A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2-2006
Università degli Studi di Cassino
Esercitazioni di Elettrotecnica:
circuiti in evoluzione dinamica
Antonio Maffucci
[email protected]
ver.2 – ottobre 2006
2
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2-2006
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2-2006
1. Circuiti dinamici del primo ordine.
ES. 1.2 Nel seguente circuito all'istante t = 0 si apre l'interruttore A. Calcolare la tensione
sul condensatore per ogni istante.
ES. 1.1 Nel seguente circuito è assegnata la corrente nell’induttore all’istante t = 0 .
Ricavare la corrente sull’induttore per t > 0 , graficarne l’andamento e stimare la durata
del transitorio.
E
+
L
R2
E1
E = 220 V per t > 0,
iL
R1
R
vL
+
A
+
t=0
v (t )
C
+
E2
−
i L (0) = 0.4 A,
E1 = 8 V , E 2 = 2 V
R = 10 kΩ, C = 2 mF
L = 0.1 H , R1 = 1 kΩ, R2 = 200 Ω.
Valutando l’equivalente di Norton ai capi
dell’induttore:
RR
Req = 1 2 = 166.67 Ω ,
I CC
R1 + R2
E
I cc =
= 0.22 A ,
R1
si ottiene la rete equivalente in figura, descritta dalle equazioni:
v
iL + L = I cc ,
R
Per t < 0 il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un circuito
aperto. Per tale ragione si ha:
v(t ) = E 2 = 2 V .
iL
L
Req
Per t > 0 , applicando la LKT all'unica maglia e la caratteristica del condensatore si ottiene
facilmente l'eq. differenziale di primo ordine nell'incognita v(t )
vL
Ri + v = E1 ,
τ=
1
=0 ⇒
τ
v (0 − ) = v (0 + )
3
da cui
dove i LP (t ) rappresenta il termine di regime stazionario. In tale condizione l’induttore è
equivalente ad un corto-circuito, per cui:
della variabile di stato i L (t ) all’istante t = 0 :
iL (0− ) = 0.4 = iL (0+ ) = K − 0.22
⇒ K = 0.18
3
da cui iL (t ) = 0.18e −1.67⋅10 t + 0.22 A per t > 0,
il cui andamento nel tempo è graficato a lato. La
durata del transitorio è stimata in 4τ = 2.40 ms .
dove
τ = RC .
Resta da determinare la costante K, che si ottiene dalla condizione iniziale, ottenuta imponendo
la continuità della variabile di stato v(t )
possiamo esprimere la soluzione generale nella forma: i L (t ) = Ke −1.67⋅10 t + i LP (t ) ,
La costante K si ottiene imponendo la continuità
dv v E1
+ =
dt τ
τ
dove v P (t ) è una soluzione particolare che si può valutare calcolando la soluzione di regime.
Poiché per t → ∞ si tende ad un regime stazionario, il condensatore si comporta come un
circuito aperto ai capi del quale ci sarà
v P (t ) = E1 = 8 V .
L
= 0.60 ms
Req
λ = −1 / τ = −1.67 ⋅ 10 3 s −1 ,
i LP (t ) = I CC = 0.22 A .
⇒
v(t ) = Ke −0.05t + v P (t ) ,
Risolvendo l’equazione caratteristica dell’omogenea associata
λ+
dv
,
dt
La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è pari a λ = −1 / τ = −0.05 s −1 ,
quindi la soluzione generale si esprime nella forma:
di
vL = L L ,
dt
dalle quali si ricava facilmente l’equazione differenziale nell’incognita i L (t )
di L i L I cc
+ =
, dove
τ
dt τ
i=C
v(t ) = 8 − 6e −0.05t
⇒
2 = K +8
⇒ K = −6 ,
t > 0.
ES. 1.3 Dato il seguente circuito, valutare la tensione v(t ) per t > 0 .
0.5
[A]
0.45
0.4
R1
0.35
0.3
e(t )
0.25
+
R2
0.2
C
+
v
e(t ) = 50 V t > 0
v(t = 0) = 10 V , C = 1 mF
−
R1 = 20 Ω, R 2 = 24 Ω.
0.15
0.1
Risultato: v(t ) = 27.3 − 17.3e −91.7t V .
