Indice generale
Matematica di base...............................................................................................................................2
Premessa...............................................................................................................................................2
Divisore................................................................................................................................................2
Numeri primi........................................................................................................................................2
Criteri di divisibilità.............................................................................................................................3
Scomposizione in fattori primi.............................................................................................................3
Multipli.................................................................................................................................................4
Minimo comune Multiplo m.c.m.........................................................................................................4
Determinazione del m.c.m....................................................................................................................4
Massimo Comune Divisore M.C.D......................................................................................................5
Determinazione del M.C.D...................................................................................................................5
Frazioni.................................................................................................................................................5
Operazioni con le frazioni....................................................................................................................6
Somma.............................................................................................................................................6
Differenza........................................................................................................................................7
Moltiplicazione................................................................................................................................7
Divisione..........................................................................................................................................7
Potenze.................................................................................................................................................7
Proprietà delle Potenze....................................................................................................................8
Numeri Relativi....................................................................................................................................8
Operazioni con i numeri Relativi.........................................................................................................8
Somma.............................................................................................................................................8
Differenza........................................................................................................................................9
Prodotto............................................................................................................................................9
Divisione..........................................................................................................................................9
Potenze di numeri relativi................................................................................................................9
Equazioni Letterario.............................................................................................................................9
Monomio........................................................................................................................................10
Somma......................................................................................................................................10
Prodotto.....................................................................................................................................10
Potenza......................................................................................................................................10
Polinomio.......................................................................................................................................10
Prodotti Notevoli:...............................................................................................................................11
Quadrato di binomio......................................................................................................................11
Quadrato di trinomio......................................................................................................................11
Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza.......................................................11
Cubo di binomio............................................................................................................................11
Somma di cubi...............................................................................................................................11
Differenza di cubi..........................................................................................................................12
Raccoglimento a fattore comune........................................................................................................12
Raccoglimento a fattore comune parziale..........................................................................................12
Individuazione del quadrato di binomio........................................................................................13
Individuazione della differenza di quadrati...................................................................................13
Individuazione del cubo di binomio..............................................................................................13
Individuazione del trinomio particolare.........................................................................................14
Somma o differenza di due cubi...................................................................................................14
Equazioni del primo grado.................................................................................................................14
Primo principio di equivalenza......................................................................................................15
Lezioni di Matematica Ing. Antonio Nicolazzo
Secondo principio di equivalenza..................................................................................................15
Proporzioni.........................................................................................................................................15
Regola del quarto proporzionale....................................................................................................16
Proprietà dell'invertire...................................................................................................................16
Proprietà del permutare..................................................................................................................16
Proprietà del comporre...................................................................................................................16
Proprietà dello scomporre..............................................................................................................16
Matematica di base
Premessa
Il mio sito è dedicato alla tecnologia e sopratutto all'elettronica e all'informatica, ma ritengo che la
matematica sia uno strumento fondamentale per la comprensione di tutte le materia scientifiche e
per questo ho dedicato questa relazione allo studio della matematica. Spesso mi è capitato di dover
impartire lezioni di matematica a ragazzi che frequentavano le scuole medie o superiori ed ho
notato che, nella maggior parte di casi, i problemi d'apprendimento di questi ragazzi non sono
determinati dai concetti ma dall'utilizzo di un metodo di studio non adatto ad una materia
scientifica. Lo studio di una materia tecnica è differente dal metodo di studio utilizzato per una
materia umanistica in quanto per ogni argomento occorre in una prima fase identificare i concetti
alla base di quell'argomento e successivamente occorre analizzare i concetti individuati per poterli
comprendere fino in fondo. Pertanto alla base dello studio di una materia tecnica c'è un'analisi del
testo per identificare i concetti fondamentali ed è proprio questa la difficoltà maggiore dello studio.
Per aiutare i miei studenti o
chiunque ne abbia bisogno ho realizzato questa
15
5
relazione che tratta gli
3
argomenti di base della
matematica in modo sintetico così da mettere in
evidenza i concetti base
utilizzando il minor numero di parole possibili. La relazione è stata scritta con l'aiuto della
signorina Giovanna Delfino.
Divisore
15
5
Un numero intero b si definisce divisore di un numero intero a se
numero intero c tale che
b*c = a ossia la divisione a/b ha resto uguale a 0.
Per quanto detto si capisce che 7 non è un divisore di 15 dato che
con resto 1, mentre 5 è
un divisore di 15 dato che 15 / 5 = 3 ossia 5 * 3 = 15.
