MATEMATICA CLASSI SECONDE – A.S. 2015/2016
PROGRAMMA SVOLTO
In riferimento ai testi
Leonardo Sasso: "Matematica a colori - edizione blu”, Algebra vol.1 e2, ed.Petrini
Ascari, Morzenti, Valsecchi: “ La geometria del piano e le trasformazioni”, vol.1 e 2 ed.San
Marco
1) Ripasso argomenti del 1° anno:
In particolare: Equazioni di primo grado. Simmetria assiale.
2) Funzioni (APPUNTI):
Generalità (funzione, funzione biunivoca, funzione inversa, funzione composta). Funzioni
numeriche, loro forma analitica e loro grafico (con strumenti informatici). Equazioni e
disequazioni: soluzione con metodo grafico (intersezioni con asse x; intersezione fra curve; segno
della funzione). Applicazione dei suddetti concetti (quindi equazioni, disequazioni e sistemi) ai
casi particolari di funzioni lineari e quadratiche, dopo averne analizzato le forme analitiche ed
aver appreso a disegnarne il grafico.
3) Disequazioni :
Le disuguaglianze numeriche e le disequazioni. I principi di equivalenza. Disequazioni sempre
verificate e disequazioni impossibili. Disequazioni di primo e secondo grado intere. Sistemi di
disequazioni. Disequazioni fratte.
4) Radicali (APPUNTI):
L’insieme numerico R. Definizione di radicale quadratico e cubico. Radicali simili. Le operazioni
e le espressioni con i radicali quadratici e cubici. Semplificare un radicale e trasporto un fattore
fuori o dentro il segno di radice. Razionalizzazione del denominatore di una frazione. Radicali
doppi. Equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni a coefficienti irrazionali. Generalizzazione
ad indice n, proprietà invariantiva e analisi delle situazioni critiche nell’applicazione della proprietà
invariantiva. Radice di radice. Le potenze con esponente razionale.
5) Equazioni di secondo grado:
Le equazioni di secondo grado incomplete e complete. La formula risolutiva di un’equazione di
secondo grado e la formula ridotta. Relazioni fra le radici e i coefficienti di un’equazione di
secondo grado. La scomposizione di un trinomio di secondo grado. Le equazioni parametriche.
Ulteriore analisi della funzione parabola (vertice, asse e zeri, segno). Problemi di secondo
grado.
6) Equazioni di grado superiore:
Le equazioni risolubili con la scomposizione in fattori o con artifici.
trinomie.
Le equazioni binomie,
7) Sistemi di equazioni:
Sistemi di equazioni a due o tre incognite, loro grado, loro soluzione con il metodo di sostituzione
confronto e riduzione. Sistemi determinati, impossibili, indeterminati con anche interpretazione
grafica.
Metodo di Cramer per i sistemi lineari. Applicazione alla discussione dei sistemi.
Sistemi simmetrici di secondo grado e di grado superiore.
Risolvere problemi mediante i sistemi.
1
8) Le altre isometrie:
Definizione di vettore e relative proprietà. Relazione di equipollenza. Traslazione, rotazione,
simmetria centrale, antitraslazione come composizioni di simmetrie assiali. Rette tagliate da una
trasversale. Teoremi su angoli interni ed esterni di triangoli e poligoni in generale. Proprietà dei
lati di un triangolo in relazione agli angoli.
9) Congruenza di poligoni:
I poligoni congruenti. Condizioni sufficienti per la congruenza. Criteri di congruenza per i
triangoli. Criterio di congruenza per i triangoli rettangoli. Criterio di congruenza per i poligoni.
10) I quadrilateri e il piccolo teorema di Talete:
Trapezio, trapezio isoscele, trapezio rettangolo e scaleno e relative proprietà. Parallelogramma e
proprietà. La corrispondenza di Talete e il piccolo teorema di Talete. L’ ortocentro e il baricentro
di un triangolo. Rombo e proprietà. Rettangolo e proprietà. Quadrato e proprietà.
11) La circonferenza e le sue proprietà:
La circonferenza. Le isometrie che trasformano in sé una circonferenza. Circonferenza per n
punti. Archi e corde in una circonferenza. Posizioni reciproche di retta e circonferenza. Posizioni
reciproche di due circonferenze. Angoli al centro e angoli alla circonferenza. Poligoni inscritti e
circoscritti ad una circonferenza.
12) Le grandezze e la loro misura:
Le classi di grandezze geometriche. Le grandezze commensurabili e incommensurabili. La
misura di una grandezza. Le proporzioni tra grandezze. Il teorema di Talete e le sue
applicazioni. Perimetri e aree dei poligoni. Teoremi di Euclide e teorema di Pitagora in forma
metrica. Relazioni sui triangoli rettangoli con angoli di 30°, 45°, 60°. Problemi di algebra applicati
alla geometria.
13) Omotetia e similitudine:
Definizione di omotetia e proprietà. Definizione di similitudine e proprietà. Criteri di similitudine.
Applicazioni della similitudine al triangolo rettangolo: teoremi di Euclide. Applicazione della
similitudine alla circonferenza. Sezione aurea.
14) Probabilità:
Spazio campionario. Eventi certi, impossibili e aleatori. Definizione classica e frequentista di
probabilità. Definizione assiomatica di probabilità. Ipotesi di equiprobabilità. Utilizzo del
diagramma ad albero, della tabella a doppia entrata e del principio fondamentale del calcolo
combinatorio per il conteggio dei casi favorevoli e dei casi possibili di un evento.
2
LAVORO ESTIVO
Il presente file contiene
1. Indicazioni di lavoro suddivise per fasce di profitto
2. Schede di lavoro, di algebra e di geometria numerate da 1 a 9, che costituiscono il
materiale che verrà utilizzato nei corsi di recupero estivi
Il lavoro è obbligatorio per tutti, secondo le indicazioni. Se qualche esercizio creasse qualche
problema, riportare il testo e lasciare lo spazio vuoto per lo svolgimento segnalando in breve
perché non si riesce a risolverlo. Riportare un eventuale svolgimento, anche se errato.
1] Studenti con sospensione del giudizio
Si ricorda che tali studenti, per essere ammessi alla classe successiva, dovranno sostenere
prima dell’inizio del prossimo anno scolastico una prova d’esame (secondo il calendario che
verrà comunicato sul sito) consistente in una prova scritta e una orale, in cui verranno verificate
sia le conoscenze che le abilità operative.
Per la preparazione all’esame si raccomanda di seguire il corso di recupero organizzato dalla
scuola o un equivalente intervento guidato individuale.
Le schede di lavoro (punto2) vanno stampate e portate al corso di recupero. Gli esercizi svolti
al corso stesso e i relativi compiti svolti andranno poi portati in sede di esame a settembre.
Questo vale anche per chi non si avvalesse dei corsi.
2] Studenti promossi, ai quali però sia stato comunicato il permanere di lacune in
matematica
Le schede di lavoro (punto2) costituiscono, anche per costoro, un percorso guidato per colmare
le lacune residue. Le prove di ingresso alla classe successiva, che saranno somministrate anche
al resto della classe e valutate come verifiche del quadrimestre, permetteranno di accertare
l’avvenuto recupero di tali lacune.
3] Studenti promossi con voto 6, senza comunicazione di aiuto e con voto 7
Dovranno ripassare con cura le parti indicate ed eseguire gli esercizi dispari delle schede di
lavoro.
N.B.: eseguire gli esercizi dispari o di posto dispari di ciascun gruppo di esercizi.
4] Studenti promossi con voto maggiore o uguale a 8
Dovranno ripassare con cura le parti indicate ed eseguire un numero a piacere per ognuna delle
schede di lavoro.
3
Scheda n°1
di algebra
Data
Classe
Nome
Contenuti: funzioni numeriche; funzioni retta e parabola; equazioni e disequazioni
per via grafica
NOTA nei prossimi esercizi, salvo non sia espressamente indicato, non va utilizzato Geogebra (o
programmi simili) per disegnare le funzioni. Eventualmente Geogebra può risultare utile, a disegno
ultimato, per controllare la correttezza del proprio lavoro
ESERCIZIO1 Risolvi, in riferimento a ciascun grafico, i seguenti problemi algebrici a fianco
indicato.
cato. Quando necessario, fornisci una stima dei valori coinvolti.
1.1
g (x ) = 0
f (x ) = g (x )
f (x ) ≤ 0
f (x ) ≥ g (x )
1.2
f (x ) = 0
f (x ) = g (x )
f (x ) ≤ 0
f (x ) ≥ g (x )
g (x ) ≤ 0
f (x ) ≥ 0
4
1.3
f (x ) = g ( x )
f (x ) ≤ 0
g (x ) > 0
f (x ) ≥ g (x )
1.4
g (x ) = 0
f (x ) ≥ g (x )
g (x ) > 0
f (x ) ≥ g (x )
g (x ) ≤ 0
f (x ) ≥ 0
1.5
f (x ) = 0
g (x ) = 0
f (x ) < 0
g (x ) ≤ 0
f (x ) ≥ g (x )
g (x ) ≤ 0
f (x ) ≥ 0
5
f (x ) = 0
1.6
g (x ) = 0
f (x ) = g ( x )
g (x ) > 0
f (x ) ≥ g (x )
g (x ) > 0
f (x ) ≥ g (x )
RICORDA (relazioni di base)
Generica equazione della retta (non parallela all’asse y):
Parallele all’asse y:
y = mx + q
x=k
Risulta m =
Generica equazione della parabola:
∆y
(coefficiente angolare)
∆x
y = ax 2 + bx + c
Risulta xV = −
b
( y V per sostituzione)
2a
ESERCIZIO2 Disegna su uno stesso grafico le seguenti rette. Quali considerazioni puoi fare
osservando i grafici disegnati?