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t/tau
3
4
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2-2006
e(t )
R1
R2
iL (t )
+
i y (t )
⎧10 V
e( t ) = ⎨
⎩− 10 V
R1
R1 = 10 Ω
t=0
t<0
Ra
1
= 0 .2 A
Ra + R1 R2
R1
2
e
I cc (t ) =
t < 0.
e(t ) R3
.
R1 + R3
Applicando le leggi di Kirchhoff al circuito ottenuto sostituendo ai capi di C il generatore
equivalente di Thévenin si ricava l’equazione differenziale nell’incognita vc :
dv c vc V0
+
=
.
τ
τ
dt
La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è pari a λ = −1 / τ = −85.5 s −1 ,
quindi la soluzione generale si esprime nella forma:
Alternativamente si possono ovviamente applicare le leggi di Kirchhoff alla rete di partenza:
i x = i y + i L , da cui
di L 1
e
+ iL =
.
dt τ
2L
v c (t ) = A exp(−85.5t ) + v cp (t ) ,
dove vcp (t ) è la soluzione di regime sinusoidale, valutabile attraverso il metodo fasoriale. Posto:
La radice dell’equazione caratteristica dell’omogenea associata è λ = −1 / τ = −12.5 ⋅ 10 3 s −1 ,
quindi la soluzione generale si esprime nella
[A]
forma:
0.25
3
0.15
dove i LP (t ) è la soluzione di regime stazionario:
i LP (t ) = −0.2 A .
i L (t ) = −0.2 + 0.4e
x
t > 0.
-0.1
2
c
vc (0 + ) = 0 = A + 2.17 cos(−0.86) ⇒
-0.15
-0.2
-0.25
-1
1
Z&1 = R1 = 20,
1.5
da cui: vcp (t) = 2.17 cos(100t − 0.86) V
Dalla condizione iniziale si ha:
-0.05
i L (0 − ) = i L (0 + ) ⇒ 0.2 = K − 0.2 ⇒ K = 0.4 ,
da cui:
0.1
0.05
0
Imponendo la continuità della corrente i L (t ) :
−12.5⋅103 t
j
Z& 2 = R2 −
= 5 − 10 j , Z& 3 = R3 = 10,
ωC
e applicando ripetutamente la regola del partitore di tensione si ha, posto Z& x = Z& 2 // Z& 3 :
Z& x
V Z&
2.5
[V]
V2 = E
⇒ Vc = 2 c = 2.17e − j 0.86
2
Z& + Z&
R + Z&
E = 10,
0.2
i L (t ) = Ke −12.5⋅10 t + i LP (t ) ,
1
0.5
A = -1.41
Quindi in definitiva si ottiene la tensione
0
R3 = 10 Ω, C = 1 mF
V0 (t ) =
e( t )
,
R1 + 2 R2
L
di L i L I cc
, dove τ ≡
= 80 μs.
+ =
τ
Req
dt τ
di L
,
dt
ω = 100rad / s
R1 = 20 Ω, R2 = 5 Ω
a) Per calcolare la costante di tempo basta valutare la resistenza dell’equivalente di Thévenin
visto ai capi del condensatore:
35
Req = ( R1 // R3 ) + R2 =
Ω
⇒
τ = Req C = 11.7 ms
3
−
+
b) Per t < 0 il circuito è a riposo, quindi v c (0 ) = vc (0 ) = 0. Per t > 0 , ricavando la tensione a
vuoto dell’equivalente di Thévenin visto ai capi del condensatore si ha:
e quindi ricavare l’equazione differenziale nell’incognita i L (t )
R1i y = R2 i L + L
C
R3
−
Per valutare la soluzione per t > 0 si può procedere come nell’esercizio 1.1, valutando dapprima
l’equivalente di Norton ai capi dell’induttore:
R1i x + R1i y = e ,
v (t )
L = 2 mH
i L (t ) = e(t )
e(t ) = 10 cos(ωt )
R2
+
+
e(t)
Per t < 0 il circuito è in regime stazionario, quindi l'induttore si comporta come un corto circuito.
Per tale ragione, posto Ra = R1 //R2 si ha:
Req = R2 +
R1
A
t>0
R2 = 20 Ω
L
ver2-2006
ES. 1.5 Il seguente circuito è a riposo fino a t = 0 , istante in cui si chiude l'interruttore A.