3
3
1
1
esiste un
15/7= 2
Si definisce fattorizzazione di un numero la rappresentazione di quel numero come prodotto di
numeri interi. I numeri che costituiscono la fattorizzazione sono detti fattori e sono ovviamente
divisori del numero fattorizzato
Numeri primi
Si definiscono numeri primi i numeri interi divisibili solo per l'unità se stessi
Lezioni di Matematica Ing. Antonio Nicolazzo
Dalla definizione enunciata si capisce che 9 non è un numero primo perché è divisibile per 3,
mentre 11 poiché è divisibile solo per 1 e 11 ed è un numero primo.
Di seguito riporto la lista dei numeri primi minori di quaranta.
1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37
Criteri di divisibilità
I criteri di divisibilità sono le regole che permettono di determinare, senza compiere l'operazione di
divisione, se un numero intero è divisibile per un fattore.
– un numero è divisibile per 2 se è solo se la sua ultima cifra è pari.
18 dato che ha per ultima cifra 8 è divisibile per 2
10572 dato che ha per ultima cifra 2 è divisibile per 2
11211 non è divisibile per 2 perché la sua ultima cifra è 1
– Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è pari a 3 o ad un suo multiplo
3621 è divisibile per 3 perché 3+6+2+1 =12 che è un multiplo di 3
1520 non è divisibile per 3 perché 1+5+2+0 = 8 che non è un multiplo di 3
– Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 oppure 5
1055 è divisibile per 5 perché termina con 5
1021 non è divisibile per 5 perché termina con 1
– Un numero è divisibile per 7 se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle
unità con la cifra delle unità moltiplicata per due è un numero in modulo multiplo di 7 o è 0.
Ho specificato in modulo perché in alcuni casi il procedimento ha risultato negativo.
455 è un multiplo di 7 perché 45 – 5*2 = 35 che è un multiplo di 7
123 non è divisibile per 7 perché 12 – 3*2 = 6
– Un numero è divisibili per 11 se la somma delle sue cifre prese con segno alterno ad iniziare
dalle unità è un multiplo di 11 o è 0
493827 non è divisibile per 11 perché 7-2+8-3+9-4=15 che non è divisibile per 11
121 è divisibile per 11 perché 1-1+1 = 0
Scomposizione in fattori primi
Ogni numero può essere scomposto in fattori primi cioè può essere rappresentato come il prodotto
di numeri primi. Per ottenere la scomposizione in fattori primi di un numero si procede come
segue:
– si traccia una linea verticale
–
a sinistra della linea in alto si scrive il numero che si vuol fattorizzare
– a destra della linea si riporta un divisore del numero considerato determinato applicando i
criteri di divisibilità
– si riporta a sinistra della linea nella seconda riga il quoziente della divisione tra il numero
iniziale che si vuol fattorizzare e il divisore riportato a destra della riga
– Si ripete il procedimento descritto per il numero riportato a destra della linea nella seconda
riga fino ad ottenere a sinistra della linea il valore 1
Riporto degli esempi:
Lezioni di Matematica Ing. Antonio Nicolazzo
Multipli
Un numero intero a si dice multiplo di un numero intero b se esiste un numero intero c tale che il
prodotto b * c = a
Per la definizione enunciata si deduce che 12 è un multiplo di 3 perché esiste il numero 4 tale che
3 * 4 = 12, mentre 8 non è un multiplo di 3 perché non esiste nessun numero che moltiplicato per 3
dia per risultato 8.
Minimo comune Multiplo m.c.m.
Dato un insieme di numeri interi si definisce minimo comune multiplo il più piccolo multiplo
comune ai numeri considerati. Ad esempio dato il numero 5 e 6 il loro multiplo comune più piccolo
è 30 pertanto il loro minimo comune multiplo è 30.
Determinazione del m.c.m.
Per determinare il minimo comune multiplo di un insieme di numeri occorre
– determinare la scomposizione in fattori primi dei numeri considerati
– il minimo comune multiplo si calcola compiendo il prodotto di tutti i fattori primi comuni e
non comuni dei numeri considerati presi una sola colta.
Esempio:
15
3
1
30
6
2
1
5
3
1
5
3
2
1
15 = 5 * 3 * 1
30 = 5 * 3 * 2 * 1
m.c.m.= 5 * 3 * 2 * 1 =30
Lezioni di Matematica Ing. Antonio Nicolazzo
Massimo Comune Divisore M.C.D.
