11 Febbraio 2011
Fisica Generale 1
Compito di Meccanica
Corso di Laurea in Fisica
Una pallina di massa m1= 0.150 kg si muove con velocità v0= 0.400 m/s
parallela ad un lato di un tavolo quadrato, privo di attrito e di lato l=1.00 m.
Il tavolo ha dei bordi completamente elastici per gli urti, eccetto che sul lato
perpendicolare alla direzione della pallina, nel verso del moto, dove non c’è
bordo. Durante il moto la pallina urta centralmente una seconda pallina di
massa m2= 1.20 kg ferma al centro del tavolo. La seconda pallina dopo l’urto
raggiunge la fine del tavolo dove non c’è bordo e cade da una altezza h =
1.00 m toccando il suolo ad una distanza d= 3.00 cm dal tavolo.
Calcolare:
1) la velocità dopo l’urto di entrambe le palline mentre si muovono sul
tavolo;
2) l’energia dissipata nell’urto tra le palline;
3) la distanza dalla fine senza bordo del tavolo alla quale le due palline si
urterebbero per la seconda volta se l’urto iniziale al centro fosse
completamente elastico.
1) v1f =-0.132 m/s , v2f =0.066 m/s
2) ΔEK=8.05x10-3 J
3) Sbordo=0.100 m
21 Gennaio 2011
Fisica Generale 1
Compito di Meccanica
Corso di Laurea in Fisica
Una pompa eolica per sollevare l’acqua sia approssimabile da tre pale con
asse di rotazione orizzontale che intercettano il vento, connesse per un loro
estremo all’asse orizzontale di un rotore principale attorno al quale scorre,
senza strisciare, una cinghia che lo collega, senza strisciare, ad un rotore
secondario posto sulla verticale vicino al terreno. Il rotore secondario può
essere connesso alla pompa attraverso una frizione.
Il momento d’inerzia delle pale è uguale a quello di tre lamine rettangolari,
ognuna di massa M=10.0 kg, lunghezza l=9.00 m, larghezza a=25.0 cm e
spessore trascurabile. Le tre pale sono disposte simmetricamente attorno
all’asse del rotore principale. Il rotore principale ha la forma di un cilindro
omogeneo di massa m1=10.0 kg, raggio R1=50.0 cm. Il rotore secondario
analogamente ha la forma di un cilindro omogeneo di massa m2=m1/4,
raggio R2=R1/2. La cinghia di trasmissione ha massa trascurabile.
Gli attriti del sistema generano sul rotore principale un momento della forza
proporzionale alla sua velocità angolare τA=kω parallelo all’asse di rotazione
con k=0.800 N⋅m⋅s.
La pompa, quando connessa, esercita un momento della forza frenante
costante sul rotore secondario τ2=1.50 N⋅m.
Con vento costante e pompa sconnessa, le pale hanno una velocità angolare
costante ω0=7.00 rad/s.
Calcolare:
1) il momento d’inerzia delle pale e dei rotori;
2) le velocità angolari a regime delle pale e del rotore secondario quando
la pompa è connessa al rotore secondario;
3) l’energia cinetica totale del sistema (pale e rotori) quando la pompa è
connessa.
1) IP=810 kg.m2 , I1=1.25 kg.m2 , I2=7.81x10-2 kg.m2
2) ωL=3.25 rad/s , ω2=6.50 rad/sec
3) KTOT=4.29 kJ
17 Settembre 2010
Fisica Generale I
Compito di Meccanica
Corso di Laurea in Fisica
Una campionessa olimpica di ginnastica ritmica impartisce al suo cerchio,
un anello sottile di plastica, omogeneo, di raggio R = 45.0 cm e massa M =
310 g, appoggiato verticalmente su un pavimento orizzontale, una velocità
iniziale (riferita al suo centro di massa) in avanti pari a v0 = 4.94 m/s e una
velocità angolare iniziale pari a ω0 = 14.2 rad/s che lo fa ruotare indietro,
ovvero in senso opposto a quello in cui ruoterebbe se rotolasse senza
strisciare sotto l’effetto di v0. Lo strisciamento rallenta il moto del centro di
massa fino ad invertire la sua direzione di moto, facendo poi ritornare il
cerchio indietro verso la ginnasta. Il coefficiente di attrito dinamico tra
cerchio e pavimento è µ = 0.47.
Indicando con t0 = 0 l’istante iniziale, calcolare:
1) l'istante di tempo t1 in cui il centro di massa del cerchio inverte la sua
velocità e l’istante di tempo t2>t1 in cui cessa lo strisciamento tra
cerchio e pavimento;
2) la velocità angolare del cerchio all’istante di tempo t3>t2 in cui passa
dalla posizione iniziale occupata al tempo t0;
3) l'energia dissipata dall'attrito nell'intervallo di tempo t0<t<t3.
