3. Scelta ottima, curva di domanda, elasticità, EP

Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 2010/2011
Prof. C. Perugini
Esercitazione n.31 – Scelta ottima; curva di domanda; elasticità al prezzo; effetto prezzo,
sostituzione, reddito
Esercizio 1 [n.4 esercitazione precedente]– Determinare l’eq. consumatore con metodo di Lagrange
Siano qa e qb, rispettivamente, i panini e gli hamburger acquistati presso un supermercato. Tizio ha una
struttura di preferenze su questi beni descritta dalla funzione di utilità U  qa , qb   qa1/4 qb3/4 , e la sua
spesa mensile per questi due beni (R) è pari a 1200 €.

individuare la scelta ottima di Tizio, se pa  100, pb  90 €
Soluzione
Occorre individuare il paniere di consumo che massimizza il grado di soddisfazione (utilità) del
consumatore, dato il vincolo di bilancio. Durante la precedente esercitazione abbiamo visto come questo
problema si possa risolvere imponendo a sistema l’equazione del vincolo di bilancio con l’equazione data
dall’uguaglianza tra SMS (pendenza della curva di indifferenza) e il prezzo relativo (pendenza del vincolo di
bilancio).
Questo è un problema di massimizzazione vincolata: la massimizzazione del livello di utilità dato il vincolo di
bilancio. Pertanto, è possibile risolverlo anche mediante l’utilizzo della funzione Lagrangiana.
L  (qa )1/4 (qb )3/4   (100qa  90qb  1200)
[1]
L 1
 (qa ) 3/4 ( qb )1/4  100  0
qa 4
[2]
L 3
 (qb ) 1/4 (qa )1/4   90  0
qb 4
[3]
L
 (100qa  90qb  1200)  0

