del portafoglio, otteniamo:
Indice di Sharpe =
w E E(R E ) + (1 − w E )E(R D ) − R f
(w 2E σ 2E
+ (1 − w E ) 2 σ 2D + 2w E (1 − w E )σ E σ D ρ E, D )1 / 2
Adesso possiamo usare il Solver per massimizzare questa espressione modificando il peso della
voce inserita nella cella "azioni". Per rispondere alla domanda occorre stimare il tasso
corrispondente al rischio zero, e gli studenti dovrebbero effettuare direttamente una ricerca. In
questo esempio assumeremo che il tasso corrispondente al rischio zero sia 3,8%. In questo
modo, il peso dell'equity nel portafoglio ottimale di Sharpe è 39.37%.
Questo problema si può anche risolvere direttamente. L'obiettivo è massimizzare l'indice di
Sharpe, perciò possiamo usare la relativa espressione, porre la derivata uguale a zero e risolvere
per il peso dell'equity (o del debito). In questo modo, l'espressione che dà il peso dell'equity nel
portafoglio ottimale di Sharpe è:
wE =
[E(R E ) − R f ]σ 2D − [E(R D ) − R f ]σ E σ D ρ E,D
[E(R E ) − R f ]σ 2D + [E(R D ) − R f ]σ 2E − [E(R) E − R f + E(R) D − R f ]σ E σ D ρ E,D
Con questa equazione, scopriamo che il peso dell'equity nel portafoglio ottimale di Sharpe è:
wE =
[.1185 − .038].10832 − [.0967 − .0380](.1541)(.1083)(.27)
[.1185 − .0380].1083 2 + [.0967 − .0380].15412 − [.1185 − .0380 + .0967 − .0380](.1541)(.1083)(.27)
WE = 0.3973
E il peso del debito è:
wD = 1 – 0.3973
wD = 0.6027
Il rendimento atteso e la deviazione standard per il portafoglio ottimale di Sharpe sono dunque:
E (R) = 0.3973 (0.1185) + 0.6027 (0.0967)
E (R) = 0.1054 o 10.54%
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σ = [0.39732 (0.1541)2 + 0.60272 (0.1083)2 + 2 (0.3973) (0.6027) (0.1541) (0.1083) (0.27)]1/2
σ = 0.1008 o 10.08%
L’indice di Sharpe del portafoglio ottimale di Sharpe è:
Indice di Sharpe = 0.1054 – 0.0380/0.1008
Indice di Shape = 0.6681
Il portafoglio ottimale di Sharpe è il miglior portafoglio a rischio per tutti gli investitori perché
genera un rapporto ricompensa-rischio più alto rispetto a qualunque altro portafoglio. Se si
traccia una linea tra il tasso corrispondente al rischio zero e il portafoglio ottimale di Sharpe, si
vede la miglior combinazione di portafogli a disposizione di ogni singolo investitore. Gli
investitori possono modificare il livello di rischio modificando la percentuale del proprio
investimento nell'asset totalmente privo di rischio e nel portafoglio ottimale di Sharpe. Questa
linea è la SML, o linea del mercato azionario.