Esercizio 1 ( es 1 lez 11) La matrice è diagonalizzabile: verificare
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Esercizio 1 ( es 1 lez 11) 0 −1 1 A= 0 2 0 1 −1 − 2 La matrice è diagonalizzabile: verificare, trovando la matrice diagonalizzante, che A è simile a A′. Esistono tre autovalori: molt.alg(-2)= 1= dim V-2; molt.alg(2)= 1= dim V2; molt.alg(-1)= 1= dim V-1. Esiste una matrice simile − 2 0 0 A' = 0 2 0 ∈ M 3 ( R ) 0 0 − 1 Una base che consente di trovare matrice A′ simile ad A diagonale può essere: B=((0,0,1),(1,3,-1/2),(1,0,1)) La matrice diagonalizzante è: Lezione 12 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 1 1 1 0 P = 0 3 0 ∈ M 3 ( R) 1 −1/ 2 1 La sua matrice inversa: −1 1/ 2 1 −1 P = 0 1 / 3 0 ∈ M 3 ( R) 1 −1/ 3 0 0 0 1 1 − 2 0 0 − 1 1 / 2 1 − 1 1 A' = 0 2 0 = 0 1 / 3 0 0 2 0 0 3 0 0 0 − 1 1 − 1 / 3 0 1 − 1 − 2 1 − 1 / 2 1 Esercizio 2 Determinare gli autovalori di 0 0 A= 0 -3 1 2 1 1 1 0 ∈ M 4 ( R) 1 1 0 1 0 2 det(A-λI4)=0 Lezione 12 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 2 1 2 0 - λ 1 0 1- λ A − λI 4 = 0 1 1- λ -3 1 0 0-λ 1 2 0 1- λ 1 det( A − λI 4 ) = 0 1 1- λ -3 1 -λ +λ 1 2 0 1- λ 1 = 0 1 1- λ - 3 + λ (2 - λ ) 1 0 det(A-λI4)=0 ⇔ 0 1 0 ∈ M 4 ( R) 0 2 - λ 1 0 0 = 2-λ 1 0 2 = −( −λ2 + 2λ − 3) (1 − λ ) − 1 0 2-λ [ ] (λ2-2λ+3)(1- λ-1)(1- λ+1)=0 λ1=0 con molteplicità algebrica 1; λ2=2 con molteplicità algebrica 1. Gli autospazi associati avranno ciascuno dimensione 1. La matrice non è diagonalizzabile. Lezione 12 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 3 Esercizio 3 0 6 6 A = - 3/2 3 - 3 ∈ M 3 ( R) - 3 0 - 3 Data la matrice A: a) determinare gli autovalori di A; b) determinare gli autospazi associati, relative dimensioni e base; c) verificare che la matrice A è diagonalizzabile; d) determinare una matrice diagonalizzante P tale A′= P-1AP con A′ matrice diagonale. traccia det(A-λI3)=0 ⇔ λ=0 o λ=3 (molt.alg.2) dim V0=1 e una base è ((-2,1,2)) dim V3=2 e una base è ((-2,0,1),(0,1,0)). A è diagonalizzabile Lezione 12 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 4 − 2 − 2 0 P= 1 0 1 2 1 0 0 0 0 A' = 0 3 0 0 0 3 … Esercizio 4 2 0 3 0 - 3 0 A= 0 0 -1 0 5 0 0 0 ∈ M 4 ( R) 0 2 Data la matrice A: a) determinare gli autovalori di A; b) determinare gli autospazi associati, relative dimensioni e base; c) verificare che la matrice A è diagonalizzabile; d) determinare una matrice diagonalizzante P tale A′= P-1AP. Lezione 12 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 5 0 3 2 - λ -3-λ 0 0 A − λI 4 = 0 0 -1- λ 0 5 0 0 0 ∈ M 4 ( R) 0 2 - λ Il determinante di quest’ultima matrice è (2-λ)(-3-λ)(-1-λ) (2-λ) a) Gli autovalori reali sono dunque: λ1=2 con molteplicità algebrica 2; λ2=-3 con molteplicità algebrica 1; λ3=-1 con molteplicità algebrica 1. b)Gli autospazi relativi sono: b1) ricerchiamo (A-2I4)X=0 0 0 3 0 -5 0 A − 2I 4 = 0 0 -3 0 