Esercizio 1 Dato il sistema

Esercizio 1
Dato il sistema:
3x + (k + 3) y + 2 z = 1

kx + y + z = 0
k∈R


ky + kz = k

a) studiare il rango della matrice incompleta del sistema;
b) studiare il rango della matrice completa del sistema;
c) discutere la compatibilità del sistema;
d) per k=0 determinare le soluzioni del sistema S, una base
e dimensione della copertura lineare di S: L(S).
a) La matrice del coefficienti delle incognite è
 3 k + 3 2


A = k
1
1
0
k
k 

e il suo determinante è – k2 (k+1). Per k≠
≠… e k≠
≠ …, il
rango è 3.
 3 3 2


0
1
1
 e k= …
Per k=… 

0 0 0
k≠0 ∧ k≠ - 1 ρ(A)=…,
Lezione 11
-
3 2 2


−
1
1
1
 il rango è … .

 0 − 1 − 1


k=0 ∨ k= -1 ρ(A)=…
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1
Risoluzione punto b)
La matrice completa del sistema è:
3 k + 3 2 1


A B = k
1
1 0
0
k
k k 

Per k≠
≠0 e k≠
≠ - 1, il rango è 3.
 3 3 2 1


0 1 1 0
Per k=0 
 ha rango 2.
0
0
0
0


 3 2 2 1


−1 1 1 0 
Per k= - 1 
 ha rango 3.
0
−
1
−
1
1


k≠0 ρ(A B)=3,
k=0 ρ(A B)=2
Risoluzione punto c)
Discussione del sistema: per il teorema di Rouchè-Capelli
per k≠
≠-1 e k≠
≠0 il sistema dato ha ……………………;
per k=0 il sistema dato ha …………………………;
per k= -1 il sistema dato è …………………...
Risoluzione punto d)
Per k=0
Lezione 11
-
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2
3x + 3 y + 2 z = 1

 y+z=0
ponendo z = α
1

=
x
(1 + α )

3

 y = -α
 z =α


S={{(………,….,….)||α∈R}.
Questo è un sottoinsieme proprio di R3 ma non è
sottospazio vettoriale.
La sua copertura lineare è:
L(S)={{(……..,….,….)||α,β
β∈R}.
Una base è costituita dai vettori ((1/3, -1,1),(1/3,0,0))
e dim L(S)=2.
Esercizio 2
Dato il sistema:
6 x1 + (k − 1) x2 + 12 x3 = 0

k∈R

 4 x + 2 x + 8x = 7
1
2
3

1) discuterne la compatibilità;
2) risolverlo quando possibile.
Svolgimento:
Lezione 11
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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3
 6 k − 1 12 0 


4

2
8
7


Il rango della matrice incompleta è 2 se k≠
≠….;
1 se k=…..
Il rango della matrice completa è 2 per ogni k.
Il sistema è compatibile se e solo se k≠
≠…..
Il sistema ammette in tal caso ∞3-2=∞1 soluzioni.
Ponendo x3=α il sistema diventa:
6 x1 + (k − 1) x2 = −12α


 4 x + 2 x = −8α + 7
2
 1
k∈R
dove le incognite principali sono x1 e x2.
Risolvendolo con il metodo di Cramer:
A = 16 − 4k
Ax1 =
Ax2 =
−12α
k −1
− 8α + 7
2
−12α
6
4 − 8α + 7
Lezione 11
-
= −24α + 8αk − 7k − 8α + 7
= −48α + 42 + 48α = 42
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4
Determiniamo le soluzioni:
per ogni valore di k≠….
 8αk − 7 k + 7 − 32α

42

,
,α  α ∈ R 
S = 
16 − 4k
16 − 4k 


Esercizi da risolvere
1) Dato il sistema:
 2x + kz = 2

 x + y + 2z = 0
3x + y + 3z = 2 , k∈R

discutere la compatibilità e risolverlo, al variare del
parametro k, quando possibile.
2) I prova intermedia 2008:
esercizio 1, 2 (solo punto b), 3 e 4.
I prova intermedia 2007:
esercizio 1 (punti a, b, c, d), 2 e 3.
I prova intermedia 2005: esercizi 1, 2 e 3.
Lezione 11
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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5
DIAGONALIZZAZIONE DI UNA MATRICE
1) Autovalori e autovettori
Data una matrice
 a1,1 L a1, n 


A= M
M  ∈ M n (R)
a

a
L
n,n 
 n ,1
diremo che λ∈
∈R è un autovalore di A se esistono X∈R n,1,
X≠0 tali che
AX= λX.
X rappresenta la matrice delle componenti degli
autovettori.
L’insieme degli autovettori con 0 costituisce un sottospazio
vettoriale (autospazio): V λ.
Affinché esistano delle soluzioni X tali che AX=λX, il
sistema (A-λIn)X=0n (sistema lineare omogeneo) deve
ammettere soluzioni non banali. Ciò accade se e solo se
det (A-λIn)=0
Lezione 11
-
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6
Esercizio 1
Data la matrice
0 
 −1 1


