Esercizio 1 ( es 1 lez 11)
0
−1 1
A= 0 2
0
1 −1 − 2
La matrice è diagonalizzabile: verificare, trovando la
matrice diagonalizzante, che A è simile a A′.
Esistono tre autovalori:
molt.alg(-2)= 1= dim V-2;
molt.alg(2)= 1= dim V2;
molt.alg(-1)= 1= dim V-1.
Esiste una matrice simile
− 2 0 0
A' = 0 2 0 ∈ M 3 ( R )
0 0 − 1
Una base che consente di trovare matrice A′ simile ad A
diagonale può essere:
B=((0,0,1),(1,3,-1/2),(1,0,1))
La matrice diagonalizzante è:
Lezione 12
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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1
1
1
0
P = 0
3
0 ∈ M 3 ( R)
1 −1/ 2 1
La sua matrice inversa:
−1 1/ 2 1
−1
P = 0 1 / 3 0 ∈ M 3 ( R)
1 −1/ 3 0
0 0
1
1
− 2 0 0 − 1 1 / 2 1 − 1 1
A' = 0 2 0 = 0 1 / 3 0 0 2
0 0
3
0
0 0 − 1 1 − 1 / 3 0 1 − 1 − 2 1 − 1 / 2 1
Esercizio 2
Determinare gli autovalori di
0
0
A=
0
-3
1 2 1
1 1 0
∈ M 4 ( R)
1 1 0
1 0 2
det(A-λI4)=0
Lezione 12
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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2
1
2
0 - λ
1
0 1- λ
A − λI 4 =
0
1 1- λ
-3
1
0
0-λ
1
2
0 1- λ
1
det( A − λI 4 ) =
0
1 1- λ
-3
1
-λ +λ
1
2
0
1- λ
1
=
0
1 1- λ
- 3 + λ (2 - λ ) 1
0
det(A-λI4)=0 ⇔
0
1
0
∈ M 4 ( R)
0
2 - λ
1
0
0
=
2-λ
1
0
2
= −( −λ2 + 2λ − 3) (1 − λ ) − 1
0
2-λ
[
]
(λ2-2λ+3)(1- λ-1)(1- λ+1)=0
λ1=0 con molteplicità algebrica 1;
λ2=2 con molteplicità algebrica 1.
Gli autospazi associati avranno ciascuno dimensione 1.
La matrice non è diagonalizzabile.
Lezione 12
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Esercitazioni di Algebra e Geometria
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3
Esercizio 3
0 6
6
A = - 3/2 3 - 3 ∈ M 3 ( R)
- 3 0 - 3
Data la matrice A:
a) determinare gli autovalori di A;
b) determinare gli autospazi associati, relative dimensioni
e base;
c) verificare che la matrice A è diagonalizzabile;
d) determinare una matrice diagonalizzante P tale
A′= P-1AP con A′ matrice diagonale.
traccia
det(A-λI3)=0 ⇔
λ=0 o λ=3 (molt.alg.2)
dim V0=1 e una base è ((-2,1,2))
dim V3=2 e una base è ((-2,0,1),(0,1,0)).
A è diagonalizzabile
Lezione 12
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4
− 2 − 2 0
P= 1
0 1
2
1 0
0 0 0
A' = 0 3 0
0 0 3
…
Esercizio 4
2 0 3
0 - 3 0
A=
0 0 -1
0 5 0
0
0
∈ M 4 ( R)
0
2
Data la matrice A:
a) determinare gli autovalori di A;
b) determinare gli autospazi associati, relative dimensioni
e base;
c) verificare che la matrice A è diagonalizzabile;
d) determinare una matrice diagonalizzante P tale
A′= P-1AP.