1) t1=1.07 s ; t2= 1.23 s
2) ω2= 1.61 rad/s
3) Edissp= 9.95 J
16 Luglio 2010
Fisica Generale I
Compito di Meccanica
Corso di Laurea in Fisica
Un proiettile è descrivibile come un cilindro retto pieno di massa M= 20.0 g,
raggio R= 1.50 mm e lunghezza L= 35.0 mm [per un refuso L è diventato
molto piccolo, era 3.50 mm]. Il centro di massa del proiettile si trova
sull’asse del cilindro ad una distanza L/2 dalla punta. [Il testo originale
citava una distanza di L/4 che comporta una soluzione decisamente difficile,
tuttavia solo per quanto riguarda la componente del momento angolare
relativa all’asse parallelo al terreno e nessuna altra domanda ne era
coinvolta]. Il proiettile viene sparato da una altezza h= 35.0 m con una
velocità (del c.d.m.) v0= 350 m/s diretta parallelamente al terreno e la canna
imprime al proiettile una velocità angolare parallela all’asse del cilindro ω0=
5500 rad/s. Una piccola imperfezione della canna causa una ulteriore
rotazione che spinge la punta del proiettile verso il basso con una velocità
angolare ω = 0.830 rad/s. Si trascuri l’attrito dell’aria e si operi
nell’approssimazione in cui le dimensioni del proiettile possono essere
trascurate al momento dell’impatto col terreno.
⊥
Calcolare:
1) le componenti (in una terna di assi cartesiani) del momento angolare
del proiettile all’impatto col terreno e la distanza dal punto di lancio
alla quale il proiettile tocca il terreno;
2) l’angolo che l’asse del proiettile forma col terreno all’impatto;
Se il proiettile incontra durante la sua traiettoria un ostacolo, ad una
distanza l= 450 m dal punto di sparo, che imprime sulla punta del
proiettile un impulso J= 0.500 Ns diretto perpendicolarmente alla
traiettoria e parallelamente al terreno,
Calcolare:
3) lo spostamento laterale del proiettile all’impatto col terreno e il
momento angolare del proiettile (attraverso le sue componenti).
1) Lx= 1.24x10-4 kg m2/s ; Lz= -1.70x10-6 kg m2/s per il c.d.m a L/2 [se il
c.d.m. è a L/4, vale Lz= -7.72x10-7 kg m2/s ]; Ly= 0 kg m2/s ; xMAX= 935
m
2) θ= -2.22 rad (≅ -4π/3)
3) Δz= 34.6 m ; Lx= 1.24x10-4 kg m2/s ; Lz= -1.70x10-6 kg m2/s [Lz= 7.72x10-7 kg m2/s]; Ly= -4.38x10-3 kg m2/s
2 Luglio 2010
Fisica Generale I
Compito di Meccanica
Corso di Laurea in Fisica
Un disco pieno, omogeneo, di massa M = 2.00 kg e raggio R = 15.0 cm,
inizialmente fermo nella sua posizione di equilibrio stabile, è sospeso a un
asse orizzontale ortogonale alle facce del disco, parallelo all’asse di
simmetria del disco che passa per il suo centro di massa e distante da esso d
= 3.00 cm. In un punto del bordo esterno del disco è fissata una sottile
linguetta piatta, rigida, di massa trascurabile, che esce radialmente, ed è
inizialmente posizionata alla stessa quota del centro di massa del disco in
modo da risultare nello stato iniziale perfettamente orizzontale. Ad un certo
istante, una sfera metallica, puntiforme, di massa m = 0.10 kg in caduta
libera urta (istantaneamente) la linguetta in punto approssimabile al punto di
contatto tra linguetta e disco, ad una velocità v0 = 9.0 m/s. L’urto è
perfettamente elastico, la sfera rimbalza verso l’alto e il disco inizia a
ruotare. Si trascurino tutti gli attriti.
Calcolare:
4) la velocità angolare del disco subito dopo l’urto con la sfera;
5) l’altezza massima che la sfera raggiunge dopo l’urto con la linguetta;
6) la velocità angolare del disco nell’istante in cui il suo centro di massa
si trova esattamente sopra l’asse di rotazione.
1) ω1= 10.2 rad/s ;
2) h= 2.85 m ;
3) ω2= 2.57 rad/s .
11 Giugno 2010
Fisica Generale I
Compito di Meccanica
Corso di Laurea in Fisica
Una navicella spaziale è descrivibile come un cilindro retto, omogeneo e
cavo, di raggi R1= 2.0 m, R2= 2.1 m, lunghezza L= 8.0 m e massa
M= 1x104 kg. Uno strumento di misura (da intendersi puntiforme) di massa
m= 100 kg è alloggiato esternamente alla navicella e, nell’approssimazione,
esattamente al centro di una base del cilindro. La navicella viaggia nello
spazio intergalattico con una velocità del suo c.d.m vcdm= 100 m/s diretta
perpendicolarmente all’asse del cilindro, e ruota intorno allo stesso asse con
velocità angolare ω= 2.20 rad/s. Durante il volo lo strumento viene spostato,
perpendicolarmente all’asse del cilindro, tramite una barra telescopica rigida
(di massa trascurabile) ancorata alla navicella, fino ad una distanza d= 12.1
m dalla posizione iniziale.
Calcolare:
1) quando lo strumento è a riposo, il momento d’inerzia del sistema
(navicella + strumento), la quantità di moto del sistema ed il momento
angolare del sistema;
2) quando lo strumento è stato spostato, la variazione della quantità di moto
del sistema, la variazione del momento angolare del sistema e la posizione
del centro di massa del sistema rispetto al centro della navicella;
3) la velocità angolare del sistema attorno all’asse passante per il c.d.m. con
lo strumento spostato.
1) ISistema=4.21x104 kg.m2, Ptot=1.01x106 kg.m/s, Ltot=9.25x104kg.m2/s
2) ΔP=0, ΔL=0,
3) ωʹ′ = 1.64 rad s yˆ