5 0 0 0 0 0 Questa matrice ha rango 2 ed un sistema principale equivalente estratto è: Lezione 12 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 6 3z = 0 − 5 y = 0 S = (( x,0,0, t ) x, t ∈ R ) Quest’insieme di soluzioni è V2 autospazio associato a λ=2. dim V2=2 e una base è ((1,0,0,0),(0,0,0,1)). b2) ricerchiamo (A+I4)X=0 3 0 0 - 2 A + I4 = 0 0 0 5 3 0 0 0 0 0 0 3 Questa matrice ha rango 3 ed un sistema principale equivalente estratto è: 3 x + 3 z = 0 − 2 y = 0 5 y + 3t = 0 Quest’insieme di S = ((− z ,0, z ,0) z ∈ R) soluzioni è V-1 autospazio associato a λ=-1. dim V-1=1 e una base è ((-1,0,1,0)). b3) ricerchiamo (A+3I4)X=0 Lezione 12 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 7 5 0 A + 3I 4 = 0 0 0 3 0 0 0 0 0 2 0 5 0 5 Questa matrice ha rango 3 ed un sistema principale equivalente estratto è: 5 x + 3 z = 0 2 z = 0 5 y + 5t = 0 Quest’insieme di S = ((0,−t ,0, t ) t ∈ R ) soluzioni è V-3 autospazio associato a λ=-3. dim V-3=1 e una base è ((0,1,0,-1)). c) la matrice A possiede 4 autovalori, non distinti (contati con la rispettiva molteplicità), ciascuno degli autovalori trovati ha la molteplicità geometrica coincidente con la molteplicità geometrica: λ=2 molteplicità algebrica=2. dim V2=2 λ=-3 molteplicità algebrica=1.dim V-3=1 λ=-1 molteplicità algebrica=1.dim V-1=1. A è diagonalizzabile Lezione 12 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 8 d) Esiste quindi una base di autovettori di A tramite i quali la rappresentazione diventa A’. Per esempio: B=((1,0,0,0),(0,0,0,1),(-1,0,1,0),(0,1,0,-1)). La matrice P diagonalizzante è: 1 0 P = 0 0 0 -1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 − 1 1 0 P −1 = 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 Da cui A’=P-1AP 2 0 A' = P −1 AP = 0 0 0 2 0 0 0 -1 0 . 0 0 − 3 0 0 Esercizio 5 Per quali valori del parametro reale h la seguente matrice è diagonalizzabile? 3h 0 3 5 Lezione 12 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 9 La matrice è sicuramente diagonalizzabile se gli autovalori λ1=3h e λ2=5 risultano distinti: h≠5/3. In questo caso i singoli autospazi risultano avere dim=1, pari alla molteplicità algebrica. Per h=5/3 determiniamo la dimensione dell’autospazio associato a λ1= λ2=5: … Esercizio 6 Data la matrice − 2 1 Ak = 0 0 0 1 1 1 0 1 0 3 k 0 k 3 a) Si indichi per quali valori di k il sistema x 1 y 1 Ak = z 3 t k Lezione 12 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 10 è compatibile e in tal caso quante soluzioni ammette; b) si studino al variare del parametro reale k gli autovalori e la molteplicità algebrica; c) si individuino i valori del parametro k affinché la matrice risulti diagonalizzabile; d) posto k= - 3 si scriva la matrice diagonale simile e la matrice diagonalizzante. Svolgiamolo insieme… Lezione 12 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 2009-2010 11
