Testo e soluzioni

ESONERO DI ALGEBRA – soluzioni
4 Giugno 2010
1) Dire quanti e quali siano gli ideali di Z[i] che contengono il numero 26.
Soluzione: La fattorizzazione in irriducibili di 26 in Z[i] è
26 = i(1 − i)2 (2 + 3i)(2 − 3i).
Tale fattorizzazione è unica a meno di sostituire i primi che vi compaiono
con primi associati. Inoltre, i primi contenuti nella fattorizzazione sono a
due a due non associati.
L’anello Z[i] è un dominio ad ideali principali e quindi i suoi ideali massimali sono tutti e soli quelli generati da un elemento irriducibile d. Dire che
26 ∈ (d) è equivalente a dire che d|26. Inoltre due elementi sono associati se
e solo se generano lo stesso ideale. In conclusione, gli ideali massimali che
contengono 26 sono tutti e soli quelli generati dai primi (a meno di associati)
che compaiono nella fattorizzazione di 26: vi sono pertanto soltanto tre ideali
che soddisfano le proprietà richieste, ed esattamente: (1−i), (2+3i), (2−3i).
2) Ricordiamo che un sottoinsieme A di un anello R è un sottoanello se
contiene 1 e se, per ogni scelta di a, b ∈ A, si ha che a − b ∈ A e ab ∈ A.
Dimostrare che i seguenti due sottoinsiemi di Q sono sottoanelli:
o
nm o
nm A=
n è primo con 3 ; B =
n è una potenza di 3
n
n
Determinare inoltre l’intersezione A ∩ B.
Soluzione: Intanto, osserviamo che 1 = 1/1 e quindi 1 ∈ A, 1 ∈ B, poiché
1 = 30 è una potenza di 3, ma è anche primo con 3. Inoltre, poiché
a c
ad + bc
a c
ac
+ =
,
+ =
,
b d
ad
b d
ad
per verificare che sia A che B siano sottoanelli di Q, è sufficiente controllare
che il prodotto di numeri primi con 3 sia ancora primo con 3 e che il prodotto
di potenze di 3 sia ancora una potenza di 3. Entrambe queste affermazioni
sono di banale verifica.
L’ultimo punto è un po’ più sottile: va determinato ciascun razionale che
possa esprimersi sia come frazione con denominatore primo con 3, che come
frazione con denominatore potenza di 3 — e queste due frazioni possono
essere in principio diverse l’una dall’altra.
Se semplifichiamo ai minimi termini entrambe queste frazioni, facendo in
modo che il denominatore rimanga positivo, otterremo la stessa frazione. Il
denominatore di tale frazione sarà primo con 3, in quanto divisore di un
numero primo con 3, e sarà una potenza di 3 in quanto divisore di una
potenza di 3. Ma l’unica potenza di 3 prima con 3 è 30 = 1 — lo si vede, ad
esempio, per fattorizzazione unica.
1
2
Gli elementi dell’intersezione A ∩ B si semplificano tutti a frazioni di denominatore 1, e sono quindi interi. Viceversa, poiché 1 ∈ A ∩ B, ogni intero
appartiene ad A ∩ B. In conclusione: A ∩ B = Z.
3) Dimostrare che il gruppo abeliano generato dagli elementi v1 , v2 , v3 che
soddisfano le relazioni
12v1 + 5v2 + 2v3 = 0; 15v1 + 3v2 + 2v3 = 0
è isomorfo a Z.
Soluzione: Si tratta di applicare l’algoritmo fatto a lezione alla matrice:


12 15
 5 3 .
2 2
Con un po’ di manipolazioni, si ottiene:


12 15
5 3
2 2


12 15
3 1
2 2


1
0
0 −33
0 −4






3 1
1 3
1
0
12 15
15 12
15 −33
2 2
2 2
2 −4






1 0
1 0
1 0
0 −1
0 1 
0 1 .
0 −4
0 4
0 0
E quindi il gruppo dato è isomorfo a Z/(1) ⊕ Z/(1) ⊕ Z/(0) = Z.
4) Si determini la decomposizione in fattori irriducibili del polinomio
f (x) = x4 − 6x3 + 15x2 + 9x − 12 ∈ K[x]
quando K = Q o K = Z2 o K = Z7 .
Dire in quali di questi tre casi K[x]/(f (x)) sia un dominio d’integrità, sia
un campo, possieda elementi nilpotenti diversi da 0.
Soluzione: Iniziamo dal caso K = Q. Il polinomio f (x) ∈ Z[x] è primitivo, ed
è quindi irriducibile in Z[x] se e solo se è irriducibile in Q[x]. L’irriducibilità
in Z[x] segue dal criterio di Eisenstein per p = 3, che vale per polinomi
primitivi. Il quoziente Q[x]/(f (x)) è allora sia un campo che un dominio, a
causa dell’irriducibilità di f (x).
Se K = Z2 , il polinomio si riduce a f (x) = x4 + x2 + x = x(x3 + x + 1).
Abbiamo visto più volte a lezione come x3 + x + 1 sia irriducibile su Z2 , e
quindi questa è la fattorizzazione di f (x) in irriducibili. Poiché f (x) non è
irriducibile, il quoziente Z2 [x]/(f (x)) non è né un dominio, né un campo.
Per quanto riguarda il calcolo dei nilpotenti, dire che [a(x)] ∈ Z2 [x]/(f (x)) è
nilpotente è equivalente a dire che f (x) divide a(x)n per qualche n. Questo
vuol dire che sia x che x3 + x + 1 dividono qualche potenza di a(x), e quindi
che dividono anche a(x), per fattorizzazione unica. Ma allora x(x3 + x + 1)
divide a(x), da cui [a(x)] = 0. In altre parole, l’unico nilpotente è 0.
3
Se K = Z7 , si ha f (x) = x4 + x3 + x2 + 2x + 2, e si trova subito che
f (1) = 0. Dividendo per x − 1 si ottiene f (x) = (x − 1)(x3 + 2x2 + 3x + 5)
— spero che il conto sia corretto perché l’ho appena fatto a mente! — e
si vede che il secondo fattore è irriducibile verificando che non ha radici in
Z7 . Questa è quindi la fattorizzazione di f (x) in irriducibili. Con gli stessi
ragionamenti del punto precedente si mostra che il quoziente Z7 [x]/(f (x))
non è un dominio, non è un campo, e non ha nilpotenti diversi da 0.