1. y = −3x
1
x +1
2
3. 6x + 3y = 1
2. y =
4. y = −3x + 2
5. 2y = x + 3
2
6. y = − x
3
ESERCIZIO3 Disegna le seguenti parabole in modo accurato. Per ciascuna determina
→ Coordinate del vertice
→ Intersezioni con gli assi
→ Asse di simmetria
Quali informazioni sono deducibili in modo immediato osservando l’equazione della parabola?
1. y = −3x 2 + 2
4. y = − x 2 + 3x - 2
2. y = x 2 + 4x + 3
5. y = x 2 +
3. y = 2x + 8 x
2
3
2
2
6. y = x − 2x + 5
6
ESERCIZIO4 Risolvi le seguenti equazioni per via algebrica e successivamente affianca una
interpretazione grafica (per le equazioni di grado superiore al secondo, utilizza Geogebra).
1. 2x 2 − 7x + 3 = 0
4. − x 3 + 3x 2 - 2x = 0
3
5. x 4 + = 0
2
6. x 2 − 2x + 5 = 0
2. 5x + 8 = 0
3. 3x 3 − 2x 2 − 3x + 2 = 0
ESERCIZIO5 Risolvi i seguenti sistemi di equazioni per via algebrica (metodo di sostituzione) e
successivamente affianca una interpretazione grafica.
y = -2x + 6
1.
(5;-4)
x + y − 1 = 0
1
x − 2y = −1 3 3
2. 3
;
x + 2y = 3 2 4
y = -x 2 + x − 1
1.
(0;-1) e (3;-7)
2x + y + 1 = 0
y = −x 2 − 2x
2.
(1;-3) e (- 5;-15)
2x − y − 5 = 0
ESERCIZIO6 Risolvi i seguenti problemi algebrici per via grafica, dopo aver disegnato le curve
associate (non modificare la forma algebrica del problema)
1. − 3x + 1 ≤ 0
2. − x 2 + 5 x − 6 ≥ 0
3. x 2 ≥ x
4. x 2 − x + 2 ≤ 0
x 2 ≤ −x + 1
x 2 − x − 2 ≤ 0
6.
2x + 3 > 0
5.
− x 2 + 1 ≤ x 2 − 2 x + 1
7.
2 x + 3 > 0
ESERCIZIO7 Risolvi i seguenti problemi su retta e parabola
1. Determina l’equazione della retta passante per il punto A(0;4) e per il punto B(2;8)
2. Determina l’equazione della retta parallela alla retta 3 x + y + 2 = 0 passante per il punto
A(1;4)
3. Determina l’equazione della retta passante per il punto A(-1;4) e per il punto B(2;3)
4. Date le parabole y = (1 − 2k )x + x − 3k + 5 , determina per quali valori del parametro k si
ha una parabola
a. Passante per A(2;-1)
b. Passante per l’origine
c. Con concavità verso il basso
2
5. Determina l’equazione della parabola passante per il punto A(0;3), simmetrica rispetto
all’asse y e passante per il punto B(2;12)
ESERCIZIO8 Risolvi i seguenti problemi, utilizzando opportune funzioni ed affiancando opportuni
grafici
1. Il prezzo dell’abbonamento al cinema in una determinata sala è di € 24 mensili più 2 euro
per ogni proiezione. In un'altra sala invece si pagano € 5 per ogni ingresso e nessun
mensile. Quale delle due sale è più conveniente?
2. Preferisci che la tua paghetta sia di € 20 al mese più 2 euro per ogni verifica sufficiente che
porti a casa al mese, oppure preferisci prendere € 30 al mese e non se ne parli più?
7
SOLUZIONI
1.1
1.2
f (x ) ≤ 0 ⇔ x ≤ 1
f (x ) ≥ g(x ) ⇔ - 1 ≤ x ≤ 2
f (x ) ≤ 0 ⇔ x ≤ -2 ∨ 0 ≤ x ≤ 1
g(x ) = 0 ⇔ x = ±1
f (x ) = g(x ) ⇔ x = -1 ∨ x = 2
f (x ) = 0 ⇔ x = -2 ∨ x = 0 ∨ x = 1
f (x ) = g (x ) ⇔ x = -2 ∨ x = 0 ∨ x = 2
f (x ) ≥ g (x ) ⇔ - 2 ≤ x ≤ 0 ∨ x ≥ 2
g (x ) ≤ 0
- 2 ≤ x ≤ 0
⇔
⇔-2≤ x ≤0
(
)
f
x
≥
0
- 2 ≤ x ≤ 0 ∨ x ≥ 1
1.3
1.4
f (x ) ≤ 0 ⇔ a < x < b con - 3 < a < -2 ∧ 0 < b < 1
g (x ) > 0
x < −2 ∨ −1 < x < 1∨ x > 2
⇔
(
)
(
)
f
x
≥
g
x
α ≤ x ≤ 2 con 0 < α < 1
⇔ α ≤ x <1
g (x ) = 0 ⇔ x = ±2 ∨ x = ±1
f (x ) ≥ g (x ) ⇔ α ≤ x ≤ 2 con 0 < α < 1
f (x ) = g (x ) ⇔ x = α ∨ x = β
con - 3 < α < -2 ∧ 1 < β < 2
g (x ) > 0
x > −2
⇔
f (x ) ≥ g (x )
x ≤ α ∨ x ≥ β
⇔ x≥β
g (x ) ≤ 0
− 2 ≤ x ≤ −1∨ 1 ≤ x ≤ 2
⇔
⇔ 1≤ x ≤ 2
f (x ) ≥ 0
0 ≤ x ≤ 2
1.5
1.6
g (x ) = 0 ⇔ x = 0 (soluzionedoppia)
f (x ) < 0 ∀x ≠ 1
g (x ) ≤ 0 ⇔ x = 0
f (x ) ≥ g (x ) impossibile, S = ∅
g (x ) = 0 ⇔ x = α ∨ x = β
f (x ) = 0 ⇔ x = 1(soluzionedoppia)
f (x ) = 0 impossibile, S = ∅
con - 3 < α < -2 ∧ 0 < β < 1
f (x ) = g (x ) ⇔ x = a ∨ x = b
con - 3 < a < -2 ∧ 0 < b < 1
g (x ) ≤ 0
x = 0
⇔
impossibile, S = ∅
f (x ) ≥ 0
x = 1
g (x ) > 0 ⇔ x < α ∨ x > β
f (x ) ≥ g (x ) ⇔ a ≤ x ≤ b con x ≠ 0
g (x ) > 0
x < α ∨ x > β
⇔
⇔β <x≤b
f (x ) ≥ g (x )
a ≤ x ≤ b
osservando che α < a < β < b
ESERCIZIO4
1
1. x = 3 ∨ x =
2
8
2. x = −
5
2
3. x = ±1∨ x =
3
4. x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = 2
5. S = ∅
6. x 2 − 2x + 5 = 0 ⇔ x 2 − 2x + 1 + 4 = 0
⇔ (x - 1) + 4 = 0 impossibile S = ∅ (nb : se disegni la parabola
2
comprendi subito che l' equazione è impossibile! )
ESERCIZIO5
1. (5;-4)
3 3
2. ;
2 4
3. (0;-1) e (3;-7)
4. (1;-3) e (- 5;-15)
ESERCIZIO6
1. x ≥
1
3
2. 2 ≤ x ≤ 3
3. x ≤ 0 ∨ x ≥ 1
4. − 1 ≤ x ≤ 2
5. α ≤ x ≤ β con - 2 < α < -1 ∧ 0 < β < 1
6. − 1 ≤ x ≤ 2
7. −
3
< x ≤ 0∨ x =1
2
8
ESERCIZIO7 Risolvi i seguenti problemi su retta e parabola
1. y = 2 x + 4
2. y = −3 x + 7
3. y = −
ESERCIZIO8
confrontare
1
11
x+
3
3
4. a. k =
5. y =
12
5
1
; b. k = ; c. k >
11
3
2
9 2
x +3
4
In entrambi gli esercizi vanno disegnati dei grafici con due funzioni lineari da
1. La prima sala è più conveniente se vado al cinema più di 8 volte al mese.
2. Se prevedo di prendere più di 5 sufficienze, allora conviene la prima formula
9
Scheda n°2
di algebra
Data
Classe
Nome
Contenuti: Disequazioni e sistemi di disequazioni, risoluzione per via algebrica
RICORDA CHE PER RISOLVERE CORRETTAMENTE UNA DISEQUAZIONE:
1. devi scriverla in forma normale, cioè scriverla in modo che il secondo membro sia zero e
tutti gli eventuali termini simili al primo membro siano ridotti
2. se il primo membro è un polinomio di primo grado, devi risolvere subito applicando i due
criteri di equivalenza
3. se il primo membro è un polinomio di secondo grado, devi risolvere la disequazione in
modo grafico, facendo un disegno qualitativo della parabola associata
4. se il primo membro è un polinomio di grado superiore al secondo o se si tratta di una
disequazione fratta, devi
- scomporre in fattori sia il numeratore che il denominatore, in fattori di primo o secondo
grado
- determinare per quali valori dell’incognita ogni singolo fattore è positivo/non negativo
(a seconda della richiesta, come vedremo negli esempi)
- rappresentare graficamente, con un grafico di segno, il segno di ogni fattore
- determinare il segno risultante e scegliere l’intervallo soluzione
- scrivere l’insieme soluzione.
