Algebra e topologia per la fisica (versione preliminare)
annuncio pubblicitario
Dipartimento di matematica
Università di Milano
Algebra e topologia
per la fisica
(versione preliminare)
Giuseppe Canuto
Ottavio G. Rizzo
14 marzo 2008
© 2002–2008 by Giuseppe Canuto and Ottavio G. Rizzo
Indice
Prerequisiti
1
I
5
Algebra
1 Gruppi
. Gruppi di sostituzioni . . . . .
. Proprietà e definizioni di base
. Tabelle . . . . . . . . . . . . . .
. Sottogruppi e gruppi ciclici . .
. Omomorfismi . . . . . . . . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
2 Gruppi quozienti e sottogruppi normali
. Classi Laterali . . . . . . . . . . . . .
. Quozienti . . . . . . . . . . . . . . . .
. Sottogruppi Normali . . . . . . . . .
. L’isomorfismo canonico . . . . . . .
. Prodotti . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Centro . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Generatori e relazioni . . . . . . . . .
. Abelianizzato . . . . . . . . . . . . . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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19
3 Azione di gruppi
. Classi di coniugio . . .
. Azione di gruppo . . .
. I teoremi di Sylow . . .
. Gruppi di ordine trenta
Esercizi . . . . . . . . . . . . .
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4 Gruppi finiti di trasformazioni
. Gruppo Simmetrico . . . .
. Gruppo Alterno . . . . . .
. Gruppo Diedrale . . . . . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . .
5 Gruppi Abeliani
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59
iii
Indice
. Somma diretta di gruppi abeliani . .
. Gruppi abeliani finiti . . . . . . . . .
. Gruppi abeliani finitamente generati
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 SU(2) ed SO(3)
. SU(2) ed SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Omomorfismo da SU(2) a SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
7 Rappresentazioni
. Rappresentazione di un gruppo . . . .
. Rappresentazioni irriducibili . . . . . .
. Caratteri di gruppi finiti . . . . . . . . .
. Rappresentazioni irriducibili di SU(2)
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
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II Topologia
8 Spazi topologici
. Aperti e chiusi . . .
. Continuità . . . . .
. Chiusura ed interno
Esercizi . . . . . . . . . . .
93
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95
9 Spazi Quozienti
105
. Quozienti e sottospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Azione di gruppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Separazione
111
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 Compattezza
. Funzioni continue su compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Compattezza in spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
12 Connessione
. Criteri di connessione .
. Componenti Connesse
. Connessione per archi .
Esercizi . . . . . . . . . . . . .
123
13 Varietà Topologiche
iv
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129
Indice
. Spazi proiettivi reali . . . . . . . .
. Connessione dei gruppi classici 1
. Numerabilità e paracompattezza .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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14 Gruppi Topologici
. Azione di gruppi . . . . . . . . . .
. Connessione dei gruppi classici 2
. SU(2) ed SO(3) . . . . . . . . . .
. Tori . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Decomposizioni . . . . . . . . . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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135
III Topologia Algebrica
147
15 Gruppo Fondamentale
. Omotopia di cammini e π1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Tipo di omotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Gruppo fondamentale di S 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Gruppo fondamentale di S n . . . . . . . . . . . . . . . .
. Teorema di Van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Gruppo fondamentale di superfici compatte orientabili
. Gruppo fondamentale di gruppi topologici . . . . . . .
Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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163
16 Rivestimenti
. Topologia dei rivestimenti . . . . . . . . . . . . . .
. Sollevamenti di applicazioni . . . . . . . . . . . . .
. Azione di π1 (B) sulla fibra . . . . . . . . . . . . . .
. Gruppo fondamentale dei gruppi classici . . . . . .
. Automorfismi di un rivestimento . . . . . . . . . .
. Rivestimento Universale . . . . . . . . . . . . . . .
. Morfismi di rivestimenti e rivestimenti equivalenti
. Azioni di gruppi e rivestimenti . . . . . . . . . . . .
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IV Varietà Differenziabili
17 Varietà Differenziabili
. Nozione di varietà . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Spazio Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Applicazione lineare tangente . . . . . . . . . .
. Teorema delle funzioni implicite . . . . . . . . .
. Esponenziale di matrici e gruppi a 1-parametro
Indice analitico
177
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195
v
Indice
vi
Prerequisiti
Insiemi
Siano U e V due insiemi, u un elemento di U e v di V. Allora
• L’unione U ∪ V è l’insieme {x ∶ x ∈ U o x ∈ V}
• L’intersezione U ∩ V è l’insieme {x ∶ x ∈ U e x ∈ V}; diciamo che U è disgiunto da V se
U∩V =∅
• {Ui } è una partizione di U se gli Ui sono sottoinsiemi disgiunti di U e ⋃i Ui = U
• La differenza U ∖ V è l’insieme {x ∶ x ∈ U e x ∈/ V}
• Il prodotto U × V è l’insieme delle coppie ordinate (u, v) dove u ∈ U e v ∈ V
• Un’applicazione φ∶ U → V è iniettiva se φ(u) = φ(u ′ ) implica u = u ′
• Un’applicazione φ∶ U → V è suriettiva se per ogni v ∈ V esiste u ∈ U tale che f (u) = v
• L’immagine Im(φ) di φ∶ U → V è {v ∈ V ∶ v = f (u), per qualche u ∈ U}
• Se U ha numero finito di elementi, indichiamo con o(U) la sua cardinalità
Un sottoinsieme R di U × U definisce una relazione di equivalenza se
R (x, x) ∈ R, per ogni x ∈ U
R (x, y) ∈ R implica (y, x) ∈ R
R (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R implicano (x, z) ∈ R
Diciamo che a è in relazione con b e scriviamo a R b o a ∼ b se (a, b) ∈ R. Con questa convenzione
la definizione precedente diventa: ∼ è una relazione di equivalenza se
R’ x ∼ x
R’ x ∼ y implica y ∼ x
R’ x ∼ y ed y ∼ z implicano x ∼ z
Data una relazione di equivalenza ∼ su un insieme U, definiamo per ogni x ∈ U la classe di
equivalenza di x come [x] = {y ∈ U ∶ y ∼ x}. Allora le classi di equivalenza distinte formano una
partizione di U.
Anelli
Un anello è un insieme A dotato di due applicazioni
somma ∶
A× A
(x, y)
/A
/x+y
prodotto ∶
A× A
(x, y)
/A
/x⋅y
tali che∗ , per ogni x, y, z ∈ A,
∗
La definizione usuale di anello richiede solo le prime sei proprietà. La settima definisce quello che tecnicamente è
chiamato anello con unità.
1
Prerequisiti
A
A
A
A
A
A
A
(x + y) + z = x + (y + z)
esiste 0 ∈ G tale che 0 + x = x + 0 = x
esiste −x ∈ G, detto opposto di x, tale che x + (−x) = −x + x = 0
x+y= y+x
(x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z)
x ⋅ (y + z) = x ⋅ y + x ⋅ z e (y + z) ⋅ x = y ⋅ x + z ⋅ x
esiste 1 ∈ G tale che 1 ⋅ x = x ⋅ 1 = x per ogni x ∈ A
A è detto un anello commutativo se vale anche
A x ⋅ y = y ⋅ x
Campi
Un campo è un anello commutativo K in cui vale la proprietà aggiuntiva:
K per ogni x ≠ 0 esiste x −1 ∈ K, detto l’inverso di x, tale che x ⋅ x −1 = x −1 ⋅ x = 1.
Fissato un campo K, l’anello dei polinomi K[X] in una indeterminata X è l’insieme dei simboli
f (X) = a n X n + a n−1 X n−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 X + a0 , dove n è un intero non negativo detto il grado di f (X),
i coefficienti a i ∈ K per ogni i, e a n ≠ 0. La somma ed il prodotto di due polinomi sono definiti
nel modo usuale.
Teorema .
Un polinomio f (X) ∈ K[X] di grado n > 0 ha al più n radici distinte su K.
Numeri complessi
Il campo C dei numeri complessi è l’insieme dei simboli z = a + bi con a, b ∈ R sui cui sono
definite le operazioni
(a + bi) + (a ′ + b′ i) = (a + a ′ ) + (b + b′ )i
(a + bi) ⋅ (a ′ + b′ i) = (aa′ − bb′ ) + (ab ′ + a ′ b)i
L’inverso di a + bi è (a + bi)−1 = a/(a2 + b 2 ) − b/(a 2 + b2 )i. Posto
zn
n⩾0 n!
ez = ∑
(−1)n z 2n+1
n⩾0 (2n + 1)!
sen(z) = ∑
(−1)n z 2n
n⩾0 (2n)!
cos(z) = ∑
abbiamo eiz = cos(z) + i sen(z). In particolare ea+bi = ea eib = ea ( cos(b) + i sen(b)) è il numero
complesso di coordinate polari ρ = ea e θ = b. Segue √
che il prodotto può essere anche scritto come
′
′
(ρeiθ )(ρ ′ eiθ ) = ρρ′ ei(θ+θ ) . Il modulo di z è ∣z∣ = a 2 + b2 = ρ. Quindi ∣z∣ = 1 se e solo se z è
della forma z = eiθ . Nel seguito indicheremo con S 1 l’insieme dei numeri complessi di modulo 1.
Matrici
Fissato un campo K, consideriamo l’anello Mn (K) delle matrici n × n. Definiamo nel modo usuale
l’applicazione det ∶ Mn (K) → K. Allora
2
Teorema . (di Binet)
Se P, Q ∈ Mn (K) allora det(P ⋅ Q) = det(P) ⋅ det(Q), dove il prodotto a sinistra è quello di
Mn (K) e quello a destra è quello di K.
Indichiamo con I la matrice identica di Mn (K) e definiamo
GLn (K) = {P ∈ Mn (K) ∶ det(P) ≠ 0}
SLn (K) = {P ∈ Mn (K) ∶ det(P) = 1}
t
U(n) = {Q ∈ GLn (C) ∶ Q tQ̄ = I}
O(n) = {P ∈ GLn (R) ∶ P P = I}
SO(n) = O(n) ∩ SLn (R)
SU(n) = U(n) ∩ SLn (C)
Proprietà degli interi
Dati due interi m ed n, diciamo che m divide n se esiste k ∈ Z tale che n = mk. Un intero positivo
p è detto primo se i suoi unici divisori sono ±1 e ±p.
Teorema . (Fattorizzazione degli interi)
Ogni intero n ∈ Z ∖ {0} si scrive in modo unico nella forma n = εp1k1 p2k2 . . . psk s dove ε = ±1, i
primi p i sono tutti distinti e gli esponenti k i sono interi strettamente positivi.
Posto n = εp1k1 p2k2 . . . psk s ed m = ε′ p1l1 p2l2 . . . psl s (dove gli esponenti sono eventualmente uguali a
zero), definiamo
s
min{k i ,l i }
mcd(m, n) = ∏ p i
i=1
s
max{k i ,l i }
mcm(m, n) = ∏ p i
i=1
Diciamo che m è relativamente primo ad n se mcd(m, n) = 1, cioè se non hanno fattori comuni.
Proposizione .
Se m ed n sono due interi diversi da zero abbiamo:
.
.
.
.
L’intero d divide mcd(m, n) se e solo se d divide sia m che n
mcm(m, n) divide d se e solo se sia m che n dividono d
mcd(m, n) mcm(m, n) = mn
mcd(m, n) è il più piccolo intero strettamente positivo della forma am + bn, con a, b ∈ Z
Algoritmo . (Algoritmo euclideo esteso)
Dati due interi m, n > 0, questo algoritmo calcola d = mcd(m, n) e due interi a e b tali che
d = am + bn.
E1.
E2.
E3.
E4.
Poniamo a ′ = b = 1, a = b′ = 0, c = m, d = n
Siano q ed r interi tali che c = qd + r con 0 ⩽ r < d
Se r = 0, l’algoritmo termina e d = mcd(m, n)
Poniamo c = d, d = r, t = a ′ , a ′ = a, a = t − qa, t = b ′ , b′ = b, b = t − qb e torniamo a E2
3
Prerequisiti
4
Parte I
Algebra
5
Gruppi
Un insieme G dotato di un’operazione binaria (x, y) → x y si dice gruppo (con notazione
moltiplicativa) se:
. vale la legge associativa: (x y)z = x(yz)
. esiste un elemento neutro e tale che ex = xe = x per ogni x ∈ G
. per ogni x ∈ G esiste un elemento inverso x −1 tale che xx −1 = x −1 x = e
L’elemento neutro verrà anche denotato 1G o più semplicemente 1. Scriveremo G(⋅) se vorremo
mettere in evidenza l’operazione di G, per la quale si userà solitamente la notazione moltiplicativa.
Gruppi commutativi e notazione additiva
Se x y = yx per ogni coppia x e y di elementi di G, si dice che il gruppo è commutativo o abeliano.
Se G è un gruppo commutativo, si preferisce talvolta usare la notazione additiva, cioè indicare
la composizione fra x e y con x + y mentre l’inverso di x è indicato −x; l’elemento neutro, in tal
caso, è spesso denotato 0: lo zero del gruppo. Indicheremo G(+) un tale gruppo.
Esempi
È immediato verificare che i seguenti insiemi soddisfano tutti la definizione di gruppo
Z(+)
Q(+)
R(+)
C(+)
gruppo dei numeri interi relativi con la somma
gruppo dei numeri razionali con la somma
gruppo dei numeri reali con la somma
gruppo dei numeri complessi con la somma
Q∗ (⋅) gruppo dei numeri razionali diversi da zero con il prodotto
R∗ (⋅) gruppo dei numeri reali diversi da zero con il prodotto
C∗ (⋅) gruppo dei numeri complessi diversi da zero con il prodotto
T(X) gruppo delle applicazioni biunivoche di un insieme X in sé, con la composizione di applicazioni
GLn (R) gruppo delle matrici n × n invertibili a coefficienti reali con la moltiplicazione di matrici
GLn (C) gruppo delle matrici n × n invertibili a coefficienti complessi con la moltiplicazione di
matrici
7
Gruppi
. Gruppi di sostituzioni
Ricordiamo che l’insieme S n delle sostituzioni su n elementi è l’insieme delle corrispondenze
biunivoche di {1, 2, . . . , n} in sé. Se φ ∈ S n scriviamo
φ=(
n
)
xn
1 2 3 ...
x1 x2 x3 . . .
per indicare il fatto che φ(1) = x1 , φ(2) = x2 , ecc. Se φ, ψ ∈ S n , possiamo definire una sostituzione
φψ ∈ S n componendo φ con ψ. In altre parole, se ψ manda 1 in x1 e φ manda x1 in k, allora φψ
manda 1 in k. Ad esempio, se
1 2 3 4
φ=(
),
2 3 4 1
ψ=(
1 2 3 4
)
1 2 4 3
Otteniamo
1
3
ψ
/1
φ
/2
ψ
/4 φ /1
2
4
ψ
/2 φ /3
ψ
/3 φ /4
per cui
1 2 3 4
φψ = (
)
2 3 1 4
Lasciamo al lettore il compito di verificare che le sostituzioni su n elementi, con questa regola
di composizione, formano un gruppo S n , il gruppo delle sostituzioni. Tale gruppo è formato da
n! elementi. Studieremo più dettagliatamente tale gruppo nel capitolo 4. Per il momento diamo
alcune nozioni e proprietà di S n senza dimostrazione.
Cicli
Un ciclo σ = (x1 , x2 , . . . , xs ) è una sostituzione che manda x1 in x2 , x2 in x3 , . . . , xs−1 in xs e xs in
x1 ; e che lascia fissi gli altri elementi. Chiamiamo lunghezza di σ l’intero s. Ad esempio, come
elemento di S8 , il ciclo (2743) è la sostituzione
(
1 2 3 4 5 6 7 8
)
1 7 2 3 5 6 4 8
Data una sostituzione φ, diciamo che (x1 , x2 , . . . , xs ) è un suo ciclo se φ(x1 ) = x2 , φ(x2 ) = x3 , . . . ,
φ(xs ) = φ(x1 ). Ad esempio, se
1 2 3 4 5 6 7 8
φ=(
)
5 7 2 3 1 6 4 8
i suoi cicli sono (15), (2743), (6) e (8). Notiamo come la composizione di (15), (2743), (6) e (8)
dia proprio φ: in generale, infatti ogni sostituzione è il prodotto dei propri cicli.
8
. Proprietà e definizioni di base
Trasposizioni
Chiamiamo trasposizione un ciclo di due elementi. Ad esempio, (15) è una trasposizione. È facile
vedere che un ciclo qualsiasi (x1 , x2 , . . . , xs ) può essere visto come il prodotto di trasposizioni
(x1 , xs )(x1 , xs−1 )⋯(x1 , x2 ). Ad esempio, (2743) = (23)(24)(27). Abbiamo quindi che:
Proposizione .
Ogni sostituzione è il prodotto di trasposizioni.
È facile convincersi che tale decomposizione non è unica. Se definiamo però pari una sostituzione
che può essere decomposta come un numero pari di trasposizioni, è possibile dimostrare che tale
concetto è ben definito.
Gruppo alterno
Se definiamo una sostituzione dispari nel modo ovvio, è evidente che la composizione di due
sostituzioni entrambe pari o dispari è pari e che la composizione di una sostituzione pari con una
dispari è dispari. Segue che l’insieme delle sostituzioni pari, con la stessa legge di composizione di
S n , forma un gruppo A n , il gruppo alterno di grado n. Vedremo più avanti che A n ha esattamente
metà degli elementi di S n .
. Proprietà e definizioni di base
Proposizione .
In un gruppo G valgono le seguenti proprietà:
.
.
.
.
.
.
.
.
c’è un solo elemento neutro
se x y = e allora yx = e
ogni elemento ha un unico inverso
se x ∈ G, allora (x −1 )−1 = x
se x, y ∈ G, allora (x y)−1 = y−1 x −1 .
se x y = xz allora y = z (e analogamente: se yx = zx allora y = z)
dati a e b in G, esiste un unico x ∈ G tale che ax = b
fissato a ∈ G, l’applicazione x ↦ ax è una corrispondenza biunivoca di G in sé
Dimostrazione. Tutte queste affermazioni sono di facile dimostrazione. Verifichiamo ad esempio
la seconda:
yx = (x −1 x)yx = x −1 (x y)x = x −1 ex = x −1 x = e
La sesta, invece, può essere dimostrata così: supponiamo che x y = xz. Per la definizione di gruppo
esiste un elemento x −1 inverso di x, segue che x −1 x y = x −1 xz, cioè e y = ez e quindi y = z. L’ottava
è una conseguenza immediata delle due proprietà precedenti.
9
Gruppi
Potenze
Dato un elemento x del gruppo G ed un intero positivo n indichiamo con x n il prodotto di x con se
stesso n volte. Indichiamo con x −n il prodotto di x −1 con se stesso n volte. Poniamo infine x 0 = e.
