risultati fondamentali sulle derivate

RISULTATI FONDAMENTALI SULLE DERIVATE
c
Paola
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1
Teorema dei punti stazionari di Fermat.
Sia f definita in un intorno Ir (x0 ) del punto x0 e derivabile in
x0 . Se x0 è un punto di massimo o minimo relativo per f allora
f ′ (x0 ) = 0, ovvero x0 è un punto stazionario per f .
y
a
x0
y
b
x
a
x0 b
x
f è derivabile in x0
f NON è derivabile in x0
x0 NON è punto stazionario
x0 è punto stazionario
In entrambi i casi x0 è un punto di minimo relativo
c
Paola
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2
Dimostrazione del teorema
Sia x0 punto di minimo relativo per f , x0 interno a dom(f ) e
∃f ′ (x0 ) finita. Devo dimostrare che f ′ (x0 ) = 0.
y
Se x0 è punto di minimo relativo, si
ha f (x0 ) ≤ f (x), ∀x ∈ I (x0 ), ovvero
f (x) − f (x0 ) ≥ 0.
x0 x
a
b
x
f (x) − f (x0 )
≥0
x − x0
e facendo tendere x → x0+ , per il corollario al teorema della
permanenza del segno, si ha
Sia x > x0 (ovvero x − x0 > 0), allora
f+′ (x0 ) = lim+
c
Paola
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x→x0
f (x) − f (x0 )
≥ 0.
x − x0
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3
y
Ora prendo x < x0 (ovvero x − x0 <
f (x) − f (x0 )
≤0
0), allora
x − x0
x x0
a
b
x
e facendo tendere x → x0− , sempre per il corollario al teorema della
permanenza del segno,
f−′ (x0 ) = lim
x→x0−
f (x) − f (x0 )
≤ 0.
x − x0
Poichè f è derivabile in x0 si deve avere
f ′ (x0 ) = f−′ (x0 ) = f+′ (x0 )
ovvero
0 ≤ f+′ (x0 ) = f ′ (x0 ) = f−′ (x0 ) ≤ 0
⇒
f ′ (x0 ) = 0.
Se x0 è punto di massimo relativo la dimostrazione è analoga.
c
Paola
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4
Teorema di Rolle
Sia f una funzione continua sull’intervallo chiuso e limitato [a, b] e
derivabile su (a, b). Se f (a) = f (b), allora esiste un punto
c ∈ (a, b) tale che f ′ (c) = 0.
y
y
f (a) = f (b)
f (a) = f (b)
a
c
c
Paola
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b
x
a
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b
x
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5
Dim.
f è continua su un intervallo chiuso e limitato, allora per il teorema
di Weierstrass, f ammette massimo M e minimo m (assoluti), con
xm , xM ∈ [a, b] (xm e xM punti di minimo e di massimo).
Caso a. m = M.
Allora f è costante su [a, b] e f ′ (x) = 0 ∀x ∈ [a, b].
Caso b. m ≤ f (a) = f (b) < M.
f assume massimo in un punto interno ad [a, b].
Il punto di massimo assoluto xM è anche punto di massimo relativo,
f è definita in un tutto un intorno di xM ed f è derivabile in un
intorno di xM .
Ho le ipotesi per applicare il teorema di Fermat e concludere che
xM è un punto stazionario, ovvero f ′ (xM ) = 0.
Caso c. m < f (a) = f (b) ≤ M.
f assume minimo in un punto interno ad [a, b]. La dimostrazione è
analoga al Caso b.
c
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6
Teorema di Lagrange
Sia f una funzione continua sull’intervallo chiuso e limitato [a, b] e
derivabile su (a, b). Allora esiste un punto c ∈ (a, b) tale che
f ′ (c) =
f (b) − f (a)
.
b−a
y
B
Esiste un punto c per cui la
tangente ad f in c è parallela
alla retta passante per i punti
A = (a, f (a)) e B = (b, f (b)).