ESEMPI
A] Per risolvere la seguente disequazione x(x − 2) + 8 > (x − 2) + 5x
2
1. la scrivo in forma normale in modo che il secondo membro sia zero e tutti gli eventuali
termini simili al primo membro siano ridotti
2
x (x − 2) + 8 − (x − 2) − 5x > 0 ⇔ x 2 − 2x + 8 − x 2 + 4x − 4 − 5x > 0 ⇔ − 3x + 4 > 0
2. siccome il primo membro è un polinomio di primo grado, risolvo subito applicando i due
criteri di equivalenza
Applico il 1° criterio di equivalenza − 3 x > −4
Applico il 2° criterio di equivalenza x < 4
3
NB: applicando il 2° criterio di equivalenza ho cambiato il verso della disequazione perché ho
diviso per un numero negativo
3. scrivo l’insieme soluzione
4
S = x x <
3
B] Per risolvere la seguente disequazione x 3 − 5x 2 ≤ x − 5
1. la scrivo in forma normale in modo che il secondo membro sia zero e tutti gli eventuali
termini simili al primo membro siano ridotti
x 3 − 5x 2 − x + 5 ≤ 0
2. siccome il primo membro è un polinomio di grado superiore al primo, scompongo in fattori di
primo e/o secondo grado
x2 (x − 5) − (x − 5) ≤ 0
⇔
(x - 5)(x 2 − 1) ≤ 0
10
3. determino per quali valori dell’incognita ogni singolo fattore è positivo o nullo
S.P. (Studio positività)
x−5≥0⇔x≥5
x 2 − 1 ≥ 0 ⇔ x ≤ -1 ∨ x ≥ 1
4. rappresento graficamente con un grafico di segno il segno di ogni fattore e determino il
segno risultante in ogni intervallo
5. scelgo come insieme soluzione l’unione degli intervalli segnati con il segno meno (perché la
disequazione nella forma normale presenta il segno ≤, altrimenti avrei scelto gli intervalli
segnati con il segno più)
6. scrivo l’insieme soluzione S = {x x ≤ −1 ∨ 1 ≤ x ≤ 5}
C] Per risolvere la seguente disequazione 52x − 2 + 1 < 2
x + 3x x + 3 x
1. la scrivo in forma normale in modo che il secondo membro sia zero e il primo membro sia
scritto sotto forma si unica frazione.. Numeratore e denominatore devono essere scomposti
in fattori di primo e/o
o secondo grado.
NB E’ un errore grave applicare il secondo principio e semplificare il denominatore:
infatti il segno del denominatore non è noto e non è quindi possibile stabilire quale
verso considerare nella disequazione semplificata
5x − 2
1
2
+
− <0
2
x + 3x x + 3 x
⇔
5 x − 2 + x − 2x − 6
<0 ⇔
x (x + 3 )
4(x − 2 )
<0
x 2 + 3x
2.. determino per quali valori dell’incognita ogni singolo fattore è positivo o nullo (spiega
perché un fattore può annullarsi e l’altro no)
S.P. (Studio positività)
x−2≥0⇔ x≥2
x 2 + 3 x > 0 ⇔ x < -3 ∨ x > 0
3. rappresento graficamente con un grafico di segno il segno di ogni fattore e determino il
segno risultante in ogni intervallo
4. scelgo come insieme soluzione l’unione degli intervalli segnati con il segno meno (perché la
disequazione nella forma normale presenta il segno ≤,, altrimenti avrei scelto gli intervalli
segnati con il segno più)
5. Scrivo
crivo l’insieme soluzione S = {x x < −3 ∨ 0 < x ≤ 2}
11
RICORDA CHE PER RISOLVERE CORRETTAMENTE UN SISTEMA DI DISEQUAZIONI
1. devi risolvere separatamente ciascuna disequazione presente nel sistema, determinando
tanti insiemi soluzione quante sono le disequazioni
2. devi rappresentare graficamente con un grafico di intersezione i vari insiemi trovati.
3. devi determinare l’insieme intersezione degli insiemi dati.
ESEMPIO Dato il sistema
(x + 2)(x − 4) − 8 < (x − 3 )2
2x − 6
≤0
4x − x 2
1. Risolvo separatamente le due disequazioni
A) Risolvo la prima disequazione
x 2 − 4 x + 2x − 8 − 8 < x 2 − 6 x + 9 ⇔ −2 x + 6 x < 16 + 9 ⇔ 4 x < 25 ⇔ x <
25
4
NB: si tratta di una disequazione di primo grado,, per risolverla è sufficiente
applicare i due criteri di equivalenza.
Scrivo l’insieme soluzione S1 = x x < 25
4
B) Risolvo la seconda disequazione (che è già scritta in forma normale)
→. S.P.( studio positività)
2x − 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3
4x − x 2 > 0 ⇔ 0 < x < 4
→ Rappresento
appresento graficamente con un grafico di segno il segno di ogni fattore e
determino il segno risultante in ogni intervallo
→ Scelgo
celgo come insieme soluzione l’unione degli intervalli segnati con il segno meno
(perché la disequazione nella forma normale presenta il segno ≤, altrimenti avrei
scelto gli intervalli segnati con il segno più) e scrivo l’insieme soluzione
S 2 = {x 0 < x ≤ 3 ∨ x > 4}
2. Determino l’intersezione dei due
insiemi soluzione con un grafico di
intersezione
3.. Scrivo l’insieme soluzione S=S1∩ S2= x 0 < x ≤ 3 ∨ 4 < x < 25
4
12
ESERCIZIO1 Risolvi le seguenti disequazioni già scritte in forma normale:
1) x − 2 < 0
2)
x−4
>0
x−6
3) 3 − x ≥ 0
5) − 4 x + 5 ≤ 0
6)
−x
<0
x+2
7)
x−3
3x + 1
4) − 6 > 0
x−1
2x − 8
x−1
( x − 4)
2
8)
≥0
3 − 4x
(2 − 7 x)2
>0
ESERCIZIO2 Risolvi evitando passaggi inutili
1) (6x + 2)3 < 0
(
5)
)
x2 − 4
2
≤0
2) ( x 2 − 4) 2 > 0
3) ( x 2 + 4) 3 ≥ 0
6) x 8 > −5
7) 3 x 8 + 2 > 0
4
4) x 2 + 4 < 0
8) x 4 + x 2 + 8 ≤ 0
5
ESERCIZIO3 Risolvi le seguenti disequazioni dopo averle scritte in forma normale:
1) 2x − 2 > 1
2) x − 3 ≤ 1
x−3
x−1
4)
x−2 x−4
−
≥0
x−3 x−6
7)
5
3
6
−
+
−1< 0
2 − x 4 − 2x 6 − 3 x
5)
2x − 1
x
≥
+1
x−3
x−4
3)
3x
1
1
−
≥−
x − 4 2x − 8
4 x − 16
6)
1
3
− ≥1
2−x 4
8) x2 < 25
9) x2 +6 < 5x
10) x3 - 2x2 ≥ 2-x
11) x2 + 3x + 5 ≥ 3
12) x2 ≤ 3x
13) 2x 3 + 3x 2 ≥ 8x − 3
14) 3x 3 + 2x 2 < 19x − 6
ESERCIZIO4 Risolvi utilizzando il metodo grafico le disequazioni 11, 12, 14,15 dell’esercizio
precedente e le seguenti:
1) − x 2 < 2x
2) x 2 + x + 6 < 0
3) − x 2 + 6 x − 9 ≥ 0
4) − 6 x 2 + 5 x − 1 > 0
5) − x 2 < 5
6) − x 2 ≥ −5
ESERCIZIO5 Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni:
x 2 ( x − 3) − ( x − 1
1)
2 − x
<0
x + 4
)
3
≥ 4( x + 2)
( x − 2 ) 2 − 3 < ( x + 3) 2 − 1
4)
2−x
≥0
3 − x
x( x − 2) + 8 > ( x − 2) + 2x
2
7) ( x + 3)( x − 3) − ( x − 2) 2 < 0
2
5 x − 125 ≤ 0
( x − 4) ⋅ ( x − 3) < 0
2)
2
2
3) ( x − 2) − ( x − 3) ≤ 8
( x + 2) 2 x − 1 ( x − 2) 2 x
−
5) 8 − 2 ≤
8
8
(2x − 1)( 4 x − 5) ≤ 0
6)
x−2 x+3
3 + 2 >1
x 2 + 6 x − 27 < 0
8) 2
x − 14 x + 48
≥0
4−x
x 2 − 8 x + 7 ≤ 0
( x + 2)( x − 4) − 8 < ( x − 3) 2
2x − 3
<0
4−x
x 2 − x ≥ 4 − x
9)
( x 2 − 25)( x + 5) > 0
13
x−1
≤0
10) x 2 − 3 x + 2
3
2
x − 3x > 0
2
x − 9
x3 − 3x2 + x − 3
<0
x
x 2 − 3 x + 2 ≥ 0
11)
x2 − 1
≥0
12) x 3
2
x + 1 + 2x > 0
x
ESERCIZIO6] Risolvi i seguenti problemi di massimo e di minimo:
1] Al quadrato ABCD di lato 2 cm vengono tolti i due triangoli
rettangoli isosceli FGD come in figura. Indica con x la misura del
lato DF e rispondi ai seguenti quesiti:
a. determina l’area A(x) della regione colorata e tracciane il
grafico mettendo in evidenza l’arco che si riferisce al
problema;
b. calcola il valore massimo e il valore minimo dell’area,
indicando anche per quali valori di x si ottengono;
c. calcola per quali valori di x risulta 2 ≤ A (x ) ≤
12
5
2] Nel triangolo ABC è costante e uguale a 6 la somma della base AB e dell’altezza CH a essa
relativa. Poni AB = x e costruisci la funzione A(x) area del triangolo ABC e rispondi:
d. traccia il grafico di A(x) e metti in evidenza il tratto che si riferisce al problema;
e. determina il valore massimo e il valore minimo dell’area, indicando anche per quali valori
di x si ottengono;
f.