Dato un insieme di numeri si definisce massimo comune divisore il numero intero più grande
comune ai numeri considerati. Considerando i numeri 18 e 12 il loro massimo comune divisore è 6.
Determinazione del M.C.D.
Per determinare il massimo comune divisore di un insieme di numeri occorre
– determinare la scomposizione in fattori primi dei numeri considerati
– Il massimo comune divisore si calcola compiendo il prodotto di tutti i fattori comuni dei
numeri considerati presi una sola volta
Esempio:
15 = 5 * 3 * 1
30 = 5 * 3 * 2 * 1
M.C.D.= 5 * 3 * 1 =15
Frazioni
La frazione è una rappresentazione di un numero come rapporto di due numeri interi ad esempio ¼
rappresenta il numero 0,25. si definisce numeratore di una frazione il dividendo mentre si definisce
denominatore il divisore. Nella frazione ¼ il numeratore è 1 mentre il denominatore è 4.
La frazione di definisce:
– Propria se il numeratore è minore del denominatore
– Impropria se il numeratore è maggiore del denominatore
– Apparente se il numeratore è un multiplo o uguale al denominatore
Data una frazione si definisce inversa la frazione ottenuta da quella iniziale invertendo di posto
numeratore e denominatore.
Si dimostra che data una frazione se ne ottiene una equivalente se si
moltiplica numeratore e denominatore per una stesso numero diverso da zero.
1 1∗2 2 1∗5 5
=
= =
=
4 4∗2 8 4∗5 20
Una frazione è ridotta ai minimi termini se il numeratore e il denominatore sono primi tra loro ossia
il loro massimo comune divisore è 1. Una frazione può essere sempre convertita in una frazione
ridotta ai minimi termini equivalente dividendo numeratore e denominatore per il loro massimo
comune divisore
Esempio:
10/15 non è ridotta ai mini termini perché il massimo comune divisore di 10 e 15 è 5. La frazione
ridotta ai mini termini equivalente si ottiene in questo caso dividendo numeratore (10) e
denominatore (15) per il M.C.D. Ossia 5.
10 10 : 5 2
=
=
15 15 : 5 3
Due frazioni con denominatore differente non possono essere confrontate. Per confrontare due
frazioni occorre convertirle in due frazioni equivalenti con lo stesso denominatore e risulterà
maggiore quella con il numeratore maggiore. Supponiamo di avere le frazioni ¼ e 3/8 esse non
hanno lo stesso denominatore ma poiché 8 è multiplo di 4 per convertire la frazione ¼ in una
Lezioni di Matematica Ing. Antonio Nicolazzo
frazione con denominatore 8 è sufficiente moltiplicare numeratore e denominatore per 2 ottenendo
1∗2 2
=
4∗2 8
A questo punto dobbiamo confrontare le frazioni equivalenti a quelle iniziali 2/8 e 3/8 di cui è
maggiore 3/8.
In generale per convertire delle frazioni in frazioni con lo stesso denominatore occorre determinare
il minimo comune multiplo tra i denominatori delle frazioni considerate e poi moltiplicare i
numeratori e denominatori di ogni frazione per il numero ottenuto dividendo il minimo comune
multiplo determinato per il denominatore di quella frazione.
Esempio
Consideriamo le frazioni 2/3 5/4 e 4/6. il m.c.m. tra 3,4,6 è il numero 12 pertanto le tre frazioni
divengono:
2
2∗4 8
; 12/ 3=4 ;
=
3
3∗4 12
5
5∗3 15
; 12/4=3 ;
=
4
3∗4 12
4
2∗4 8
; 12/6=2 ;
=
6
6∗2 12
Le tre frazioni sono convertite nelle frazioni equivalenti 8/12 15/12 8/12 di cui è maggiore 15/12
pertanto tra le tre frazioni iniziali quella maggiore è 5/4
Operazioni con le frazioni
Somma
La somma di due o più frazioni si compie trasformando le frazioni iniziali in frazioni con lo stesso
denominatore e sommando quest'ultime. La somma di frazioni con lo stesso denominatore è una
frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma dei
numeratori.
Esempio:
2 1 21 3
=
=
4 5
5
5
1/3 + 2/4 sono frazioni con denominatore differente quindi le devo convertire in frazioni con lo
stesso denominatore
1 4
=
3 12
2 6
=
4 12
in fine
4
3 43 7
=
=
12 12
12
12
Lezioni di Matematica Ing. Antonio Nicolazzo
Differenza
La
Verso crescente
-3
-2
-1 0
1
2
3
differenza di due o più frazioni si compie trasformando le frazioni iniziali in frazioni con lo
stesso denominatore e sottraendo quest'ultime. La differenza di frazioni con lo stesso denominatore
è una frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la differenza dei
numeratori.