A
a
c
b
c
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x
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7
f (b) − f (a)
(x − a).
b−a
h(x) è una funzione continua in [a, b] (perchè somma di funzioni
continue in [a, b]), derivabile in (a, b) (perchè somma di funzioni
derivabili in (a, b)), e
Dim. Si consideri la funzione h(x) := f (x) −
f (b) − f (a)
· 0 = f (a)
b−a
f (b) − f (a)
· (b − a) = f (b) − f (b) + f (a)
h(b) = f (b) −
b−a
h(a) = f (a) −
La funzione h(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle, quindi
esiste un punto c ∈ (a, b) tale che h′ (c) = 0.
f (b) − f (a)
e dire
Ma
h′ (x) = f ′ (x) −
b−a
h′ (c) = 0 equivale a dire
c
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f ′ (c) =
f (b) − f (a)
.
b−a
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8
Teorema della derivata nulla
Sia f continua e derivabile su un intervallo I . Sia f ′ (x) = 0 ∀x ∈ I ,
allora f è costante in I .
Dimostrazione. Dimostrare che f è costante su I equivale a
dimostrare che f (x1 ) = f (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ I .
Dimostriamo per assurdo: ¬Q ⇒ ¬P.
Negare la tesi equivale a dire che ∃x1 , x2 ∈ I : f (x1 ) 6= f (x2 ).
Applichiamo il teorema di Lagrange (f soddisfa le ipotesi del thm
di Lagrange sull’intervallo [x1 , x2 ] ⊂ I ), otteniamo che esiste
c ∈ (x1 , x2 ) tale che
f ′ (c) =
f (x2 ) − f (x1 )
6= 0
x2 − x1
che contraddice l’ipotesi.
c
Paola
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9
Legame fra crescenza/decrescenza e f ′ (x)
Ricordiamo la def. di funzione crescente:
Sia I il dominio di una funzione f reale a valori reali, oppure un
intervallo contenuto nel dominio di f .
Def. La funzione f si dice monotona crescente su I se
∀x1 , x2 ∈ I ,
x1 < x2
⇒
f (x1 ) ≤ f (x2 ).
Def. La funzione f si dice monotona strettamente crescente su
I se ∀x1 , x2 ∈ I ,
x1 < x2
⇒
f (x1 ) < f (x2 ).
f (x2 )
f (x1 )
f (x1 ) = f (x2 )
I
I
x1 x2
x1
x2
Risulta impossibile verificare la crescenza e decrescenza di f (x) mediante
la definizione: dovremmo verificare la propr. per infinite coppie di punti!
c
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10
Criterio del segno della derivata prima
Teorema.
Sia I ⊆ dom(f ) un intervallo e sia f derivabile su I . Allora
f ′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I
f ′ (x) > 0, ∀x ∈ I
⇒
⇔
f è crescente su I e
f è strettamente crescente su I .
(La dimostrazione è svolta in aula. Una dimostrazione alternativa è sul libro a pag. 191)
.
100
y=f(x)
50
0
−50
−100
−3
−2
−1
0
1
2
x
3
4
5
6
7
6
7
y=f‘(x)
100
+
50
+
0
−50
−3
−
−2
−1
0
1
2
x
3
4
5
segno derivata.m
c
Paola
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11
Teorema di de l’Hôpital
Siano f e g due funzioni definite in un intorno di x0 , tranne al piú
nel punto x0 , e tali che
lim f (x) = lim g (x) = L
x→x0
con L = 0
x→x0
o L = ±∞.
Se f e g sono derivabili nell’intorno di x0 , tranne eventualmente in
x0 , con g ′ 6= 0, e se esiste (finito o infinito) il limite
lim
x→x0
f ′ (x)
g ′ (x)
allora esiste anche
lim
x→x0
Es. lim
x→0
e 2x − e −2x
sin(5x)
(OK)
f (x)
g (x)
e lim
x→x0
lim
x + sin(x)
x→+∞ 3x − cos(x)
c
Paola
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f (x)
f ′ (x)
= lim ′ .
g (x) x→x0 g (x)
(NO)
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12
x + sin(x)
.