Calcolare: a) la costante di tempo τ del circuito;
b) la tensione ai capi del condensatore per t > 0 (tracciarne anche il grafico).
ES. 1.4 Considerato il seguente circuito, che fino all’istante t = 0 lavora in regime
stazionario, calcolare la corrente nell'induttore per ogni istante, graficare l’andamento e
stimare la durata del transitorio.
i x (t )
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
1
2
3
4
5
t/tau
6
Il transitorio si estinguerà in circa 4 τ = 0.32 ms.
5
v c (t ) = −1.41 exp(−85.5t ) + 2.17 cos(100t − 0.86) V
il cui andamento è tracciato nella figura a lato.
0
-0.5
-1
-1.5
t>0
-2
-2.5
0
0.05
0.1
0.15
[s]
0.2
6
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2-2006
ES. 1.6 Il seguente circuito è in regime stazionario fino a t = 0 , istante in cui si apre
l'interruttore A. Calcolare la tensione ai capi dell’induttore in ogni istante e tracciarne il
grafico.
R1
+
E
R3
R2
t =0
iL
vL
di L i L I cc
,
+ =
τ
τ
dt
Risultato: v L (t ) = 0 per t < 0; v L (t ) = 88.5e −1.5⋅10 t V per t > 0.
i L (0 + ) = i L (0 − ) = 0
da cui
C
R3
v(t ) = R2 i L (t ) = 480(1 − e −1000t )
− 4⋅10−3 t
j (t )
R1
R2
V per t > 0.
24(1-e −1 ) = He −1
J
150
L’andamento della soluzione è tracciato nel
grafico a lato.
R1 = 30 Ω, R2 = 20 Ω
L = 50 mH
T
50
0
0
1
2
3
4
[ms]
5
Per calcolare l’energia dissipata da R2 nell’intervallo [0, t fin ] con t fin = 5 ms , basta integrare la
t
potenza istantanea assorbita:
Essendo v(t ) = R2 i L (t ) è opportune risolvere il problema nell’incognita i L (t ) , variabile di stato.
Per t < 0 il circuito è a riposo, quindi i L (t ) = 0 .
Per 0 < t < T , valutando l’equivalente di Norton ai capi di L si ottiene:
I cc (t ) =
200
100
J = 40 A, T = 1 ms
e
H = 41.24
v(t ) = R2 i L (t ) ≈ 825e −1000t V per t > T .
-
Req = R1 + R2
⇒
[V]
300
250
⇒
da cui
j (t )
0
350
dove H è una costante arbitraria, determinata
imponendo la condizione iniziale per t = T +
ES. 1.8 La seguente rete dinamica è a riposo per t < 0 .
a) Tracciare l’andamento della tensione ai capi di R2 per t > 0 .
b) Calcolare l’energia dissipata da R2 nell’intervallo 0 < t < 5 ms .
+
v(t )
⇒ K = −24 ,
e quindi tutta la soluzione coincide con la soluzione dell’omogenea
i L (T + ) = i L (T − )
i L (t )
0 = K + 24
per 0 < t < T .
i L (t ) = He −1000t ,
Risultato: vC (t ) = 73.33 V per t < 0; vC (t ) = 54.59 + 18.74e
L
⇒
di L i L
+ = 0,
τ
dt
E = 220 V , C = 1 F ,
R1 = R3 = 1 kΩ, R2 = 500 Ω.
−
R1
= 24 A.
R1 + R2
Per t > T l'equazione differenziale sarà
t=0
R2
L
= 1 ms .
Req
Resta da determinare la costante K, che si ottiene dalla condizione iniziale:
ES. 1.7 Il seguente circuito è in regime stazionario fino a t = 0 , istante in cui si chiude
l'interruttore. Calcolare la tensione sul condensatore in ogni istante e tracciarne
l’andamento.
+
τ=
dove i LP (t ) è la soluzione di regime stazionario, quindi assumendo L come corto circuito:
i LP (t ) = J
+
vC
con
i L (t ) = Ke −1000t + i LP (t ) ,
4
R1
ver2-2006
L’omogenea associata fornisce un’equazione caratteristica avente radice λ = −1 / τ = −10 3 s −1 .