calcola per quali valori di x risulta
5
≤ A( x ) ≤ 4
2
3] Detto C un punto del segmento AB di lunghezza 3 cm e indicato con x la misura di AC, scrivi
la funzione f (x ) = AC − AB ⋅ CB e rispondi alle seguenti domande:
g. traccia il grafico di f(x) e metti in evidenza il tratto che si riferisce al problema;
h. determina il valore massimo e il valore minimo della funzione f(x), indicando anche per
quali valori di x si ottengono;
2
2
i.
calcola per quali valori di x risulta AC = AB ⋅ CB
Osservazione: il segmento AC che gode di questa proprietà si chiama sezione aurea di AB
j.
determina per quali valori di x risulta AC ≥ AB ⋅ CB
2
14
SOLUZIONI
ESERCIZIO1
1) 2<x<3
2) x<4 ∨ x>6
3) 3≤ x < 4
7) 1≤ x <4 ∨ x > 4
8) x < 2/7 ∨ 2/7 < x< ¾
4) x < 1
5) x<- 1/3 ∨ x≥5/4
6) x < -2 ∨ x>0
ESERCIZIO2
1) x<-1/3 ; 2) x≠±2;
3) ∀x;
ESERCIZIO3
1) x< -1∨ x>3
2) x >1
3) x ≤ 1/12 ∨ x >4
4) x ≤ 0 ∨ 3 < x < 6
5) 3 < x < 4 ∨ x ≥ 8
4) ∅;
5) x=±2;
6) ∀x;
6) 10/7 ≤ x < 2
7) x < -7/2 ∨ x > 2
8) -5 < x < 5
9) 2 < x < 3
10) x ≥ 2
7) ∀x;
8) ∅
11) x ≤ -2 ∨ x ≥ -1
12) 0 ≤ x ≤ 3
13) -3≤ x ≤ ½ ∨ x ≥ 1
ESERCIZIO4
1) x<-2 ∨ x>0;
2) ∃/x ∈ R ;
3) x=3;
4)
1
1
<x< ;
3
2
5) ∀x ∈ R ;
6)
− 5≤x≤ 5
ESERCIZIO5
x ≤ −1
⇒ x < -4
x < −4 ∨ x > 2
1.
3 < x < 4
⇒ 3<x<4
2.
1
x
>
5
13
x ≤
3.
2 ⇒ 1 ≤ x ≤ 13/2
1 ≤ x ≤ 7
7
x > −
⇒ -7/10 < x ≤ 2 ∨ x > 3
4.
10
x ≤ 2 ∨ x > 3
x ≤ −1
5. 1
5 ⇒ S=∅
≤
x
≤
2
4
25
x < 4
⇒ x < 3/2 ∨ 4 < x < 25/4
6.
3
x < ∨ x > 4
2
∀x ∈ R
13
7. x <
⇒ -5 ≤ x <13/4
4
− 5 ≤ x ≤ 5
− 9 < x < 3
⇒ -9 < x < 3
x < 4 ∨ 6 ≤ x ≤ 8
8.
x ≤ −2 ∨ x ≥ 2
⇒ x>5
x > 5
9.
x < 2 ∧ x ≠ 1
⇒
x > −3 ∧ x ≠ 0 ∧ x ≠ 3
10.
⇒ -3 < x < 0 ∨ 0 < x < 1 ∨ 1 < x < 2
0 < x < 3
⇒ 0<x≤1 ∨ 2≤x<3
x ≤ 1 ∨ x ≥ 2
11.
− 1 ≤ x < 0 ∨ x ≥ 1
⇒x ≥ 1
x > 0
12.
15
ESERCIZIO6
1]
a. A (x ) = − x 2 + 2x + 2 con 0 ≤ x ≤ 2
vedi grafico a lato
b. AMAX = 3 per x=1; Amin = 2 per x=0 o x=2
c. 0 ≤ x ≤
5 − 15 5 + 15
∨
≤x≤2
5
5
2]
a. A (x ) = −
1 2
x + 3 x con 0 ≤ x ≤ 6
2
vedi grafico a lato
b. A MAX =
9
per x=3; Amin = 0 per x=0 o x=6
2
c. 1 ≤ x ≤ 2 ∨ 4 ≤ x ≤ 5
3]
a. f (x ) = x 2 + 3 x − 9 con 0 ≤ x ≤ 3
vedi grafico a lato
b. fMAX = 9 per x=3; fmin = −9 per x=0
c. x = 3 ⋅
…d. 3 ⋅
− 1+ 5
2
− 1+ 5
≤x≤3
2
16
Scheda n°3
di algebra
Data
Classe
Nome
Contenuti: Calcolo con i radicali
ESERCIZIO1 Determina per quali valori reali di x sono definiti in R i radicali.
Pag.59: 51, 53, 60, 61, 62, 68, 72, 73, 77, 79
ESERCIZIO2 Indica in quale sottoinsieme di R sono vere le seguenti uguaglianze
risposta
a)
( x − 1)
b)
( x − 1) 2
= 1− x
c)
( x − 1) 2
= x−1
2
= x−1
ESERCIZIO3 Semplifica i seguenti radicali, controllando che si abbia identità di segno e di dominio
(specifica ogni volta)
si
si
radicale
mantiene mantiene
dominio
semplificato
l’identità il
di segno dominio
(x - 5)2
5
(x - 5)5
x2 + 1
ESERCIZIO 4 Scomponi in fattori le seguenti espressioni
5 3 − 6 + 2 15
2x - 5x 2 + 6 − 5 3
5x 2 − 1
x 2 − 3x 3 + 6
x2 − 2x 3 + 3
7-4 3
5x + 2 x 5 + 1
2
13 − 4 3
10 − 4 6
x 2 − 3x 7 − 28
x 2 − 10x 2 − 48
8−4 3
9+4 5
ESERCIZIO5 Rendi razionali i denominatori delle frazioni
5
5 +1
10
4x
5 −1
10
3 2
3− 2
17
7 −1
x
27 x
5
7 +1
4
3
10
1
12
5 2− 3
6ab
3
3ab 2
ESERCIZIO6 Esegui le seguenti operazioni tra radicali:
(
)
(
3 5 5+ 2 − 2 2− 5
)
(- 2 )
(3 3 − 2 2 )
4
4
(- 6 )
(3
2
26 + 4 12
5
5
2− 3
)
3
ESERCIZIO7 Risolvi i seguenti problemi
1. Calcola la misura dell’altezza di un trapezio la cui area misura 3 3 + 5 2 (cm2),
mentre la base minore e la base maggiore misurano rispettivamente 2 3 (cm) e
3 2
(cm).
2. Calcola la misura dell’altezza del triangolo la cui area misura 3 3 + 5 2 (cm2) e la
base misura 2(2 6 − 1) (cm).
3. Calcola la misura dell’altezza del triangolo la cui area misura 19(cm2) e la base
misura 2 5 + 1 (cm).
2
4. Data la funzione f(x)= 2x - 2x 2 + 1 verifica che f 2 + 1 = f 2 − 2
2
2
5. Calcola i valori dell’espressione x − x − 2 rispettivamente per:
3
x= 3
x = 3 −1
R:2 3 − 2
R:5 3 −9− 2
x = 3 +1
R:5 3 +9− 2
R:0
x= 2
ESERCIZIO8 Risolvi le seguenti equazioni, disequazioni, sistemi
Soluzioni
1.
2.
3.
5 2x
2 3
−
3
<
6
3 6x
2
x(x + 1) + 1 + 2 > x + 2 (x + 2 )
x>-3/4
x<-1
2
x+2
1− 3
>
x
x<−
1+ 3
4x 2 − 5
≤0
4.
3−x
−
3+ 3
3
5
5
≤x≤
∨ x>3
2
2
18
5.
6.
7.
8.
x2
x − 2x 3 + 3
2
≥1−
x2 − 2
x−x +x 3− 3
2
x 2 +1
x 2 −1
(x
x≥0 ∧ x≠ 3
3
3 −x
− 2 ≤ x < 1∨ 2 ≤ x < 3
≥0
19 2 + 12
34
=3 2
) (
) (
)(
2
)
2
2
x=−
3 − 1 + x − 3 x + 3 = 2 2x 2 − 1 + 6
2
4
SB : − 2 ≤ x ≤ 2 ∧ x ≠ 0
SA : x > −
x
x
< 1+
1− 2
1+ 2
9.