Con queste convenzioni valgono le regole usuali delle potenze: se n ed m sono interi qualsiasi,
x m x n = x n+m ,
(x n )m = x nm
. Tabelle
Diciamo che G è un gruppo finito se ha un numero finito di elementi; in tal caso possiamo
rappresentare la moltiplicazione (o l’addizione, nel caso in cui si usi la notazione additiva) con una
tabella moltiplicativa in cui il termine della riga x e colonna y è l’elemento x y. La proposizione 1.2
ci garantisce che in ogni riga ed in ogni colonna ci sono tutti gli elementi di G e ciascuno appare
una sola volta.
Tabella di S3
È chiaro che il gruppo S3 delle sostituzioni su tre elementi è formato dalla trasformazione identica
e dai cicli (12), (13), (23), (123), (132).
Chiamiamo 1 la trasformazione identica, σ = (12) e ρ = (123). Lasciamo al lettore il compito
di verificare che quindi (132) = ρ 2 , (13) = ρσ , (23) = ρ 2 σ. Notiamo facilmente che ρ 3 = ρ 2 ρ =
(132)(123) = 1; quindi ρ 2 ρ 2 = ρ 4 = ρ 3 ρ = 1ρ = ρ. Analogamente σ 2 = 1 = (ρσ)2 = (ρ 2 σ)2 . Seguono
altri risultati come (ρσ)σ = ρσ 2 = ρ1 = ρ oppure ρ 2 (ρσ) = ρ 3 σ = σ. Otteniamo quindi questa
tabella parziale:
⋅
1
ρ
ρ2
σ
ρσ
ρ2 σ
1
1
ρ
ρ2
σ
ρσ
ρ2 σ
ρ ρ2 σ
ρ ρ2 σ
ρ 2 1 ρσ
1 ρ ρ2 σ
1
ρ
ρ2
ρσ
ρσ
ρ2 σ
σ
ρ2 σ
ρ2 σ
σ
ρσ
1
1
Per completare la tabella è necessario fare ulteriori calcoli. Abbiamo che
σ ρ = (12)(123) = (23) = ρ 2 σ
Quindi
σ ρ2 = (σ ρ)ρ = (ρ2 σ)ρ = ρ 2 (σ ρ) = ρ 2 (ρ 2 σ) = ρ 4 σ = ρσ
Analogamente
σ(ρσ) = (σ ρ)σ = (ρ2 σ)σ = ρ 2 σ 2 = ρ 2 ,
10
σ(ρ 2 σ) = (σ ρ2 )σ = (ρσ)σ = ρσ 2 = ρ
. Sottogruppi e gruppi ciclici
Lasciamo al lettore il compito di verificare che la tabella completa è:
⋅
1
ρ
ρ2
σ
ρσ
ρ2 σ
1
1
ρ
ρ2
σ
ρσ
ρ2 σ
ρ
ρ
ρ2
1
2
ρ σ
σ
ρσ
ρ2
ρ2
1
ρ
ρσ
ρ2 σ
σ
σ
σ
ρσ
ρ2 σ
1
ρ
ρ2
ρσ
ρσ
ρ2 σ
σ
ρ2
1
ρ
ρ2 σ
ρ2 σ
σ
ρσ
ρ
ρ2
1
(1.1)
Gruppi di quattro elementi
Lasciamo al lettore il compito di verificare che le seguenti sono due tabelle di gruppo
⋅
1 x x2 x3
1
1 x x2 x3
x x x2 x3 1
x2 x2 x3 1 x
x3 x3 1 x x2
⋅
1
x
y xy
1
1
x
y xy
x
x
1 xy y
y
y xy 1
x
x
1
xy xy y
(1.2)
I due gruppi sono diversi: ad esempio, mentre nel secondo il quadrato di ogni elemento è l’unità,
nel primo x 2 ≠ 1. Questi sono gli unici gruppi di quattro elementi, come vedremo nel prossimo
capitolo.
. Sottogruppi e gruppi ciclici
Sottogruppi
Un sottoinsieme H di un gruppo G è un sottogruppo se è un gruppo con l’operazione definita in
G. Un sottoinsieme H è un sottogruppo se e solo se sono verificate le condizioni seguenti:
. se x ∈ H, allora x −1 ∈ H
. se x, y ∈ H, allora x y ∈ H
Da queste condizioni segue che l’elemento neutro appartiene ad H. Se H è un sottogruppo di G,
useremo la notazione H < G.
Esempi
.
.
.
.
.
.
.
Un qualsiasi gruppo G ha almeno due sottogruppi, {1} e G stesso, detti sottogruppi banali
I sottogruppi non banali di S3 sono: {1, ρ, ρ2 }, {1, σ}, {1, ρσ}, {1, ρ 2 σ}
Z(+) < Q(+) < R(+) < C(+), come gruppi additivi
{±1} < Q∗ (⋅) < R∗ (⋅) < C∗ (⋅), come gruppi moltiplicativi
nZ < Z, dove nZ = {nt ∶ t ∈ Z} è il sottoinsieme di Z costituito dai multipli di n
SO(n) < O(n) < GLn (R), per qualsiasi intero n > 1
SU(n) < U(n) < GLn (C), per qualsiasi intero n > 1
11
Gruppi
Sottogruppo generato da un sottoinsieme
Dato un gruppo G ed un sottoinsieme X di G, il gruppo generato da X è il più piccolo sottogruppo
di G contenente X; cioè, per l’esercizio 1.2, l’intersezione di tutti i sottogruppi di G contenenti X.
Denotiamo tale sottogruppo con ⟨X⟩.
Gruppi ciclici
Fissato x ∈ G, allora ⟨x⟩ deve contenere tutte le potenze di x; d’altro canto queste formano un
gruppo, per cui ⟨x⟩ è dato dalle potenze di x. Il gruppo ⟨x⟩ è commutativo poiché x m x n = x m+n =
x n x m e può avere un numero finito oppure infinito di elementi.
Se in un gruppo G esiste un elemento x tale che G coincide con ⟨x⟩, diremo che G è ciclico e che
x è un suo generatore.
Ad esempio, Z(+) è ciclico infinito ed ammette due generatori, cioè +1 e −1. Notiamo che Z(+) è
in notazione additiva e che la potenza n-esima di x si scriverà, ovviamente, nx. In generale, se H
è un sottogruppo non banale di Z, ed n è il più piccolo intero positivo ivi contenuto, allora H è
ciclico infinito ed ammette come generatori +n e −n. Infatti, se b è un elemento di H possiamo
scrivere b = nq + r dove 0 ⩽ r < n. Segue che r = b − nq appartiene ad H; quindi, per la minimalità
di n, abbiamo che r = 0 e b è un multiplo di n.
Un esempio di gruppo ciclico finito è il gruppo µ n delle radici n-esime dell’unità formato dai
numeri complessi z tali che z n = 1. Questi sono i numeri della forma e2kπi/n , con k = 0, 1, 2, . . . , n−1.
Il gruppo µ n è ciclico, è formato da n elementi, ed ammette e2πi/n come generatore. Mostreremo
che i sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici.
Classi di resto modulo n
Fissato un intero n, introduciamo in Z la seguente relazione di equivalenza: x ∼ y se x − y è
un multiplo (positivo o negativo) di n. Otteniamo in tal modo n classi di equivalenza distinte,
cioè quelle individuate da 0, 1, 2, . . . , n − 1, dette classi di resto modulo n. Ogni numero x di Z
appartiene alla classe di equivalenza individuata dal resto della divisione di x per n. Tale classe
sarà denotata x̄ ed avremo x̄ = ȳ esattamente quando x ∼ y.
L’insieme delle classi di resto modulo n è denotato Z/nZ ed in esso possiamo definire un’operazione di somma ponendo x̄ + ȳ = x + y, dove naturalmente la somma a destra è la solita somma
in Z. Tale operazione è ben definita, cioè non dipende dai rappresentanti della classi; tramite essa,
Z/nZ diventa un gruppo ciclico in cui 1̄ è un generatore.
Generatori di un gruppo ciclico
Possiamo facilmente determinare gli altri generatori di Z/nZ. Osserviamo che, dati due interi m ed
a in Z, avremo m ā = ma = a m̄. Ora, se ā è un generatore, si deve avere in particolare 1̄ = b ā con
b intero opportuno; da cui 1̄ = ba, cioè 1 = ba + nc con c intero. Quindi a ed n sono relativamente
primi.
Viceversa, se a ed n sono relativamente primi, esistono degli interi b e c tali che 1 = ba + nc; quindi
12
. Sottogruppi e gruppi ciclici
1̄ = ba = b ā. Dato che ogni classe è un multiplo di 1̄, sarà anche un multiplo di ā. In conclusione i
generatori di Z/nZ sono quelle classi ā individuate dagli interi relativamente primi ad n.
Ordine di un gruppo e di un elemento
Chiamiamo ordine di un gruppo finito il numero dei suoi elementi, e denotiamo questa quantità
o(G). Se G contiene infiniti elementi diremo che G ha ordine infinito.
Se x è un elemento di G tale che x r = e per qualche r strettamente positivo, definiamo l’ordine di
x come il più piccolo intero positivo n per cui x n = e. Denotiamo tale ordine con o(x). Se x r ≠ e
per ogni intero r > 0, diciamo che x ha ordine infinito.
Proposizione .
Un elemento x di un gruppo G ha ordine finito se e solo il gruppo ⟨x⟩ da esso generato è finito.
In tal caso o(x) = o(⟨x⟩).
Dimostrazione. Supponiamo che o(x) = n. Gli elementi {e = x 0 , x 1 , x 2 , . . . x n−1 } sono tutti
distinti: se fosse x i = x j con 0 ⩽ i < j < n, allora x j−i = 1 con 0 < j − i < n, il che è impossibile.
D’altra parte, data una potenza x m , con m = qn + r e 0 ⩽ r < n, abbiamo x m = x qn x r = (x n )q x r =
e q x r = x r . Quindi ogni potenza di x si può scrivere come x r con 0 ⩽ r < n, cioè ⟨x⟩ ha ordine n.
Viceversa è chiaro che se l’ordine di ⟨x⟩ è finito allora l’ordine di x è finito e per la prima parte
o(⟨x⟩) = o(x).
Osservazione 1.4. Se o(x) = n e x m = e allora m è un multiplo di n. Infatti se m = nq + r con
0 ⩽ r < n, allora
x m = x nq+r = (x n )q x r = x r
Per la minimalità di n, avremo r = 0.
Ordine degli elementi di un gruppo ciclico
Sia G un gruppo ciclico di ordine n generato da x. Vogliamo determinare l’ordine di x a dove
a è un intero compreso fra 0 ed n − 1; vogliamo cioè il più piccolo intero positivo m tale che
e = (x a )m = x am . Abbiamo quindi che am è il più piccolo intero positivo multiplo di a e di n,
cioè am = mcm(a, n) = an/ mcd(a, n). L’ordine di x a è quindi n/ mcd(a, n).
Gruppo prodotto
Dati due gruppi G1 e G2 , possiamo definire una struttura di gruppo sull’insieme prodotto G1 × G2
formato dalle coppie (x1 , x2 ) con x i , y i ∈ G i nel modo seguente:
(x1 , x2 ) ⋅ (y1 , y2 ) = (x1 y1 , x2 y2 )
dove x1 y1 è il prodotto in G1 e x2 y2 è il prodotto in G2 . Tale gruppo è detto il gruppo prodotto di
G1 e G2 .
Se G1 e G2 sono scritti in notazione additiva, useremo anche la notazione G1 ⊕ G2 (somma di G1 e
G2 ) per indicare il prodotto di G1 e G2 .
13
Gruppi
. Omomorfismi
Un’applicazione f da un gruppo G1 ad un gruppo G2 si dice omomorfismo se f (x y) = f (x) f (y).
Siano e1 l’elemento neutro di G1 , e2 l’elemento neutro di G2 , ed f ∶ G1 → G2 un omomorfismo.
Allora
f (e1 ) = e2
Infatti
f (e1 ) = f (e1 ⋅ e1 ) = f (e1 ) ⋅ f (e1 )
D’altra parte, f (e1 ) = e2 f (e1 ).
Se x è un elemento di G1 , allora f (x −1 ) = f (x)−1 . Infatti,
f (x ⋅ x −1 ) = f (e1 ) = e2
e d’altra parte
f (x ⋅ x −1 ) = f (x) ⋅ f (x −1 )
Segue che
f (x) ⋅ f (x −1 ) = e2
Esempi
. L’applicazione A ↦ det(A) è un omomorfismo da GLn (R) a R∗ (⋅), per il teorema di Binet.
Analogamente per GLn (C).
. L’applicazione che ad ogni intero x associa la sua classe modulo n è un omomorfismo da Z
a Z/nZ.
. L’applicazione esponenziale x ↦ ex è un omomorfismo da R(+) a R∗ (⋅).
Nucleo e immagine
Dati due gruppi G1 e G2 indichiamo con e1 ed e2 i rispettivi elementi neutri. Sia ora f un
omomorfismo da G1 a G2 . Definiamo:
ker( f ) = {x ∈ G1 ∶ f (x) = e2 }
Im( f ) = {y ∈ G2 ∶ y = f (x) per qualche x ∈ G1 }
È facile verificare che ker( f ) è un sottogruppo di G1 , detto il nucleo di f , e che Im( f ) è un
sottogruppo di G2 , detto l’immagine di f .
Nell’esempio 1 l’omomorfismo è suriettivo, cioè l’immagine è tutto R∗ , ed il nucleo è costituito
dalle matrici con determinante uguale ad uno, che denotiamo con SLn (R) nel caso reale ed
SLn (C) nel caso complesso. Nell’esempio 2 l’omomorfismo è suriettivo ed il nucleo è nZ; mentre
nell’esempio 3 il nucleo è costituito dal solo zero e l’immagine è formata dai numeri reali positivi.
Si ha la seguente
Proposizione .
Un omomorfismo f ∶ G1 → G2 è iniettivo se e solo se ker( f ) = {e1 }.
14
. Omomorfismi
Dimostrazione. In un senso è ovvio. Supponiamo ora che il nucleo sia formato dal solo elemento
neutro: se f (x) = f (y), allora f (x y−1 ) = e2 e dunque x y−1 che appartiene al nucleo vale e1 , cioè
x = y.
Isomorfismi
Diciamo che due gruppi G1 e G2 sono isomorfi se esiste un omomorfismo iniettivo e suriettivo f
di G1 in G2 ; scriveremo G1 ≃ G2 e diremo che f è un isomorfismo. Osserviamo che l’applicazione
inversa f −1 di G2 in G1 è a sua volta un omomorfismo e quindi un isomorfismo. Un isomorfismo
di G in sé è detto automorfismo di G. L’insieme degli automorfismi di un gruppo G con la
composizione di omomorfismi forma un gruppo Aut(G).
Esempi
. L’applicazione k ↦ e2kπi/n dove k = 0, 1, . . . , n − 1 è un isomorfismo di Z/nZ nel gruppo
delle radici n-esime dell’unità µ n .
. Dato un elemento a di un gruppo G, l’applicazione x ↦ axa −1 è un automorfismo di G
detto automorfismo interno determinato da a.
. Sia x un elemento di G. L’applicazione a ↦ x a è un omomorfismo suriettivo di Z sul gruppo
ciclico ⟨x⟩ generato da x. Se il nucleo è ridotto al solo zero, allora x ha ordine infinito ed
abbiamo un isomorfismo fra Z e ⟨x⟩. Se invece il nucleo non è ridotto al solo zero, sia n il
più piccolo intero positivo appartenente al nucleo: come abbiamo visto a pagina 12, il nucleo
è uguale a nZ e quindi n è l’ordine di x. Infine è immediato verificare che l’applicazione
ā ↦ x a è un isomorfismo di Z/nZ in ⟨x⟩.
. Due gruppi ciclici finiti dello stesso ordine sono isomorfi. Scelti infatti un generatore x del
primo gruppo ed un generatore y del secondo, l’applicazione x n ↦ y n è un isomorfismo.
Indicheremo con C n il gruppo ciclico di ordine n, che per quanto detto è unico a meno di
isomorfismi.
I risultati sui generatori di Z/nZ e sugli ordini degli elementi di µ n valgono quindi per
qualsiasi gruppo ciclico finito.
. Un gruppo ciclico infinito è isomorfo a Z: scelto un generatore x, l’applicazione n ↦ x n è
infatti un isomorfismo. Analogamente al punto precedente, esiste quindi un solo gruppo
ciclico infinito che indicheremo con C∞ .
Sottogruppi dei gruppi ciclici
È molto facile studiare la struttura di un gruppo ciclico. Ad esempio abbiamo i seguenti risultati
Proposizione .
Ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico.
Dimostrazione. Supponiamo che G = ⟨x⟩ e H < G. Sia m il più piccolo intero positivo tale che
x m ∈ H: vogliamo dimostrare che H = ⟨x m ⟩. Chiaramente ⟨x m ⟩ ⊆ H. Supponiamo che x s ∈ H. Se
15
Gruppi
s = mq + r con 0 ⩽ r < m allora x r = x s x −mq quindi x r ∈ H il che, per la minimalità di m, implica
r = 0.
Proposizione .
Sia G un gruppo ciclico finito di ordine n. Allora per ogni divisore b di n esiste un elemento di
ordine b. In particolare per ogni divisore b di n esiste un sottogruppo di ordine b. Inoltre, tale
sottogruppo è unico.
Dimostrazione. Sia x un generatore di G. Sia n = ab con a, b interi positivi. Allora a è il più piccolo
intero positivo tale che (x a )b = e. Inoltre b è il più piccolo intero positivo tale che (x a )b = e, cioè
b è l’ordine di x a ; quindi il gruppo ciclico ⟨x a ⟩ ha ordine b.
Sia H un sottogruppo di ordine b. Per la proposizione precedente sappiamo che H è generato da
x m dove m è il più piccolo intero positivo tale che x m ∈ H. Vogliamo dimostrare che H = ⟨x a ⟩
verificando che a = m. L’elemento x m ha ordine b, quindi per la minimalità di a, m ⩾ a.
Se m = aq + r con 0 ⩽ r < a, avremo x rb = x (m−aq)b = x mb x −abq = e. Ne segue che r = 0 per la
minimalità di a. Essendo m = aq segue che ⟨x m ⟩ ⊆ ⟨x a ⟩ e quindi i due gruppi coincidono, avendo
lo stesso ordine. In particolare, x a ∈ H e, dato che m è il più piccolo intero positivo tale x m ∈ H,
deve essere a = m.
Osservazione 1.8. Vedremo nel capitolo seguente che i sottogruppi di un gruppo ciclico G = ⟨x⟩ di
ordine n sono tutti del tipo descritto nella proposizione precedente.
Esercizi
Esercizio 1.1. Si dimostri che H < G se e solo se x y−1 ∈ H, per ogni x, y ∈ H.