Esempio:
2 1 1
− =
4 4 4
4 1 8 3 8−3 5
− = − =
=
3 2 6 6
6
6
Moltiplicazione
La Moltiplicazione di due o più frazioni è quella frazione che ha per numeratore il prodotto dei
numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.
Prima di compiere le moltiplicazioni è opportuno effettuare le semplificazioni. La semplificazione è
l'operazione di divisione del numeratore di una frazione e del denominatore dell'altra frazione che
si stanno per moltiplicare per il loro massimo comune divisore ai fini di ottenere con l'operazione
di prodotto frazioni ridotte ai minimi termini.
Esempio
3
2 3∗2 6
∗ =
=
4
5 4∗5 20
2/5 * ¾ poiché 2 e 4 hanno come M.C.D. 2 si posso dividere entrambi per 2 prima di compiere il
prodotto ottenendo:
3
1 1∗3 3
∗ =
=
2
5 5∗2 10
Divisione
La Divisione di due frazioni è determinata compiendo il prodotto della prima con l'inverso della
seconda.
Esempio:
3 2 3
5 3∗5 15
: = ∗ =
=
4 5 4
2 4∗2 8
Potenze
In matematica la potenza è un' operazione che associa ad una coppia di numeri a e n detti
rispettivamente base ed esponente il numero dato dal prodotto di n fattori uguali ad a: in questo
contesto a può essere un numero intero, razionale o reale mentre n è un numero intero positivo. Le
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potenze scritte nella forma an si leggono come a elevato alla n.
a3= a * a * a
22 = 2 * 2 = 4
Proprietà delle Potenze
1 - Un qualunque numero diverso da zero elevato allo zero è pari a uno:
10 = 1
50 = 1
2 – Lo zero elevato a qualsiasi esponente diverso da 0 è pari a zero
05 = 0
3 – Zero elevato a zero è una forma indeterminata
00 indeterminato
4 – Il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per
esponente la somma degli esponenti
42 * 43 = 45
5- il quoziente di potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per
esponente la differenza degli esponenti
53 / 52 = 51
6- La potenza di potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto
degli esponenti
( 32)2 = 34
7- La potenza di una frazione è una frazione che ha per numeratore la potenza costituita dal
numeratore elevato all'esponente iniziale e per denominatore la potenza costituita dal denominatore
elevato all'esponente iniziale.
3 2 32 9
= 2=
2
2 4
Numeri Relativi
Un numero relativo è un numero con un segno più o meno. I numeri preceduti dal segno più sono
detti positivi mentre quelli preceduti dal meno sono detti negativi.
Si definisce modulo o valore assoluto di un numero relativo il numero privato di segno.
I numeri positivi sono crescenti con il modulo ossia un numero con modulo maggiore è maggiore,
mentre i numeri negativi al crescere del modulo diminuiscono in valore.
Lezioni di Matematica Ing. Antonio Nicolazzo
Operazioni con i numeri Relativi
Somma
La somma di due numeri relativi concordi è un numero relativo concorde ai numeri sommati e
con modulo pari alla somma dei moduli dei numeri sommati.
+3 + (+2) = +5 ; -2 + (-5) = -7
La somma di due numeri relativi discordi è un numero relativo con segno pari a quello del
numero relativo sommato con modulo maggiore e con modulo pari alla differenza dei moduli dei
numeri sommati.
+5 + (-2) = +3
Differenza
La differenza di due numeri relativi è uguale alla somma del primo numero relativo con il secondo
cambiato di segno.
+4 - (-3) = +4 + +3 = +7
Prodotto
Il prodotto di due numeri relativi concordi è un numero relativo positivo con modulo pari ai
moduli dei numeri moltiplicati.
+2 * (+5) = +10
Il prodotto di due numeri relativi discordi è un numero relativo negativo con modulo pari ai
moduli dei numeri moltiplicati.
+5 * (-3) = -15
Divisione
Il quoziente di due numeri relativi concordi è un numero relativo positivo con modulo pari ai
quozienti dei numeri divisi.
+10 / (+2) = +5
Il quoziente di due numeri relativi discordi è un numero relativo negativo con modulo pari ai
quozienti dei moduli dei numeri divisi.