La soluzione assume quindi la forma:
E = 220 V , L = 0.1 H ,
R1 = 1 kΩ, R2 = R3 = 500 Ω.
L
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
t fin
W R2 (0, t fin ) = ∫
0
R1
J,
R1 + R2
t
t
T 2
T
fin
fin
v 2 (t )
v (t )
v 2 (t )
480 2 (1 − e −1000t ) 2
825 2 e −2000t
dt = ∫
dt + ∫
dt = ∫
dt + ∫
dt
R2
20
20
T R2
0 R2
0
T
W R2 (0, t fin ) = 25.48 J
da cui l’equazione differenziale nell’incognita i L (t ) :
7
8
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2-2006
ES. 1.9 La seguente rete rappresenta un semplice circuito di carica e scarica di un
condensatore. La carica avviene tra l'istante t = 0 e l'istante t = T , intervallo in cui
l'interruttore A resta chiuso. Per t > T , invece, il condensatore C viene collegato al resto
della rete attraverso la chiusura dell'interruttore B. Supponendo la rete a riposo per t < 0 ,
valutare:
a) la tensione sul condensatore v(t ) per 0 < t < T ;
b) l'energia massima Wmax erogabile da C per t > T ;
R1
A
+
v (t )
t = 0, T
e(t )
B
+
chiuso
R2
C
−
0
Risultato:
ES. 2.1 La seguente rete è in regime stazionario fino all’istante t = 0 . Calcolare la tensione
sul condensatore in ogni istante, graficarne l’andamento e stimare la durata del transitorio.
T
i R (t )
i (t )
e( t )
⎧2 V per t < 0
e(t ) = ⎨
⎩− 2 V per t > 0
R = 1 Ω, L = 1 μH , C = 1 μF
+
L
R
+
C
C = 10 mF
T =2s
aperto
aperto
ver2-2006
2. Circuiti dinamici del secondo ordine.
e(t ) = 100sin(20t ) V
R1 = 10 Ω
A
t =T
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
R
v (t )
−
t
Per t < 0 il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un circuito
aperto e l'induttore come un corto circuito. Per tale ragione:
a) v(t ) = 40e −10t + 44.7 sin( 20t − 1.11) V per 0 < t < T ;
b) Wmax = 8.64 J ;
v(t ) = e(t )
R
= 1V ,
2R
i (t ) =
e(t )
=1 A.
2R
Per la continuità delle variabili di stato si avrà: v(0 − ) = v(0 + ) = 1 V e i (0 − ) = i (0 + ) = 1 A .
ES. 1.10 Nella seguente rete è nota la tensione ai capi del condensatore all’istante di
chiusura dell’interruttore t = 0 . Valutare la corrente i(t) nel resistore R1 per t > 0
R1
R2
t=0
i (t )
v(t )
L’evoluzione dinamico del circuito per t > 0 sarà descritta dalle seguenti equazioni derivate
imponendo le leggi di Kirchhoff e le caratteristiche dei bipoli:
e(t )
C
+
Ri + L
e(t ) = sin(100t ) V
R1 = 15 Ω, R2 = 10 Ω,
di e − v Ri
=
−
dt
L
L
C = 1 mF, v(0 ) = 1 V .
d 2v
dt 2
ES. 1.11 Nella seguente rete l’interruttore si chiude all’istante t = 0 , istante in cui la
corrente circolante in L è nota. Calcolare:
a) il circuito equivalente di Thevenin ai capi di L per t > 0;
dv i
v
= −
.
dt C CR
R ⎞ dv
e
2
⎛ 1
v=
+⎜
+ ⎟ +
.
LC
⎝ RC L ⎠ dt LC
L’equazione caratteristica dell’omogenea associata è la seguente:
λ2 + 2 ⋅ 10 6 λ + 2 ⋅ 10 6 = 0 ,
e fornisce le radici λ1, 2 = α ± jβ = 10 6 (−1 ± j ) . La soluzione dell’omogenea associata può
b) la corrente che circola nell’induttore per t > 0.
quindi essere espressa nella forma:
R2
t=0
R1
v
dv
.