Esercizio 1.2. Si mostri che se H e K sono sottogruppi di G allora anche H ∩ K lo è.
Esercizio 1.3. Sia G un gruppo di ordine tre e si provi a costruirne la tabella. Si verifichi così che
esiste un solo gruppo di ordine tre.
Esercizio 1.4. Si verifichi che i sottogruppi di S3 sono tutti e soli quelli citati a pagina 11.
Esercizio 1.5. Si verifichi che se x m = e e x n = e allora x r = e, dove r = mcd(m, n). (Suggerimento:
si ricordi che, per l’algoritmo euclideo, ci sono due interi a e b tali che am + bn = r.)
Esercizio 1.6. Siano H e K sottogruppi di G di ordine, rispettivamente, m ed n con m ed n
relativamente primi. Si dimostri che H ∩ K = {e}.
Esercizio 1.7. Sia G un gruppo finito; siano x ed y due elementi che commutano di ordine, rispettivamente, m ed n. Si dimostri che se m ed n sono relativamente primi allora l’ordine di x y è
mn.
Esercizio 1.8. Si mostri che il prodotto di due gruppi ciclici C m e C n con m ed n relativamente
primi è ciclico. La proprietà vale se m ed n non sono relativamente primi?
Esercizio 1.9. Verificare che i due gruppi di ordine quattro che appaiono in (1.2) sono rispettivamente
C4 e C2 × C2 .
16
. Omomorfismi
Esercizio 1.10. Sia z = ρeiθ ∈ C. Fissato un intero n si calcoli z n e si mostri che z ha ordine finito se
e solo se ρ = 1 e θ/2π è un numero razionale.
Esercizio 1.11. Fissato un intero n, definiamo una mappa f n ∶ G → G come f n (x) = x n . Si mostri
che se G è commutativo allora f n è un omomorfismo.
Esercizio 1.12. Sia x ∈ G. Si verifichi che se o(x) = n k allora o(x n ) = n k−1 .
Esercizio 1.13. Fissato n intero positivo, si mostri che l’applicazione:
fn ∶
/ Z/n k+1 Z
Z/n k Z
x mod n k
/ nx mod n k+1
è ben definita ed è un omomorfismo per ogni k ⩾ 1.
Esercizio 1.14. Fissato un intero n, possiamo definire un’operazione di moltiplicazione su Z/nZ
come ā ⋅ b̄ = a ⋅ b. Si verifichi che:
. L’operazione è ben definita, cioè che non dipende dalla scelta di un rappresentante a della
classe ā.
. Con questa moltiplicazione Z/nZ è un anello commutativo con 1̄ come elemento neutro.
Esercizio 1.15. Si mostri che ā ∈ Z/nZ ha un inverso b̄ (cioè ab ≡ 1 mod n) se e solo se a è relativamente primo ad n; posto (Z/nZ)∗ = { ā ∈ Z/nZ ∶ ā è invertibile}, si mostri che (Z/nZ)∗ (⋅) è un
gruppo moltiplicativo.
Esercizio 1.16. Siano m ed n due interi relativamente primi e sia f la mappa
/ Z/mZ ⊕ Z/nZ
Z/mnZ
k mod mn
/ (k mod m, k mod n)
. Si verifichi che f è ben definita e che è un omomorfismo di anelli.
. Si mostri che f è un isomorfismo.
. Si concluda che i gruppi (Z/mnZ)∗ e (Z/mZ)∗ × (Z/nZ)∗ sono isomorfi.
Esercizio 1.17. Per ogni intero n, sia φ(n) il numero di interi positivi minori di n e relativamente
primi ad n: ad esempio φ(3) = 2 perché 1 e 2 sono relativamente primi a 3; oppure φ(12) = 4 perché
1, 5, 7, 11 sono relativamente primi a 12. Questa funzione è detta funzione φ di Eulero. Notiamo
che l’ordine di (Z/nZ)∗ è φ(n), così come il numero di generatori di Z/nZ.
. Si verifichi che per ogni numero primo p, φ(p) = p − 1.
. Si mostri che in generale, se e ⩾ 0, allora φ(p e ) = p e − p e−1 . (Suggerimento: si conti il
numero degli interi fra 1 e p e divisibili per p, cioè il numero di interi della forma kp con k
intero opportuno.)
. Usando l’esercizio 1.11 si mostri che, se m ed n sono relativamente primi, allora φ(mn) =
φ(m)φ(n).
17
Gruppi
18
Gruppi quozienti e sottogruppi normali
. Classi Laterali
Sia H un sottogruppo del gruppo G. Dato un elemento a ∈ G, la classe laterale sinistra di a è
l’insieme aH = {ax ∶ x ∈ H}. In particolare l’elemento a appartiene alla classe aH e la classe
laterale dell’elemento neutro coincide con H.
Si verifica facilmente che due elementi a, b di G determinano la stessa classe laterale esattamente
quando uno appartiene alla classe dell’altro.
Infatti b ∈ aH ⇐⇒ b = ah con h ∈ H ⇐⇒ a = bh−1 con h ∈ H.
Essendo H un sottogruppo, anche h −1 ∈ H, quindi le condizioni precedenti sono equivalenti alla
condizione a ∈ bH. Segue che due classi hanno intersezione vuota oppure coincidono. Infatti
se aH ∩ bH ≠ ∅, sia c = ah = bh′ da cui a = bh′ h −1 ; quindi ogni elemento della classe laterale
aH appartiene anche alla classe laterale bH, cioè aH ⊆ bH; analogamente si ottiene l’inclusione
inversa. Segue che le classi laterali formano una partizione di G. Poiché ogni classe laterale è in
corrispondenza biunivoca con H attraverso l’applicazione ax ↦ x, otteniamo immediatamente
che
Proposizione .
Sia G un gruppo finito ed H < G: allora l’ordine di H divide l’ordine di G. Chiamiamo indice
di H in G il numero intero [G ∶ H] = o(G)/o(H). Tale intero è anche il numero delle classi
laterali sinistre di H.
In particolare se H = ⟨x⟩, essendo o(H) = o(x) per la proposizione 1.3, abbiamo
Corollario .
Sia G un gruppo di ordine finito ed x un suo elemento. Allora l’ordine di x divide l’ordine di G.
Corollario .
Sia G un gruppo di ordine finito ed x un suo elemento. Allora x o(G) = e.
Infatti, se n = o(G) ed m = o(x), sappiamo che m = o(⟨x⟩) e che m divide n, cioè n = mq per un
opportuno intero q. Quindi x n = x mq = (x m )q = e q = e.
Corollario .
Sia p un numero primo e G un gruppo di ordine p. Allora G = ⟨x⟩ per ogni x ≠ e.
19
Gruppi quozienti e sottogruppi normali
Corollario .
Sia G = ⟨x⟩ un gruppo ciclico di ordine n. Per ogni intero positivo b esiste un sottogruppo di G
di ordine b se e solo se n = ab con a intero (cioè se b è un divisore di n). In tal caso il sottogruppo
è unico ed è generato da x a .
Sottogruppi di S3
Possiamo ora determinare i sottogruppi di S3 . L’ordine di S3 è sei, i cui divisori non banali sono
solo i numeri primi due e tre. Quindi gli unici sottogruppi non banali di S3 sono i gruppi ciclici
generati dai propri elementi, cioè ⟨ρ⟩ = ⟨ρ2 ⟩, ⟨σ⟩, ⟨ρσ⟩ e ⟨ρ 2 σ⟩.
Osservazione 2.6. Si noti che in un gruppo finito generico di ordine n non esiste necessariamente
un elemento di ordine b per ogni b che divide n. Ad esempio S3 non ha un elemento di ordine sei.
Studieremo nel seguito la struttura di un generico gruppo commutativo finito.
Gruppi di ordine quattro
Abbiamo visto a pagina 11 due diversi gruppi di ordine quattro: C4 e C2 × C2 (vedi anche l’esercizio 1.9). Vogliamo ora mostrare che non ce ne sono altri. Sia G un gruppo di ordine quattro. Per il
corollario 2.2, se x ∈ G e x ≠ e, allora o(x) = 2 o 4. Se o(x) = 4 allora G = C4 . Supponiamo quindi
che l’ordine dei tre elementi diversi da e (che chiameremo x, y, z) sia due. Notiamo che se x 2 = e,
allora x −1 = x. Poiché x y ∈ G avremo una della seguenti possibilità:
xy = e
xy = x
xy = y
xy = z
quindi y = x −1 = x: impossibile
quindi, per la proposizione 1.2, y = e: impossibile
analogamente a sopra, avremmo x = e: impossibile
per esclusione è l’unica possibilità
Analogamente si mostra che il prodotto di due elementi distinti di ordine due sarà il terzo. Segue
che G è necessariamente isomorfo a C2 × C2 .
. Quozienti
Classi laterali destre
Quanto detto per le classi laterali sinistre può essere ripetuto per le classi laterali destre Ha =
{xa ∶ x ∈ H}. Si noti che in generale aH ≠ Ha: vediamo ad esempio le classi laterali sinistre e
destre di H = ⟨σ⟩ in S3 .
a
aH
Ha
1
{1, σ}
{1, σ}
ρ
{ρ, ρσ} {ρ, ρ 2 σ}
ρ 2 {ρ 2 , ρ 2 σ} {ρ 2 , ρσ}
20
a
σ
ρσ
ρ2 σ
aH
Ha
{1, σ}
{1, σ}
{ρ, ρσ} {ρ 2 , ρσ}
{ρ 2 , ρ 2 σ} {ρ, ρ 2 σ}
(2.1)
. Sottogruppi Normali
Prodotto di classi laterali
Consideriamo l’insieme delle classi laterali sinistre e proviamo a definire una moltiplicazione
in tale insieme nel modo seguente: aH ⋅ bH = abH. L’operazione ha senso, cioè è ben definita,
se dipende dalle classi e non dai rappresentanti che le individuano. Supponiamo dunque che
bH = cH, cioè che c = bh con h ∈ H. Allora ac = abh quindi abH = acH. Il prodotto definito
sopra non dipende dal rappresentante scelto nella seconda classe. Supponiamo ora che aH = dH,
cioè che d = ah ′ con h′ ∈ H. Le classi abH ed ah′ bH in generale non coincidono.
Ad esempio, se G = S3 ed H = ⟨σ⟩, calcoliamo il quadrato di ρH = ρσ H: da un lato avremo
ρ 2 H = {ρ 2 , ρ 2 σ} e dall’altro avremo (ρσ)2 H = 1H = {1, σ}, per cui il prodotto non è ben definito.
Le classi abH ed ah ′ bH coincideranno quando ah ′ b ∈ abH, cioè se ah ′ b = abh ′′ per un opportuno
h ′′ ∈ H; equivalentemente, h ′ = bh′′ b−1 . Dato che h ′ può variare in H, si deve avere H ⊆ bHb −1
cioè Hb ⊆ bH. Essendo b arbitrario, si deve avere anche Hb−1 ⊆ b−1 H, da cui bH ⊆ Hb. In
conclusione
Proposizione .
Dato un gruppo G ed un suo sottogruppo H, se la classe laterale sinistra e la classe laterale destra
di ciascun elemento coincidono, allora
. è ben definito un prodotto sull’insieme delle classi laterali nel modo seguente:
(aH) ⋅ (bH) = abH
. tale operazione determina una struttura di gruppo detto gruppo quoziente G/H.
Lasciamo al lettore la verifica della seconda parte.
Se il gruppo G è commutativo la condizione di cui sopra è ovviamente verificata e quindi si può
sempre formare il quoziente G/H per ogni sottogruppo H. Ad esempio, se G = Z(+) ed H < G,
allora H = nZ = ⟨n⟩, quindi G/H è il gruppo Z/nZ delle classi resto modulo n.
. Sottogruppi Normali
Un sottogruppo H di un gruppo G si dice normale se H = xHx −1 per ogni x ∈ G. Equivalentemente
H è normale se xH = Hx per ogni x ∈ G, cioè se le classi laterali destre e sinistre di ciascun elemento
coincidono; esiste quindi il gruppo quoziente G/H. Scriviamo H ◁ G per indicare che H è un
sottogruppo normale di G.
Osserviamo che, se G è un gruppo finito ed H è un sottogruppo normale in G, allora o(G/H) =
o(G)/o(H) = [G ∶ H]. Infatti gli elementi del gruppo quoziente sono esattamente le classi laterali.
Applicazione canonica
Se G è un gruppo ed H un suo sottogruppo normale, l’applicazione π ∶ G → G/H che associa ad
ogni elemento x la sua classe laterale è detta applicazione canonica (o di passaggio al quoziente)
da G a G/H. L’applicazione canonica è un omomorfismo suriettivo, come si verifica facilmente.
21
Gruppi quozienti e sottogruppi normali
Dato che l’elemento neutro del quoziente è la classe H, il nucleo di tale omomorfismo canonico è
il sottogruppo H. Vale la seguente proposizione
Proposizione .
Sia G un gruppo ed H un suo sottogruppo. Allora H è normale in G se e solo se H è il nucleo di
un omomorfismo.
Dimostrazione. Come appena visto, se H ◁ G, allora H è il nucleo dell’omomorfismo canonico
π ∶ G → G/H.
Supponiamo invece H = ker( f ) dove f è omomorfismo da G in un gruppo T. Siano h ∈ H ed
x ∈ G, allora f (xhx −1 ) = f (x) f (h) f (x)−1 = f (x)e f (x)−1 = e, cioè xHx −1 ⊆ ker( f ) = H, da cui
xH ⊆ Hx, per ogni ogni x ∈ G; da x −1 H ⊆ Hx −1 otteniamo Hx ⊆ xH e quindi xH = Hx per ogni
x ∈ G. In conclusione H è un sottogruppo normale.
Esempio
Se H è un sottogruppo di G finito e o(G) = 2o(H) allora esistono due sole classi laterali (ricordiamo
che sono distinte e dello stesso ordine): H e G ∖ H. Segue che H ◁ G. In particolare il gruppo
alterno A n è un sottogruppo normale di S n .
Sottogruppi e quozienti
Sia H ◁ G e π ∶ G → G/H l’applicazione canonica. Per comodità indichiamo Ḡ il quoziente G/H.
Lasciamo al lettore il compito di mostrare che se K̄ < Ḡ, allora K = π −1 (K̄) è un sottogruppo
di G contenente H; e che, viceversa, se H < K < G allora K̄ = π(K) è un sottogruppo di Ḡ con
π −1 (K̄) = K.
Supponiamo ora che K̄ sia normale in Ḡ. Allora se k ∈ K e x ∈ G abbiamo
π(gkg −1 ) = π(g)π(k)π(g)−1 ∈ K̄
e quindi gkg −1 ∈ K. In altre parole K è normale in G.
Viceversa se K ◁ G, e se x̄ = π(x), k̄ = π(k) sono elementi qualsiasi, rispettivamente, di Ḡ e K̄,
allora xkx −1 = k1 ∈ K per cui x̄ k̄ x̄ −1 = π(k1 ) ∈ K̄. Quindi K̄ ◁ Ḡ. Abbiamo così dimostrato la
Proposizione .
Sia Ḡ = G/H un quoziente di G. Allora c’è una corrispondenza biunivoca fra i sottogruppi K̄ di
Ḡ e quelli K di G con K ⊇ H. Inoltre, K̄ è normale se e solo se K è normale.
Normalizzato
Dato un gruppo G ed un suo sottoinsieme X, chiamiamo normalizzato di X il più piccolo sottogruppo normale di G contenente X. Se N è il normalizzato di X, allora N è il gruppo generato
dagli elementi {gx g −1 ∶ g ∈ G, x ∈ X}. Alternativamente, N può essere visto come l’intersezione
di tutti i sottogruppi normali contenenti X (essendo normale l’intersezione di due sottogruppi
normali, vedi l’esercizio 2.7).
22
. Sottogruppi Normali
Normalizzante
Dato un sottogruppo H di G, poniamo N(H) = {x ∈ G ∶ xHx −1 = H}. Si verifica facilmente che
N(H) è un sottogruppo di G, detto normalizzante di H, e che H è normale in N(H).
Automorfismi interni
Ricordiamo che l’applicazione y ↦ x yx −1 è automorfismo di G, detto automorfismo interno
determinato da x. Un sottogruppo H è quindi normale quando viene lasciato fisso, come insieme,
da ogni automorfismo interno.
Due elementi y, z ∈ G sono detti coniugati se z = x yx 1− per qualche x ∈ G, cioè se z è l’immagine
di y attraverso un automorfismo interno.
Analogamente, due sottogruppi H, K di G si dicono coniugati se K = xHx −1 per qualche x ∈ G,
cioè K è l’immagine di H attraverso un automorfismo interno.
Gruppi di ordine sei
Supponiamo che G sia un gruppo di ordine sei: vogliamo determinare la natura di G. Se G contiene
un elemento di ordine sei, allora G è il gruppo ciclico C6 .
Supponiamo che G contenga un elemento di ordine tre, che chiamiamo ρ, ma nessuno di ordine
sei: allora ⟨ρ⟩ è un sottogruppo di G di ordine la metà di G, quindi è normale. Sia σ ∈ G ∖ ⟨ρ⟩:
avendo il gruppo delle classi laterali ordine due,
⎧
⎪
se n è pari
⎪⟨ρ⟩
(σ⟨ρ⟩)n = ⎨
⎪
⎪
⎩σ⟨ρ⟩ se n è dispari
cioè σ n ∈ {e, ρ, ρ2 } esattamente quando n è pari. In particolare, se σ n = e allora n è pari, cioè
l’ordine di σ è pari; dovendo o(σ) dividere sei, e avendo escluso il caso o(σ) = 6, abbiamo
dimostrato che l’ordine di un elemento non in ⟨ρ⟩ è necessariamente due.
Ragionando come nel caso dei gruppi di ordine 4, vediamo che gli elementi {e, ρ, ρ 2 , σ , ρσ , ρ 2 σ}
sono tutti distinti; per quanto appena visto, o(ρσ) = o(ρ 2 σ) = 2. Siamo in grado, a questo punto,
di completare parzialmente la tabella di G:
⋅
e
ρ
ρ2
σ
ρσ
ρ2 σ
e
e
ρ
ρ2
σ
ρσ
ρ2 σ
ρ ρ2 σ
ρ ρ2 σ
ρ 2 e ρσ
e ρ ρ2 σ
e
ρσ
ρσ
ρ2 σ
σ
ρ2 σ
ρ2 σ
σ
ρσ
(2.2)
e
e
Consideriamo ora il prodotto σ ρ: poiché σ⟨ρ⟩ = ⟨ρ⟩σ, σ ρ ∈ {σ , ρσ , ρ 2 σ}. Il primo caso è
chiaramente impossibile. Supponiamo che σ ρ = ρσ: allora
e = (σ ρ)2 = σ(ρσ)ρ = σ(σ ρ)ρ = σ 2 ρ 2 = eρ 2 = ρ 2
23
Gruppi quozienti e sottogruppi normali
il che è impossibile. Segue che σ ρ = ρ 2 σ. Lasciamo al lettore il compito di verificare che ora è
possibile riempire la tabella (2.2) per ottenerne una identica alla (1.1). In altre parole G è isomorfo
a S3 .