2 ≥1
x 2
Da cui la soluzione del sistema
S:−
2
<x≤ 2∧x≠0
4
ESERCIZIO GUIDA
( )
Disegna il grafico della funzione f x =
x 2 − 4 x 2 + 8 − x 2 − 6 x 2 + 18
f (x ) = x 2 − 4 x 2 + 8 − x 2 − 6 x 2 + 18 =
(x − 2 2 )
2
−
(x − 3 2 )
2
poniamo le CR: ∀x
e applichiamo la PI ricordando che, nel nostro caso per le CR poste, è necessario porre il valore assoluto
per entrambi i risultati
f (x ) =
(x − 2 2 )
2
−
(x − 3 2 )
2
= x −2 2 − x −3 2
sciogliamo i valori assoluti presenti
2 2
3 2
x−2 2 =
−x + 2 2
x−2 2
x−2 2
x−3 2 =
−x + 3 2
−x + 3 2
x −3 2
Calcoliamo l’espressione nei tre casi individuati
− x + 2 2 + x − 3 2 = − 2
f (x ) = x − 2 2 − x − 3 2 = x − 2 2 + x − 3 2 = 2 x − 5 2
x − 2 2 − x + 3 2 = 2
x≤2 2
2 2 < x <3 2
x≥3 2
19
ESERCIZIO9 Disegna il grafico delle seguenti funzioni
f (x ) = x 2 − 2x + 1 − x 2
1.
f (x ) = x 4 x 2 + 4 x + 1 − x 4
2.
SOLUZIONI
ESERCIZIO2
risposta
= x−1
x ≥1
( x − 1) 2
= 1− x
x ≤1
( x − 1) 2
= x−1
∀x ∈ R
a)
( x − 1)
b)
c)
2
ESERCIZIO3
C.E. ∀x ∈ R
C.E. ∀x ∈ R
C.E. ∀x ∈ R
x −5
VA per ripristinare il segno
x −5
x2 +1
ESERCIZIO4
(
)
(x 5 + 1)(x 5 − 1)
(x − 3 )
(2 − 3 )
(x 5 + 1)
(2 3 − 1)
( 6 − 2)
( 2 − 5)( 2x + 3 )
(x − 2 3 )(x − 3 )
(x + 7 )(x − 4 7 )
(x − 6 2 )(x − 4 2 )
( 6 − 2)
( 5 + 2)
3 2 5 − 2 +5
2
2
2
2
2
2
2
ESERCIZIO 5
5
10
4x
3 2
=
10
2
=
2x 2
3
x
27x 5
=
3x
9x 2
3
30
=
10
10
1
3
=
12
6
5 +1
5 −1
10
=
3− 2
con x > 0
7 −1
7 +1
4
=
3+ 5
2
(
= 10 3 + 2
)
4− 7
3
=
(
45 2+ 3
47
)
5 2− 3
6ab
= 2 3 9a 2b con a,b ≠ 0
3
2
3ab
20
ESERCIZIO 6
13 + 4 10
2
−6
2 6+ 2
35 − 12 6
81 2 − 57 3
ESERCIZIO7
1.
12 − 6
6
2.
3+ 2
3. 4 5 − 2
ESERCIZIO 9
1.
1
x − 1 − x = − 2 x + 1
− 1
x≤0
0 < x <1
x ≥1
2.
− 3x 2 − x
x 2x + 1 − x 2 =
x 2 + x
1
2
1
x>−
2
x≤−
21
Scheda n°4
di algebra
Data
Classe
Nome
Contenuti: Equazioni di secondo grado
ESERCIZIO1 Risolvi le seguenti equazioni:
1)
x2 + 3
3 −1
(
−
)
3 − x (1 − x )
3 +1
=
x 2 − 2x + 3
2
3)
4)
5
x
5
2)
−
=2+ 2
x
5+x
x +x 5
x− 2
3−x
+
x− 3
x+2 3
x+ 3
2−x
−
=
2 5+x
5+x
5
6
=
(
)
3 5 + 3 − 2x 2
x + 15 + x 3 + x 5
2
ESERCIZIO2 Semplifica le seguenti frazioni, se è possibile, calcola poi quando sono positive le
frazioni degli esercizi pari e quando sono negative quelle degli esercizi dispari:
1)
3x 2 + 5 2 x − 4
2)
3x − 4 2x + 2
2
6x − x 2 − 2
2
3)
4)
2x − x 2 − 2
2
(
)
x2 2 + 2 − 3 x − 6
x
x
(
)
6 − ( 3 − 2 )x − 1
+ (2 3 − 2 )x − 6
2 + 3 2 −1x − 3
2
2
2x 2
ESERCIZIO3
1. Data l’equazione parametrica (k − 3 )x 2 − (2k − 3 )x + k = 0 determina per quali valori del parametro
reale k risulta che:
1.
2.
3.
4.
l’equazione è di 1° grado
le soluzioni sono reali distinte
le soluzioni sono reali reciproche
le soluzioni sono reali discordi
5. le soluzioni sono reali e tali che la somma
degli inversi è 5
6. una delle soluzioni è nulla
2. Data l’equazione parametrica x 2 + (2k + 1)x + k 2 − 1 = 0 determina per quali valori del parametro
reale k risulta che:
1. le soluzioni sono reali coincidenti
2. le soluzioni sono reali opposte
3. le soluzioni sono reali
antireciproche
4. le soluzioni sono reali ed entrambe positive
5. le soluzioni sono reali e tali che la somma
dei quadrati è 3
6. una delle soluzioni è 2 + 1
ESERCIZIO4 Risolvi le seguenti equazioni
1.
(x
2
)(
)
(
− 7 x 2 + 7 + 20 + x 2 − 7
)
2
=0
x +1
2−x
−3=
2
x −1
x2
4
2
3. x − 1 − 17 x − 1 + 16 = 0
x + 1
x + 1
2
2
2.
22
ESERCIZIO5 Risolvi i seguenti problemi
1. Un terreno a forma rettangolare di 601m2 viene recintato con un muro lungo 350m. Quali sono
le dimensioni del terreno?
2. La piramide di Cheope ha base quadrata ed ha una superficie totale pari a 135700m2.
Sapendo che l’apotema della piramide è pari a 180m, calcola la lunghezza del lato di base.
3. Quale fra le parabole di equazione y = (5 + k )x 2 − 2k 2 x − 3 ha la concavità verso l’alto e passa
per il punto A(-1;4)? ( k ∈ R ∧ k ≠ −5 )
4. Su una circonferenza di diametro AB di lunghezza 2r determina un punto C in modo che, detta
D la sua proiezione ortogonale sulla tangente in B alla semicirconferenza sia:
2
2
2
2AC + 2CD +BD = 7r 2 .
5. Un campo a forma rettangolare, che per schematizzare indichiamo con ABCD, ha dimensioni
1km e 5km (AB lato corto). Sui lati CD, BC, AD considera, rispettivamente, i punti L, M, N con
BM e DN aventi entrambi lunghezza uguale al doppio della lunghezza di CL. Determina la
posizione dei suddetti punti per fare in modo che il triangolo LMN, che verrà asfaltato mentre la
parte rimanente sarà adibita a verde pubblico, abbia area 2km2.
SOLUZIONI
ESERCIZIO1
(
1) − 3 ; 3 − 4
2) − 5
)
3)
3
(
3 + 2; 0
)
4) 3 + 5
2
ESERCIZIO2
1) − 2 2 < x < 2 ∧ x ≠ 2 3
3) -
(
2
2
2
<x< ∨
< x< 2
2
3
2
ESERCIZIO3
3.1
RICHIESTA
)
2) x < - 3 ∨ x > − 2 ∧ x ≠
3
2
4 ) x < − 3 ∨ x > −
∧x≠
3
2
SOLUZIONI
Equazione1
RICHIESTA
SOLUZIONI
Equazione1
4
x1 x2 < 0 ∧ ∆ > 0
0<k <3
k = −1
k =0
∆≥0
∀k
1
a=0
k=3
2
x1 ≠ x 2
∀k ≠ 3
5
1
1
+
=5
x1 x 2
3
x1 =
∅
6
x1 = 0
1
x2
6
2
23
3.2
RICHIESTA
∆≥0
1
x1 = x 2
2
x1 = −x 2
3
x1 = −
1
x2
SOLUZIONI
Equazione2
k≥−
RICHIESTA
SOLUZIONI
Equazione2
5
4
5
k=−
4
4
x 1 x 2 > 0
x 1 + x 2 > 0
∆ ≥ 0
1
2
5
x1 + x 2 = 3
k =0
k =0
6
x1 = 1+ 2
∅
k =−
2
−
2
5
≤ k < −1
4
ESERCIZIO4
1) x = − 2 ∨ x = 2 ∨ x = − 5 ∨ x = 5
2) x = - 2 ∨ x = 2
3) x = 0 ∨ x = -
5
3
∨x=−
3
5
ESERCIZIO5
1) 47 e 128
4) CD = r
2 ) 230
- 1 ± 17
, ma....
4
19 + 17 2 9 − 17
quindi l' equazione della parabola è y =
x −
x −3
4
4
3) Per il passaggio per A si ottiene k =
5) Il punto L a circa 157 metri da C
24
Scheda n°5 Data
Classe
Nome
di geometria
Contenuti: ripasso unità 5,6,7 (isometrie e criteri di congruenza)
ESERCIZIO1
In un triangolo ABC isoscele sulla base AB, prendi sul prolungamento di AB dalla parte di A un
punto D tale che AD ≅ AC e sul prolungamento di AB dalla parte di B un punto E tale che BE ≅ BC.
