Prova scritta di Fisica 1 CdL in Matematica 3 settembre 2013 Risoluzione 1) Un disco omogeneo di massa M = 500 g, raggio R = 30 cm e spessore trascurabile è appoggiato su un piano orizzontale liscio (la giacitura del disco è orizzontale). Il disco viene colpito da un proiettile di massa m = 50 g e velocita vp con direzione tangente al bordo del disco, come in figura, e il cui modulo è 3 m/s. Nell’urto, il proiettile si conficca nel bordo del disco. Determinare di quanto si è spostato il centro di massa del sistema disco-proiettile dopo che questo ha effettuato due giri e calcolare l’energia cinetica dissipata nell’urto. vp .C Si tratta di un urto completamente anelastico tra disco e proiettile durante il quale si conservano quantità di moto e momento angolare. E’ conveniente scegliere come polo il centro di massa del mR = 2.7 cm . Le due leggi di sistema immediatamente dopo l’urto; esso dista da C, xcm = m+M conservazione si scrivono: r r mv p = (m + M )Vcm (1) mv p ( R − xcm ) = Iω (2) essendo I il momento d’inerzia del sistema calcolato rispetto all’asse passante per il nuovo centro di 1 2 massa e ortogonale al disco; esso vale I = MR 2 + Mxcm + m( R − xcm ) 2 = 0.027 Kg m2. 2 La (1) ci dice che il centro di massa del sistema, dopo l’urto, si muove nella stessa direzione di vp, mv p con velocità Vcm = = 0.27 m/s . La (2) ci dice che il sistema ruota intorno all’asse che passa m+M mv p ( R − xcm ) per il centro di massa con velocità angolare = ω = 1.5 rad/s . Il sistema quindi ruota I e trasla con velocità lineare e angolare costanti. Esso fa due giri in un tempo dato da θ 4π t= = = 8.4 s. In questo tempo il centro di massa del sistema si sarà spostato di ω 1 .5 x = Vcm t = 0.27 ⋅ 8.4 = 2.3 m. La variazione di energia cinetica nell’urto è data da: 1 1 1 2 ( M + m)Vcm + Iω 2 − mv 2p = - 0.17 J 2 2 2 2) Un setto conduttore fisso divide un cilindro a pareti isolanti in due parti A e B. Ciascuna parte contiene lo stesso numero di moli (n=2) di gas perfetto monoatomico. La parte B ha volume variabile per la possibilità di movimento senza attrito di un pistone isolante. Il sistema è inizialmente in equilibrio alla temperatura Ti=270 K. Con un lento movimento del pistone si comprime il gas nella parte B fino a che la temperatura di equilibrio finale è Tf=280K. Trascurando la capacità termica del recipiente e del pistone, calcolare il lavoro compiuto dai gas. Calcolare inoltre il calore scambiato dai due gas e la variazione di entropia di ciascun gas. B A Dopo la compressione del gas in B, il gas in A subisce una trasformazione isocora reversibile; tra i due gas c’è uno scambio di calore per cui QA= - QB. Inoltre, per l’intero sistema, ∆U = ∆U A + ∆U B = − L B , cioè: 3 LB = − n A cvA (T f − Ti ) − n B cvB (T f − Ti ) = −2ncv (T f − Ti ) = −2 ⋅ 2 ⋅ 8.31 ⋅ (280 − 270 ) = −498.6 J 2 QA= - QB = ∆UA = ncv (T f − Ti ) = 249.3 J. I gas subiscono trasformazioni reversibili per cui la variazione di entropia dell’universo è nulla; il sistema è adiabatico e quindi la variazione di entropia Tf = 0.9 J/K = dell’ambiente è nulla. Pertanto ∆S u = 0 = ∆S sist = ∆S A + ∆S B , ∆S A = ncv ln Ti − ∆S B .