Supponiamo infine che tutti gli elementi diversi da e abbiamo ordine due. Siano x ed y due tali
elementi. Allora, ragionando come nel caso dei gruppi di ordine quattro, vediamo che {e, x, y, x y}
è un sottogruppo di G. Ma, per la proposizione 2.1, un gruppo di ordine sei non può avere un
sottogruppo di ordine quattro. Concludiamo quindi che esistono due soli gruppi di ordine sei:
uno commutativo (C6 ) ed uno non commutativo (S3 ).
. L’isomorfismo canonico
Sia f ∶ G → T un omomorfismo di gruppi e sia H = ker f .
Possiamo allora definire un’applicazione f˜∶ G/H → T ponendo f˜(xH) = f (x). La mappa è ben
definita perché f (xh) = f (x) f (h) = f (x) per ogni h ∈ H; nello stesso modo si mostra che è un
omomorfismo. Se π è l’applicazione canonica da G in G/H avremo il diagramma
f
/T
{=
{
{{
π
{{ ˜
{
{ f
G
G/H
in cui f = f˜ ○ π. Un simile diagramma, in cui si può andare da un gruppo all’altro seguendo diversi
cammini e in cui gli omomorfismi composti corrispondenti sono uguali, è detto commutativo.
Notiamo che Im( f ) = Im( f˜).
Il nucleo di f˜∶ G/H → T è costituito dalla sola classe H, che è l’elemento neutro del gruppo quoziente; quindi f˜ è iniettiva. Poiché Im( f ) = Im( f˜), otteniamo un isomorfismo, detto isomorfismo
canonico, G/ ker( f ) ≃ Im( f ).
Esempi
. Come visto, l’applicazione A ↦ det(A) è un omomorfismo suriettivo di GLn (R) in R∗ , il
cui nucleo è SLn (R). Il quoziente GLn (R)/ SLn (R) è dunque isomorfo ad R∗ .
. L’applicazione x ↦ e2xπi è un omomorfismo di R in C∗ , la cui immagine è l’insieme dei
numeri complessi di modulo uno — cioè il cerchio unitario S 1 — e il cui nucleo è Z. Avremo
dunque un isomorfismo fra R/Z ed S 1 .
. L’applicazione S n → {±1} che manda una sostituzione pari in +1 ed una dispari in −1 è
un omomorfismo suriettivo con nucleo A n . Abbiamo dunque un isomorfismo fra S n /A n e
{±1}; segue che l’ordine di A n è la metà di quello di S n .
. Vedremo nel paragrafo 6.2 un omomorfismo suriettivo di SU(2) in SO(3) il cui nucleo è il
sottogruppo formato dai due elementi ±I, quindi SU(2)/{±I} è isomorfo ad SO(3).
24
. Prodotti
. Prodotti
Sia G un gruppo, H e K due suoi sottogruppi: consideriamo l’insieme
HK = {hk ∶ h ∈ H, k ∈ K}
Ci chiediamo quando tale insieme è un sottogruppo di G; abbiamo le proposizioni seguenti
Proposizione .
HK è un sottogruppo di G se e solo se gli insiemi HK e KH coincidono.
Dimostrazione. Supponiamo che HK sia un sottogruppo. Dato un elemento hk ∈ HK, anche
l’elemento h −1 k −1 ∈ HK, quindi kh = (h −1 k −1 )−1 ∈ HK. Segue che KH ⊆ HK. Se invece x ∈ HK,
anche x −1 ∈ HK, quindi x −1 = hk con h e k opportuni. Perciò x = k −1 h −1 ∈ KH; segue HK ⊆ KH.
Supponiamo viceversa che HK = KH. Verifichiamo che l’insieme HK è un sottogruppo. Se x = hk
ed y = h1 k1 , allora x y = hkh1 k1 ma kh1 = h2 k2 , quindi x y = hh2 k2 k1 ∈ HK. Inoltre, se x = hk,
allora x −1 = k −1 h −1 = h3 k3 ∈ HK.
Proposizione .
Gli elementi di HK si scrivono in modo unico come prodotto hk con h ∈ H e k ∈ K se e solo se
H ∩ K = {e}.
Dimostrazione. Se h ∈ H ∩ K con h ≠ e, potremo scrivere (tenuto conto che anche h −1 ∈ H ∩ K):
e = e ⋅ e = h ⋅ h −1 e quindi e ammette due scritture diverse come prodotto di un elemento di H e di
uno di K.
Viceversa, se hk = h1 k1 con h ≠ h1 (e quindi k ≠ k1 ), allora h1−1 h = k1 k −1 è un elemento diverso da
e che appartiene ad H ∩ K.
Siano ora H e K due gruppi con elementi neutri e H ed e K rispettivamente. Il gruppo prodotto
H × K contiene due sottogruppi H × {e K } ed {e H } × K isomorfi ad H e K rispettivamente. Tali
sottogruppi sono normali (come si verifica facilmente), ogni elemento del primo commuta con
ogni elemento del secondo ed un elemento (h, k) ∈ H × K si scrive in modo unico come prodotto
(h, e K ) ⋅ (e H , k) di un elemento del primo gruppo e di uno del secondo, e la loro intersezione è
costituita dal solo elemento neutro. Supponiamo ora che H e K siano sottogruppi di un gruppo G
(e quindi e H = e K = e). Ci chiediamo quando G è isomorfo ad H × K attraverso l’applicazione
φ∶ H × K → G definita da (h, k) ↦ hk.
Consideriamo le quattro condizioni seguenti:
.
.
.
.
HK = G
H ∩ K = {e}
ogni elemento di H commuta con ogni elemento di K
H e K sono entrambi sottogruppi normali di G
Abbiamo la proposizione seguente
25
Gruppi quozienti e sottogruppi normali
Proposizione .
φ è un isomorfismo se e solo valgono (1), (2) e (3) se e solo se valgono (1), (2) e (4).
Dimostrazione. Se φ è un isomorfismo valgono le condizioni (1), (2), (3) e (4) per le considerazioni
precedenti.
Supponiamo valgano le condizioni (1), (2) e (3): la (3) ci garantisce che la φ è un omomorfismo:
infatti in questo caso
φ((h, k)) ⋅ φ((h1 , k1 )) = hk ⋅ h1 k1 = hh1 ⋅ kk1 = φ((hh1 , kk1 ))
La condizione (1) ci dà la suriettività e la (2) l’iniettività, per la proposizione 2.11. Segue che i
sottogruppi H e K sono sottogruppi normali di G in quanto corrispondono attraverso la φ ai
sottogruppi H × {e K } e {e H } × K. Possiamo anche verificare direttamente la normalità di H e K:
infatti siano h ∈ H ed h1 k1 ∈ G; allora
h1 k1 h(h1 k1 )−1 = h1 k1 hk1−1 h1−1 = h1 hh1−1 ∈ H
segue che H è invariante per coniugio, cioè che è normale in G. Analogamente per K.
Supponiamo ora che valgano le condizioni (1), (2) e (4): basterà dimostrare che da queste segue la
(3). Siano h ∈ H e k ∈ K; abbiamo h −1 (k −1 hk) ∈ H perché H ◁ G e (h −1 k −1 h)k ∈ K perché K ◁ G
quindi h −1 k −1 hk = e, cioè hk = kh.
. Centro
Dato un gruppo G, il suo centro è l’insieme Z(G) degli elementi di G che commutano con ogni
elemento, cioè Z(G) = {z ∈ G ∶ za = az per ogni a ∈ G}. Gli elementi di Z(G) sono lasciati fissi
da ogni automorfismo interno, quindi Z(G) è un sottogruppo normale.
Gruppi di matrici
Proposizione .
Il centro di GLn (R) — e di GLn (C) — è formato dalle matrici scalari.
Dimostrazione. Sia G = GLn (R) oppure G = GLn (C) e sia Z il centro di G. È chiaro che una
matrice scalare commuta con ogni altra matrice, e quindi appartiene a Z. Supponiamo ora che
A = (a i j ) sia un elemento di Z. Siano
⎛1
⎞
⎜ 2
⎟
⎜
⎟
⎟
⋱
B=⎜
⎜
⎟
⎜
n−1 ⎟
⎜
⎟
⎝
n⎠
⎛0 1
⎞
1 0
⎟
⎜
1
⎟
C=⎜
⎜
⋱ ⎟
⎝
1⎠
Poiché AB = BA, paragonando gli elementi di posto (i, j) di entrambi i prodotti, vediamo che se
i ≠ j, allora a i j = 0, cioè A è diagonale. Confrontando ora gli elementi di posto (1, 2) in AC e CA
26
. Centro
vediamo che a11 = a22 . Analogamente si dimostra che tutti gli elementi sulla diagonale di A sono
uguali.
Proposizione .
Z(O(2)) = {±I}
Dimostriamo prima il seguente
Lemma .
Se A ∈ O(2) ed A commuta con ogni elemento di SO(2), allora A ∈ SO(2).
cos θ
Dimostrazione. Ricordiamo che SO(2) è il gruppo delle rotazioni {( sen
θ
allora
− sen θ )}.
cos θ
Se A = ( ac db ),
cos θ − sen θ
a cos θ + b sen θ −a sen θ + b cos θ
A(
)=(
)
sen θ
cos θ
⋯
⋯
(
cos θ − sen θ
a cos θ − c sen θ b cos θ − d sen θ
)A= (
)
sen θ
cos θ
⋯
⋯
Essendo per ipotesi i due prodotti uguali, otteniamo b = −c e a = d. Segue che det(A) = a 2 +b2 > 0
e che quindi A ∈ SO(2).
Dimostrazione della proposizione 2.14. Se A ∈ Z(O(2)), allora A ∈ SO(2) per il lemma, cioè
cos θ − sen θ ) per un opportuno θ. Abbiamo
A = ( sen
θ cos θ
A(
1 0
cos θ
sen θ
)=(
)
0 −1
sen θ − cos θ
(
1 0
cos θ − sen θ
)A= (
)
0 −1
− sen θ − cos θ
e quindi sen θ = 0. Segue che A ∈ {±I}.
Poiché le matrici in SO(2) rappresentano le rotazioni del piano intorno all’origine, è chiaro che il
gruppo SO(2) è commutativo, cioè Z(SO(2)) = SO(2).
Per calcolare il centro dei gruppi SO(n), U(n), SU(n) utilizzeremo la seguente strategia: dapprima,
per ciascuno di questi gruppi, determineremo un sottogruppo commutativo T isomorfo ad un
prodotto di copie di S 1 con la proprietà che se un elemento x del gruppo commuta con tutti gli
elementi del sottogruppo T allora x ∈ T. Tale sottogruppo sarà detto toro massimale standard del
gruppo. Successivamente, determineremo facilmente il centro.
Proposizione .
Sia G = SO(3) e poniamo T = TG = {( R θ 1 )} dove R θ è la matrice di SO(2) che rappresenta
la rotazione per l’angolo θ. Se A ∈ SO(3) commuta con ogni elemento di TG allora A ∈ TG .
27
Gruppi quozienti e sottogruppi normali
Dimostrazione. Sia φ l’endomorfismo di R3 rappresentato da A nella base standard {e1 , e2 , e3 }.
Sia ρ l’endomorfismo definito da ρ(e1 ) = e2 , ρ(e2 ) = −e1 , ρ(e3 ) = e3 . La matrice B che rappresenta
ρ nella base standard è quindi ( R π/2 1 ).
Dimostriamo che il piano π generato da e1 e e2 è stabile per φ: basta dimostrare che φ(e3 ) =
±e3 . Ora, ρφ(e3 ) = φρ(e3 ) = φ(e3 ) e quindi φ(e3 ) è un autovettore di ρ con autovalore 1. Tale
autospazio è 1-dimensionale e generato da e3 e quindi φ(e3 ) = ±e3 ; infatti per l’ortogonalità di
φ, il vettore φ(e3 ) è unitario. Segue che la restrizione di φ a π è un elemento di O(2). L’ipotesi
che A commuti con ogni elemento di T significa che la restrizione di φ a π commuta con tutti gli
elementi di SO(2); quindi, per il lemma 2.15, A è della forma ( R α ±1 ). Infine, essendo det(A) = 1,
A = ( R α 1 ) ∈ T.
Proposizione .
R
Sia G = SO(4) e poniamo T = TG = {( θ 1 R θ )} dove R θ 1 ed R θ 2 sono rotazioni in SO(2). Se
2
A ∈ SO(4) commuta con ogni elemento di TG allora A ∈ TG .
Dimostrazione. Nella base standard {e1 , e2 , e3 , e4 }, siano V il sottospazio generato da {e1 , e2 } e
W = V⊥ , il sottospazio generato da {e3 , e4 }. Una matrice di T corrisponde quindi, nella base
standard, ad un endomorfismo che rispetta la decomposizione R4 = V ⊕ V⊥ = V ⊕ W e tale che le
restrizioni a V e a W sono elementi di SO(2). Sia φ un endomorfismo di R4 rappresentato da una
matrice A che commuta con tutti gli elementi di T. Sia ψ un endomorfismo di R4 rappresentato
da una matrice B ∈ T e tale che ψ∣V = 1V mentre ψ∣W ≠ 1W . In particolare, ψ∣W è una rotazione e
non fissa nessun vettore non nullo di W. Avremo
φ(e1 ) = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 + a4 e4
ψφ(e1 ) = a1 e1 + a2 e2 + ψ(a3 e3 + a4 e4 )
φψ(e1 ) = φ(e1 )
Quindi deve essere a3 e3 + a4 e4 = ψ(a3 e3 + a4 e4 ), da cui, per quanto appena notato, a3 e3 + a4 e4 = 0
e perciò φ(e1 ) ∈ V. In modo analogo si dimostra che φ(e2 ) ∈ V e che φ(e3 ) ∈ W, φ(e4 ) ∈ W.
Segue che φ∣V ∈ O(2) ed analogamente φ∣W ∈ O(2). Tuttavia φ deve commutare con tutti gli
endomorfismi costituiti da una rotazione in V e l’identità su V⊥ e analogamente per W. Per il
lemma 2.15, A ∈ TG .
Possiamo facilmente generalizzare questi due casi particolari ai casi SO(2n + 1) e SO(2n):
Proposizione .
Sia G = SO(2n + 1) e poniamo
⎧
⎪
⎛R θ 1
⎪
⎪
⎪
⎪⎜
T = TG = ⎨⎜
⎜
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩⎝
⋱
Rθ n
⎪
⎞⎫
⎪
⎪
⎪
⎟⎪
⎟⎬
⎟⎪
⎪
⎪
⎪
1⎠⎪
⎭
Allora TG è isomorfo al prodotto di n copie di S 1 . Se A ∈ G commuta con ogni elemento di TG
allora A ∈ TG .
28
. Centro
Proposizione .
Sia G = SO(2n) e poniamo
⎫
⎪
⎞⎪
⎪
⎟⎬
⋱
⎪
⎪
R θ n ⎠⎪
⎭
⎧
R
⎪
⎪
⎪⎛ θ 1
T = TG = ⎨⎜
⎪
⎪
⎪
⎩⎝
Allora TG è isomorfo al prodotto di n copie di S 1 . Se A ∈ G commuta con ogni elemento di TG
allora A ∈ TG .
Proposizione .
Sia G = U(n) e poniamo
⎧
eiθ 1
⎪
⎪
⎪⎛
TG = ⎨⎜
⎪
⎪
⎪
⎩⎝
⎫
⎪
⎞⎪
⎪
⎟⎬
⋱
⎪
⎪
eiθ n ⎠⎪
⎭
(l’insieme delle matrici diagonali di U(n)). Allora TG è isomorfo al prodotto di n copie di S 1 . Se
A ∈ G commuta con ogni elemento di TG allora A ∈ TG .
Dimostrazione. Sia φ l’endomorfismo di Cn associato, nella base standard {e1 , . . . , en } di Cn , alla
matrice A. In particolare, φ commuta con tutti gli endomorfismi rappresentati nella base standard
dalle matrici di T che hanno +1 come elemento di posto (1, 1); se ψ è un tale endomorfismo avremo
φψ(e1 ) = φ(e1 )
ψφ(e1 ) = φ(e1 )
Quindi φ(e1 ) è un autovettore con autovalore 1 per ogni endomorfismo ψ di questo tipo. D’altra
parte, dato un qualsiasi vettore v che non sia multiplo di e1 , esiste un tale ψ per cui ψ(v) ≠ v. Segue
che φ(e1 ) è un multiplo di e1 : φ(e1 ) = λ1 e1 . In modo analogo si dimostra che φ(ei ) = λ i ei , per
ogni i = 1, . . . , n; cioè φ è rappresentato da una matrice diagonale.
Proposizione .
Sia G = SU(n) e poniamo
⎧
eiθ 1
⎪
⎪
⎪⎛
TG = ⎨⎜
⎪
⎪⎝
⎪
⎩
⎞
⎟
⋱
iθ n ⎠
e
∶
n
∑ θ i = 2kπ,
i
⎫
⎪
⎪
⎪
con k ∈ Z⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
(l’insieme delle matrici diagonali di SU(n)). Allora TG è isomorfo al prodotto di n − 1 copie di
S 1 . Se A ∈ G commuta con ogni elemento di TG allora A ∈ TG .
iθ
Dimostrazione. Nel caso n = 2, le matrici di TG possono essere scritte sotto la forma ( e0 e −i0 θ ):
basterà infatti scegliere θ 1 e θ 2 tali che 0 ⩽ θ 1 < 2π e −2π < θ 2 ⩽ 0. È chiaro quindi che TG è
29
Gruppi quozienti e sottogruppi normali
isomorfo ad S 1 . Nel caso n > 2, alla matrice (
⎛e
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
e iθ1
⋱
e −i θ n
) con ∑ θ i = 2kπ, associamo la matrice
i(θ 1 −θ n )
e i(θ 2 −θ n )
⋱
e i(θ n−1 −θ n )
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
1⎠
Lasciamo al lettore la verifica che in tal modo si ottiene un isomorfismo fra TG ed il prodotto di
(n − 1) copie di S 1 . La dimostrazione della seconda affermazione è identica al caso di U(n).
Calcoliamo ora il centro dei gruppi SO(n), U(n), SU(n).
Proposizione .
Se n ⩾ 3, allora Z (SO(n)) è formato da matrici scalari.