+C
R
dt
L’equazioni differenziale nell’incognita v(t ) sarà quindi
Risultato: i (t ) = −0.08e −t / 0.006 − 0.03 sin(100t − 0.54) A
L
i=
Da tali equazioni si perviene al sistema delle equazioni di stato:
+
iL (t )
di
+v = e,
dt
+
E
v0 (t ) = e αt [k1 cos(βt ) + k 2 sin(β t )] .
E = 10 V, i L (0) = 2 A
A tale soluzione va aggiunta la soluzione di regime stazionario che, per effetto delle
considerazioni svolte precedentemente, sarà banalmente pari a: v p (t ) = −1 V . La soluzione
R1 = 5 Ω, R2 = 4 Ω, L = 1 mH.
generale per t > 0 assume quindi la forma:
Risultato:
a) Req = 2.22 Ω, E 0 = 5.55 V
v(t ) = e αt [k1 cos(β t ) + k 2 sin(βt )] − 1 .
b) i L (t ) = −2.5 + 4.5e −t / τ A, con τ = 0.45 ms.
9
10
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2-2006
Le costanti arbitrarie si determinano imponendo la continuità delle variabili di stato nell’istante
t = 0 . Tale proprietà impone le seguenti condizioni iniziali su v(t ) e su v ′(t ) :
v(0 + ) = 1 = k1 − 1 ⇒ k1 = 2
dv
dt
=
0+
v (0 + ) ⎤
1⎡ +
⎥ = 0 = αk1 + β k 2
⎢i (0 ) −
C⎣
R ⎦
⇒ k2 = −
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2-2006
ES. 2.3 Il seguente circuito è in regime stazionario fino a t = 0 . Calcolare:
a) il valore delle grandezze di stato all'istante t = 0 +
b) la corrente iL (t ) per t > 0
αk1
= 2.
β
R
La soluzione è, quindi:
iL (t )
C
j( t )
R
L
v(t ) = −1 − 2e
−106 t
6
6
[cos(10 t ) + sin(10 t )] V .
L’andamento della tensione in ogni
istante di tempo è riportato nel grafico a
lato.
1.5
La costante di tempo della rete è pari a
τ = −1 / α = 1 μs , mentre il periodo delle
delle oscillazioni naturali è pari a
T = −2π / β = 6.28 μs.
Durante il transitorio, quindi, è visibile
meno di una oscillazione naturale
completa.
0.5
a) Per t < 0 il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un
circuito aperto e l'induttore come un corto circuito. Per tale ragione:
[V]
1
i L (t ) = j (t ) / 2 = 10 A , vC (t ) = j (t ) R / 2 = 20 V
b) Per t > 0 il circuito è in evoluzione libera. Per ottenere le equazioni di stato si possono
imporre le equazioni di Kirchhoff e le caratteristiche, come fatto nell’esercizio 1.1. Un metodo
più efficace consiste nella risoluzione preliminare del circuito resistivo associato.
Questo circuito può essere studiato applicando, ad esempio, il metodo dei potenziali nodali
modificato. Considerando c come nodo di riferimento e osservando che il potenziale del nodo a è
pari a vc mentre quello del nodo b è pari a v L si ha:
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
t [us]
6
vC − v L
= iL ,
R
iL +
ES. 2.2 Nella seguente rete sono assegnati i valori delle grandezze di stato all’istante t = 0 .
Calcolare la tensione sul condensatore per t > 0 .
e(t )
+
+
C
v (t )
−
v L = vC − Ri L ,
a
vC
+ iC − j = 0 .
R
Le variabili non di stato saranno esprimibili come:
L
t < 0.
Per la continuità delle variabili di stato si ha: v c (0 − ) = v c (0 + ) = 20 V e i L (0 − ) = i L (0 + ) = 10 A .
0
-1.5
-1
R
t<0
t>0
⎧20 A
j (t ) = ⎨
⎩0 A
R=2Ω
L = 10 μH
C = 5 μF
iC
j
vC
+
_
vC
+ j.
