Cariche e correnti conservate in teorie di gauge

Università degli studi di Torino
Facoltà di Scienze M.F.N.
Corso di Laurea in Fisica
Anno Accademico 2005/2006
TESI DI LAUREA TRIENNALE
Cariche e correnti conservate in
teorie di gauge
Candidato:
Jacopo Forneris
Relatori:
Dott. Lorenzo Fatibene
Prof. Guido Magnano
Traccia
Obiettivi
Studio delle proprietà geometriche della legge di Gauss nella
formulazione covariante dell’elettromagnetismo
Studio della legge di Gauss nel caso particolare dei campi
elettromagnetici generati da carica elettrica puntiforme e
monopolo magnetico
Traccia
Strumenti
Campi elettromagnetici ⇔ Forme differenziali
Teorema di Stokes: forme esatte su domini dotati di bordo
Sorgenti ⇔ Singolarità del campo elettromagnetico.
Forme non esatte globalmente, domini privi di bordo
Coomologia di de Rham: classificazione di forme chiuse ma
non esatte su domini dotati di bordo
Metodo per l’applicazione del Teorema di Stokes in presenza
di una singolarità, calcolandone il contributo in analogia al
calcolo di un “residuo” sul piano complesso
Traccia
1
Elettromagnetismo classico
Legge di Gauss
Equazioni di Maxwell
2
Elettromagnetismo covariante
Equazioni di Maxwell
3
Potenziale per il campo elettromagnetico
Esistenza di un potenziale
Lemma di Poincaré
4
Due soluzioni delle equazioni di Maxwell
Carica elettrica puntiforme
Monopolo magnetico
Legge di Gauss in elettromagnetismo covariante
Elettromagnetismo classico
Elettromagnetismo covariante
Potenziale per il campo elettromagnetico
Due soluzioni delle equazioni di Maxwell
Legge di Coulomb per carica puntiforme
Forza di interazione tra due cariche elettriche puntiformi, in
unità naturali:
→
−
qq 0 →
F = 2−
ur
r
L’interazione a distanza avviene grazie alla mediazione del
campo elettrico generato dalle singole cariche puntiformi
→
−
−
→
q→
F
E = 0 = 2−
ur
q
r
Campo centrale: conservativo su R3 − {0}
Principio di sovrapposizione: il contributo di ogni singola
carica è indipendente dalla presenza nel sistema fisico di
ulteriori sorgenti
Jacopo Forneris
Cariche e correnti conservate in teorie di gauge
Legge di Gauss
→
−
Flusso di E attraverso una superficie chiusa Σ contenente una
carica elettrica:
Z
Z
Z
→ −
−
→
−
dΣ
→
= q dΩ = 4πq
ΦΣ ( E ) =
E · u n dΣ = q
2
Σ
Σ r
Misura della carica elettrica q di una sorgente puntiforme
→
−
attraverso il flusso del campo E da essa generato
Flusso indipendente dalla forma e dalle dimensioni della
superficie
La legge di Gauss in forma differenziale costituisce una delle
equazioni di Maxwell:
→
−
∇· E =ρ
Equazioni di Maxwell
(
(
→
−
→
−
∇· B =0
∇· E =ρ
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
∇ × E + ∂t B = 0
∇ × B − ∂t E = j
Limiti della formulazione classica
1
2
Le equazioni di Maxwell non sono scritte sullo spaziotempo,
→ −
−
→
ma su R3 : E e B sono campi vettoriali, dipendenti dal
tempo, assegnati sullo spazio 3-dimensionale
→ −
−
→
E , B dipendono dal sistema di riferimento
Elettromagnetismo covariante
1
Formulazione dell’elettromagnetismo sullo spaziotempo di
Minkowski 4-dimensionale
2
Elettromagnetismo espresso tramite forme differenziali:
covarianza
Elettromagnetismo covariante
− →
→
−
E e B sono forme differenziali sulla parte spaziale S:
E = Ex dx + Ey dy + Ex dz
B = Bx dy ∧ dz + By dz ∧ dx + Bz dx ∧ dy
∈ Ω1 (S)
∈ Ω2 (S)
Si costruisce su M la 2-forma campo elettromagnetico:
F = B + E ∧ dt

Fµν
0
 Ex
= 
 Ey
Ez
−Ex
0
−Bz
By
−Ey
Bz
0
−Bx

−Ez
−By 

Bx 
0
Prima coppia di equazioni di Maxwell:
(
→
−
ds B = 0
⇔ ∇· B =0
dF = 0 ⇒
→
−
→
−
∂t B + ds E = 0 ⇔ ∇ × E + ∂t B = 0
Operatore ? di Hodge
Scambio dei campi elettrico e magnetico coerente con la
struttura delle equazioni di Maxwell:
? : E → ?E = −B
? : B → ?B = E
? : F → ?F = ?B + ?(E ∧ dt)
?F è il duale del campo elettromagnetico:

0
Bx
By
 −Bx
0
Ez
(?F )µν = 
 −By −Ez
0
−Bz Ey −Ex

Bz
−Ey 

Ex 
0
Seconda coppia di equazioni di Maxwell:
(
→
−
?s ds E = ρ
⇔ ∇· E =ρ
?d?F = J ⇒
→
−
→
−
−∂t E + ?s ds B = j ⇔ ∇ × B + ∂t E = j
Equazioni di Maxwell in forma covariante
Equazioni di Maxwell in forma covariante
dF = 0
?d?F = J
Commenti
dF = 0 impone la chiusura di F : è la condizione necessaria
affinché una 2-forma su M rappresenti un campo
elettromagnetico
L’equazione ?d ? F = J determina le equazioni del campo, in
base alla disposizione delle sorgenti
I campi E , B separati compaiono solo dopo aver scisso lo
spaziotempo: M = S × R
Esistenza di un potenziale
Esattezza di F
1
2
3
F è esatta quando esiste una 1-forma A ∈ Ω1 (M), detta
potenziale, tale che dA = F .
Se F è esatta, è certamente chiusa: dF = d2 A = 0
R
Condizione necessaria per l’esattezza di F su D: D F = 0
Lemma di Poincaré: esattezza locale di F
1
Se dF = 0 in x0 , esiste un intorno U(x0 ) in cui F = dA
2
Inoltre, F = dA su qualsiasi regione D omotopica a U
Esistenza di un potenziale
Topologia del dominio di F
M
D
U
La presenza di singolarità di F in D ostacola la sua
deformazione continua in U: ostruzioni all’esattezza globale
del campo elettromagnetico
Studio di F = dA ⇔ Studio della topologia del dominio di F
Elettromagnetismo classico
Elettromagnetismo covariante
Potenziale per il campo elettromagnetico
Due soluzioni delle equazioni di Maxwell
Carica elettrica puntiforme
Il campo elettrico coulombiano è definito su S = R3 come
−
→
q
q→
u r ⇒ Ee = 2 dr
E = 2−
r
r
Essendo Be = 0, il campo elettromagnetico associato Fe ,
singolare in {0}, è dato da
Fe = Be + Ee ∧ dt = Ee ∧ dt


0 −Er 0 0
 Er
0
0 0 

Fµν = 
 0
0
0 0 
0
0
0 0
Jacopo Forneris
Cariche e correnti conservate in teorie di gauge
Elettromagnetismo classico
Elettromagnetismo covariante
Potenziale per il campo elettromagnetico
Due soluzioni delle equazioni di Maxwell
Carica elettrica puntiforme
Dominio di Fe
Potenziale per Fe :
q
dt
r
Fe è definito ed esatto su M − {0}
Ae =
Nessuna sorgente in M − {0} ⇒ J = 0 sul dominio di Fe
Su M − {0} valgono le equazioni di Maxwell
dFe = d2 Ae = 0
d ? Fe = 0
Jacopo Forneris
Cariche e correnti conservate in teorie di gauge
Monopolo magnetico
Si può costruire tramite la dualità di Hodge, un campo
0 a partire da E :
puramente magnetico Bm
e
0 = ?E = m r 2 d(cosθ) ∧ dϕ = m d(cosθ) ∧ dϕ
Bm
e
r2
Em0 = ?Be = 0
Campo elettromagnetico associato:
Fm0 = ?Fe
0
Fµν
Fm0 = m d(cosθ) ∧ dϕ