Dimostrazione. Sia G = SO(n). Abbiamo visto che se A ∈ Z(G), allora A deve appartenere a TG ,
quindi A è della forma ( R θ ⋱ ). Sia
0 0 1
0 1 0
B = ( −1 0 0
I
)
L’elemento di posto (1, 2) di BA è 0, mentre l’elemento di posto (1, 2) di AB è − sen(θ); quindi
deve essere sen(θ) = 0. Analogamente si vede che tutti gli elementi fuori della diagonale di A sono
nulli mentre i termini sulla diagonale sono tutti ±1.
Dimostriamo ora che tutti gli elementi diagonali sono uguali. Sia C la matrice che corrisponde
all’endomorfismo che scambia il primo elemento della base standard e1 con ei . La condizione
AC = CA impone che gli elementi di posto (1, 1) e (i, i) di A siano uguali: infatti, se A = (a i j ),
avremo
a11 = (AC)1i = (CA)1i = a ii
Corollario .
Abbiamo:
Z (SO(2)) = SO(2),
Z (SO(2n)) = {±I} se n ⩾ 2
Z (SO(2n + 1)) = {I} per ogni n
Osservazione 2.24. Nel caso di G = SO(2n + 1), possiamo ragionare anche nel modo seguente:
indichiamo con Ti il sottogruppo formato dalle matrici diagonali a blocchi aventi +1 nel posto
(i, i) ed altrimenti blocchi 2 × 2 corrispondenti a rotazioni. Il gruppo Tn non è altro che TG ed i
gruppi Ti sono coniugati fra loro; inoltre ⋂i Ti = {I}.
Ragionando come nel caso di Tn = TG , si vede che se A commuta con gli elementi di Ti , allora
A ∈ Ti . Segue che se A ∈ Z(G), allora A ∈ ⋂i Ti e quindi A = I.
30
. Centro
Proposizione .
Abbiamo:
Z (U(n)) = {eiθ I ∶ θ ∈ R} ≃ S 1
Z (SU(n)) = {e2πki/n I ∶ k = 0, . . . , n − 1} ≃ µ n
Dimostrazione. Sia G = U(n) e TG il suo toro massimale standard. Una matrice A ∈ Z(G)
commuta, in particolare, con tutti gli elementi di TG , e quindi A ∈ TG ; cioè A è una matrice
diagonale. Sia B la matrice che scambia il primo elemento della base standard e1 con ei . La
condizione AB = BA impone che gli elementi di posto (1, 1) e (i, i) di A siano uguali. Segue che A
è una matrice scalare αI e naturalmente α = eiθ è un numero complesso di modulo uno. Viceversa,
sappiamo già che ogni matrice scalare commuta con ogni matrice.
Nel caso G = SU(n) possiamo procedere nello stesso modo, ottenendo che una matrice A ∈ Z(G)
è della forma A = eiθ I. Dato che det(A) = einθ deve essere uguale ad uno, segue che eiθ = ζ, dove
ζ n = 1.
Diamo ora la dimostrazione di alcune proposizione che utilizzeremo nel seguito.
Proposizione .
Una matrice A di SO(3) ammette sempre 1 come autovalore.
Dimostrazione. Il polinomio caratteristico di A è della forma −x 3 +ax 2 +bx+1 con tutti i coefficienti
reali: esiste quindi un autovalore reale λ. Sappiamo inoltre che gli autovalori, reali o complessi,
hanno valore assoluto uguale ad uno e che il loro prodotto è uno. Se gli autovalori sono tutti reali,
uno di essi deve essere 1; se due sono complessi coniugati α ed ᾱ, allora λ ∣α∣2 = det A = 1 e dunque
λ = 1.
Proposizione .
Una matrice A di SO(3) è coniugata ad una matrice B della forma
B=
⎛ C 0⎞
0
⎝0 0 1 ⎠
dove C ∈ SO(2), e quindi A rappresenta una rotazione di R3 intorno ad un asse.
Dimostrazione. Sia φ l’automorfismo di R3 corrispondente ad A nella base standard. Sia poi v3
un vettore di norma 1 tale che φ(v3 ) = v3 (tale vettore esiste per la proposizione precedente). Sia
π il piano ortogonale a v3 . Fissiamo una base {v1 , v2 } di π tale che F = {v1 , v2 , v3 } sia una terna
ortonormale con la stessa orientazione della base canonica E in modo che la matrice di passaggio
P da E ad F sia in SO(3). La terna {φ(v1 ), φ(v2 ), v3 = φ(v3 )} è ancora una base ortonormale e
quindi {φ(v1 ), φ(v2 )} è una base ortonormale di π, il quale risulta così stabile per φ. Nella base F
la φ è rappresentata da una matrice B della forma desiderata, dove C rappresenta la restrizione di
φ a π. Dato che det B = det A = 1, allora det C = 1 e quindi C ∈ SO(2) e rappresenta una rotazione
nel piano π. Si noti che B = P −1 AP dove P ∈ SO(3).
31
Gruppi quozienti e sottogruppi normali
Proposizione .
Sia φ un endomorfismo di Rn rappresentato nella base standard da una matrice A ∈ O(n).
Allora esiste un sottospazio V, stabile per φ, con 1 ⩽ dim(V) ⩽ 2.
Dimostrazione. Per ipotesi A−1 = tA. Sia ψ l’endomorfismo φ + φ−1 = φ + φ∗ , rappresentato dalla
matrice B = A+ tA nella base standard. La matrice B è simmetrica quindi ammette un autovalore λ;
sia x ≠ 0 un autovettore relativo a λ. Avremo ψ(x) = λx = φ(x) + φ−1 (x) da cui λφ(x) = φ2 (x) + x.
Segue che φ2 (x) è una combinazione lineare di x e φ(x). Il sottospazio V generato da x e φ(x)
risulta quindi stabile per la φ ed ha la dimensione voluta.
Proposizione .
Sia A ∈ O(2) ∖ SO(2). Allora esiste B ∈ SO(2) tale che B−1 AB = ±C con C = ( 01
0
−1 ).
Dimostrazione. Gli autovalori di A sono ±1. Basta allora scegliere una base ortonormale di autovettori orientata come la base standard.
Proposizione .
Sia C la matrice ( 01 −10 ), allora le quattro matrici ( ±C0
alla matrice ( 0I −I0 ).
0
±C )
di SO(4) sono coniugate, in SO(4),
Dimostrazione. Lasciata al lettore.
Un’importante proprietà dei tori massimali è data dal seguente
Teorema .
Sia G = U(n), SU(n), SO(n) e T = TG il corrispondente toro massimale standard. Allora
G = ⋃ xTx −1
x∈G
cioè ogni elemento di G è contenuto in un coniugato di T.
Dimostrazione. Sia G = U(n). Il sottogruppo T è allora formato dalle matrici diagonali di U(n).
Data una matrice A ∈ U(n), è noto che esiste una base ortonormale formata da autovettori di A;
cioè esiste B ∈ U(n) tale che D = BAB−1 è diagonale.
Sia G = SU(n). Il sottogruppo T è formato dalle matrici diagonali di SU(n). Data A ∈ SU(n),
sappiamo che esiste B ∈ U(n) tale D = BAB−1 è diagonale ed appartiene ad SU(n) (perché
det(D) = det(A)). Se B ∈ SU(n) abbiamo concluso; in caso contrario, sia α ∈ C tale che α n =
(det B)−1 : la matrice C = αB ∈ SU(n) e D = BAB−1 = CAC −1 . Quindi A si diagonalizza con una
matrice C ∈ SU(n).
Nel caso G = SO(n), ci limitiamo a dare la dimostrazione per SO(3) ed SO(4), dato che il caso
generale si ottiene facilmente con analoghe considerazioni.
Se G = SO(3), basterà applicare la proposizione 2.27.
32
. Generatori e relazioni
Nel caso G = SO(4), dimostriamo che vi sono due piani stabili ed ortogonali. Infatti per la
proposizione 2.28 sappiamo che esiste un sottospazio stabile di dimensione uno oppure due. Se π1
è un piano stabile, allora anche π2 = π1⊥ è stabile; se r è una retta stabile, allora W = r1⊥ è stabile e di
dimensione tre: applicando a W nuovamente la proposizione 2.27, otteniamo una decomposizione
ortogonale di W in un piano stabile π1 e nella retta ortogonale, e proseguiamo nello stesso modo.
Se π1 e π2 sono i due piani di cui sopra, possiamo scegliere delle basi {v1 , v2 } di π1 e {v3 , v4 } di
π2 in modo che la base {v1 , v2 , v3 , v4 } di R4 abbia la stessa orientazione della base standard. La
matrice A è allora coniugata in SO(4) ad una matrice B = ( B01 B02 ) dove le matrici B i appartengono
entrambe ad SO(2) oppure entrambe a O(2) ∖ SO(2). Nel primo caso abbiamo terminato, nel
secondo caso la matrice B è coniugata in SO(4), per la proposizione 2.29, ad una delle quattro
matrici ( ±C0 ±C0 ) con C = ( 01 −10 ). Utilizzando la proposizione 2.30 concludiamo che la matrice A
è coniugata in SO(4) alla matrice ( 0I −I0 ).
. Generatori e relazioni
Lettere e parole
Sia A un insieme qualsiasi, non necessariamente finito, e consideriamo tutti i simboli della forma
a 1 o a −1 con a ∈ A: chiamiamo alfabeto l’insieme {a 1 , a −1 ∶ a ∈ A} e lettera ogni suo elemento.
Mettendo un numero finito di lettere una a fianco all’altra possiamo formare una parola w =
x1ε1 x2ε2 ⋯x nε n , dove x i ∈ A ed ε i = ±1. Ad esempio, se A = {a, b, c} sono parole a 1 a1 b−1 c, c −1 a −1 a1 ,
b−1 . Consideriamo fra le parole anche quella vuota, ottenuta usando nessuna lettera, e la chiamiamo
1.
Diciamo che una parola è ridotta se non contiene nessuna sequenza del tipo x 1 x −1 o x −1 x 1 . Ad
esempio a 1 a1 b−1 c e b−1 sono ridotte mentre c −1 a −1 a 1 non lo è. Da una parola w non ridotta
possiamo ottenerne una nuova cancellando tutte le coppie x 1 x −1 e x −1 x 1 : diciamo che due parole
sono uguali se, una volta ridotte, coincidono. Quindi c −1 a −1 a1 = c −1 e a 1 b−1 b1 a−1 = a 1 a −1 = 1.
Gruppi Liberi
Possiamo comporre due parole giustapponendole e poi riducendo; questa operazione induce una
struttura di gruppo sull’insieme delle parole ridotte, in cui la parola vuota funge da identità mentre
l’inverso di w = x1ε1 x2ε2 ⋯x nε n è w −1 = x n−ε n ⋯x2−ε2 x1−ε1 . Chiamiamo gruppo libero generato da A
questo gruppo.
Ad esempio, il gruppo libero L generato da A = {a} è formato da 1, dalle parole della forma
a 1 a 1 . . . a 1 e a −1 a −1 . . . a −1 . Se introduciamo la convenzione di indicare il prodotto di n copie di
a 1 con a n , di n copie di a−1 con a −n e di nessuna copia (cioè la parola vuota) con a 0 ; possiamo
scrivere L = {a n ∶ n ∈ Z} dove a n a m = a n+m . Otteniamo così un isomorfismo tra L e Z.
Notiamo che il gruppo libero generato da una lettera è l’unico commutativo: infatti se A comprende
due lettere distinte a e b, allora a 1 b1 ≠ b1 a 1 : sono entrambe parole ridotte e non coincidono.
33
Gruppi quozienti e sottogruppi normali
Relazioni
Dato un alfabeto A ed un insieme R di parole, diciamo che le parole w e w ′ sono equivalenti se w ′
può essere ottenuta da w inserendo e cancellando un numero finito di parole r o r −1 con r ∈ R.
Lasciamo al lettore il compito di verificare che questa è una relazione di equivalenza. Sull’insieme
quoziente possiamo introdurre una operazione di composizione ottenuta componendo nel modo
sopra descritto i rappresentanti delle classi di equivalenza. Otteniamo in questo modo un gruppo,
denotato ⟨A ∶ R⟩, a partire dalla coppia (A, R). Tale coppia è anche detta una presentazione del
gruppo ⟨A ∶ R⟩. Chiamiamo generatori del gruppo gli elementi di A e relazioni quelli di R.
Esempi
. Il gruppo ⟨A ∶ ∅⟩ è il gruppo libero generato da A. Indicheremo questo gruppo anche come
⟨A⟩.
. Sia G il gruppo ⟨{a} ∶ a n ⟩, con n intero positivo. Poiché ⟨{a}⟩ è isomorfo a Z, vediamo
facilmente che G è isomorfo a Z/nZ.
. Sia G = ⟨{a, b} ∶ aba−1 b−1 ⟩. Abbiamo allora
ab = (aba−1 b−1 )−1 ab = bab−1 a −1 ab = bab−1 b = ba
Segue subito che a m b n = b n a m per qualsiasi coppia di interi m ed n. Ogni parola w =
a m1 b n1 a m2 b n2 ⋯a m s b n s è quindi R-equivalente ad a m b n dove m = ∑ m i ed n = ∑ n i .
Vediamo quindi che G è isomorfo a Z × Z.
. Per comodità indicheremo spesso una relazione r tramite un’equazione r = e; useremo
anche r ′ = r per indicare la relazione data dalla parola r ′ r −1 . Con questa convenzione, il
gruppo G del punto precedente può essere descritto anche come ⟨{a, b} ∶ ab = ba⟩
. Sia G = ⟨{ρ, σ} ∶ ρ 3 = 1, σ 2 = 1, σ ρ = ρ 2 σ}, dove l’ultima relazione è un modo più comodo
per scrivere σ ρσ −1 ρ −2 = 1 o equivalentemente σ ρσ ρ = 1. Gli elementi di G sono allora
{1, ρ, ρ 2 , σ , ρσ , ρ 2 σ}. È immediato verificare che questo gruppo di sei elementi è S3 .
Diamo ora una descrizione più precisa del gruppo ⟨A ∶ R⟩.
Quozienti del gruppo libero
Dati un alfabeto A ed un insieme di relazioni R, siano L il gruppo libero su A e G il gruppo ⟨A ∶ R⟩.
Sia π ∶ L → G la mappa naturale definita da π(x) = x̄, dove x̄ indica la classe di x modulo la
relazione di equivalenza definita dalle relazioni. π è ovviamente suriettiva, quindi l’isomorfismo
canonico ci dà G ≃ L/ ker(π).
Ogni relazione in R sta in ker(π); inoltre ker(π) è normale in L. Segue che ker(π) contiene
il normalizzato N(R) di R in L. D’altra parte, se w ∈ ker(π) allora w si ottiene dall’identità
inserendo e cancellando un numero finito di parole r, r −1 ∈ R; è possibile dimostrare, in modo
estremamente tedioso, che allora w ha la forma xrx −1 con r ∈ N(R) e che quindi w ∈ N(R). Segue
che ker(π) = N(R). Abbiamo così mostrato che
34
. Generatori e relazioni
Proposizione .
Sia L il gruppo libero sull’alfabeto A e sia N(R) il normalizzato di R in L. Allora ⟨A ∶ R⟩ ≃
L/N(R). Viceversa, se G = L/N è un quoziente del gruppo libero sull’alfabeto A allora G = ⟨A ∶
R⟩, dove R ⊆ L ha normalizzato N (al peggio possiamo prendere R = N).
Se R ⊇ R′ allora N(R) ⊇ N(R′ ), come segue dalla definizione di normalizzato. Abbiamo perciò
una mappa suriettiva L/N(R′ ) → L/N(R) compatibile con le mappe canoniche da L. In altre
parole,
Proposizione .
Se R ⊇ R′ allora ⟨A ∶ R⟩ è un quoziente di ⟨A ∶ R′ ⟩.
Infine, se G è un gruppo qualsiasi, consideriamo l’alfabeto A = {x̃ ∶ x ∈ G} dato dagli elementi
di G. Sia L il gruppo libero su A. Possiamo definire una mappa L → G che associa alla lettera x̃
l’elemento x: la mappa è chiaramente suriettiva e se N è il suo nucleo, abbiamo G ≃ L/N. Segue
quindi dalla proposizione 2.32 che
Teorema .
Ogni gruppo può essere presentato nella forma ⟨A ∶ R⟩.
Ovviamente un gruppo può essere presentato in più modi, ed in generale non è affatto semplice
riconoscere il gruppo dalla presentazione. Vediamo ora alcuni esempi notevoli
Gruppi Diedrali
Sia D2n il gruppo presentato da ⟨{ρ, σ} ∶ ρ n = 1, σ 2 = 1, σ ρ = ρ −1 σ}. In particolare abbiamo che
σ s ρ r = ρ r se s è pari mentre, se s è dispari,
σ s ρ r = σ ρ r = ρ −1 σ ρ r−1 = ρ −2 σ ρ r−2 = ⋅ ⋅ ⋅ = ρ −r σ
Ogni parola ρ r1 σ s1 ρ r2 σ s2 ⋯ρ r t σ s t può essere quindi riscritta nella forma ρ r σ s con r ed s interi
opportuni tali che 0 ⩽ r < n e 0 ⩽ s < 2. Gli elementi di D2n sono così
{1, ρ, ρ2 , . . . , ρ n−1 , σ , ρσ , ρ 1 σ , ρ 2 σ , . . . , ρ n−1 σ}
D2n è perciò un gruppo finito, detto gruppo diedrale di ordine 2n. Notiamo anche che D2n non è
commutativo se n > 2 e che D6 = S3 .
Il sottogruppo ⟨ρ⟩ generato da ρ è un gruppo ciclico di ordine n: segue che l’ordine di ρ m è
n/ mcd(m, n). Abbiamo invece (ρ m σ)2 = ρ m (σ ρ m )σ = ρ m ρ −m σ 2 = 1, per cui tutti gli elementi
che non sono potenze di ρ hanno ordine due.
Quaternioni
Sia H il gruppo presentato da ⟨{a, b} ∶ a4 = 1, b2 = a 2 , ba = a 3 b⟩. Abbiamo che b4 = (b2 )2 =
(a 2 )2 = a 4 = 1. Ragionando come sopra, ogni parola della forma a m1 b n1 a m2 b n2 ⋯a m t b n t è uguale
35
Gruppi quozienti e sottogruppi normali
a a m b n con m ed n interi opportuni tali che 0 ⩽ m < 4 e 0 ⩽ n < 2 (ricordando che b2 = a 2 e
quindi b3 = a 2 b).
Chiaramente H non è abeliano; non è isomorfo a D8 perché quest’ultimo ha solo due elementi
di ordine quattro: ρ e ρ −1 ; mentre H ne ha almeno quattro: a, a −1 = a3 , b e b−1 = b3 = a 2 b.
Consideriamo ora ab: sappiamo che il suo ordine divide otto, e non è né uno (sennò ab = 1) né
otto (sennò H sarebbe ciclico generato da ab, e quindi commutativo); poiché (ab)2 = a(ba)b =
aa 3 bb = b2 = a2 ≠ 1, anche ab ha ordine quattro. Di conseguenza quattro è l’ordine anche di
(ab)−1 = (ab)3 = a3 b.