Le condizioni di primo ordine sono espresse dalle derivate di L rispetto a qa, qb e  uguali a 0. Dividendo la
[1] per la [2] otteniamo:
1
3/4
1/4
100
4 (qa ) (qb )
=
 90
3 (qb)1/4 (qa )1/4
4
1𝑞
da cui: 3 𝑞 𝑏 =
𝑎
10
9
e ri-arrangiando la [3] otteniamo la forma classica del vincolo di bilancio.
Per tanto, possiamo risolvere il sistema, che segue, che è proprio il sistema tra l’equazione del vincolo di
bilancio e l’equazione tra SMS e il prezzo relativo, svolto durante l’esercitazione precedente.
1
Dott. Fabio Pieri; esercitazioni (mercoledì h.12.15-13.45); ricevimento studenti Mercoledì h. 15-16 (Aula Dottorandi
Assegnisti DEFS – sezione Economia); per domande e quesiti brevi: [email protected]. I testi delle esercitazioni, insieme a tutto il
materiale didattico sono scaricabili dal sito http://www.unipg.it/~perugini/, di regola alla fine della settimana.
1
1 𝑞𝑏 10
=
3 𝑞𝑎
9
100𝑞𝑎 + 90𝑞𝑏 = 1200
Esercizio 2 - Dall’equilibrio del consumatore alla curva (e alla funzione) di domanda
Siano qa e qb, rispettivamente, le quantità di panini e gli hamburger acquistati presso un supermercato.
Tizio ha una struttura di preferenze su questi beni descritta dalla funzione di utilità U  qa , qb   qa1/4 qb3/4 , e
la sua spesa mensile per questi due beni (R) è pari a 1200 €. I prezzi dei due beni sono rispettivamente
pa  100, pb  90
Si ricorda (vedi prima esercitazione) che la scelta ottima del consumatore era: Ec=(3,10).
a. trovare l’equazione della curva di domanda per A rispetto al suo prezzo (𝑞𝑎 = 𝑓(𝑝𝑎 , 𝑅 , 𝑝𝑏 ));
b. trovare l’equazione della funzione di domanda per A, rispetto al suo prezzo, al prezzo dell’altro bene ed
al reddito (𝑞𝑎 = 𝑓 𝑝𝑎 , 𝑅, 𝑝𝑏 ).
Soluzione
L’esercizio svolto durante la precedente esercitazione riguardava l’individuazione della scelta ottima del
consumatore, ossia del paniere (combinazione di quantità di beni) che assicura la massima soddisfazione al
consumatore, dato il vincolo derivante dai prezzi dei beni e dal reddito disponibile. Avevamo, determinato la
scelta ottima, pari con la coppia di quantità Ec=(3,10).
a. Siamo interessati ad individuare l’equazione della curva di domanda per il bene A rispetto al proprio
prezzo: la curva di domanda (individuale) per un dato bene è il luogo dei punti del piano che associa ad
ogni valore del prezzo del bene, la quantità (ottima) domandata dal consumatore
Per trovare l’equazione della curva, ripetiamo il procedimento con cui abbiamo determinato la scelta
ottima, esprimendo il prezzo dei panini con pa e la quantità con qa.
Ricordiamo che il SMS è pari a:
1 −3/4 3/4
𝑞𝑎
𝑞𝑏
1 𝑞𝑏
𝑆𝑀𝑆𝑄𝐴 ,𝑄𝐵 = 4
=
3 1/4 −1/4 3 𝑞𝑎
4 𝑞𝑎 𝑞𝑏
Impostando il sistema con l’equazione tra il SMS e il prezzo relativo e l’equazione del vincolo di bilancio
si ottiene
1 𝑞𝑏 𝑝𝑎
=
3 𝑞𝑎 90
𝑝𝑎 𝑞𝑎 + 90𝑞𝑏 = 1200
Dalla prima equazione si ottiene 𝑞𝑏 =
3𝑞 𝑎 𝑝 𝑎
,
90
che viene sostituita nella seconda, e da cui si determina:
4𝑞𝑎 𝑝𝑎 = 1200 , che può essere in forma esplicita rispetto alla quantità del bene A, così da ottenere
appunto l’equazione della curva di domanda per il bene A:𝑞𝑎 =
1200
4𝑝 𝑎
=
300
𝑝𝑎
.
Possiamo disegnare la curva di domanda per il bene A.
2
pa
300
200
100
1
1,5
3
qa
b. La funzione di domanda per un dato bene, esprime la quantità (ottima) domandata dal consumatore
come funzione del prezzo del bene stesso, del reddito e del prezzo dell’altro (o degli altri) bene(i).
Quindi il sistema da impostare è il seguente:
1 𝑞𝑏 𝑝𝑎
=
3 𝑞𝑎 𝑝𝑏
𝑝𝑎 𝑞𝑎 + 𝑝𝑏 𝑞𝑏 = 𝑅
Posso, come prima, ricavare qb dalla prima equazione e sostituirla nella seconda, così da ottenere con
𝑅
piccoli passaggi la funzione di domanda: 𝑞𝑎 = 4𝑝
𝑎
Verifica: cosa succede se sostituisco il valore del reddito pari a 1200 euro il prezzo del bene A nella
funzione di domanda? Ritorno alla scelta ottima del consumatore