0
0
0
0
0
0
 0
0
B
−B
ϕ
θ
= 
0
 0 −Bϕ 0
0
0
0 Bθ
0
0




Monopolo magnetico
Dominio di Fm0
Fm0 è definito su M − {0}.
Grazie alla dualità con Fe , per M − {0}:
dFe = 0
d(?Fm0 ) = 0
⇔
d ? Fe = 0 ⇔
dFm0 = 0
?Fe = Fm0 ; tuttavia ?Fe è chiusa per le equazioni del campo,
Fm0 è chiusa per costruzione
Potenziale per Fm0 , apparentemente singolare sull’asse z ≥ 0:
A0m = m (−1 − cosθ)dϕ
Ciò è dovuto al fatto che le superfici equipotenziali di Fm0 sono
sfere centrate in {0}: sull’asse z l’angolo ϕ non è definito
Studio della topologia del dominio di F
Integrazione di d ? Fe e dFm0 su M
Studio delle equazioni del campo per Fe su M:
d ? Fe = dFm0 = dF
dF è una 3-forma: D dominio di integrazione 3-dimensionale
F non è definita in {0}: su qualsiasi regione D contenente
l’origine
Z
dF 6= 0
D
F è esatta su qualsiasi regione D 0 non contenente l’origine
Z
dF = 0
D0
Studio di dF sul dominio di esattezza di F
Scelta del dominio di integrazione
Dominio 3-dimensionale: t fissato
D contenente l’origine: delimitato da S 2
D 0 non contenente l’origine: ∂D 0 = S 2 − s 2
z
S2
s2
−
→
un
x
y
0
−
→
un
Studio di dF sul dominio di esattezza di F
1
Applicando il Teorema di Stokes per l’integrazione su D 0 :
Z
Z
dF =
F = 0
D0
2
Il contributo di F sul bordo di D 0 è nullo: i contributi di F
sulle due sfere si elidono
Z
Z
Z
Z
Z
F =
F+
F = 0 ⇒
F = −
F
∂D 0
3
∂D 0
S2
s2
S2
s2
L’integrale è definito a meno del differenziale di una 1-forma:
Z
Z
Z
2
d φ =
dφ =
φ = 0
D0
∂D 0
∂2D0
Classi di coomologia di de Rham per F
Classi di coomologia di de Rham
L’integrale è definito a meno del differenziale di una 1-forma
Si costruiscono le classi di coomologia di de Rham per F :
[F ] = {F 0 ∈ Ω2 (M) / F 0 = F + dφ , ∀φ ∈ Ω1 (M)}
L’integrale in termini di classi di coomologia diviene
Z
Z
dF =
[F ] = 0
D0
∂D 0
Proprietà delle classi di coomologia [F ]
L’integrazione di [F ] è indipendente dal rappresentante scelto
Una forma esatta è coomologa a [0]
Invarianza omotopica delle classi di coomologia di de Rham
Studio di dF sul dominio di esattezza di F
Orientando S 2 e s 2 in modo da ottenere il bordo di D 0 :
Z
Z
Z
Z
dF =
[F ] =
F+
F = 0
D0
∂D 0
S2
s2
Assegnando la medesima orientazione ad entrambe le sfere:
Z
Z
F =
F
S 2 ,
s 2 ,
Le classi di coomologia permettono di scrivere la relazione tra
i due integrali, considerandoli come bordo di una regione D 0
Il singolo integrale calcola tuttavia il contributo Rdi F sul bordo
di una regione contenente una singolarità di F : S 2 , F 6= 0
L’invarianza omotopica delle classi di coomologia estende tale
relazione al bordo di qualsiasi regione omotopica a D 0 :
Z
Z
Z
lim
F = lim+
F =
F = Q
R→∞ S 2 ,
r →0
s 2 ,
S2
Calcolo del contributo della singolarità
Legge di Gauss
Generalizzazione sullo spaziotempo della legge di Gauss per il
campo elettromagnetico F :
Z
Q =
?F
S2
Il risultato è indipendente dalla scelta del dominio di
integrazione: invarianza omologica del flusso
Il “residuo” viene riferito alla singolarità posta in {0}
Calcolo del flusso di F per carica elettrica e monopolo magnetico
Campo elettrico:
Q =
Campo magnetico: Q =
R
2
RS
?Fe =
0
S 2 Fm
=
R
R
q 2
r d(cos θ)dϕ
r2
= 4πq
m d(cos θ)dϕ = 4πm
Conclusioni
1
Le equazioni del moto di Fe esprimono la conservazione della
carica q
2
La quantità conservata può essere studiata integrando le
equazioni del moto sullo spaziotempo
3
L’integrale in esame è un invariante omologico
4
È possibile studiare separatemente i contributi di un numero
finito di sorgenti del campo
5
La carica magnetica m non è conservata per le equazioni del
moto: invarianza topologica
Bibliografia
M. Nakahara. Geometry, Topology and Physics (Paperback).
Institute of Physics Publishing, 2003.
J.M. Lee. Introduction to smooth manifolds. Springer, 2003.
A.Hatcher. Algebraic Topology. Cambridge University Press,
2001.
J.C. Baez, J.P. Muniain. Gauge fields, knots and gravity.
World Scientific, 1994.
M Göckeler, T. Schücker. Differential geometry, gauge
theories and gravity Cambridge University Press, 1987.