H è costituito quindi da sei elementi di ordine quattro, uno di ordine due, e uno di ordine uno.
Poniamo ora −1 = a 2 , i = a, j = b, k = ab. La tabella di H con queste notazioni è
i
j k
⋅
i −1 k − j
i
j −k −1
k
j −i −1
dove le operazioni mancanti sono quelle «ovvie»: ad esempio j3 = j2 j = −1 ⋅ j = − j oppure
(−i)(− j) = (−1)2 i j = 1 ⋅ k = k. Lasciamo al lettore il compito di verificare che la tabella completa
del gruppo è la seguente
⋅
1 −1
i −i
j −j
k −k
1
1 −1
i −i
j −j
k −k
−1 −1
1 −i
i −j
j −k
k
i
i −i −1
1
k −k − j
j
−i −i
i
1 −1 −k
k
j −j
j
j − j −k
k −1
1
i −i
−j −j
j
k −k
1 −1 −i
i
k
k −k
j − j −i
i −1
1
−k −k
k −j
j
i −i
1 −1
Il gruppo {±1, ±i, ± j, ±k} è noto come gruppo dei quaternioni.
. Abelianizzato
Sia G un gruppo qualsiasi. Per il teorema 2.34 possiamo presentare G come ⟨A ∶ R⟩. Sia R′ l’insieme
delle relazioni {x y = yx} dove x ed y variano fra tutte le lettere di A. Il gruppo G ab = ⟨A ∶ R ∪ R′ ⟩
è chiaramente un gruppo abeliano, ed è «il più grande» gruppo abeliano che soddisfa tutte le
relazioni di G, nel senso che: se T è un gruppo abeliano con gli stessi generatori di G e che
soddisfa tutte le relazioni di G, allora per la proposizione 2.33 esiste una mappa suriettiva f ∶ G → T.
Abbiamo f (x yx −1 y−1 ) = 1 per ogni x ed y in G, grazie alla commutatività di T. Quindi f passa al
quoziente e mostra che T è un quoziente di G ab . Chiamiamo G ab l’abelianizzato di G.
Se ora f ∶ G → T è un omomorfismo qualunque di G in un gruppo commutativo T, applicando lo
stesso ragionamento all’immagine di f otteniamo
36
. Abelianizzato
Proposizione .
Ogni omomorfismo di un gruppo G in un gruppo commutativo T si fattorizza attraverso G ab :
G
}
f
}
} ˜
f
/T
}>
G ab
Esempi
. Sia G = S3 . Allora G ab = ⟨{ρ, σ} ∶ ρ 3 = σ 2 = 1, σ ρ = ρ 2 σ; σ ρ = ρσ⟩. Ne segue che ρ 2 σ = ρσ,
cioè ρ 2 = ρ e ρ = 1. Il gruppo G ab è quindi dato dalla sola σ, ed è perciò isomorfo a Z/2Z.
Questo mostra, in particolare, che l’abelianizzato di un gruppo è «più piccolo» del gruppo
di partenza.
. Sia G = ⟨{a, b} ∶ ∅⟩. Se w = a m1 b n1 a m2 b n2 ⋯a m s b n s ∈ G ab possiamo ridurre w nella forma
a m b n con m = ∑ m i ed n = ∑ n i interi. Otteniamo così un isomorfismo fra G ab e Z × Z.
. Ragionando come nell’esempio precedente, possiamo vedere che l’abelianizzato di un
gruppo libero su n lettere è isomorfo ad n copie di Z.
Dati due elementi x ed y di un gruppo G, chiamiamo x yx −1 y−1 il loro commutatore: x ed y
commutano se e solo se x yx −1 y−1 = 1. Chiamiamo derivato di G il sottogruppo G ′ generato da
tutti i commutatori. Chiaramente G ′ = {1} se e solo se G è abeliano, per cui il derivato misura il
grado di commutatività di un gruppo.
Proposizione .
Il derivato di un gruppo è normale.
Dimostrazione. Ci basta notare che
x(aba−1 b−1 )x −1 = xax −1 xbx −1 xa−1 x −1 xb −1 x −1 = (xax −1 )(xbx −1 )(xax −1 )−1 (xbx −1 )−1
Esempi
. Sia G = A n , il gruppo alterno di grado n. Se n ⩾ 4, A n è semplice per il teorema 4.13; ma
(A n )′ ≠ {1} perché A n non è commutativo, quindi (A n )′ coincide necessariamente con A n .
Se n = 3, A n ≃ Z/3Z che è abeliano, per cui (A3 )′ = {1}. Lasciamo al lettore il compito
di dimostrare, infine, che (A4 )′ è il gruppo delle doppie trasposizioni (che è normale per
l’esercizio 2.2).
. Consideriamo ora S n , il gruppo simmetrico di grado n. Un commutatore è il prodotto di
quattro permutazioni, per cui è pari e sta in A n . Se n ⩾ 5, segue dal corollario 4.14 che
(S n )′ = A n . Lasciamo al lettore il compito di verificare che questo è vero anche se n < 5.
37
Gruppi quozienti e sottogruppi normali
Consideriamo ora il quoziente G/G ′ : se G è abeliano, allora G/G ′ = G. In generale abbiamo
yxG ′ = yx(x −1 y −1 x y)G ′ = x yG ′ , per cui G/G ′ è abeliano. Lasciamo al lettore il compito di
dimostrare il seguente
Lemma .
Se H ◁ G allora G/H è commutativo se e solo se G ′ < H.
Ora, se f ∶ G → T è un omomorfismo verso un gruppo commutativo, il derivato G ′ è incluso in
ker( f ): infatti f (x yx −1 y−1 ) = f (x) f (y) f (x)−1 f (y)−1 = 1. Quindi l’omomorfismo f passa al
quoziente per darci un diagramma commutativo
f
G
π
{
G/G
{
′
{
/T
{=
f′
Poniamo T = G ab e usiamo l’analogo risultato dato dalla proposizione 2.35: la proiezione π si
fattorizza attraverso l’abelianizzato G ab per darci un diagramma commutativo
G
z AAA
z
z
AAf
π z
AA
zz
′
z
A
f
}z
, ab
′
G/G l
G
π̃
Lasciamo al lettore il compito di verificare che f ′ e π̃ sono una l’inversa dell’altra e che quindi
G/G ′ = G ab (si noti l’uguaglianza).
Esercizi
Esercizio 2.1. Sia G un gruppo finito. Si mostri che l’applicazione f n dell’esercizio 1.11 è un
isomorfismo se e solo se n è relativamente primo all’ordine di G.
Esercizio 2.2. Determinare i sottogruppi normali del gruppo alterno A4 . (Vedi anche il teorema 4.13)
Esercizio 2.3. Sia G = ⟨x⟩ un gruppo ciclico di ordine n e sia m un divisore di n: si determini
l’ordine di x m .
Esercizio 2.4. Sia G come sopra e sia m un intero relativamente primo ad n — cioè mcd(m, n) = 1:
si verifichi che o(x m ) = n.
Esercizio 2.5. Sia G come sopra e sia m un intero qualsiasi. Si determini l’ordine di x m .
Esercizio 2.6. Si verifichi che se H è un sottogruppo normale di G, allora G/H è effettivamente un
gruppo.
Esercizio 2.7. Si verifichi che l’intersezione di due sottogruppi normali è un sottogruppo normale.
38
. Abelianizzato
Esercizio 2.8. Siano K < H < G. Si dimostrino le seguenti affermazioni (eventualmente con un
controesempio; suggerimento: A4 ):
. se K ◁ G allora K ◁ H
. K ◁ H non implica K ◁ G
. K ◁ H e H ◁ G non implicano K ◁ G
Esercizio 2.9. Si determini la struttura di tutti i gruppi di ordine inferiore a tredici.
Esercizio 2.10. Si verifichi che
⟨{ρ, σ} ∶ ρ3 = 1, σ 2 = 1, σ ρσ −1 ρ −2 = 1⟩ = ⟨{ρ, σ} ∶ ρ 3 = 1, σ 2 = 1, σ ρσ ρ = 1⟩
Esercizio 2.11. Quanti sono gli elementi di ordine quattro in D8 ?
Esercizio 2.12. Calcolare r ed s tali che, in D2n , ρ r1 σ s1 ρ r2 σ s2 = ρ r σ s (Suggerimento: ρ−1 = ρ n−1 ).
Esercizio 2.13. Si verifichi che ⟨ρ⟩ è normale in D2n .
Esercizio 2.14. Determinare tutti i sottogruppi normali di D2n con n ⩽ 5. Quali saranno in generale
i sottogruppi normali di D2n ?
Esercizio 2.15. Determinare il centro di D2n con n ⩽ 5. Quale sarà in generale il centro di D2n ?
Esercizio 2.16. Si costruisca la tabella di H.
Esercizio 2.17. Si calcoli il centro di H.
Esercizio 2.18. Determinare tutti i sottogruppo di H e verificare che sono tutti normali. Chiamiamo
hamiltoniano un gruppo non commutativo che abbia questa proprietà.
Esercizio 2.19. Si calcoli l’abelianizzato di H e di D2n , con n qualsiasi.
39
Gruppi quozienti e sottogruppi normali
40
Azione di gruppi
. Classi di coniugio
Sia G un gruppo. Per ogni a ∈ G consideriamo l’insieme Cl(a) = {xax −1 , x ∈ G}. Tale insieme
è detto la classe di coniugio di a ed i suoi elementi, detti coniugati di a, sono le immagini di a
attraverso gli automorfismi interni di G. Ogni elemento appartiene alla propria classe di coniugio
e le classi di coniugio danno una partizione di G in quanto la relazione di coniugio è relazione
di equivalenza. La classe Cl(a) si riduce al solo a quando a commuta con tutti gli elementi del
gruppo, cioè quando appartiene al centro Z(G).
Esempi
. Sia G il gruppo GLn (R): la relazione di coniugio è la relazione di similitudine.
. Sia G il gruppo SU(2): due matrici di G sono coniugate se sono simili attraverso una matrice
di G. Vedremo più avanti che ogni matrice di G si diagonalizza con una matrice di G (vedi
pag. 69). Quindi una matrice A di SU(2) è coniugata ad una matrice diagonale avente sulla
diagonale due numeri complessi coniugati di modulo uno, che sono gli autovalori di A,
radici del polinomio caratteristico x 2 − Tr(A)x + 1.
β 0
Due tali matrici A = ( α0 ᾱ0 ) e B = ( 0 β̄ ) hanno lo stesso polinomio caratteristico se e solo
se α = β oppure α = β̄. Nel primo caso A = B, nel secondo B = XAX −1 dove X = ( 01 01 ). In
entrambi i casi, A e B sono coniugate.
La classe di coniugio Cl(A) è dunque individuata dalla traccia Tr(A).
. Sia G il gruppo S3 . Fissato x ∈ G, la mappa a ↦ xax −1 è un automorfismo, e quindi a e
xax −1 hanno lo stesso ordine. Segue che Cl(e) = {e} e che Cl(ρ) ⊆ {ρ, ρ 2 }; poiché σ ρσ −1 =
σ ρσ = ρ 2 σ σ = ρ 2 , vale l’uguaglianza. Nello stesso modo si mostra che Cl(σ) = {σ , ρσ , ρ2 σ}.
. Azione di gruppo
Sia X un insieme e T(X) il gruppo delle applicazioni biunivoche di X in sé con la composizione delle
applicazioni. Dato un gruppo G diciamo che G agisce su X attraverso φ se φ è un omomorfismo
di G in T(X). Ciò significa che per ogni g ∈ G, φ(g) è una trasformazione biunivoca di X in
sé tale che φ(gh) = φ(g) ○ φ(h). In particolare φ(e) è la trasformazione identica e φ(g −1 ) è
la trasformazione inversa di φ(g). Se non vi sono equivoci si scriverà g(x) o g ⋅ x al posto di
(φ(g))(x).
41
Azione di gruppi
Esempi
. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n su un campo K. Se fissiamo una base E di V ,
possiamo associare ad ogni elemento di GLn (K) un automorfismo di V , cioè un isomorfismo
lineare di V in sé. Otteniamo in questo modo un omomorfismo di GLn (K) nel gruppo
Aut(V ) degli automorfismi lineari di V , che è un sottogruppo di T(V ). Il gruppo Aut(V )
verrà nel seguito denotato anche GL(V ).
. Sia G un gruppo. Se x è un elemento di G, l’automorfismo interno a ↦ xax −1 determinato
da x manda G in sé in modo biunivoco. Otteniamo in questo modo un’azione di G su se
stesso, detta azione per coniugio: infatti se x, y ∈ G allora (x y)a(x y)−1 = x(yay−1 )x −1 .
. Siano x e G come sopra. Allora a ↦ ga è ancora un’azione di G su se stesso, detta traslazione
sinistra. In maniera simile, anche a ↦ ag −1 è un’azione di G su se stesso, detta traslazione
destra.
Orbite, stabilizzatori
Data un’azione di un gruppo G su un insieme X, l’orbita di un elemento x di X è l’insieme
O(x) = {y ∈ X ∶ y = g(x), al variare di g in G}
L’appartenenza ad una stessa orbita è una relazione di equivalenza, per cui le orbite danno una
partizione di X. Diciamo che G agisce transitivamente su X se esiste una sola orbita, coincidente
necessariamente con X; ciò significa che fissato x ∈ X, ogni altro y ∈ X è della forma g(x) per
qualche g ∈ G. Diciamo invece che l’azione è fedele se l’unità e è l’unico elemento g ∈ G tale che
g(x) = x per ogni x ∈ X; in altre parole l’omomorfismo G → T(X) è iniettivo.
Lo stabilizzatore di un elemento x di X è il sottogruppo S(x) di G dato da {g ∈ G ∶ g(x) = x}.
Lo stabilizzatore di x forma un sottogruppo perché se g, h ∈ S(x) allora (gh)(x) = g(h(x)) =
g(x) = x mentre x = g(x) implica x = g −1 (x).
Nell’esempio 1 l’azione è transitiva su V ∖ {0}; mentre, se x è il primo vettore della base E, allora
S(x) è il sottogruppo delle matrici che hanno come prima colonna il trasposto di (1, 0, . . . , 0).
Nell’esempio 2 l’orbita di a è la classe di coniugio Cl(a), mentre il suo stabilizzatore è l’insieme
{x ∈ G ∶ xa = ax}. Nell’esempio 3 l’azione è transitiva e lo stabilizzatore è banale per ogni a ∈ G:
possiamo così identificare G con un sottogruppo di T(G).
Lasciamo al lettore la dimostrazione della seguente
Proposizione .
Data l’azione di un gruppo G su un insieme X e fissato x ∈ X, l’insieme delle classi laterali
sinistre G/ S(x) è in corrispondenza biunivoca con O(x) attraverso l’applicazione che associa
alla classe di g l’elemento g(x). In particolare, se G è finito, l’indice [G ∶ S(x)] è uguale alla
cardinalità o(O(x)) dell’insieme O(x), per ogni x ∈ X.
Poiché le orbite formano una partizione di X segue dalla proposizione 3.1 che
42
. Azione di gruppo
Proposizione .
Se G agisce su un insieme X finito di cardinalità o(X), allora o(X) = ∑x∈C [G ∶ S(x)], dove C
contiene un elemento x per ogni orbita.
Esempi
. Sia G un gruppo e Cl(a) la classe di coniugio di un suo elemento. Dato che ogni automorfismo interno manda Cl(a) in sé biunivocamente, G agisce su Cl(a) con gli automorfismi
interni (cioè per coniugio). Tale azione è transitiva.
. Sia G il gruppo GLn (R) ed X lo spazio vettoriale Sn (R) delle matrici reali simmetriche
n × n. Il gruppo G agisce su X per congruenza. Per il teorema di Sylvester ed il teorema di
diagonalizzazione di matrici simmetriche reali con matrici ortogonali sappiamo che due
matrici A e B di Sn (R) appartengono alla stessa orbita quando P(A) = P(B) ed N(A) =
N(B), dove P (e rispettivamente N) indica il numero di autovalori positivi (rispettivamente
negativi). Le orbite sono caratterizzate dalla coppia di interi naturali (P, N), dove 0 ⩽
P + N ⩽ n.
Centralizzante
Se a ∈ G, chiamiamo centralizzante di a l’insieme Z(a) = {x ∈ G ∶ ax = xa}: lasciamo al lettore
il compito di verificare direttamente che Z(a) è un sottogruppo di G e che Z(G) = ⋂a∈G Z(a). Se
consideriamo l’azione di G su se stesso per coniugio, abbiamo visto che lo stabilizzatore di a è il suo
centralizzante e che l’orbita di a è formata dai suoi coniugati. Segue quindi dalla proposizione 3.1
che
Proposizione .
Se G è un gruppo finito, allora ogni elemento a ha [G ∶ Z(a)] coniugati.
Osservazione 3.4. Osserviamo che le condizioni seguenti sono equivalenti
. a ∈ Z(G)
. Z(a) = G
. Cl(a) = {a}
L’equazione delle classi
Applicando la proposizione 3.2 all’azione per coniugio di un gruppo su se stesso otteniamo
Teorema . (Equazione delle classi)
Sia G un gruppo finito. Allora
o(G) = o(Z(G)) + ∑ [G ∶ Z(a)]
a∈C
dove C contiene un elemento a per ogni classe di coniugio contenente più di un elemento.
43
Azione di gruppi
. I teoremi di Sylow
Fissiamo in questo paragrafo un gruppo G di ordine p k m con m non divisibile per p.
Teorema . (Primo teorema di Sylow)
G ha un sottogruppo di ordine p k . Chiamiamo p-Sylow un simile sottogruppo.
Dimostrazione. Sia X la famiglia di tutti i sottoinsiemi di G di ordine p k : l’ordine di X è (
pk m
)
pk
— dove (ba) = a!/(a − b)!b! indica il coefficiente binomiale. Il gruppo G agisce su X nel modo
seguente: se X = {x1 , . . . x p k } ∈ X, poniamo g(X) = gX = {gx1 , . . . gx p k }. C’è almeno un’orbita
di X il cui ordine non è divisibile per p: infatti, se l’ordine di ciascuna fosse divisibile per p, lo
sarebbe anche la somma dei loro ordini, cioè l’ordine di X; ma per il lemma 3.7, questo non è
possibile.
Sia ora A una tale orbita ed X un suo elemento. Poniamo H = S(X): per la proposizione 3.1,
o(G)/o(H) = o(A), che non è divisibile per p; quindi o(H) = p k m′ con m′ non divisibile per p.
Fissiamo x ∈ X ⊆ G. Se g ∈ H allora gx ∈ X. Ma i gx, con g che varia in H, sono tutti distinti, per
cui sono al più p k ; cioè o(H) ⩽ p k . Segue che o(H) = p k e che H è un p-Sylow.