2.1
Dimostra che:
a) il triangolo DCE è isoscele
b) il triangolo CHK è isoscele, essendo H la proiezione ortogonale di A su DC e K la
proiezione ortogonale di B su EC
c) HK // AB
d) DF ≅ FE essendo F il punto di intersezione delle rette AH e BK
e) CF è la bisettrice dell’angolo AĈB
f) Il triangolo CRS è isoscele, essendo R e S i punti di intersezione tra i lati AC e BC e la
retta HK.
g)
2.2
Completa le seguenti proposizioni:
a) gli angoli HÂR e RĤA sono ……………………… perché
………………………………………⇒ AHR è ………….
b) gli angoli CĤR e HĈR sono ……………………… perché
………………………………………⇒ CHR è ………….
⇒ R è …………………………. nel triangolo ACH perché
…………………………………………..
Essendo R e S punti medi di AC e BC, RS è ………………………………………di AB e
interseca l’altezza CM relativa ad AB nel suo ……………………
c) gli angoli DĈA e BĈE sono ……………………… perché
………………………………………
d) gli angoli CĤR e CK̂S sono ……………………… perché
………………………………………
e) gli angoli CR̂H e AR̂S sono ……………………… perché
………………………………………
f) la bisettrice dell’angolo CÂB è …………………..ad AH perché
………………………………..
g) i triangoli ABC e CRS hanno gli angoli ordinatamente congruenti perché
……………………………………………………
h) altre coppie di triangoli con gli angoli ordinatamente congruenti sono ………………….
…………………………………………
i) gli angoli AB̂C e BŜR sono …………………………………………….
perchè…………………………………..
j) il quadrilatero CHFK è sia inscrittibile in una circonferenza che circoscrittibile ad una
circonferenza perché…………………………………………………………
……………………………………………………..
k) la circonferenza che ha AC come diametro passa per il punto medio di AB perché
……………………………………………………………………………………………………
………………………………………….
l) indicato con α l’angolo DÂH , esprimi in funzione di α gli angoli AD̂H , AF̂B , CÂB ,
AĈB , AR̂S , DĈE , CÂF , AF̂C e AĈF .
25
ESERCIZIO2 Dimostra i seguenti teoremi:
1. Sia dato l’angolo acuto aÔb di cui r è la bisettrice. Da un punto A della semiretta a traccia la
perpendicolare alla semiretta a stessa che interseca la semiretta b in B. La semiretta c,
simmetrica di b rispetto ad AB interseca a in C. Chiama R il punto di intersezione di AB con r, E
il punto di intersezione di r con BC e F il punto di intersezione di OB con la retta CR; siano poi
M e Q i punti medi di OR e di CR. Dimostra che:
a) il triangolo OBC è isoscele
b) R è l’incentro del triangolo OBC
c) OF ≅ CE e FB ≅ BE
d) Gli angoli CR̂E e OR̂F e gli angoli OĈR e RĈB sono congruenti
e) OMQC è un trapezio isoscele
f) FE e MQ sono paralleli.
2. Nel triangolo acutangolo ABC conduci le bisettrici degli angoli AB̂C e AĈB che si incontrano nel
punto P e che incontrano la parallela a BC condotta da A in D ed E rispettivamente. Dimostra
che:
a) i triangoli BAD e ACE sono isosceli;
b) i triangoli PBC e PED hanno gli angoli ordinatamente congruenti;
c) DE≅AB+AC;
d) rAP è bisettrice dell’angolo BÂC ; quale punto notevole è P per il triangolo ABC e quale è la
sua proprietà?
e) BP̂C > BÂC; precisamente BP̂C supera di un angolo retto la metà dell’angolo BÂC .
3. Sia ABC un triangolo con l’angolo di vertice B doppio dell’angolo di vertice C. La bisettrice
dell’angolo B interseca il lato opposto in L, la parallela a BC per L interseca AB in M e la
parallela a BL per M interseca AC in N. Dimostra che :
a) i triangoli MNL, BLC, BML sono isosceli;
b) ML è bisettrice dell’angolo BL̂A e MN è bisettrice dell’angolo AM̂L ;
c) i triangoli ABL e ABC hanno gli angoli ordinatamente congruenti.
4. Sia ABC un triangolo acutangolo in cui il lato AB è maggiore di AC; dimostra che la bisettrice AL
(L∈BC) dell’angolo di vertice A forma con BC due angoli tali che la loro differenza è congruente
alla differenza degli angoli di vertici C e B.
5. Sia ABC un triangolo equilatero e siano N il punto medio di AB e M il punto medio di BC;
prolunga il lato BC dalla parte di C di un segmento CD≅CB, unisci poi D con A e traccia la
bisettrice dell’angolo ACD che interseca AD in H. Dimostra che :
a) ABD è un triangolo rettangolo in A con un angolo acuto doppio dell’altro;
b) MNB è un triangolo equilatero;
c) ANMC è un trapezio isoscele con la base minore congruente ai lati obliqui e congruente a
metà della base maggiore;
d) la retta rCH è parallela al lato AB e perpendicolare ad AD;
e) MC≅CH e MA≅AH;
f) in quale isometria si corrispondono i triangoli AMC e CHD? ACH e ACM? ACH e AMB? ABM e
CHD?
6. Dato un triangolo ABC, le rette passanti per i suoi vertici e parallele ai lati opposti a tali vertici
determinano un nuovo triangolo con i lati doppi di quelli del triangolo dato e dei quali A,B,C sono
i punti medi.
26
Scheda n°6 Data
Classe
Nome
di geometria
Contenuti: ripasso unità 8 (i parallelogrammi,
parallelogrammi il piccolo teorema di Talete,
Talete punti
notevoli del triangolo)
triangolo
ESERCIZIO1
1.1] M, N e P sono i punti medi dei lati del triangolo ABC
a)
b)
c)
d)
e)
f)
scrivi le relazioni tra i segmenti della figura ……………………………….
Indica le coppie di angoli congruenti ……………..
Indica le coppie di angoli supplementari ……………….
I triangoli AMN e ABC sono
son triangoli ……
Indica le coppie di triangoli congruenti e in quali isometrie si corrispondono
2p(MNP)=…..2p(ABC) e area(MNP)=…..area(ABC)
1.2] ABCD è un rettangolo, DH e CK sono perpendicolari ad AC
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
scrivi tutte le proprietà del rettangolo che conosci…………………..
indica 3 coppie di triangoli congruenti ……………………..
indica 2 coppie di triangoli simili ……………………….
Indica i triangoli rettangoli …………………..
DHBK è un …………………………..
Proiettando ortogonalmente D sulla retta AC si ottiene …….
Proiettando ortogonalmente
almente AD sulla retta AC si ottiene …….
Proiettando ortogonalmente AB sulla retta AC si ottiene …….
Proiettando ortogonalmente DO sulla retta AC si ottiene …….
Proiettando ortogonalmente DO sulla retta DH si ottiene …….
Nel triangolo ABC, AC è ……………………………………
……………………………
, AB è
……………………………………….. , BK è …………………………………….. , BO è
…………………………………………..
l) Nel triangolo ADC, per il 1° teorema di Euclide, …………………………………..
m) Nel triangolo ADC, per il 2° teorema di Euclide, …………………………………..
n) Segna nella figura il baricentro P di ABC, il circocentro Q di OBK, il circocentro Z di KBC
o) I triangoli DHO e DOK non sono congruenti ma hanno uguale area: sai spiegare perché?
27
ESERCIZIO2 Dimostra i seguenti teoremi:
1] Sia ABCD un parallelogramma in cui la diagonale DB ha la stessa lunghezza del lato AD. Nella
simmetria avente come centro M, punto medio di AB, il punto D ha come corrispondente D'.
Dimostra che:
a) il quadrilatero ADBD' è un rombo;
b) il quadrilatero DBCB' è un rombo, essendo M' e B' i punti di intersezione fra la retta parallela
a DD', tracciata da B, e i lati DC e AD;
c) DD'⊥ DC;
d) MM' ≅ DB.
2] Dato il parallelogramma ABCD siano P,Q,R,S i baricentri dei triangoli ABD, ABC, BCD e CDA.
Dimostra che:
a) il quadrilatero PQRS è un parallelogramma con lo stesso centro di ABCD;
b) se ABCD è un rombo, anche PQRS è un rombo.
3] Siano AB e CD due segmenti perpendicolari nel punto O tale che OB≅2OA e OD≅2OC, siano P, M
e Q i punti medi di BO, BD e DO rispettivamente e sia E il punto comune alle rette BC e AD.
Dimostra che:
a) il quadrilatero ACPQ è un rombo;
b) AC≅½ BD;
c) il quadrilatero ACBM è un parallelogramma;
d) il punto E è il corrispondente del punto D nella simmetria di centro A e il corrispondente del
punto B nella simmetria di centro C;
e) E, O, M sono allineati (O è il ………………… del triangolo EBD).
4] Sia ABCD un quadrato di centro O e siano M il punto medio di AB ed E il baricentro di ABD.
L’asse di CO interseca DC in N. Dimostra che:
a) DE è parallelo a BN;
b) i punti E ed E’ sono simmetrici rispetto ad O ( essendo E’ il punto di intersezione fra BN ed
AC);
c) il quadrilatero EF’E’F è un quadrato ( essendo F il punto di intersezione fra BD ed AN, F’ il
punto di
intersezione fra BD e CM).
5] Sia ABCD un parallelogramma e siano M e N i punti medi di BC e di AB; sia poi P il simmetrico di
M rispetto ad N e Q il simmetrico di B rispetto a P. Dimostra che:
a) i quadrilateri PAMB, PACM e QPMA sono parallelogrammi;
b) i punti P, A, D sono allineati e PA ≅ ½ AD;
c) A è il baricentro del triangolo BDQ;
d) i punti Q, A ed il centro del parallelogramma ABCD sono allineati;
e) A è il punto medio di QC;
f) PM ≅ ½ QC.