R
i C = −i L −
R
b
R
vL
iL
c
Ricordando le caratteristiche dei bipoli dinamici, da
queste equazioni si ottengono immediatamente le equazioni di stato della rete:
v(0) = 1 V, i(0 ) = 0 A
di L vC − Ri L
=
,
dt
L
E = 1 V per t > 0
R = 1Ω, L = 1μH , C = 1μF
dvC − i L + j vC
=
−
.
dt
C
RC
Ricavando vC dalla prima e sostituendola nella seconda si ottiene l'equazione differenziale:
d 2iL
dt 2
5
Risultato: vC (t ) = e −5⋅10 t [cos(8.7 ⋅ 10 5 t ) + 0.57 sin(8.7 ⋅ 10 5 t )] V per t > 0 .
R ⎞ di
2
⎛ 1
+⎜
+ ⎟ L +
iL = 0 ,
⎝ RC L ⎠ dt LC
la cui equazione caratteristica fornisce λ1, 2 = α ± jβ = 10 5 (−1.5 ± 1.3 j ) . La soluzione è, quindi:
i L (t ) = exp(αt )[k1 cos(β t ) + k 2 sin(β t )] ,
dove le costanti k1 , k 2 vanno determinate imponendo le condizioni iniziali su i L e su di L / dt :
i L (0 + ) = 10 = k1 ,
di L
dt
=
0
+
vC (0 + ) − Ri L (0 + )
= 0 = αk1 + βk 2
L
⇒ k2 = −
αk1
= 11.5 .
β
Pertanto la soluzione sarà: i L (t ) = exp(−1.5 ⋅ 10 5 t )[10 cos(1.3 ⋅ 10 5 t ) + 11.5sin(1.3 ⋅ 10 5 t )]
11
t > 0.
12
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2-2006
ES. 2.4 Il seguente circuito è in regime sinusoidale fino t = 0 , istante in cui il generatore si
spegne. Calcolare la corrente iL (t ) in ogni istante e tracciarne l’andamento.
R
j( t )
L
C
R
J = 10, Z&1 = Z& C + Z& R = 0.5 − 0.2 j , Z& 2 = Z& L + Z& R = 0.5 + j.
i L (t ) = e(t ) / 2 R = 10 A , vC (t ) = e(t ) / 2 = 10 V
Per il partitore di corrente, la corrente dell'induttore sarà
⇒
⇒
i L (t ) = 4.21cos(100t − 1.06) A.
Per t > 0 il circuito è forzato dal generatore e(t), a partire dalle condizioni iniziali individuate
precedentemente. Risolvendo il circuito resistivo associato mostrato in figura:
vC (t ) = 1.74 cos(100t − 1.14) V .
−
−
+
iC =
+
Per la continuità delle variabili di stato: v c (0 ) = v c (0 ) = 0.73 V , i L (0 ) = i L (0 ) = 2.07 A .
dt 2
dvC
v
i
e
=
− C − L,
dt
RC RC C
di L
= 0.
dt
d 2 vc
dt 2
la cui equazione caratteristica ammette le radici λ 1 = −72.4 e λ 1 = −27.6 . La soluzione si può
esprimere, quindi, nella forma:
dove le costanti k1 , k 2 sono determinate dalle
condizioni iniziali su i L e su di L / dt :
i L (0 + ) = 2.07 = k1 + k 2 ,
di L
dt
+
0+
v (0 ) + 2 Ri L (0 )
=− C
= −280 = λ1k1 + λ 2 k 2 .
L
Risolvendo tale sistema si ottengono: k1 = 4.98 ,
k 2 = −2.91 quindi per t > 0 la soluzione è data da:
i L (t ) = 4.98 exp(−72.4t ) − 2.91 exp(−27.6t ) A.
+
di L vC Ri L
=
−
.
dt
L
L
+
vC
-
iC R
+
vL
+
iL
-
R ⎞ dv
e
2
1 de
⎛ 1
vc =
+⎜
+ ⎟ c +
+
.
LC
RC dt LC
⎝ RC L ⎠ dt
L'equazione caratteristica dell'omogenea associata fornisce: λ1, 2 = α ± jβ = 2 ⋅ 10 5 (−1 ± j ) ,
quindi la soluzione si può esprimere nella forma:
4 [A]
vC (t ) = e αt [k1 cos(βt ) + k 2 sin(βt )] + vCP (t ) ,
3
dove vCP (t ) è una soluzione particolare che può essere scelta come la soluzione di regime a cui
il circuito tende per t → ∞ (regime stazionario):
2
1
vCP (t ) = e(t ) / 2 = −10 V .