+16 / (-2) = -8
Potenze di numeri relativi
La potenza con esponente positivo di un numero relativo è un numero relativo con segno positivo se
l'esponente è pari mentre il segno è quello della base della potenza se l'esponente è dispari. Il
modulo del numero è pari alla potenza del modulo della base.
(-4)3 = -64
(-5)2 = +25
La potenza di un numero relativo con esponente negativo è pari alla potenza di un numero relativo
che ha per esponente quello iniziale privato del segno e per base il reciproco della base iniziale
compresa del segno
1 2
1
−3−2= =
3
9
Lezioni di Matematica Ing. Antonio Nicolazzo
Equazioni Letterario
Un equazione si dice letteraria se oltre ai numeri compaiono delle lettere. Le equazioni letterarie
rappresentano dei problemi generici in cui le lettere rappresentano dei numeri che assumono un
particolare valore a seconda del caso specifico. Supponiamo che una mela pesi 300 grammi e una
pera pesi 200 grammi posso dichiarare che il peso di un recipiente che contiene pere e mele è
determinato dall'equazione letteraria m* 300 + p * 200 dove p è il numero di pere e m è il numero
di mele.
Monomio
Si definisce monomio un espressione letteraria in cui figurano solo operazioni di prodotto
5ab è un monomio
4bcd è un monomio
3ac+d non è un monomio
La parte numerica di un monomio è detta coefficiente mentre le lettere si dicono parte letteraria.
3abc 3 è il coefficiente e abc è la parte letteraria
Un monomio è detto in forma normale se la sua parte letteraria è costituito da lettere tutte diverse
tra loro. Un monomio non in forma normale si può ridurre in forma normale semplicemente
sostituendo tutte le lettere uguali con una sola lettera uguale a quelle sostituite e con esponente pari
alla somma degli esponenti delle lettere sostituite.
3aba2c = 3 a3bc
Due monomi si dicono simili se hanno la stessa parte letteraria
5ab e 6ab sono simili
3dc e 5fa non sono simili
Somma
Due monomi si possono sommare solo se sono simili è la loro somma e un monomio che ha per
parte letteraria la stessa parte letteraria dei monomi di partenza e per coefficiente la somma
algebrica dei coefficienti.
3de + 5de = 8de
Prodotto
Il prodotto di monomi è il monomio che ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti e per parte
letteraria tutte le lettere che compaiono in ogni monomio moltiplicato ciascuna presa una sola volta
e con esponente pari alla somma degli esponenti con cui quella lettera compare nei monomi di
partenza
5a2b * 4ac = 20a3 bc
Potenza
La potenza n-esima di un monomio è quel monomio che ha per coefficiente la potenza n-esima del
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coefficiente e per parte letteraria tutte le lettere con esponente uguale al prodotto dell'esponente di
partenza per n.
(2a2b3)2= 4a8b6
La divisione tra monomi è il monomio che ha per coefficiente la divisione dei coefficienti e per
parte letteraria le lettere del monomio dividendo con esponente pari alla differenza degli esponenti
con cui ciascuna lettera compare al dividendo e al divisore.
Polinomio
Si definisce polinomio la somma di monomi. I singoli monomi che costituiscono il polinomio sono
detti termini del polinomio. Un polinomio costituito da due monomi è detto binomio mentre un
costituito da tre monomi è detto trinomio.
5ac + 3b è un polinomio
3ad – 54rt è un polinomio
La somma di due polinomi si ottiene scrivendo i due polinomi uno di seguito all'altro e riducendo
poi gli eventuali monomi simili.
La differenza di due polinomi non è altro che la somma del primo con il secondo di cui si è
cambiato il segno a tutti i termini.
Il prodotto tra polinomi si ottiene moltiplicando tutti i termini del primo polinomio per tutti i
termini del secondo.
La divisione di un polinomio per un monomio è il polinomio i cui termini sono il risultato della
divisione di ciascun termine del polinomio con il monomio.
Prodotti Notevoli:
I prodotti notevoli sono dei particolari prodotti tra polinomi di cui è noto il risultato. La conoscenza
dei prodotti notevoli può essere utile per semplificare i calcoli e per riportare il polinomio in un
forma equivalente.
Quadrato di binomio
Si dimostra che il quadrato di binomio è pari al quadrato del primo termine più il quadrato del
secondo termine più il doppio prodotto del primo termine per il secondo
(a + b) * (a + b) = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
Quadrato di trinomio
Si dimostra che il quadrato di trinomio è pari alla somma dei quadrati dei tre termini più il doppio
prodotto del primo termine per il secondo più il doppio prodotto del primo termine per il terzo più
il doppio prodotto del secondo termine per il terzo.