6] Sia ABCD un trapezio rettangolo la cui base maggiore AB è doppia della base minore CD e sia
AD il lato perpendicolare alle basi. Traccia la retta passante per B e perpendicolare al lato BC, che
interseca il prolungamento di AD in P. Siano poi: Q il punto di intersezione delle diagonali del
trapezio, H la proiezione ortogonale di C AB, E il punto comune ai segmenti AC e DH, O il punto
comune ai segmenti CH e DB ed F il punto medio di BC. Dimostra che:
a) AC≅DH
b) DB dimezza l’altezza CH
c) CEHF è un rombo
d) EO≅ ¼ AB
e) il punto H è ortocentro del triangolo DBP
f) il punto Q è baricentro del triangolo DHC
g) AQ≅2QC
Come deve essere ABCD affinché CEHF sia un quadrato?
28
Scheda n°7
di algebra
Data
Classe
Nome
Contenuti: sistemi di equazioni e problemi
ESERCIZIO1 Risolvi i seguenti sistemi di equazioni:
3
4 x + y =
1)
3 x = y −
2
1
2
1
4
3x − y
y + 3 = 2
2 )
1 x = 2 − 1 y
3
5
3 xy = −4
6)
3 x + 3 y = 5 2
x + y 3 = −1
3) 3 x + 2y
=3− 3
2
6 xy = 1
7) 1 1
x + y = 5
x − y = 2
4 ) 2
x − y + 1 = 0
(
) (
(
)
)
2 + 1 x + 2 − 1 y = 2
5 )
x 2 − xy = 2 1 − 2
x + y = 4
8) 2
2
x + y = 14
ESERCIZIO2 Risolvi e interpreta graficamente i seguenti sistemi:
xy = 4
x + 2y = 3
2y = x + 2
x = 6 − 2y
2x 2 + y = 2x + 4
2x + y = 6
1)
2)
3)
y = 5
4)
2
y = x − 2x − 3
y = x − 2
5)
2
y = x − 2x + 1
6 = 6y − 3x
8)
x = 2y − 2
x 2 = y
6) 2
x + y = 1
x 2 + y 2 = 4
7)
x − y = 0
x 2 + y 2 = 2
9)
xy − 1 = 0
ESERCIZIO3 Risolvi i seguenti problemi:
1] In un rombo il perimetro misura 40a 2 −1 e le diagonali sono una i 3 dell’altra.
(
)
4
a) Dimostra che il quadrilatero ottenuto congiungendo i punti medi dei lati è un rettangolo.
b) Trova la misura del perimetro, dell’area di tale rettangolo.
2] ABCD è un trapezio isoscele avente gli angoli adiacenti alla base maggiore che misurano 45° e tale che
ciascuna diagonale sia bisettrice dell’angolo adiacente alla base maggiore.
a) Dimostra che la base minore è congruente ai lati obliqui.
b) Sapendo che la misura dell’area
diagonale del trapezio.
(
)
è 12a2 2 2 + 2 , determina la misura del perimetro e della
3] In un parallelogramma ABCD il lato AB è i 5 del lato AD e la diagonale BD è perpendicolare ad AD.
3
2
Sapendo che la misura della sua area è 96a
a) determina la misura del perimetro dei parallelogrammi ABCD e DHBK ottenuto proiettando
ortogonalmente D e B sui lati opposti;
b) dimostra che il quadrilatero AXCD avente come vertici, nell’ordine, A, la proiezione X di A sulla retta
BC, ed i vertici C e D del parallelogramma, è un trapezio rettangolo avente la base maggiore doppia
della base minore e poi determina la misura della sua area.
4] ABCD è un trapezio isoscele avente gli angoli adiacenti alla base maggiore che misurano 30° e tale che
la base minore sia congruente ai lati obliqui.
a) Dimostra che ciascuna diagonale è bisettrice dell’angolo adiacente alla base maggiore.
(
)
b) Sapendo che la misura del perimetro è 2a 6 4 + 3 , determina la misura dell’area e della diagonale
del trapezio.
5] Determina l’equazione della parabola passante per i punti A(1,3) e B(2,4)
e avente come asse di
5
simmetria la retta x = .
4
29
SOLUZIONI
ESERCIZIO1
(
3 ) 2; − 3
1 5
1) ;
9 12
2) (5; 3 )
)
4) ∅
5)
(
)
2- 2 3 2 + 2
2 − 1; 2 + -1 ;
;
2
2
2
2
6) −
; 2 2 ; 2 2 ; 3
3
1 1 1 1
7) ; ; ;
2 3 3 2
(
)(
8) 2 + 3 ; 2 - 3 ; 2 − 3; 2 + 3
)
ESERCIZIO2
1) Nessuna soluzione reale
Graficamente sono una iperbole e una retta che
non hanno alcun punto in comune.
2) (2;2)
Graficamente sono due rette incidenti in A. La
soluzione del sistema è rappresentata dalle
coordinate del punto comune alle curve: A.
3) (1;4) (soluzione doppia)
Graficamente sono una retta e una parabola
che hanno un unico punto d’intersezione. La
soluzione del sistema è rappresentata dalle
coordinate del punto comune alle curve: A (con
molteplicità doppia)
4) (-2;5); (4;5)
Graficamente sono una retta parallela all’asse x
e una parabola che hanno due punti in comune.
La soluzione del sistema è rappresentata dalle
coordinate dei punti comuni alle curve: A e B.
30
5) sistema impossibile
Graficamente sono una retta e una parabola
che non hanno alcun punto in comune.
6) −
2 1 2 1
; ;
;
2 2 2 2
Graficamente sono due parabole che hanno
due punti di intersezione. La soluzione del
sistema è rappresentata dalle coordinate dei
punti comuni alle curve: A e B.
(
)(
)
7) 2 ; 2 ; − 2;− 2
Graficamente sono una circonferenza con
centro nell’origine degli assi e raggio 2 e una
retta. La soluzione del sistema è rappresentata
dalle coordinate dei punti comuni alle curve: A e
B.
8) sistema indeterminato con soluzione tutte le
coppie (2k + 2,k ) con k∈R
Graficamente sono rette coincidenti:
9) (1;1); (− 1;−1) (con molteplicità doppia)
Graficamente sono una circonferenza con
centro nell’origine degli assi e raggio 2 e una
iperbole. La soluzione del sistema è
rappresentata dalle coordinate dei punti comuni
alle curve: A e B (con molteplicità doppia).
ESERCIZIO3
[ (
1. 28a
)
(
)]
2 )
2 − 1 ; 48a 2 3 − 2 2
(
)
(
2. 4a 3 4 + 2 ;4a 3 2 +
3.
112a 2
32a 2;
5
[ (
4. 6a 2 +
2
) (
3 ; 2a 3 + 3
)]
5. y = 2x2 − 5x + 6
31
Scheda n°8 Data
Classe
di geometria
Contenuti: la circonferenza
Nome
ESERCIZIO1
1.1] AC è il diametro di una circonferenza di centro O e raggio r; AB≅BC; AĈD ≅ CÂE = 60°
a) ABC è un triangolo ……………… e …………………………. perché
……………………………………..
b) Gli angoli B Â C e B ĈA misurano ………………
c) BO, nel triangolo ABC, è la ………………………… quindi è anche
…………………………………..
d) ODC e OAE sono triangoli ………………………………….. perché
………………………………………
quindi l’angolo EÔD misura ……………….. e, di conseguenza, EDO è un triangolo
……………….
e) gli angoli A ÊD e CD̂E misurano ………….; le rette DE e AC sono
…………………………………
ACDE è un …………………………………………….
f) l’angolo CB̂D misura ………….. perché …………………..
g) l’angolo AÊB misura ………….. perché …………………..
h) l’angolo EB̂D misura ………….. perché …………………..
i) l’angolo AD̂C misura ………….. perché …………………..
j) DE è il lato di un poligono regolare inscritto nella circonferenza: ……………………….
k) AD è il lato di un poligono regolare inscritto nella circonferenza: ……………………….
l) AB è il lato di un poligono regolare inscritto nella circonferenza: ……………………….
m) Misure: DE = .......... . AD = .......... .......... AB = .......... .......... .... DH = .......... ........