3x − cos(x)
lim (3x − cos(x)) = +∞
Vediamo se possiamo applicare de l’Hôpital a lim
x→+∞
1) lim (x + sin(x)) = +∞,
x→+∞
x→+∞
2) f (x) = x + sin(x) e g (x) = 3x − cos(x) sono derivabili su tutto R
f ′ (x)
1 + cos(x)
3) ∃ lim
= lim
?
NO
x→+∞ g ′ (x)
x→+∞ 3 + sin(x)
Allora de l’Hôpital non può essere applicato perchè manca un’ipotesi.
Non abbiamo soluzione del limite dato usando questo teorema.
Questo non vuol dire che non esiste il limite dato.
1
x(1 + sin(x)/x)
x + sin(x)
= lim
=
Infatti: lim
x→+∞ x(3 − cos(x)/x)
x→+∞ 3x − cos(x)
3
f ′ (x)/g′ (x)
f (x)/g(x)
0.8
0.355
0.7
0.35
0.6
0.345
0.5
y
y
0.34
0.335
0.4
0.33
0.3
0.325
0.2
0.1
0.32
0.315
50
100
150
200
x
250
300
1
f (x)
= ,
x→+∞ g (x)
3
lim
c
Paola
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350
400
0
50
100
150
200
x
250
300
350
400
f ′ (x)
=6 ∃
x→+∞ g ′ (x)
lim
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13
Abbiamo visto le definizioni:
f (x) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
f−′ (x0 ) = lim
e f+′ (x0 ) = lim+
−
x
−
x
x − x0
x→x0
x→x0
0
Il seguente teorema fornisce un criterio per valutare derivata destra
e sinistra in maniera più semplice:
Teorema del limite della derivata
Sia f una funzione definita e continua in I (x0 ) e derivabile in I (x0 )
tranne eventualmente in x0 . Se esiste (finito o infinito)
ℓ1 = lim+ f ′ (x), allora esiste anche la derivata destra f+′ (x0 ) in x0
x→x0
e si ha f+′ (x0 ) = ℓ1 = lim+ f ′ (x).
x→x0
Analogamente, se esiste (finito o infinito) ℓ2 = lim f ′ (x), allora
x→x0−
esiste anche la derivata sinistra
f−′ (x0 )
f−′ (x0 )
in x0 e si ha
′
= ℓ2 = lim f (x).
x→x0−
c
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14
Dimostrazione.
La dimostrazione del teorema segue dal teorema di de l’Hôpital:
f (x) − f (x0 ) (H)
f ′ (x)
= lim+ f ′ (x).
= lim+
x
−
x
1
x→x0
x→x0
x→x0
0
A PATTO CHE ESISTA lim+ f ′ (x)
f+′ (x0 ) := lim+
x→x0
f (x) − f (x0 ) (H)
f ′ (x)
= lim f ′ (x).
= lim
x − x0
1
x→x0−
x→x0−
x→x0−
′
A PATTO CHE ESISTA lim f (x)
f−′ (x0 ) := lim
x→x0−
c
Paola
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15
Derivata seconda
Def. Se f ′ è derivabile in x0 , si dice che f è derivabile due volte in
x0 e si pone
f ′′ (x0 ) := (f ′ )′ (x0 ).
f ′′ (x0 ) è detta derivata seconda di f in x0 .
La funzione che associa ad x il valore f ′′ (x), ove questo sia
definito, è detta funzione derivata seconda.