Lezione 12
-
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5
0
3
2 - λ
-3-λ
0
0
A − λI 4 =
0
0
-1- λ
0
5
0
0
0
∈ M 4 ( R)
0
2 - λ
Il determinante di quest’ultima matrice è
(2-λ)(-3-λ)(-1-λ) (2-λ)
a) Gli autovalori reali sono dunque:
λ1=2 con molteplicità algebrica 2;
λ2=-3 con molteplicità algebrica 1;
λ3=-1 con molteplicità algebrica 1.
b)Gli autospazi relativi sono:
b1) ricerchiamo (A-2I4)X=0
0 0 3
0 -5 0
A − 2I 4 =
0 0 -3
0 5 0
0
0
0
0
Questa matrice ha rango 2 ed un sistema principale
equivalente estratto è:
Lezione 12
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6
3z = 0
− 5 y = 0
S = (( x,0,0, t ) x, t ∈ R )
Quest’insieme di soluzioni è V2 autospazio associato
a λ=2. dim V2=2 e una base è ((1,0,0,0),(0,0,0,1)).
b2) ricerchiamo (A+I4)X=0
3 0
0 - 2
A + I4 =
0 0
0 5
3
0
0
0
0
0
0
3
Questa matrice ha rango 3 ed un sistema principale
equivalente estratto è:
3 x + 3 z = 0
− 2 y = 0
5 y + 3t = 0
Quest’insieme
di
S = ((− z ,0, z ,0) z ∈ R)
soluzioni
è
V-1 autospazio
associato a λ=-1. dim V-1=1 e una base è ((-1,0,1,0)).
b3) ricerchiamo (A+3I4)X=0
Lezione 12
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7
5
0
A + 3I 4 =
0
0
0 3 0
0 0 0
0 2 0
5 0 5
Questa matrice ha rango 3 ed un sistema principale
equivalente estratto è:
5 x + 3 z = 0
2 z = 0
5 y + 5t = 0
Quest’insieme
di
S = ((0,−t ,0, t ) t ∈ R )
soluzioni
è
V-3 autospazio
associato a λ=-3. dim V-3=1 e una base è ((0,1,0,-1)).
c) la matrice A possiede 4 autovalori, non distinti (contati
con la rispettiva molteplicità), ciascuno degli autovalori
trovati ha la molteplicità geometrica coincidente con la
molteplicità geometrica:
λ=2 molteplicità algebrica=2. dim V2=2
λ=-3 molteplicità algebrica=1.dim V-3=1
λ=-1 molteplicità algebrica=1.dim V-1=1.
A è diagonalizzabile
Lezione 12
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8
d) Esiste quindi una base di autovettori di A tramite i
quali la rappresentazione diventa A’. Per esempio:
B=((1,0,0,0),(0,0,0,1),(-1,0,1,0),(0,1,0,-1)).
La matrice P diagonalizzante è:
1
0
P =
0
0
0 -1
0
0
0
1
1
0
0
1
0
− 1
1
0
P −1 =
0
0
0 1 0
1 0 1
0 1 0
1 0 0
Da cui A’=P-1AP
2
0
A' = P −1 AP =
0
0
0
2 0 0
0 -1 0 .
0 0 − 3
0
0
Esercizio 5
Per quali valori del parametro reale h la seguente matrice
è diagonalizzabile?
3h 0
3 5
Lezione 12
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9
La matrice è sicuramente diagonalizzabile se gli
autovalori λ1=3h e λ2=5 risultano distinti: h≠5/3. In
questo caso i singoli autospazi risultano avere dim=1,
pari alla molteplicità algebrica.
Per h=5/3 determiniamo la dimensione dell’autospazio
associato a λ1= λ2=5:
…
Esercizio 6
Data la matrice
− 2
1
Ak =
0
0
0 1 1
1 0 1
0 3 k
0 k 3
a) Si indichi per quali valori di k il sistema
x 1
y 1
Ak =
z
3
t k
Lezione 12
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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10
è compatibile e in tal caso quante soluzioni
ammette;
b) si studino al variare del parametro reale k gli
autovalori e la molteplicità algebrica;
c) si individuino i valori del parametro k affinché la
matrice risulti diagonalizzabile;
d) posto k= - 3 si scriva la matrice diagonale simile
e la matrice diagonalizzante.
Svolgiamolo insieme…
Lezione 12
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11