0
+
R
Ricavando i L dalla prima e sostituendola nella seconda si ottiene l'equazione differenziale:
2 R di L
1
+
+
iL = 0 ,
L dt
LC
iL (t ) = k1 exp(λ1t ) + k2 exp(λ 2t ) ,
v L = v C − Ri L
e(t )
Derivando tale equazione e sostituendovi la caratteristica di C si ottiene l'equazione differenziale
d 2iL
e − vC
− iL ,
R
si ottengono le equazioni di stato:
Per t > 0 il circuito è in evoluzione libera. Applicando la LKT all'unica maglia si ottiene:
vC + 2 Ri L + L
t <0.
Per la continuità delle variabili di stato si ha: vc (0 − ) = vc (0 + ) = 10 V e i L (0 − ) = i L (0 + ) = 10 A .
Osserviamo che, essendo ic (t ) = 0 , si ha banalmente pc (t ) = vc (t )ic (t ) = 0 .
Applicando la LKC si ricava: I C = J − I L = 7.93 + 3.66 j , da cui la tensione:
VC = Z& C I C = 1.74 exp(−1.14 j )
L
Per t < 0 il circuito è in regime stazionario, quindi il condensatore si comporta come un circuito
aperto e l'induttore come un corto circuito. Per tale ragione:
Per t < 0 il circuito è in regime sinusoidale, quindi si può ricorrere al metodo fasoriale, ponendo:
Z&1
IL = J
= 2.07 − 3.66 j = 4.21 exp(−1.06 j )
Z&1 + Z& 2
C
-
t<0
t>0
⎧20 V
e(t ) = ⎨
⎩− 20 V
R =1Ω
L = 5 μH
C = 5 μF
R
+
vC (t )
+
e(t )
R = 0.5 Ω
L = 10 mH
C = 50 mF
iL (t )
ver2-2006
ES. 2.5 Con riferimento al seguente circuito, in regime stazionario per t < 0 , calcolare la
tensione vC (t ) e la potenza pC (t ) assorbita dal condensatore in ogni istante
t<0
t>0
⎧10 cos(100t ) A
j (t ) = ⎨
⎩0 A
R
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
-1
Le costanti k1 , k 2 vanno determinate imponendo le condizioni iniziali su vC e su dvC / dt :
-2
vC (0 + ) = 10 = k1 − 10
-3
-4
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
[s]
0.3
Andamento della soluzione in ogni istante.
dvc
dt
=−
0
+
⇒
k1 = 20;
v C (0 ) − e ( 0 ) ⎤
1⎡
6
+
⎢i L (0 ) +
⎥ = −8 ⋅ 10 = αk1 + β k 2 ⇒ k 2 = 20.
C ⎢⎣
R
⎥⎦
+
+
La tensione sul condensatore per t > 0 è, quindi:
13
14
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
ver2-2006
5
5
vC (t ) = 20e −2⋅10 t [cos(2 ⋅ 10 5 t ) − sin(2 ⋅ 10 5 t )] − 10 = 28.3e −2⋅10 t [cos(2 ⋅ 10 5 t + 0.79)] − 10 V .
La potenza assorbita per t > 0 si può valutare in due modi: possiamo calcolare preliminarmente
la corrente che circola nel condensatore:
5
dv (t )
iC (t ) = C C
= −40e −2⋅10 t sin( 2 ⋅ 10 5 t + 1.57) A , da cui:
dt
5
5
pC (t ) = vC (t )iC (t ) = −565e − 4⋅10 t [sin(4 ⋅ 10 5 t + 2.36) + 0.71] + 400e − 2⋅10 t sin(2 ⋅ 10 5 t + 1.57) W
Allo stesso risultato si perviene ricordando l’espressione dell’energia di un condensatore:
d 2iL
dt 2
RS
RU
e S (t )
R S = RU = 50 Ω
v(t )
C
E
0
9
v (t ) = 320e
9
− 4.6 ⋅ 10 e
− 22.55⋅109 t
9
E
+
C
di L
dt
0+
=
1
vC (0 + ) = 1000 = −1000k1 − 500k 2 ,
L
per t > T .
t=0
iL (t )
R
i L (t ) = k1e −1000t + k 2 e −500t + i LP (t ) ,
da cui: k1 = 1, k 2 = −4 , e quindi la soluzione per t > 0 è i L (t ) = e −1000t − 4e −500t + 6 A .