Esercizio 3- Elasticità della domanda rispetto al prezzo
Partendo dalla curva di domanda calcolata nell’esercizio precedente,
1. calcolare l’indice di elasticità (puntuale) al prezzo del bene stesso;
2. calcolare l’indice di elasticità (puntuale) nel caso in cui la curva di domanda del bene A abbia la
seguente forma: 𝑞𝑎 = 300 − 𝑝𝑎
Soluzione
1. L’indice di elasticità ci permette di studiare come varia la quantità domandata di un bene al variare del
prezzo del bene stesso.
Partendo dalla curva di domanda ricavata nell’Esercizio 2
300
𝑞𝑎 =
𝑝𝑎
posso applicare la formula dell’elasticità al prezzo:
𝜕𝑞𝑎
300 𝑝𝑎
=− 2
= −1
𝜕𝑝𝑎
𝑝𝑎 300
𝑝𝑎
Quindi, l’elasticità della domanda al prezzo è pari a -1.
[Più in generale, possiamo notare che le curve di domanda della forma q=K/p, che hanno
geometricamente la forma di un ramo di iperbole equilatera, hanno un’elasticità rispetto al prezzo
pari a -1.]
2. Nel caso in cui la curva di domanda fosse lineare, questa avrebbe un’espressione dell’indice di elasticità
pari a:
3
𝜕𝑞𝑎
𝑝𝑎
𝑝𝑎
= −1
=−
𝜕𝑝𝑎
300 − 𝑝𝑎
300 − 𝑝𝑎
Se rappresentiamo graficamente la curva di domanda, questa si mostrerà nel modo seguente:
pa
-
∞
300
0
300
qa
Per pa 0 l’indice di elasticità tenderà a zero, mentre per pa300 l’indice di elasticità tenderà ad
infinito
4
Esercizio 4 – Effetto prezzo, effetto reddito, effetto sostituzione
Sia U ( x, y )  log( x)  log( y  2) la funzione di utilità dell’individuo (assumiamo che x e y conferiscano
ciascuno un contributo di utilità positivo al consumatore, quindi, x≥1 e y≥3
1. Dati R, reddito, e i prezzi dei beni p x e p y , trovare le funzioni di domanda individuale dei due beni.
2. Quanto acquisterà dei beni x e y l’individuo, se il prezzo di x è pari a 1 e quello di y è pari a 3 e il reddito
è pari a 90?
3. Come cambierà la scelta ottima se il prezzo del bene x sale a 3? Scorporare la variazione della domanda
del bene x in effetto reddito e effetto sostituzione.
Soluzione
1. Come abbiamo visto nell’Esercizio 2, la funzione di domanda per un dato bene, esprime la quantità
(ottima) domandata dal consumatore come funzione del prezzo del bene stesso, del reddito e del prezzo
dell’altro (o degli altri) bene(i).
Posso ricavare l’espressione della funzione di domanda, mettendo a sistema le due condizioni standard
per determinare la scelta ottima, lasciando i prezzi ed il reddito disponibile nella loro espressione
generica. Abbiamo innanzitutto bisogno dell’espressione del SMS:
𝜕𝑈 /𝜕𝑥
𝜕𝑈 /𝜕𝑦
=
𝑦−2
;
𝑥
adesso possiamo
impostare il sistema.
𝑦 − 2 𝑝𝑥
=
𝑥
𝑝𝑦
𝑝𝑥 𝑥 + 𝑝𝑦 𝑦 = 𝑅
Dalla prima equazione possiamo ricavare l’espressione di y, e sostituirla nella seconda:
𝑝𝑥
𝑦 = 𝑥+2
𝑝𝑦
𝑝𝑥
𝑝𝑥 𝑥 + 𝑝𝑦 ( 𝑥 + 2) = 𝑅
𝑝𝑦
Dalla seconda equazione si ricava: 𝑝𝑥 𝑥 + 𝑝𝑥 𝑥 + 2𝑝𝑦 = 𝑅, dalla quale possiamo scrivere in forma
esplicita l’equazione delle funzione di domanda per il bene x:
𝑥=
𝑅 − 2𝑝𝑦
2𝑝𝑥
Posso, adesso, sostituire l’espressione della funzione di domanda di x nell’equazione 1 e ricavare così
l’espressione della funzione di domanda di y.
𝑦=
Da cui ricavo: 𝑦 =
𝑅−2𝑝 𝑦
2𝑝 𝑦
+2=
𝑅+2𝑝 𝑦
2𝑝 𝑦
𝑝𝑥 𝑅 − 2𝑝𝑦
+2
𝑝𝑦
2𝑝𝑥
𝑅
= 2𝑝 + 1, che è l’espressione della funzione di domanda per il
𝑦
bene y.
2. Se conosciamo i prezzi dei beni, ed il reddito a disposizione del consumatore, possiamo determinare
l’equilibrio (scelta ottima). Non occorre svolgere nuovamente tutti i passaggi, e posso usare
direttamente le funzioni di domanda, ricavate al punto precedente:
5
90 − 6
= 42
2
90
𝑦𝐴∗ =
+ 1 = 16
6
𝑥𝐴∗ =
Quindi l’equilibrio del consumatore, date le sue preferenze, i prezzi dei beni ed il reddito a sua
disposizione è A=(42,16)
3. Se il prezzo del bene x passa da 1 a 3, avremo un effetto (dovuto ad una variazione del) prezzo sulla
domanda del consumatore.