Lemma .
pk m
Sia m un intero non divisibile per p. Allora p non divide ( p k ).
Dimostrazione. Abbiamo
(
pk m
pk m pk m − 1 pk m − 2
pk m − pk + 1
)
=
.
.
.
pk
pk pk − 1 pk − 2
pk − pk + 1
Notiamo che, per quanto i singoli fattori (p k m − i)/(p k − i) non siano in generale degli interi, il
loro prodotto lo è. Vogliamo mostrare che, per ogni tale fattore, p non divide né il numeratore né
il denominatore. Se j ⩽ k abbiamo che p k m − i ≡ p k − i mod p j . Quindi la massima potenza di p
che divide p k m − i divide anche p k − i, e viceversa: per cui è la stessa.
Poiché p non divide né il numeratore né il denominatore di ogni fattore (p k m − i)/(p k − i), non
divide neppure il loro prodotto, cioè (
pk m
),
pk
come volevamo dimostrare.
Teorema . (Secondo teorema di Sylow)
Tutti i p-Sylow di G sono coniugati fra di loro.
Dimostrazione. Siano S ed R due p-Sylow di G. Il sottogruppo R agisce sulle classi laterali destre
G/S per traslazione: r(gS) = rgS dove r ∈ R e g ∈ G. Per la proposizione 3.1, il numero di elementi
di un’orbita divide o(R), per cui è una potenza di p. Ma le orbite formano una partizione di G/S,
il quale ha ordine m, e quindi m è somma di potenze di p. Poiché p non divide m, segue che
almeno una di queste potenze è 1 = p0 . In altre parole esiste un’orbita banale R(gS) = gS, cioè
R ⊆ gS g −1 . Poiché o(R) = o(S), abbiamo R = gS g −1 .
44
. Gruppi di ordine trenta
Corollario .
G ammette un solo p-Sylow se e solo se questo è normale
Dimostrazione. Ricordiamo che un sottogruppo H di G è normale se gHg −1 = H, per ogni g ∈ G.
Il corollario segue subito dal teorema.
Teorema . (Terzo teorema di Sylow)
Sia n p il numero dei p-Sylow. Allora n p ≡ 1 mod p ed n p è un divisore di m.
Dimostrazione. Fissiamo un p-Sylow S. Questi agisce per coniugio sull’insieme dei p-Sylow: se
x ∈ S e Q è un p-Sylow, allora xQx −1 è ancora un p-Sylow. Per la proposizione 3.1, il numero di
elementi di un’orbita divide o(S), per cui è una potenza di p. Abbiamo almeno un’orbita di ordine
uno: l’orbita di S stesso. Vogliamo mostrare che è l’unica, da cui seguirebbe che n p ≡ 1 mod p.
Supponiamo che per ogni x ∈ S sia xQx −1 = Q. Allora S è un sottogruppo del normalizzante
N(Q) di Q. Poiché Q < N(Q) < G, l’ordine di N(Q) è p k m′ con m′ non divisibile per p e quindi
S è un p-Sylow di N(Q). Ma Q è un sottogruppo normale di N(Q) ed è anch’esso un p-Sylow:
per il corollario 3.9, Q = S e quindi l’unica orbita di un elemento è {S}.
Consideriamo infine l’azione di G per coniugio sull’insieme dei p-Sylow. Lo stabilizzatore di Q è
per definizione il normalizzante N(Q), mentre l’orbita è tutto l’insieme dei p-Sylow per il teorema
precedente; segue così dalla proposizione 3.1 che n p = [G ∶ N(Q)] = m/m′ , che divide m.
. Gruppi di ordine trenta
Mostriamo ora come si possono usare i teoremi di Sylow per ottenere dei risultati sulla struttura
dei gruppi di un dato ordine. Sia G un gruppo di ordine 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5. Per il primo teorema di Sylow,
ci sono dei gruppi di ordine due, tre e cinque. Essendo questi primi, segue che ci sono elementi di
G degli stessi ordini.
Per il terzo teorema di Sylow, il numero n3 di 3-Sylow è della forma 1 + 3k con 1 + 3k che divide 10.
Quindi n3 = 1 oppure n3 = 10. Analogamente, il numero n5 di 5-Sylow è 1 + 5k con 1 + 5k divisore
di 6. Quindi n5 = 1 oppure n5 = 6.
Poiché l’intersezione di due sottogruppi distinti di ordine primo è la sola identità (l’intersezione di
due gruppi è un sottogruppo di entrambi), se n3 = 10 ci sono allora 2 ⋅ 10 = 20 elementi di ordine
tre in G. Analogamente, se n5 = 6, ci sono 4 ⋅ 6 = 24 elementi di ordine cinque in G. Ma G ha solo
trenta elementi, per cui n3 = 1 o n5 = 1. Per il corollario 3.9, questo è equivalente a dire che c’è un
3-Sylow oppure un 5-Sylow normale in G.
Supponiamo che n3 = 1. Sia H3 l’unico, e perciò normale, 3-Sylow di G. Il quoziente G/H3 ha
ordine dieci: un 5-Sylow di G/H3 ha indice due e quindi è normale. Per la proposizione 2.9, G ha
un sottogruppo H ≠ G contenente H3 , normale in G e con un elemento di ordine un multiplo di
cinque: necessariamente H ha ordine quindici. Per il terzo teorema di Sylow, H ha un solo 5-Sylow,
che chiamiamo H5 ; notiamo che H5 è pure un 5-Sylow di G. Sia x ∈ G un elemento qualsiasi; per
la normalità di H, xH5 x −1 ⊆ H; ma xH5 x −1 è un 5-Sylow di H, per unicità: xH5 x −1 = H. Questo
mostra che H5 è normale in H e che quindi n5 = 1.
45
Azione di gruppi
Supponiamo ora che n5 = 1. Sia H5 l’unico, e perciò normale, 5-Sylow di G. Ragionando come sopra,
si mostra che anche n3 = 1, cioè che G ha un unico, e perciò normale, 3-Sylow, che chiamiamo H3 .
Notiamo che H3 e H5 sono entrambi ciclici, essendo di ordine primo, e quindi commutativi;
diciamo H3 = ⟨x⟩ e H5 = ⟨y⟩. Abbiamo pure che, in generale, vale il seguente
Lemma .
Siano H e K due sottogruppi normali di G. Se gli ordini di H e K sono finiti e relativamente
primi, allora hk = kh per ogni scelta di h ∈ H e k ∈ K.
Dimostrazione. Il sottogruppo H ∩ K è dato dalla sola identità, dovendo il suo ordine dividere mcd{o(H), o(K)} = 1. Ragionando come nella dimostrazione della proposizione 2.12
concludiamo che hk = kh per ogni scelta di h ∈ H e k ∈ K.
Il sottogruppo ⟨x, y⟩ è pertanto commutativo ed ogni suo elemento ha la forma x i y j con i e j interi
compresi fra zero e, rispettivamente, due e quattro. In particolare, ⟨x, y⟩ ha ordine quindici. Sia
ora ρ = x y: il suo ordine divide quindici, ma ρ 1 = x y ≠ e, ρ 3 = x 3 y3 = y3 ≠ e e ρ 5 = x 5 y5 = x 2 ≠ e;
l’ordine di ρ è quindi quindici e ⟨x, y⟩ è il gruppo ciclico generato da ρ. Notiamo che x = ρ 10
mentre y = ρ 6 .
Sia σ un elemento di ordine due in G: chiaramente σ ∈/ ⟨ρ⟩. Gli elementi della forma ρ k σ ε con
k = 0, 1, . . . , 14 ed ε = 0, 1 sono tutti distinti e sono trenta, per cui sono tutti gli elementi di G.
Consideriamo ora σ ρ: dobbiamo avere necessariamente σ ρ = ρ d σ per qualche intero d (perché?).
Lasciamo al lettore il compito di verificare che in generale σ ρ k = ρ kd σ. D’altro canto
(σ ρ)2 = (ρ d σ)(σ ρ) = ρ d σ 2 ρ = ρ d+1
(ρ d σ)2 = ρ d (σ ρ d )σ = ρ d ρ d σ 2 = ρ d(d+1)
2
Quindi d soddisfa l’equazione d + 1 ≡ d(d + 1) mod 15. Abbiamo, modulo 15,
d
d +1
d(d + 1)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0
0 2 6 12 5 0 12 11 12 0 5 12 6 2 0
Gli unici valori possibili per σ ρ sono pertanto ρσ, ρ 4 σ, ρ 11 σ oppure ρ 14 σ. Studiamo ciascun caso
separatamente.
σ ρ = ρσ Tutti gli elementi di G commutano. Lasciamo al lettore il compito di verificare che ρσ ha
ordine trenta e che quindi G è un gruppo ciclico.
σ ρ = ρ 14 σ Una presentazione di G è ⟨ρ, σ ∶ ρ 15 = e, σ 2 = e, σ ρ = ρ 14 σ⟩. Segue che G è il gruppo
diedrale D30 .
σ ρ = ρ 4 σ Poiché x = ρ 10 ed y = ρ 6 , abbiamo
σ x = σ ρ10 = ρ 10⋅4 σ = x 4 σ = xσ ,
σ y = σ ρ6 = ρ 6⋅4 σ = y4 σ
Una presentazione di G è perciò:
⟨x, y, σ ∶ x 3 = e, y5 = e, σ 2 = e, x y = yx, σ x = xσ , σ y = y4 σ⟩
46
. Gruppi di ordine trenta
Siano
D10 = ⟨ρ5 , σ ∶ ρ55 = e, σ 2 = e, σ ρ5 = ρ54 σ⟩,
µ 3 = ⟨ζ ∶ ζ 3 = e⟩
rispettivamente il gruppo diedrale di ordine dieci ed il gruppo delle radici cubiche dell’unità.
Definiamo una mappa f ∶ D10 × µ 3 → G tramite f (ρ5 ) = y, f (σ) = σ e f (ζ) = x. La mappa f
è un omomorfismo perché rispetta le relazioni che definiscono i due gruppi ed è chiaramente
suriettiva. Poiché G e D10 × µ 3 hanno lo stesso ordine, f è un isomorfismo.
σ ρ = ρ 11 σ Ragionando come sopra, abbiamo che σ x = x 11 σ = x 2 σ e che σ y = y11 σ = yσ. Per cui,
una presentazione di G è:
⟨x, y, σ ∶ x 3 = e, y5 = e, σ 2 = e, x y = yx, σ x = x 2 σ , σ y = yσ⟩
Siano
D6 = ⟨ρ3 , σ ∶ ρ33 = e, σ 2 = e, σ ρ3 = ρ32 σ⟩,
µ 5 = ⟨ζ ∶ ζ 5 = e⟩
rispettivamente il gruppo diedrale di ordine sei (cioè S3 ) ed il gruppo delle radici quinte
dell’unità. Se definiamo una mappa f ∶ D6 × µ 5 → G tramite f (ρ3 ) = x, f (σ) = σ e f (ζ) = y
è possibile mostrare, analogamente al caso precedente, che f è un isomorfismo.
Ci rimane da dimostrare che questi gruppi non sono isomorfi. Siano π e τ due elementi qualsiasi
di ordine, rispettivamente, 15 e 3; vogliamo mostrare che se σ ρ = ρ d σ allora vale pure τπ = π d τ. Ne
segue che il valore di d è indipendente dalla scelta di ρ e σ, e che quindi d caratterizza in maniera
univoca ciascuno dei quattro gruppi.
Poiché G ha un solo sottogruppo di ordine 15, ⟨π⟩ = ⟨ρ⟩ e quindi π = ρ m per qualche intero m
relativamente primo a 15 (vedi pagina 12). Inoltre, poiché τ ∈/ ⟨ρ⟩, τ = ρ n σ per qualche intero n.
Allora τπ = ρ n (σ ρ m ) = ρ n ρ m⋅d σ = ρ m⋅d ρ n σ = π d τ.
Esercizi
Esercizio 3.1. Si verifichi che la relazione di coniugio è una relazione di equivalenza.
Esercizio 3.2. Sia G un gruppo abeliano. Si verifichi che Cl(a) = a per ogni elemento a ∈ G.
Esercizio 3.3. Si verifichi che a ∈ Z(G) se e solo se Z(a) = G.
Esercizio 3.4. Se G è un gruppo finito, si verifichi che a ∈ Z(G) se e solo se Cl(a) consiste del solo
elemento a.
Esercizio 3.5. Per ogni elemento x ∈ S3 definiamo una mappa di S3 in sé come a ↦ ax. Si verifichi
che queste mappe non definiscono un’azione di S3 in sé.
Esercizio 3.6. Si dimostri che se due elementi x ed y di X sono nella stessa orbita, allora i rispettivi
stabilizzatori sono coniugati.
Esercizio 3.7. Si dimostri, utilizzando il teorema di Sylow, che se p è un numero primo che divide
l’ordine di un gruppo G, allora G contiene un elemento di ordine p. Questo risultato è noto come
teorema di Cauchy.
Esercizio 3.8. Si dimostri che se p è un numero primo che divide l’ordine di un gruppo G, allora
G contiene un sottogruppo di ordine pn per ogni esponente n tale che pn divide l’ordine di G.
47
Azione di gruppi
Esercizio 3.9. Nelle condizioni dell’esercizio precedente, esiste in genere un elemento di ordine
pn ?
48
Gruppi finiti di trasformazioni
Molti gruppi rappresentano le trasformazioni di un oggetto in sé, ad esempio di un insieme di n
elementi (il gruppo delle sostituzioni), di un poligono regolare nel piano (il gruppo diedrale), di
uno spazio vettoriale in sé (gruppi di matrici).
In realtà ogni gruppo finito può essere identificato con un sottogruppo di un opportuno gruppo
delle sostituzioni:
Teorema . (Teorema di Cayley)
Ogni gruppo finito G di ordine n è isomorfo ad un sottogruppo di S n .
Dimostrazione. Sia G = {x1 = e, x2 , . . . , x n } un gruppo. Definiamo un’azione di G su {1, 2, . . . , n}
in questo modo: se g ∈ G, g(i) = j dove gx i = x j . L’azione è ben definita perché ex i = x i mentre
(gh)(i) = g(h(i)) grazie all’associatività del prodotto di G. L’azione è fedele perché g(i) = i
significa gx i = x i e quindi g = e. Abbiamo così definito un omomorfismo iniettivo da G in S n .
Fissato un intero n, consideriamo Rn con la base canonica {e1 , e2 , . . . , en }. Se σ ∈ S n , possiamo
costruire un’applicazione lineare da Rn in sé, che chiamiamo ancora σ, tramite σ(ei ) = eσ(i) .
Chiaramente σ −1 definisce la trasformazione inversa, per cui, considerando le matrici associate,
otteniamo:
Proposizione .
Il gruppo simmetrico S n può essere identificato con un sottogruppo di GLn (R).
Segue immediatamente che:
Corollario .
Ogni gruppo finito è isomorfo ad un sottogruppo di GLn (R), dove n è l’ordine del gruppo.
Si noti che in generale questa scelta di n non è ottimale (vedi anche gli esercizi 4.1, 4.2 e 4.15).
. Gruppo Simmetrico
Riprendiamo lo studio dei gruppi di sostituzione iniziato nel paragrafo 1.1. Chiamiamo S n , gruppo
simmetrico di grado n, il gruppo delle sostituzioni su n elementi, cioè T({1, 2, . . . , n}).
49
Gruppi finiti di trasformazioni
Cicli
Ricordiamo che un ciclo (x1 , x2 , . . . , xs ) di lunghezza s è una sostituzione che manda x i in x i+1 ,
dove gli indici vanno intesi modulo s, e che lascia fissi gli altri elementi.
Proposizione .
Un ciclo di lunghezza s ha ordine s.
Dimostrazione. Sia φ = (x1 , x2 , . . . , xs ) un ciclo: dobbiamo verificare che φs è l’identità e che
φr ≠ e se r < s. Abbiamo che φr (x1 ) = φ1+r per ogni intero r — dove l’indice va ovviamente inteso
modulo s. In generale abbiamo che φr (x i ) = x i+r : segue che φr = e se e solo se r ≡ 0 mod s, cioè
che l’ordine di φ è s.
Diciamo che due cicli φ e ψ sono disgiunti se nessun intero compare in entrambi. In altre parole,
se φ = (x1 , . . . , xr ) e ψ = (y1 , . . . , ys ), allora {x1 , . . . , xr } ∩ {y1 , . . . , ys } = ∅. In tal caso, abbiamo
(φψ)(y i ) = φ(y i+1 ) = y i+1 e (ψφ)(y i ) = ψ(y i ) = y i+1 . In modo analogo si mostra che (φψ)(x i ) =
x i+1 = (ψφ)(x i ) e che (φψ)(z) = z = (ψφ)(z) per ogni z ∈/ {x1 , . . . , xr , y1 , . . . , ys }. Abbiamo così
mostrato che
Lemma .
Due cicli disgiunti commutano.
Ricordiamo che (x0 , x1 , . . . x n ) è un ciclo della sostituzione φ se φ(x i ) = x i+1 , per ogni indice i.
Come avevamo già accennato, abbiamo che
Proposizione .
Ogni sostituzione è il prodotto dei propri cicli. Tale decomposizione è unica.
Dimostrazione. Fissiamo una sostituzione φ ∈ S n e denotiamo O1 , . . . , O t le orbite di {1, . . . , n}
determinate da ⟨φ⟩, il gruppo ciclico generato da φ. Ad ogni orbita O i = {x0 , x1 = φ(x0 ), x2 =
φ2 (x0 ), xs = φs (x0 )} associamo il ciclo φ i = (x0 , x1 , . . . , xs ); notiamo che se x ∈ O j , allora
φ j (x) = φ(x) mentre φ i (x) = x per ogni i ≠ j.
Vogliamo mostrare che φ = ∏i φ i , dove, per il lemma, l’ordine del prodotto non conta. Se x ∈ O j ,
allora (∏i φ i )(x) = φ j (x) = φ(x); quindi per ogni x ∈ {1, . . . , n} otteniamo (∏i φ i )(x) = φ(x),
come volevamo.
Notiamo che la decomposizione è unica, essendo i cicli determinati dalle orbite di ⟨φ⟩.
Teorema .
Sia φ = φ1 φ2 . . . φ t una sostituzione scritta come prodotto di cicli disgiunti. Allora l’ordine di φ
è il minimo comun multiplo delle lunghezze dei cicli φ i .
Dimostrazione. Notiamo che, per il lemma 4.5, (φ1 φ2 . . . φ t )k = φ1k φ2k . . . φ kt e quindi φ m =
50
. Gruppo Simmetrico
φ1m φ2m . . . φ m
t = e, dove m è il minimo comun multiplo delle lunghezze dei cicli φ i , cioè dei
loro ordini grazie alla proposizione 4.4.