ES. 2.7 La rete in figura è in regime stazionario fino t = 0 , istante in cui si chiude
l'interruttore. Calcolare la corrente iL (t ) per t > 0 .
R
Le radici dell'equazione caratteristica dell'omogenea associata sono: λ1 = −1000, λ 2 = −500 ,
quindi la soluzione si può esprimere nella forma:
i L (0 + ) = 3 = k1 + k 2 + 6;
t
T
Risultato: v(t ) = 0 V per t < 0 ; v (t ) = −3.74e − 4.45⋅10 t + 0.74e − 22.55⋅10 t + 3 V per 0 < t < T ;
− 4.45⋅109 t
1 di L
1
E
+
.
iL =
RLC
RC dt LC
Le costanti k1 , k 2 vanno determinate imponendo le condizioni iniziali su i L e su di L / dt :
L = 2 nH , C = 10 pF
−
+
dove i LP (t ) è una soluzione particolare che può essere scelta come la soluzione di regime a cui il
circuito tende per t → ∞ (regime stazionario): i LP (t ) = E / R = 6 A. .
e S (t )
E = 6 V , T = 1ns
+
iL (t )
Ricavando vC dalla seconda e sostituendola nella prima si ottiene l'equazione differenziale:
ES. 2.6 Il seguente circuito rappresenta un semplice sistema trasmettitore-canale-ricevitore.
Calcolare la tensione sul ricevitore ( RU ) in ogni istante e tracciarne l’andamento.
L
ver2-2006
Per la continuità delle variabili di stato si ha: vc (0 − ) = vc (0 + ) = 1 V e i L (0 − ) = i L (0 + ) = 3 A .
Il circuito da analizzare per t > 0 è disegnato a lato.
i (t )
Dal circuito resistivo associato si ricavano le equazioni:
E − vC
, vC = v L ,
i L + iC =
+
R
R
+
v
C
E
C (t ) L
da cui è semplice ottenere le equazioni di stato della rete:
−
dvC
v
i
di L vC
E
=
− C - L,
=
,
dt
RC RC C
dt
L
5
C dvC2 (t )
d
= 2.5 ⋅ 10 −6 [28.3e −2⋅10 t cos(2 ⋅ 10 5 t + 0.79) − 10] 2 .
2 dt
dt
pC (t ) =
+
A. Maffucci: Circuiti in evoluzione dinamica
L
E = 2V
R = 1/ 3 Ω
L = 1 mH
C = 2 mF
ES. 2.8 La rete in figura è in regime stazionario per t < 0 . Determinare:
a) le grandezze di stato all’istante t = 0 +
b) la corrente nel condensatore e la tensione nell’induttore all’istante t = 0 +
c) la tensione sul condensatore per t > 0
d) la tensione sull’induttore per t > 0
R
j (t )
R
vC (t )
iC (t )
C
iL (t )
L
v L (t )
t<0
⎧2
j (t ) = ⎨
⎩2 sin(ωt ) t > 0
ω = 10 6 rad/s, R = 1 Ω
L = 1 μH, C = 2 μF
Il circuito da analizzare per t < 0 è disegnato a lato.
Essendo in regime stazionario, il condensatore si comporta
come un circuito aperto e l'induttore come un corto circuito: E
i L (t ) = E / 2 R = 3 A , vC (t ) = E / 2 = 1 V
(t < 0) .
R
+
+
vC (t )
Risultato:
a) vC (0 + ) = 1 V, i L (0 + ) = 1 A
R
iL (t )
b) iC (0 + ) = −2 A, v L (0 + ) = 0 V
6
c) vC (t ) = 2.28e −10 t cos(10 6 t + 0.90) + 1.26 cos(10 6 t − 0.32) V per t > 0
−
6
d) v L (t ) = 4.46 cos(10 6 t − 0.46) − e −10 t [3.22 sin(10 6 t + 1.69) − 9.12 sin(10 6 t + 2.48)] V per t > 0 .
15
16