(a + b + c)2 = ( a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac + 2bc)
Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza
Si dimostra che il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è pari al quadrato
Lezioni di Matematica Ing. Antonio Nicolazzo
del primo termine meno il quadrato del secondo.
(a + b) * ( a – b) = a2 – b2
Cubo di binomio
Si dimostra che il cubo di binomio è pari al cubo del primo termine più il cubo del secondo termine
più il triplo prodotto del primo termine al quadrato per il secondo termine più il triplo prodotto del
secondo termine al quadrato per il primo termine.
(a + b)3 = (a3 + b3 + 3a2b + 3b2a)
Somma di cubi
Si dimostra che la somma di cubi è pari alla somma delle basi per il falso quadrato. Il falso
quadrato è costituito dal quadrato del primo termine più il quadrato del secondo termine meno il
prodotto del primo termine per il secondo.
a3 + b3= (a + b) * (a2 + b2 – ab)
Differenza di cubi
Si dimostra che la differenza di cubi è pari alla differenza delle basi per il quadrato del primo
termine più il quadrato del secondo termine più il prodotto del primo termine per il secondo.
a3 - b3= (a - b) * (a2 + b2 + ab)
Si dimostra il seguente prodotto notevole detto trinomio particolare
x2 + (a+b)x + (a*b) = (x + a) * (x + b)
Raccoglimento a fattore comune
Il raccoglimento a fattore comune è una rappresentazione di un polinomio con cui si evidenziano i
termini comuni dei monomi che costituiscono il polinomio. Con il raccoglimento a fattore comune
si rappresenta il polinomio come il prodotto dei fattori comuni.
Esempio 3ab + 6a2b + 9ab2 = 3ab(1+ 2a +3b)
Procedimento di determinazione del raccoglimento a fattore comune.
-1 Si individuano i fattori comuni tra i termini del polinomio. I fattori comuni sono dati dal
massimo comune divisore dei coefficienti dei termini e da tutte le lettere comuni ai termini prese
con l'esponente più piccolo con cui compaiono .
Esempio: tra i termini 9a2b2 + 12a2b + 15a3b3 il fattore comune è 3a2b
-2 Il polinomio di partenza è rappresentabile come il prodotto del fattore comune determinato per
un polinomio quoziente ottenuto dividendo ogni termine del polinomio di partenza per il fattore
comune determinato.
Esempio:
Considerando il polinomio precedente e il fattore comune determinato il polinomio quoziente è il
seguente:
9a2b2/3a2b + 12a2b/3a2b + 15a3b3/3a2b = 3b + 4b + 5b2
Da quanto detto si deduce che il polinomio quoziente ha un numero di termini pari al numero di
termini del polinomio di partenza.
Lezioni di Matematica Ing. Antonio Nicolazzo
Esempio:
dato il polinomio 9a2b3 + 6ab3 + 12 a3b4 si ottiene che il fattore comune è 3ab3
il polinomio quoziente è 9a2b3/ 3ab3 + 6ab3/ 3ab3 + 12 a3b4/ 3ab3 = 3a + 2 + 4 a2b
infatti risulta: (3a + 2 + 4 a2b) * 3ab3 = 9a2b3 + 6ab3 + 12 a3b4
Raccoglimento a fattore comune parziale
In alcuni casi i termini del polinomio non hanno fattori comuni o per altri motivi è conveniente non
considerare in un unico raggruppamento tutti i termini del polinomio allora si utilizza la
composizione a fattore comune parziale.
ax2 + by2 + cx2 + dy2 = x2(a + c) + y2(b + d)
Il raccoglimento a fattore comune è utilizzato ogni qual volta si desidera rappresentare il polinomio
come un prodotto di polinomi più semplici. Nell'intento di rappresentare il polinomio come
composizione di polinomi semplici è utile anche individuare i fattori del polinomio riconducibili ad
un prodotto notevole.
Esempio:
x2 + 2x + 1 +3ax + 3a = (x + 1)2 + 3a(x + 1) =(x + 1) * [(x + 1) + 3a]
Nell'esempio riportato abbiamo individuato nel polinomio un trinomio che si può considerare il
risultato di un quadrato di binomio. E' stato possibile scomporre il polinomio in fattore sfruttando
quindi il quadrato di binomio per i primi tre termini mentre gli ultimi due termini sono stati
raggruppati mediante un raggruppamento a fattore comune parziale.