A= 0 2
0  ∈ M3 ( R)
 1 −1 − 2


a) determinare gli autovalori di A con le rispettive
molteplicità algebriche;
b) determinare gli autospazi relativi agli autovalori
determinati al punto a).
a) AX= λX ha soluzioni non banali se e solo se
det(A- λI3)=0
1
0 
 −1− λ


det (A − λI3 ) = det  0
2−λ
0  = (-2 - λ)(2 - λ)(-1 - λ)
 1
− 1 − 2 − λ 

allora gli autovalori sono:
λ1=… con molteplicità algebrica 1;
λ2=… con molteplicità algebrica 1;
λ3=… con molteplicità algebrica 1.
b) determinare gli autospazi relativi significa trovare i
vettori rappresentati da X in generale non nulli tali che
Lezione 11
-
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7
AX=λX
b1) AX= …X ⇔ (A+…I3)X=0
x + y = 0

 4y = 0
x − y = 0

V-2={(0,0,α)|α∈R} e dim V-2=1
b2) AX= …X ⇔ (A- …I3)X=0
 − 3x + y = 0

0=0

x − y − 4z = 0

V2={(α,3α,-α/2)|α∈R} e dim V2=1
b3) AX= …X ⇔ (A+I3)X=0
 y=0

 3y = 0
x − y − z = 0

V-1={(α,0,α)|α∈R} e dim V-1=1
Lezione 11
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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8
Esercizio 2
Data la matrice
 −1 0 1 


A =  3 2 1  ∈ M3 ( R)
 0 0 − 1


a) determinare gli autovalori di A con le rispettive
molteplicità algebriche;
b) determinare gli autospazi relativi agli autovalori
determinati al punto a).
a) AX= λX ha soluzioni non banali se e solo se
det(A- λI3)=0
0
1 
 −1− λ


det (A − λI3 ) = det  3
2−λ
1  = (-1 - λ)(2 - λ)(-1 - λ)
 0
0
− 1 − λ 

allora gli autovalori sono:
λ1=… con molteplicità algebrica 1;
λ2=… con molteplicità algebrica 2.
b) determinare gli autospazi relativi significa trovare i
vettori rappresentati da X non banali tali che
b1) AX= 2X ⇔ (A-2I3)X=0
Lezione 11
-
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− 3 x + z = 0

 3x + z = 0
 − 3z = 0

V2={(0,α,0)|α∈R} e dim V2=1
b2) AX= -1X ⇔ (A+I3)X=0
z=0


3 x + 3 y + z = 0

0=0

V-1={(α,-α,0)|α∈R} e dim V-1=1
Esercizio 3
Per quali valori del parametro reale h la matrice assegnata
ammette un autovalore uguale a 0?
 h + 1 2 2h 


0 1
 1
 1
1 2 

 h + 1 2 2h  x   x 
   

1
0
1
 y  = 0 y 

 1
1 2  z   z 

 x  0
   
con  y  ≠  0 
 z  0
   
tali soluzioni esistono se e solo se il determinante della
matrice assegnata risulta nullo: …..=0 ⇒ h=…..
Lezione 11
-
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10
Esercizio 4
In V(R) rispetto alla base B=(e1, e2), per quali valori del
parametro reale
a
la matrice assegnata ammette come
autovettore v= e1+e2 ?
 3 a


−1 0
Svolgimento
Devono esistere a, λ∈R tali che:
 3 a 1
1

  = λ  
−
1
0

1
1
Cioè
3 + a = λ

 −1 = λ
 a = ....

λ = ....
a=…
Attenzione: se la richiesta fosse stata per quali valori del
parametro reale a w= e1 è autovettore, la risposta sarebbe
stata mai.
Infatti le componenti del vettore w sono (1,0):
 3 a  1 
1

  = λ  
−
1
0

 0 
 0
Lezione 11
-
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11
3=λ

− 1 = 0
impossibile
2) Diagonalizzazione
Teorema
Una
matrice
A∈Mn(R)
a
coefficienti
reali
è
diagonalizzabile se e solo se:
a) det(A- λIn)=0 ammette n soluzioni reali λi (contate con
la molteplicità algebrica) e
b) la molteplicità algebrica di ciascun λi uguaglia la
dimensione dell’autospazio associato.
Riprendiamo gli esercizi svolti:
Esercizio 1
La matrice è diagonalizzabile: esiste una matrice simile
 −1 0 0 


A' =  0 − 2 0  ∈ M 3 ( R )
0
0 2 

molt.alg(-2)= 1= dim V-2; molt.alg(2)= 1= dim V2;
molt.alg(-1)= 1= dim V-1.
Lezione 11
-
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12
Esercizio 2
La matrice A non è diagonalizzabile.
molt.alg(2)= 1= dim V2;
molt.alg(-1)=2 mentre dim V-1 =1.
Esercizi da svolgere
1) Come esercizio 1 con
− 3 0 0 


A =  3 − 1 1  ∈ M3 ( R)
 0
1 − 1

2) Determinare gli autovalori di
1

2
A=
1

0

0 0 2

1 1 0
∈ M 4 ( R)

1 1 1

0 0 3 
3) Per quali valori del parametri reale k la matrice assegnata
ammette per autovalore λ=1?
 k 1 - k 1


A =  1 0 1
 0 2 1


4) I prova intermedia 2008: esercizio 5 punti a) e b).
Lezione 11
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