Es. f (x) = x 3 − 6x 2 − 1,
f ′′ (x) = 6x − 12
c
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f ′ (x) = 3x 2 − 12x,
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16
Derivate di ordine superiore
In maniera analoga a quanto fatto per la derivata seconda, si può
definire la derivata terza di f in x0 , se esiste, come la derivata
prima in x0 della derivata seconda di f :
f ′′′ (x0 ) := (f ′′ )′ (x0 )
ed in generale, per k ≥ 1, la la derivata di ordine k di f in x0 è
f (k) (x0 ) := (f (k−1) )′ (x0 ).
Per definizione si pone f (0) (x0 ) := f (x0 ), ovvero la derivata di
ordine zero di una funzione è la funzione stessa.
3
1
1 3
x
1 3
′
Es. f (x) = +
f (x) = + · − 2 = − x −2
2 2x
2 2
x
2 2
3
−3
−3
f ′′ (x) = − · (−2)x = 3x ,
2
9
′′′
(3)
f (x) = f (x) = 3 · (−3)x −4 = − 4 .
x
c
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17
Def. Una funzione f si dice di classe C k (con k ≥ 0) su un
intervallo I , se essa è derivabile k volte in I e se la funzione
derivata k−sima di f (f (k) (x)) è un funzione continua su I .
L’insieme delle funzioni di classe C k su I è denotato con C k (I ).
C ∞ (I ) è l’insieme delle funzioni che sono derivabili un numero
arbitrario (∞) di volte su I .
Es. f (x) = e x ,
f (k) (x) = e x , k = 1, 2, .....
Qualunque sia k, la derivata f (k) (x) coincide con f che è una
funzione continua su R, quindi f ∈ C ∞ (R) .
√
Es. f (x) = x, I = [0, +∞):
f ∈ C 0 (I ): in x = 0 f è
definita, continua, ma non derivabile.
c
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18
Esempi
f (x) discontinua, ‘a scala’
f (x) continua, con un punto
angoloso
c
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f (x) continua e derivabile
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19
f derivabile in I e f ∈ C 1(I )
Sia I ⊆ dom(f ).
f derivabile in I ⇐⇒ ∃f ′ (x) ∈ R ∀x ∈ I
f ∈ C 1 (I ) ⇐⇒ f derivabile in I e f ′ (x) è continua in I
Esempio.
f (x) =
(
x 2 sin
0
1
x
se x 6= 0
se x = 0

1
1
1
2

 2x sin x + x cos x − x 2
f ′ (x) =
f (x) − f (0)
1

 lim
= lim x sin
=0
x→0
x→0
x −0
x
c
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se x 6= 0
se x = 0
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20
f (x) = x2 sin(1/x)
f ′ (x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x)
1
1.5
0.8
1
0.6
0.4
0.5
0
y
y
0.2
0
−0.2
−0.5
−0.4
−0.6
−1
−0.8
−1
−1
−0.5
−4
1
x 10
0
x
0.5
−1.5
−1
1
2
zoom di f (x) = x sin(1/x)
−0.5
0
x
0.5
1
0.005
0.01
zoom di f ′ (x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x)
1.5
0.8
1
0.6
0.4
0.5
0
y
y
0.2
0
−0.2
−0.5
−0.4
−0.6
−1
−0.8
−1
−0.01
−0.005
0
x
0.005
c
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0.01
−1.5
−0.01
−0.005
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0
x
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21
f ′ (x) =
(
2x sin
0
1
x
− cos
1
x
se x 6= 0
se x = 0
f ′ (x) ha dominio dom(f ′ ) = R, quindi f è derivabile in
dom(f ) = R.
f ′ (x) è continua in ogni x 6= 0 perchè somma, prodotto e
composizione di funzioni continue per x 6= 0.
in x0 = 0, f ′ (x) presenta una discontinuità di seconda specie,
infatti
6 ∃ lim f ′ (x),
mentre f ′ (0) = 0
x→0
Quindi f è derivabile in R, ma f ′ non è continua su tutto R, cioè
f 6∈ C 1 (R).
c
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22