Si riportano di seguito le regole che ci permettono di individuare in un polinomio un insieme di
termini riconducibile ad un prodotto notevole:
Individuazione del quadrato di binomio
Per individuare un quadrato di binomio occorre che ci siano nel polinomio due quadrati perfetti e
successivamente dobbiamo individuare un terzo termine pari al doppio prodotto.
Esempio:
9x2 + 3a + 25a2 + 4ab + 30xa
nel polinomio riportato si individuano i quadrati perfetti 9x2 e 25a2 le cui radici quadrate sono 3x e
5a. Per completare la individuazione del quadrato di binomio dobbiamo localizzare nel polinomio
un termine pari al doppio prodotto ossia 2 * 3x * 5a = 30xa. Poiché nel polinomio preso in
considerazione c'è anche un termine pari al doppio prodotto ricercato possiamo riscrivere il
polinomio nel modo seguente:
(3x + 5a)2 + 3a + 4ab
Individuazione della differenza di quadrati
Se due termini di un polinomio sono due quadrati perfetti con segno opposto possiamo ricondurli al
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prodotto della somma per la differenza delle radici quadrate dei due termini.
Esempio:
3ab + 6b + a2b2 - 4b2
Individuiamo i due quadrati a2b2 e – 4b2 e rappresentiamo il polinomio nel modo seguente:
3ab + 6b + (ab + 2b) * (ab – 2b)
Utilizzando il raggruppamento a fattore comune parziale possiamo terminare la scomposizione del
polinomio nel modo seguente:
3(ab + 2b) + (ab + 2b)*(ab – 2b) = (ab + 2b) * [3 + (ab – 2b)]
Individuazione del cubo di binomio
E' possibile individuare nel polinomio il cubo di binomio se riusciamo ad isolare 4 termini di cui
due sono riconducibili a due cubi perfetti e gli altri due sono riconducibili rispettivamente al triplo
prodotto del quadrato del primo termine al quadrato per il secondo termine e al triplo prodotto del
primo termine per il secondo al quadrato.
2ab + 4x + 8a3b3 + 64x3 + 48x2ab + 96xa2b2
Nel polinomio riportato possiamo individuare 4 termini che derivano dal cubo di binomio quindi
riportiamo il polinomio nella forma seguente:
2ab + 4x + (2a + 4x)3
utilizzando il raccoglimento a fattore comune parziale possiamo completare il raggruppamento:
2(ab + 2x) + (2a + 4x)3 = (2a + 4x) * [(2a + 4x)2 + 2]
Individuazione del trinomio particolare
Se nel polinomio sono presente tre termini in cui si individuano un termine di secondo grado uno di
primo ed un termine di grado zero rispetto ad una stessa lettera possiamo ricondurre il trinomio ad
un trinomio particolare x2 + (a+b)x + (a * b) in tal caso si rappresenterà il trinomio nella forma
seguente (x + a) * (x + b)
Esempio:
x2 + 2ab + 5x + abx + 6
Individuato il trinomio possiamo verificare che esso è riconducibile ad un trinomio particolare con
a =3 e b=2 e quindi rappresentare il polinomio nella forma seguente:
(x + 3)(x + 2) +2ab + abx
utilizzando il raggruppamento a fattore comune parziale possiamo completare il raggruppamento
del polinomio nel modo seguente:
(x + 3)(x + 2) +ab(2 + x) = (x + 2) * [(x + 3) + ab]
Somma o differenza di due cubi
Se nel polinomio sono presenti due cubi possiamo individuare la somma di due cubi o essi
compaiono con segno opposto la differenza di due cubi. In questo caso possiamo scomporre i due
cubi nel modo seguente:
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a3 + b3 = (a + b) * (a2 + b2 -ab)
a3 – b3 =(a – b) * (a2 + b2 +ab)
Esempio:
ab + 2b + a3 – 8
Nel polinomio contiene la differenza di due cubi pertanto possiamo rappresentarlo nel modo
seguente:
ab + 2b + (a- 2) * (a2 + 4 +2a)
Utilizzando il raccoglimento a fattore comune parziale possiamo concludere il raggruppamento del
polinomio nel modo seguente:
b(a + 2) + (a- 2) * (a2 + 4 +2a) = (a + 2) * [b + (a2 + 4 +2a)]
Equazioni del primo grado
Un espressione matematica del tipo di seguito riportata è detta uguaglianza numerica:
10 + 3 = 9 + 4
La parte dell'uguaglianza situata a sinistra del segno “uguale” è detta primo membro mentre l'altra
è detta secondo membro. Se nell'uguaglianza oltre ai numeri compaiono lettere viene detta
uguaglianza letterale. Data un uguaglianza letterale si dimostra che essa è vara solo per alcuni
valori assunti dalla parte letterale. Ad esempio l'uguaglianza 4x = 8 è vera solo per x=2.
