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1.4 Il TEOREMA (MEGLIO: I TEOREMI) DI DE L’HOPITAL
Teorema (PRIMO TEOREMA DI DE L’HOPITAL)
Guillaume de l'Hôpital, francese, 1661-1704
Sia I c un intorno di c ∈ \ , e siano f ( x) e g ( x) due funzioni definite e derivabili su tutto I c − {c}
(non è necessario fare alcuna ipotesi sul comportamento delle due funzioni IN c ,
dove, addirittura, l'una o l'altra o entrambe le funzioni potrebbero persino non essere definite).
Sia inoltre
lim f ( x) = lim g ( x) = 0
x→c
x→c
f ( x)
cosicché il calcolo del limite lim
si presenti come forma di indecisione
x→c g ( x)
⎡0⎤ .
⎢⎣ 0 ⎥⎦
Supponiamo infine che sia g '( x) ≠ 0 su tutto I c − {c} .
Bene!
Il teorema di cui ci occupiamo dice che, sotto le ipotesi di cui sopra,
SE ESISTE il lim
x→ c
f '( x )
f ( x)
, ALLORA ESISTE pure il lim
E COINCIDE col precedente ,
x → c g( x )
g '( x )
ossia risulta
lim
x→ c
Esempio 1
f ( x)
f ' ( x)
= lim
g( x ) x → c g '( x )
x3 − 1 H
3x 2
3
= lim
=−
(
)
(
)
π
π
π
π
sen
x
cos
x
x→ 1
x→ 1
lim
OSSERVAZIONE IMPORTANTE:
la catena appena scritta ha senso perché il secondo dei due limiti,
quello del rapporto fra le derivate, esiste …
nel caso non fosse esistito il secondo limite,
il discorso per quanto riguarda il primo limite sarebbe rimasto aperto.
Vale a dire:
f '( x)
non esiste,
quando il lim
g
x →c '( x )
f ( x)
;
x→ c g ( x )
quest’ultimo potrà non esistere, oppure esistere finito o infinito, a seconda dei casi.
de l’Hopital non è applicabile e quindi nulla si può dire, a priori, sul lim
Esempio 2
Esempio 3
4
ln(4 x − 3) H
4
4
4
x
− 3 = lim
= lim
=
lim 2
9
x →1 x + 7 x − 8 x →1 2 x + 7
x →1 (4 x − 3)(2 x + 7)
x3 + 1 H
3x2
lim
=
=∞
x →−1 x3 − 3 x − 2 x →−1 3 x 2 − 3
L’alternativa a De l’Hopital, in quest’ultimo caso, sarebbe stata
lim
di scomporre in fattori e semplificare:
con De l’Hopital, comunque, la determinazione del limite risulta più rapida.
In pratica, il teorema considerato dice che
(se, beninteso, sono verificate determinate ipotesi)
il limite del rapporto di due funzioni,
che si presenti sotto la forma di indecisione [0/0],
è uguale al limite del rapporto fra le loro derivate!!!
Il teorema vale anche se l’intorno I c è solo unilaterale.
E vale pure nel caso in cui x, anziché tendere a c ∈ \ , tenda a + ∞ oppure a − ∞ .
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IL “SECONDO TEOREMA DI DE L’HOPITAL”
Un enunciato analogo al precedente vale anche se il limite del rapporto f / g
si presenta sotto la forma di indecisione
⎡∞⎤
⎢⎣ ∞ ⎥⎦
1
ln x + 4 H
1
= lim x = lim
= 0+
Esempio 4 lim
x→+∞ 3 x + 2
x→+∞ 3
x→+∞ 3 x
Quando si cita il “Teorema di De l’Hopital” ci si vuole di norma riferire
indifferentemente all’uno o all’altro dei due teoremi che abbiamo presentato,
o, se si preferisce, all’unico enunciato che si otterrebbe riunendoli.
Quando il rapporto delle derivate risulta essere ancora una forma di indecisione [0 / 0] o [∞ / ∞ ]
è possibile applicare il Teorema di De l’Hopital una seconda volta, ed eventualmente poi una terza …
Esempio 5
H
H
ex
ex
ex H
ex
=
lim
=
lim
=
lim
= +∞
x→+∞ x3 + x 2
x→+∞ 3 x 2 + 2 x
x→+∞ 6 x + 2
x→+∞ 6
lim
Il teorema di De l’Hopital si riferisce alle forme di indecisione [0 / 0] oppure [∞ / ∞] ;
tuttavia,
[0 ⋅ ∞] , [∞ − ∞]
anche le forme
e le forme di indecisione con potenze: ⎡⎣00 ⎤⎦ , ⎡⎣∞ 0 ⎤⎦ , ⎡⎣1∞ ⎤⎦
possono a volte essere risolte riconducendole a [ 0 / 0] oppure [ ∞ / ∞ ] e poi applicando De l’Hopital.
A tale scopo, si utilizzeranno le tre identità seguenti:
2)
1) f ⋅ g = f = g
1
g
1
f
f(x)
g(x)
⎡
=
g(x) ⎤
ln ⎢f(x)
⎥⎦
(si lascerà a numeratore
=e ⎣
=
l’una o l’altra
delle due funzioni,
= e g(x) ln f(x)
a seconda della convenienza)
3) f − g = f ⎜⎛ 1 − g ⎟⎞ = g ⎜⎛ f − 1 ⎟⎞
f ⎠
⎝
⎝g
⎠
(si raccoglierà o l’una o l’altra delle due funzioni,
a seconda della convenienza;
tuttavia, di norma queste ultime formule non sono molto utili
perché possono essere sostituite da procedimenti alternativi
più vantaggiosi, ad esempio un banale denominatore comune)
1
ln x H
x = lim (− x ) = 0−
lim x ln x = lim
= lim
Esempio 6 [ 0 ⋅ ∞ ]
x→ 0+
x→ 0+ 1
x → 0+ − 1
x → 0+
x
x2
x2 H
2x H
2
= 0+ (NOTA)
Esempio 7 [ ∞ ⋅ 0] lim x 2 ⋅ e x = lim − x = lim
= lim
x→−∞
x→−∞ e
x→−∞ −e− x
x→−∞ + e− x
NOTA: Verifica tu che
… il tentativo di applicare de l’Hopital
lasciando a numeratore l’esponenziale,
sarebbe fallito /
cioè passando a
perché avrebbe portato
x
ad
espressioni via via più complicate
e
…
lim
rispetto a quella di partenza.
2
x→+∞ 1/ x
x
Esempio 8 [00 ] L = lim ( sen x) x = lim eln ( sen x) = lim e x⋅ln sen x
x → 0+
x → 0+
x→ 0+
e dopo questi passaggi preliminari, andremo a calcolare il limite della funzione ad esponente
riconducendoci ad un quoziente “trattabile” con De l’Hopital:
1
0+ 1
cos x
↑
↑
↑
2
H
⎛ x cos x ⎞
senx
ln senx
x
−
lim ( x ⋅ ln senx) = lim
= lim
= lim ⎜ −
⎟ = − lim senx ⋅ x ⋅ cos x = 0
x→ 0+
x→ 0+ 1
x→ 0+ − 1
x→ 0+ ⎝ senx ⎠
x→ 0+
x
x2
0 →
In definitiva, tornando all’esercizio iniziale, avremo L = lim ( sen x) x = lim e x⋅ln sen x = 1
x → 0+
x → 0+