1.2] ABCD è un trapezio isoscele circoscritto alla circonferenza di centro O
a) indica 4 coppie di segmenti perpendicolari …………………..
b) indica 4 coppie di angoli congruenti ……………………..
c) indica 4 coppie di angoli supplementari ………………………
32
d) indica 4 coppie di angoli complementari ……………………………
e) indica le coppie di triangoli congruenti …………………
f) indica le coppie di triangoli simili ………………………… e le proporzioni tra i lati
corrispondenti…………………………………………………………..
g) ………………………………………………… sono triangoli isosceli
h) ………………………………………………… sono triangoli rettangoli
i) …………………………………………………… sono corde congruenti della circonferenza
j) …………………………………………………… sono angoli alla circonferenza che insistono
sull’arco PM minore di una semicirconferenza con i lati entrambi secanti
k) …………………………………………………… sono angoli alla circonferenza che insistono
sull’arco PM minore di una semicirconferenza con un lato secante e uno tangente
l) …………………………………………………… sono angoli alla circonferenza che insistono
sull’arco PM maggiore di una semicirconferenza
m) NQM è un angolo ……………. perché …………….
n) COB è un angolo ………………. perchè ………………
o) P ÔQ ≅ .......... P M̂Q perché ……………………………………………………………….;
DÔC ≅ ........PÔQ perché …………………………………………………………… ⇒
……………………. ⇒ i triangoli DOC e PMQ sono …………………………………
ESERCIZIO2 Dimostra i teoremi
1. Dati due segmenti AB e AC adiacenti (AC>AB), disegna le due circonferenze γ e γ’ di centri O
e O’ e diametri AB e AC rispettivamente. La retta passante per B e tangente a γ’ in D interseca
in P la retta passante per A e perpendicolare ad AC, interseca in E la circonferenza γ e
interseca in Q la retta tangente a γ’ in C. Dimostra che :
1. i segmenti AE e DO’ sono paralleli;
2. l’angolo DÂE è congruente alla semisomma degli angoli AÔE e AÔ' D ;
3. il quadrilatero DQCO’ è circoscrittibile ad una circonferenza e inscrittibile in una
circonferenza (indicane centri e raggi);
4. essendo M il punto di intersezione della circonferenza γ’ con O’Q, M è un punto
notevole per il triangolo DCQ, quale? Rispondi motivando;
5. AM è bisettrice dell’angolo DÂC ;
6. i triangoli DO’C e PAD hanno gli angoli ordinatamente congruenti e così pure DQC e
ADO’;
7. gli angoli DÂO' e Q Ô' C sono congruenti e DA e QO’ sono segmenti paralleli.
Nell’ipotesi che DA e AO’ siano congruenti e misurino r e che N sia il punto diametralmente
opposto ad M, calcola le ampiezze degli angoli D Ĉ O' , AP̂D , QD̂C , MÂN , AN̂D , QN̂C e DN̂M
e le misure del perimetro e dell’area del quadrilatero APQC.
33
2. Un trapezio ABCD, rettangolo in A e D, è circoscritto ad una circonferenza di centro O ed ha
l’angolo di vertice B che misura 60°; indica
con R, S, P, Q i punti di tangenza della
circonferenza con i lati AB, BC, CD e DA rispettivamente.
2.1 Dimostra che:
a) I triangoli RBS e POS sono equilateri;
b) I triangoli PQR e DOA sono rettangoli ed isosceli;
c) POAQ è un parallelogramma e OPDQ è un quadrato;
d) Il quadrilatero SORB è sia inscrittibile che circoscrittibile (indica centri e raggi);
e) L’arco PS è metà dell’arco SR ;
f) Le rette OC e SR sono parallele;
g) Gli angoli CŜP e PQ̂S sono congruenti;
h) I triangoli CPS e ROS sono simili
i) PS, PQ e SR sono lati di poligoni regolari inscritti nella circonferenza: quali?
2.2 Calcola:
a) Le ampiezze degli angoli del quadrilatero PQRS;
b) Le misure del perimetro e dell’area di ABCD e di PQRS in funzione del
raggio r della circonferenza .
3. Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB e sia CH l’altezza relativa ad AB. Detta γ la
circonferenza di centro H e raggio HM, dove M è la proiezione ortogonale di H su AC, sia DE
la corda del triangolo parallela ad AB ( con D punto di AC) e tangente alla circonferenza in P.
Dimostra che:
a) i triangoli AMH e CDP, AMH e AHC sono simili;
b) i triangoli MHD e DHP sono congruenti;
c) CM è medio proporzionale tra CP e CQ, dove Q è il punto di γ diametralmente opposto
a P.
Sapendo che l’area del triangolo ABC misura 192(cm2) e che la base AB supera di 8(cm)
l’altezza ad essa relativa:
a) calcola il perimetro di ABC;
b) calcola le misure del perimetro e dell’area del triangolo CDE;
c) calcola le misure dei due raggi della circonferenza inscritta e della circonferenza
circoscritta al triangolo CDE;
d) verifica se il quadrilatero ABED è inscrittibile o circoscrittibile ad una circonferenza.
ESERCIZIO3 Risolvi i seguenti problemi
1. Data una circonferenza di diametro AB, si tracci la retta r tangente alla circonferenza in B e da A
una retta che incontra la circonferenza in C e la retta r in D. Il triangolo ABC, il cui lato BC è
3
del diametro, ha area che misura 72(cm2). Calcola le misure dei perimetri dei
congruente a
5
triangoli ABC e ABD e dell’area del quadrilatero CHBD, dove H è la proiezione ortogonale di C su
AB.
3321 2
2P( ABC) = 24 3cm; 2P(ABD) = 30 3cm; A(CHBD) =
cm
50
2. Sulla circonferenza di centro O e diametro AB prendi un punto C tale che la sua proiezione
16
ortogonale H su AB divida il diametro in modo che sia AH ≅ HB e, sulla semicirconferenza
9
opposta, prendi un punto D tale che AD sia congruente al raggio della circonferenza.
Sapendo che la misura del perimetro è 5 3 19+ 5 3 (cm), determina la misura dell’area del
quadrilatero ADBC e la distanza di ciascuno dei lati dal centro della circonferenza.
(
A(ADBC) =
)
1875 3 + 3600 2 75
25
cm ;
cm;
3cm; 15 3cm; 20 3cm
2
2
2
34
Scheda n°9 Data
Classe
Nome
di geometria
Contenuti: teorema di Talete, omotetia e similitudine, problemi e teoremi
ESERCIZIO1 Con riferimento alle figure a lato, completa in modo da ottenere proposizioni corrette:
Ipotesi PQ//AD//BE//CF
1.1
Risulta
AB : AC = …… : ……
BC : …… = AC : …….
…… : …… = DE : EF
AP : AO = …… : …….
DO: EF = ……. : ……
OP : ……. = AB : …….
1.2
Ipotesi
DE//BC ∧ BÂQ ≅ QÂC
Per il teorema di Talete applicato alle rette parallele rBC
e rDE con trasversali rAB e rAC
AE : AD = ……….. : …………..
Per il teorema della bisettrice nel triangolo ABC
…………………………………………………..
Per il teorema della bisettrice nel triangolo AED
…………………………………………………..
Dal confronto delle tre proporzioni si può dedurre che
EP : PD = ……. : ………
1.3
Ipotesi
AA’⊥BC ∧ BB’⊥AC ∧ CC’⊥AB ∧ A’P⊥AB ∧ A’Q⊥AC
Il punto O è ……………………………. del triangolo ABC.
A’P …… CC’ e A’Q …….. BB’ perché ……………………………
………………………………………………………………………..
35
Il quadrilatero AC’OB’ è …………………………………………..
… una circonferenza di diametro ………….
Il quadrilatero APA’Q è …………………………………………..
… una circonferenza di diametro ………….
Il quadrilatero ……………. è un parallelogramma perché
………………………………………………………………………….
AC’ : …… = AO : ………. per il teorema ……………………..
applicato al triangolo ……….
AB’ : ……. = AO : ……… per il teorema …………………….. applicato al triangolo ……….
Dal confronto delle due proporzioni si deduce che ……………………………….
⇒ C’B’ …… PQ per il teorema ………………………………………………………………………………
BP : ……. = ……… : A’C per il teorema …………………….. applicato al triangolo ……….
B’Q : ……. = …….. : A’C per il teorema …………………….. applicato al triangolo ……….
Dal confronto delle due proporzioni si deduce che
BP : ……… = ……… : QC
B' B̂A ' ≅ QÂ ' C perché ………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
BÂ ' U ≅ A ' ĈV perché ………………………………………………..
………………………………………………………………………………………..
⇒ gli angoli …….. e ………. sono congruenti perché
..………………………………………………………… …………………….
ESERCIZIO 2
In un triangolo rettangolo ABC, il cateto AB misura 40 dm, mentre un punto D dell’ipotenusa AC
dista 20 dm dal vertice A e dista 12 dm da AB. Detta E la proiezione ortogonale di D su AB,
1. calcola le misure dei lati del triangolo ADE e del trapezio BCDE;
2. dimostra che BD è bisettrice dell’angolo ED̂C ;
3. calcola le distanze di P da E e da C, essendo P il punto di intersezione dei segmenti BD e
CE;
4. calcola il rapporto BP , senza calcolare le misure dei due segmenti, e verifica che tale
DP
rapporto è uguale a quello tra i segmenti AB ed AE.
ESERCIZIO 3
ABC è un triangolo rettangolo in C. Disegnata la retta tangente in C alla circonferenza γ circoscritta
al triangolo ABC, siano H e K le proiezioni ortogonali di A e B su tale tangente. Dimostra che:
∧
∧
1. AC e BC sono bisettrici degli angoli H A B e A B K ;
2. C è punto medio di HK;
3. H e R sono simmetrici rispetto ad AC e R e K sono simmetrici rispetto a BC, dove R è la
proiezione ortogonale di C su AB;
4. HR e RK, HA e AP sono perpendicolari, essendo P il punto d’intersezione fra la
circonferenza e BK;
5. il quadrilatero CRBK è sia inscrittibile in una circonferenza che circoscrittibile ad una
circonferenza;
36
6. i triangoli AHC e CBK, HAR e RCK sono simili;
7. CH ⋅ CK = AH ⋅ BK
8.
2
CK = BK ⋅ BP
3
a calcola la misura del perimetro di ABC e le misure del perimetro e
2
dell’area di ABKH. Determina, infine, in tal caso la misura degli angoli del quadrilatero ABKC.
Se AB =2a e CR =
(
)
2p(ABC) = 3 + 3 a; 2p(ABKH) =
9+2 3
5
a; A(ABKH) = a2 3; 90°, 90°, 120°, 60°
2
4
37