Si definisce equazione un uguaglianza letterale che è verificata solo per alcuni valori assunti dalla
parte letterale. Le lettere di un equazione sono dette incognite mentre i numeri sono detti termini
noti. I valori che devono essere assunti dalle incognite per soddisfare l'equazione sono detti radici.
Si definisce grado di un equazione il grado più alto dei monomi che la costituiscono.
Le equazioni di primo grado ad un incognita sono quelle in cui compare una sola lettera e il
monomio di grado massimo in essa contenuta è di primo grado.
Due equazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse radici.
Primo principio di equivalenza
Aggiungendo o sottraendo una stessa quantità ad entrambi i membri di un equazione si ottiene
un'equazione equivalente a quella di partenza.
Regola del trasporto. Mediante il primo principio di equivalenza si dimostra che è possibile
trasportare un termine numerico o letterale da un membro all'altro dell'equazione semplicemente
cambiandogli di segno
3x + 4 = 2x + 5 → 2x + 4 – 2x = 5
Secondo principio di equivalenza
Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un equazione per un numero diverso da zero si
ottiene un equazione equivalente a quella di partenza.
Un equazione si dice in forma normale se è ridotta ad un uguaglianza che presenta l'incognita ad
un membro e il termine noto all'altro membro.
Esempio:
3x = 6
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Risoluzione di un equazione di primo grado ad un incognita.
Data un equazione in forma normale ax = b dove a è il coefficiente dell'incognita e b è il termine
noto per il secondo principio d'equivalenza si dimostra che la sua soluzione (radice) è data dal
rapporto b/a. Data l'equazione ax = b possiamo per il secondo principio d'equivalenza dividere
entrambi i membri per a ottenendo a/a x = b/a semplificando ottengo x = b/a come si voleva
dimostrare.
Proporzioni
In matematica due grandezze x e y si dicono legate da una relazione di proporzionalità se tra di esse
esiste una relazione funzionale del tipo y = kx dove k è detta costante di proporzionalità.
Il termine proporzionale può essere inteso anche come sinonimo di rapporto costante in quanto
y = kx è equivalente y/x = k.
Dati quattro numeri a,b,c,d si dicono proporzionali tra loro se il rapporto tra il primo e il secondo è
uguale al rapporto tra il terzo e il quarto:
a c
=
b d
Una proporzione del tipo riportato si legge nel modo seguente: a sta a b come c sta a d
I numeri a, b, c,d si dicono termini della proporzione e in particolare a e c si dicono antecedenti
della proporzione, b e d conseguenti della proporzione, a e d estremi della proporzione, b e c
medi della proporzione; infine d è detto quarto proporzionale che segue a,b e c.
Proprietà fondamentale delle proporzioni
Si dimostra che in una proporziona il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estrai
a : b = c : d → bc = ad
Regola del quarto proporzionale
Noti a,b,c in una proporzione d è dato dalla relazione:
d=
b∗c
a
Infatti per la proprietà fondamentale delle proporzioni risulta
(a) ad = bc
(a) è un'equazione di primo grado con d incognita. Risolvendo l'equazione (a) ottengo d=(b * c)/a
Proprietà dell'invertire
Data una proporzione se ne ottiene una equivalente se si inverte ogni antecedente con il proprio
conseguente.
a:b=c:d→b:a=d:c
Proprietà del permutare
Data una proporzione se ne ottiene una equivalente se si inverte medi con estremi
a:b=c:d→a:c=b:d
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Proprietà del comporre
La somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come ogni antecedente sta al proprio
conseguente.
a : b = c : d → (a + b) : (c + d) : a : b
Proprietà dello scomporre
La differenza degli antecedenti sta alla differenza dei conseguenti come ogni antecedente sta al
proprio conseguente.
a : b = c : d → (a - b) : (c - d) : a : b
Solitamente in un problema che coinvolge le proporzioni dovremo determinare un termine della
proporzione che è incognito. Per risolvere il problema dovremo portare la proporzione alla sua
forma canonica:
a:b=c:d
e successivamente dovremo calcolare il termine incognito applicando la proprietà fondamentali
delle proporzioni come fatto nella regola del quarto proporzionale.
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