Per determinare la nuova scelta del consumatore basterà sostituire il “nuovo” prezzo del bene x, il
prezzo del bene y e il reddito a disposizione del consumatore nelle funzioni di domanda:
90 − 6
= 14
6
90
𝑦𝐵∗ =
+ 1 = 16
6
𝑥𝐵∗ =
La quantità domandata del bene y non cambia, perché la funzione di domanda rispetto ad esso non
dipende dal prezzo del bene x. Il nuovo equilibrio del consumatore è B=(14,16)
Quindi l’effetto (della variazione del) prezzo è complessivamente pari a 16-42=-28 , e comporta una
riduzione della quantità consumata del bene x.
Adesso scomponiamo l’effetto prezzo nelle sue componenti: effetto reddito ed effetto sostituzione.
L’effetto sostituzione è pari alla variazione di quantità consumata del bene x, ai nuovi prezzi, con un
aumento del reddito, che permette al consumatore di stare sulla curva di indifferenza originaria
[isoliamo l’effetto dovuto alla variazione del prezzo relativo]; l’effetto reddito è pari alla differenza
nel consumo del bene x ai nuovi prezzi, con e senza l’ipotetica compensazione del reddito [isoliamo
l’effetto dovuto alla variazione del reddito].
Pongo quindi a sistema due condizioni: (i) che il SMS sia uguale alla pendenza del “nuovo” vincolo di
bilancio, e che (ii) il livello di utilità rimanga invariato a quello che il consumatore percepiva
nell’equilibrio originario.
𝑦−2 3
=
𝑥
3
log 42 + log 16 − 2 = log 𝑥 + log⁡
(𝑦 − 2)
Posso ricavare y dalla prima equazione e sostituirlo nella seconda equazione. Così da ottenere:
log 42 × 14 = log⁡
(𝑥 2 )
Cioè x=24,25 (y=26,25). Indichiamo questo ipotetico punto di equilibrio (perché tale solo in caso di
una compensazione del reddito, in modo da mantenere invariata l’utilità del consumatore) con la
lettera C.
6
Figura 1 - Effetto prezzo, sostituzione, reddito
y
C
26,5
Effetto sostituzione
A
B
16
Effetto reddito
14
24,5
x
42
Effetto prezzo
Possiamo adesso rappresentare graficamente effetto prezzo, effetto sostituzione ed effetto reddito
graficamente sul piano cartesiano (Figura 1).
Il vincolo di bilancio originario, e pari a 𝑥 + 3𝑦 = 90 , che scritto in forma esplicita diventa 𝑦 =
90−𝑥
,
3
che quindi può essere disegnato facilmente, trovando le intercette con gli assi (90,0; 0,30). L’aumento
del prezzo del bene x da 1 a 3, porta il consumatore a confrontarsi con un nuovo vincolo di bilancio:
3𝑥 + 3𝑦 = 90, che in forma esplicita è 𝑦 =
90−3𝑥
.
3
Rappresentiamo anche questo sul piano cartesiano,
individuando le intercette (30,0; 0,30).
L’effetto prezzo (xB - xA) può quindi essere visualizzato come la scomposizione dell’effetto sostituzione,
che è pari a (xC - xA) = 24.25-42= -17.75 e dell’effetto reddito, che è pari a (xB – xC)=14-24.25= -10.25.
Nota: → X è un bene normale, perché all’aumento del suo prezzo diminuisce la quantità domandata.
Esercizio per casa
Le preferenze di un individuo sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità U ( x, y )  x( y  10) . Il
reddito del consumatore è R=150 e i prezzi dei due beni sono p x  5 e p y  5
a. Determinare la scelta ottima del consumatore dati questi prezzi;
b. Trovare come cambia la scelta ottima se il prezzo del bene y diventa p y  10. Che relazione c’è
fra i due beni?
c. Scomporre la variazione intervenuta nella scelta ottima del consumatore in effetto reddito ed
effetto sostituzione (rispetto ad al bene y).
7
Soluzione:
a. Come sappiamo, possiamo determinare la scelta ottima del consumatore, imponendo due condizioni:
(1) l’appartenenza della soluzione al vincolo di bilancio, (2) l’uguaglianza delle pendenza della curva di
indifferenza nel punto di ottimo, con il rapporto fra i prezzi.
Ricaviamo innanzitutto l’espressione del SMSx,y , per il consumatore, le cui preferenze sono espresse
attraverso la funzione di utilità.
SMS x , y 
U / x y  10
.

