Geometria analitica della circonferenza

Geometria analitica della circonferenza
Con applicazione della geometria sintetica
Problema
a) Scrivere l’equazione della circonferenza  passante per i punti A(1;0), B(0;2) , avente centro nel
terzo quadrante e raggio r 
265
.
4
b) Determinare l’equazione della retta t tangente a  in A e calcolare l’area del triangolo avente
per vertici il centro C di  e i due punti di intersezione della tangente t con gli assi cartesiani.
c) Determinare le coordinate dei vertici del triangolo equilatero circoscritto alla circonferenza 
tale che un suo lato sia sulla retta t. Indicare i valori del perimetro e dell’area del suddetto
triangolo.
d) Realizzare la figura riepilogativa con tutti gli elementi geometrici elaborati.
Risoluzione
a) In riferimento al sistema di coordinate cartesiane ortogonali xOy l’equazione della circonferenza è
 : x2  y 2  ax  by  c  0
Per trovare i valori dei coefficienti a, b, c, imponiamo innanzitutto che le coordinate dei punti A e B
verifichino l’equazione della circonferenza ottenendo in tal modo due equazioni che permettono di
eliminare due dei tre parametri.
 A  1 a  c  0
da cui

 B    4  2b  c  0
a  2b  3
L’equazione di  è della forma

c  2b  4
 : x2  y 2   2b  3 x  by  2b  4  0


3
2
b
2
Il centro di  è C  b  ;   e poiché deve appartenere al terzo quadrante dovrà risultare
3

  b

 b   0      0  , da cui b  0 .
2

  2

Osserviamo che il raggio di  è la distanza di C da A o da B. Troviamo la distanza CA e poniamola
uguale alla misura del raggio. Direttamente poniamo
2
2
2
3   b   265 

2
CA  r  1  b       
  4b  16b  33  0
2 2  4 

2
2
L’equazione è soddisfatta dai valori b1  
11
3
, b2  e per quanto premesso è accettabile solo
2
2
quello positivo. Concludiamo che l’equazione della circonferenza è:
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Pagina 1


3
3
 : x 2  y 2  6 x  y  7  0 , con centro C  3;   .
2
4

b) La retta tangente a  in A è perpendicolare al raggio CA; poiché il coefficiente angolare della retta
contenente il suddetto raggio vale m 
y A  yC 3
possiamo scrivere l’equazione della tangente

xA  xC 16
cercata.
tA : y  
16
 x  1
3
La tangente tA interseca gli assi coordinati in
A(1;0) e in D(0;16/3).
Area del triangolo CAD
Il triangolo è rettangolo in A, perché, com’è
noto, tangente ad una circonferenza e
raggio che passano per lo stesso punto
sono tra loro perpendicolari.
Poiché
AD  xA2  yD 2  1 
256
265

9
3
otteniamo
Area  CAD  
1
1 265 265 265
CA  AD 


2
2 4
3
24
c) Siano P1, P2, P3 i vertici del triangolo equilatero circoscritto a . Ricordiamo che la circonferenza
inscritta in un triangolo qualsiasi ha come centro il punto di intersezione delle bisettrici (incentro)
ma nel caso in esame il triangolo circoscritto è equilatero e in esso le bisettrici coincidono con le
mediane, perciò l’incentro del triangolo è anche il baricentro. E’ noto che il baricentro di un
triangolo divide ciascuna mediana in due parti delle quali quella contenente il vertice è doppia
dell’altra. Supponendo che sia P1 il vertice del triangolo opposto al lato giacente sulla tangente tA, e
dunque che P1A è una mediana, dalla proprietà richiamata si deduce che P1 A  3r , dove r è il
raggio di . La relazione trovata permette di determinare le coordinate cartesiane di P1.
Prima di occuparci delle coordinate cartesiane dei vertici vogliamo richiamare la nota relazione tra
la misura l del lato di un triangolo equilatero e la misura h delle altezze dello stesso.
Risulta: h 
l
l
3 , per cui, essendo h  3r , si ricava anche
2
2h 2  3r

 2 3r 
3
3
3  265
2
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Valori del perimetro e dell’area del triangolo equilatero circoscritto.
3 3  265
2
Perimetro
Perim  PP
1 2 P3   3l 
Area
785 3
l2
Area  PP
3
1 2 P3  
4
16
Coordinate cartesiane di P1
Sussistono i seguenti rapporti
xA  xP1
xA  xC
 3,
y A  yP1
y A  yC
3
dai quali si ottiene
xP1  xA  3  xC  xA   1  3  3  1  11 ; yP1  yA  3  yC  y A   
9
4
Coordinate dei vertici P2, P3
I vertici in questione giacciono sulla retta tangente tA e si possono trovare le rispettive coordinate
intersecando la suddetta tangente con la circonferenza  avente come centro il vertice P1 e raggio
pari alla misura del lato del triangolo equilatero in oggetto.
La circonferenza  ha equazione
2
9   3  265 

 :  x  11   y    

4 
2


2
2
Risolvendo il sistema di equazioni
2

9  795
2


:
x

11

y





 

4
4


t : y   16 x  1
 
 A
3
si ottengono le coordinate dei due vertici:
 43 3

P2 
; 4 3  ,
 4

 43 3

P3 
; 4 3 
 4

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