U / y
x
Possiamo adesso porre a sistema le due condizioni:
 y  10 5

  1 (2)
 x
5
 5 x  5 y  150 (1)
Ricavando dalla (2) y e sostituendolo nella (1),e risolvendo i passaggi, ottengo la scelta ottima
(equilibrio) del consumatore A  ( x A  10, y A  20) .
b. Se p y  10 , come cambia la scelta ottima?
Cambierà innanzitutto il vincolo di bilancio, e l’equazione del nuovo vincolo è:
5x  10 y  150 .
Per determinare la scelta ottima è necessario porre a sistema le due “consuete” condizioni, che in questo
caso prendono la seguente forma:
 y  10 5


(2)

x
10
5 x  10 y  150 (1)
da cui, ricavando l’espressione di y nella (2), sostituendola nella (1), e risolvendo i passaggi, ottengo:
B  ( x B  5, y B  12.5).
La scelta ottima del consumatore prima dell’aumento del prezzo del bene y, era quindi A=(10,20), mentre
quella successiva all’aumento del prezzo del bene y è B=(5,12 .5).
Posso quindi dire che la relazione che c’è tra i due beni è che i due beni sono complementari, perché
quando p y aumenta, diminuisce la quantità consumata di y, ma anche quella consumata di x (che passa
da 10 a 5).
c. Per effettuare la scomposizione dell’effetto totale (cambiamento nel consumo del bene x, dopo
l’aumento del prezzo del bene y) in effetto reddito ed effetto sostituzione, compensiamo il consumatore
in modo da permettergli di raggiungere il livello di utilità che gli era assicurato in A.
E’ necessario quindi imporre due condizioni:
y  10 1


(1)

x
2


10(20  10)  x( y  10)
(2)
8
La condizione (1) ci assicura l’uguaglianza della pendenza del SMS con l’inclinazione della retta di
bilancio, successiva al cambiamento di p y . La condizione (2) ci assicura che nel punto che andremo a
determinare, il livello di utilità garantito al consumatore sarà lo stesso che in A.
Ricavando y dalla (1), sostituendo l’espressione nella (2) e svolgendo i passaggi, si ottiene la seguente
soluzione C  ( x c  14.14, y c  17).
30
A
20
17
12.5
C
B
5
10 14.14
30
Possiamo quindi affermare che, guardando a come varia la domanda del bene y:
 Effetto prezzo (totale) = yb  y a = -7.5
 Effetto sostituzione = y c  y a = -3;
 Effetto reddito = yb  y c = -4.5;
Tutti e tre gli effetti si calcolano per il bene di cui varia il prezzo (in questo caso y). Con la freccia verde
indichiamo l’effetto totale, con la rossa l’effetto sostituzione, con la blu l’effetto reddito
9