Supponiamo ora che φ k = e per qualche intero k > 0. Se x ∈ O i , con la notazione della dimostrazione precedente, allora φ k (x) = φ ki (x) = x e quindi φ ki fissa tutti gli elementi di O i , cioè
φ ki = e; dunque k è un multiplo dell’ordine di φ i . Poiché il ragionamento non dipende dalla scelta
dell’orbita, abbiamo dimostrato che k è un multiplo di tutti gli ordini o(φ i ) e quindi di m. Ne
deduciamo che l’ordine di φ è proprio m.
Proposizione .
Se n > 2, il centro di S n è la sola identità.
Dimostrazione. Sia σ ∈ Z(S n ) con σ ≠ e: ci sono dunque due interi x ed y distinti con y = σ(x);
abbiamo σ(x, y)σ −1 = (x, y). Per l’esercizio 4.7, d’altra parte, σ(x, y)σ −1 = (σ(x), σ(y)) =
(y, σ(y)). Quindi x = σ(y).
Sia ora z un terzo elemento diverso da x ed y (esiste perché n > 2). Abbiamo (x, z) = σ(x, z)σ −1 =
(σ(x), σ(z)) = (y, σ(z)). Ne segue che y = x oppure y = z, il che è impossibile. Abbiamo così
mostrato che Z(S n ) = {e}.
Trasposizioni
Chiamiamo trasposizione un ciclo di lunghezza due. Notiamo che una trasposizione ha ordine
due, cioè è l’inversa di se stessa. Dato un ciclo qualsiasi (x1 , x2 , . . . , xs ) abbiamo
(x1 , xs )⋯(x1 , x3 )(x1 , x2 ) = (x1 , x2 , . . . , xs )
(4.1)
e quindi, per la proposizione 4.6, ogni sostituzione può essere scritta come il prodotto di trasposizioni. Tale rappresentazione, però, non è unica, ad esempio (123)(45) = (13)(12)(45) =
(34)(35)(24)(14)(34). Qualsiasi sia la rappresentazione di (123)(45) come prodotto di trasposizioni, però, il numero di trasposizioni sarà sempre dispari. Prima di mostrare questo risultato,
enunciamo un lemma preliminare, la cui dimostrazione è lasciata al lettore.
Lemma .
Supponendo tutti gli elementi distinti,
(a, b)(a, x1 , x2 , . . . , xr , b, y1 , y2 , . . . , ys ) = (a, x1 , x2 , . . . , xr )(b, y1 , y2 , . . . , ys )
(a, b)(a, x1 , x2 , . . . , xr )(b, y1 , y2 , . . . , ys ) = (a, x1 , x2 , . . . , xr , b, y1 , y2 , . . . , ys )
Teorema .
Ogni sostituzione è il prodotto di trasposizioni. Inoltre se σ può essere espresso come il prodotto
di r oppure s trasposizioni, allora r ≡ s mod 2.
Dimostrazione. Fissiamo il gruppo simmetrico S n e definiamo una mappa ε ∶ S n → Z/2Z tale che
per ogni sostituzione φ sia ε(φ) ≡ n − t mod 2, dove t è il numero di cicli di φ. Ad esempio la
decomposizione in cicli della trasposizione (12) ∈ S4 è (12) = (12)(3)(4), quindi φ((12)) ≡ 4 − 3 ≡
51
Gruppi finiti di trasformazioni
1 mod 2. In generale, una trasposizione ha n − 1 cicli: uno di lunghezza due ed n − 2 di lunghezza
uno; quindi ε manda ogni trasposizione in 1 mod 2.
Mostriamo ora che ε è un omomorfismo (di gruppo moltiplicativo in gruppo additivo), cioè che se
ρ, σ ∈ S n , allora ε(ρσ) = ε(ρ) + ε(σ). Lasciamo al lettore il compito di verificare che è sufficiente
mostrare che la relazione vale con ρ trasposizione, potendo esprimere ogni sostituzione come
prodotto di trasposizioni.
Sia ρ = (a, b). Abbiamo ora due casi: a e b sono in uno stesso ciclo nella decomposizione di σ —
cioè a e b sono nella stessa orbita sotto l’azione di ⟨σ⟩ — oppure sono in due cicli distinti. Grazie
al lemma 4.9 possiamo contare il numero di cicli di ρσ nei due casi: nel primo ce ne sarà uno in
più di quelli di σ, nel secondo uno in meno; in ogni caso ε(ρσ) ≡ 1 + ε(σ) ≡ ε(ρ) + ε(σ) mod 2.
Supponiamo infine che ρ1 ρ2 ⋯ρr = σ1 σ2 . . . σs con i ρ i ed i σi trasposizioni, allora r ≡ ε(ρ1 ρ2 ⋯ρr )
≡ ε(σ1 σ2 . . . σs ) ≡ s mod 2, che dimostra il teorema.
Il teorema ci permette di introdurre la parità di una sostituzione: σ è pari se può essere espressa
come prodotto di un numero pari di trasposizioni, dispari sennò. Notiamo che e = (12)(12), per
cui l’identità è pari. Dall’equazione (4.1) ricaviamo che
Proposizione .
Un ciclo di lunghezza s è pari se e solo se s è un numero dispari (sic!).
Esempio
Nel caso di S3 abbiamo che le sostituzioni pari sono: e, (123), (132); mentre quelle dispari sono
(12), (13), (23). In particolare le sostituzioni pari formano un sottogruppo di ordine tre.
. Gruppo Alterno
Sia ε ∶ S n → Z/2Z l’omomorfismo usato nella dimostrazione del teorema 4.10, allora il nucleo di ε
è formato esattamente dalle sostituzioni pari, che quindi formano un sottogruppo normale A n di
S n , detto gruppo alterno. Notiamo che S n /A n ≃ Z/2Z, per cui [S n ∶ A n ] = 2.
Per la proposizione 4.11 ogni ciclo di lunghezza tre è pari, per cui è incluso in A n . D’altra parte, se
(a, b) e (c, d) sono due trasposizioni e le quattro lettere sono distinte:
(a, b)(b, c) = (a, b, c)
(a, b)(c, d) = (a, c, b)(a, c, d)
per cui ogni prodotto di un numero pari di trasposizioni può essere sostituito con un prodotto di
cicli di lunghezza tre. Abbiamo così mostrato che
Proposizione .
A n è generato dai cicli di lunghezza tre.
52
. Gruppo Alterno
Gruppi Semplici
Un gruppo G privo di sottogruppi normali (esclusi quelli banali) è detto semplice. Ad esempio, il
gruppo ciclico Z/pZ, con p primo, è semplice: infatti non ha nessun sottogruppo non banale.
I gruppi alterni A1 e A2 sono ridotti alla sola identità, per cui sono banalmente semplici, mentre
abbiamo appena visto che A3 ≃ Z/3Z per cui è semplice. Il gruppo A4 , invece, ammette un
sottogruppo normale non banale, dato dai prodotti di due trasposizioni (vedi anche l’esercizio 2.2).
Questa è però un’eccezione, perché vale
Teorema .
Se n ≠ 4, il gruppo alterno A n è semplice.
Dimostrazione. Possiamo supporre n ⩾ 5. Sia H ◁ A n con H ≠ {e}: vogliamo mostrare che
H contiene almeno un ciclo di lunghezza tre: per l’esercizio 4.9 li conterrebbe tutti e quindi
conterrebbe A n , cioè H = A n .
Notiamo che se τ ∈ H, allora σ τσ −1 τ −1 ∈ H per ogni sostituzione σ ∈ A n . Infatti σ τσ −1 ∈ H per la
normalità di H.
Sia τ un elemento di H diverso dall’identità, per cui possiamo scegliere due interi x1 ≠ x2 con x2 =
τ(x1 ). Poiché n > 3, c’è un intero x3 ∈/ {x1 , x2 , τ(x2 )}. Poniamo σ = (x1 , x3 , x2 ) e ρ = σ τσ −1 τ −1 :
per quanto appena visto, σ è pari e ρ ∈ H. Per l’esercizio 4.7 possiamo calcolare
ρ = σ τσ −1 τ −1 = σ (τ(x1 , x2 , x3 )τ −1 ) = σ(τ(x1 ), τ(x2 ), τ(x3 )) = (x1 , x3 , x2 )(x2 , τ(x2 ), τ(x3 ))
Vediamo così che ρ trasforma al più cinque elementi. Essendo pari, ρ è un ciclo di lunghezza uno,
tre o cinque; oppure il prodotto di due trasposizioni disgiunte. Studiamo ora ciascun caso:
• Se ρ è un ciclo di lunghezza uno, cioè l’identità, otteniamo (x2 , τ(x2 ), τ(x3 )) = σ −1 =
(x2 , x3 , x1 ) e quindi τ(x2 ) = x3 , contrariamente alle ipotesi; per cui questo caso è impossibile.
• Se ρ è un ciclo di lunghezza tre, siamo a cavallo.
• Se ρ = (y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ) allora
(y1 , y2 , y3 )ρ(y1 , y2 , y3 )−1 ρ −1 = (y1 , y2 , y3 )(y2 , y4 , y3 ) = (y1 , y2 , y4 )
è un ciclo di lunghezza tre contenuto in H.
• Se infine ρ = (y1 , y2 )(y3 , y4 ), scegliamo un ulteriore elemento y5 tale che gli y i siano tutti
distinti: possiamo farlo perché n > 4. Allora
(y1 , y2 , y5 )ρ(y1 , y2 , y5 )−1 ρ−1 = (y1 , y2 , y5 )(y2 , y5 , y1 ) = (y1 , y5 , y2 )
è un ciclo di lunghezza tre contenuto in H.
Corollario .
Se n ⩾ 5, l’unico sottogruppo normale non banale di S n è A n .
53
Gruppi finiti di trasformazioni
Dimostrazione. Sia H un sottogruppo normale di S n ; allora H ∩ A n è un sottogruppo normale di
A n — una sostituzione pari viene mandata in una sostituzione pari dal coniugio — per cui è A n
stesso o {e}. Nel primo caso, H = A n : essendo [S n ∶ A n ] = 2, non ci può essere nessun sottogruppo
strettamente incluso fra i due.
Supponiamo ora che H ∩ A n = {e}: in particolare l’unica sostituzione pari di H è l’identità. Se
σ , τ ∈ H sono diversi dall’identità (ma non necessariamente distinti), sono allora dispari mentre
σ τ è pari; quindi σ τ = e. Segue che σ 2 = e e che τ = σ −1 = σ, cioè che H = {e, σ}.
Per la normalità di H, se ψ ∈ S n avremo ψσψ −1 ∈ {e, σ}. In particolare, ψσψ −1 = σ per ogni y;
cioè σ è nel centro di S n , che per la proposizione 4.8 è banale, e quindi σ = e, contrariamente alle
ipotesi.
. Gruppo Diedrale
Isometrie del piano
Ricordiamo che un’isometria del piano π è una trasformazione di π in sé che lascia invariate le
lunghezze: segue subito (essendo gli angoli di un triangolo determinati dai lati) che un’isometria
lascia invariati pure gli angoli. È chiaro che le isometrie formano un gruppo, in cui l’identità è la
trasformazione identica: il gruppo delle isometrie. Alcune isometrie notevoli sono: la rotazione ρ θ
di un angolo θ intorno all’origine; la traslazione τ(a,b) che manda un punto (x, y) in (x + a, y + b);
la simmetria σ intorno all’asse delle y, che manda un punto (x, y) in (−x, y). Notiamo che l’ordine
di σ è due, mentre τ(a,b) ha ordine infinito, eccezion fatta per il caso τ(0,0) . Abbiamo che
Teorema .
Ogni isometria è la composizione di una traslazione, di una rotazione e di una eventuale
simmetria intorno all’asse delle y.
Dimostrazione. Sia φ un’isometria del piano. La trasformazione φ′ = τ−φ(O) φ fissa l’origine O.
Sia ora θ l’angolo formato da (0, 1), O e φ′ (0, 1): la trasformazione φ′′ = ρ−θ φ′ è un’isometria
che fissa l’origine ed il punto (0, 1). Poiché φ′′ fissa gli angoli, φ′′ (1, 0) = (±1, 0): sostituendo φ′′
con σ φ′′ possiamo sempre supporre che φ′′ (1, 0) = (1, 0). Per il lemma seguente, φ′′ è l’identità,
da cui segue il teorema.
Lemma .
Un’isometria del piano che fissi l’origine ed i punti (1, 0) e (0, 1) è l’identità.
Dimostrazione. Ci basta notare che, dato un punto (x, y), il quadrato della distanza dai tre punti
è, rispettivamente, x 2 + y2 , x 2 + y2 − 2x + 1 e x 2 + y2 − 2y + 1.
Proposizione .
Data una rotazione ρ qualsiasi, abbiamo σ ρ = ρ −1 σ.
54
. Gruppo Diedrale
Dimostrazione. Per il lemma, ci basta verificare che ρσ ρ e σ agiscono nello stesso modo su (0, 0),
(1, 0) e (0, 1).
Isometrie di un poligono regolare
Vogliamo studiare l’insieme delle isometrie del piano che fissano un poligono regolare Pn con n ⩾ 3
lati, che per semplicità supponiamo inscritto nel cerchio di raggio unitario centrato nell’origine e
con vertice (0, 1). Identificando il piano R2 con C, i vertici di Pn sono dunque nei punti ie2πki/n
con k = 0, 1, . . . n − 1.
Lasciamo al lettore il compito di convincersi che τ(a,b) ρ θ σ ε , con (a, b) ∈ R2 , θ ∈ [0, 2π) ed
ε ∈ {0, 1}, fissa Pn se e solo se (a, b) = (0, 0) e θ = 2πk/n per qualche intero k = 0, 1, . . . n − 1. Se
poniamo ρ = ρ2π/n , allora l’ordine di ρ è esattamente n (vedi anche l’esercizio 4.12). Segue che le
isometrie che fissano Pn sono {1, ρ, . . . , ρ n−1 , σ , ρσ , . . . , ρ n−1 σ}. Inoltre, per la proposizione 4.17,
σ ρ = ρ −1 σ = ρ n−1 σ. Quindi il gruppo è D2n . Notiamo che, identificando D2n con l’opportuno
sottogruppo delle isometrie del piano, possiamo vedere D2n come sottogruppo di D2m per ogni
multiplo m di n. Indicando l’elemento ρ di D2n , cioè la rotazione per l’angolo 2π/n, con ρ n ,
abbiamo:
/ D2m
D2n
ρn / ρ m/n
m
D2n come sottogruppo di S n
Se ad ogni vertice ie2π(k−1)i/n associamo l’intero k, possiamo identificare ogni elemento φ di
D2n con la sostituzione che manda k nell’intero corrispondente al vertice φ(ie2π(k−1)/n ): vedi la
figura 4.1.
Proposizione .
Identificando D2n con un sottogruppo di S n come sopra, abbiamo
ρ = (123 . . . n)
⎧
n n
⎪
⎪
se n è pari
⎪
⎪(2, n)(3, n − 1)⋯ ( 2 , 2 + 2)
σ =⎨
n+1 n+3
⎪
⎪
,
) se n è dispari
(2, n)(3, n − 1)⋯ (
⎪
⎪
⎩
2
2
Dimostrazione. Notiamo che ρ(ie2π(k−1)i/n ) = ie2πki/n , per cui ρ(k) ≡ k + 1 mod n. Segue che
ρ = (123 . . . n).
Per il teorema 4.7, σ è il prodotto di trasposizioni. Gli unici punti di S 1 fissati da σ sono ±i. Quindi
σ(1) = 1; d’altra parte ie2π(k−1)i/n = −i se e solo se n è pari e k − 1 = n/2.
Dobbiamo, infine, mostrare che σ(k) ≡ 2 − k mod n: abbiamo visto che è vero per k = 1. Supponiamo per induzione che σ(k − 1) ≡ 2 − (k − 1) ≡ 3 − k mod n: allora σ(k) = σ ρ(k − 1) = ρ −1 σ(k − 1) ≡
55
Gruppi finiti di trasformazioni
8
1
2
P8
3
7
4
7
ρ( P 8 )
2
3
6
3
6
ρ−1(P8)
4
5
1
5
4
6
1
2
8
1
2
σ (P8 )
3
6
3
ρσ (P8)
8
7
4
5
7
4
1
ρ−1σ (P8)
6
5
8
7
5
8
7
1
8
2
5
2
3
6
4
Figura 4.1: Alcune simmetrie di un ottagono regolare
1
1
1
2
P3
2
2
P4
5
P5
4
3
3
4
3
1
1
1
5
σ (P3 )
3
4
σ (P4 )
2
σ (P5 )
2
2
4
3
Figura 4.2: Simmetria σ per alcuni poligoni regolari
56
3
. Gruppo Diedrale
ρ −1 (3 − k) ≡ 2 − k mod n. Quindi le sostituzioni di σ sono tutte del tipo (k, n + 2 − k), come
volevamo dimostrare.
Centro di D2n
Sia Z il centro di D2n . Se ρ k σ ∈ Z, avremmo
ρ = (ρ k σ)ρ(ρ k σ)−1 = ρ k (ρ −1 σ)σ −1 ρ −k = ρ −1
Poiché n > 2, ρ −1 ≠ ρ e quindi ρ k σ ∈/ Z per qualsiasi intero k.
Supponiamo ora ρ m ∈ Z: chiaramente ρ m commuta con ogni potenza di ρ. Abbiamo invece
ρ m ⋅ ρ k σ ⋅ ρ −m = ρ m ρ k ρ m σ = ρ 2m+k σ
Per cui ρ m ∈ Z se e solo se 2m ≡ 0 mod n, cioè n è pari ed m = n/2. Abbiamo così dimostrato
Teorema .
Il centro di D2n è banale se n è dispari ed è {1, ρ n/2 } se n è pari.
Esercizi
Esercizio 4.1. Si verifichi che il gruppo D8 è isomorfo al sottogruppo di GL2 (R) generato da
0 1
ρ = ( 01 −1
0 ) e σ = ( 1 0)
Esercizio 4.2. Si verifichi che il gruppo H è isomorfo al sottogruppo di GL2 (R) generato da
0 i
a = ( 01 −1
0 ) e b = ( i 0)
Esercizio 4.3. Si verifichi che (12345) e (45123) sono lo stesso ciclo di S5 .
Esercizio 4.4. Si verifichi che, in generale,
(x1 , x2 , . . . xs ) e (x j , x j+1 , . . . xs , x1 , x2 , . . . , x j−1 )
rappresentano lo stesso ciclo.
Esercizio 4.5. Sia φ ∈ S n un ciclo di lunghezza s: quanti elementi di {1, 2, . . . , n} sono lasciati fissi
da φ?
Esercizio 4.6. Dimostrare direttamente, cioè senza usare la proposizione 4.4, che una trasposizione
ha ordine due.
Esercizio 4.7. Sia σ = (x1 , x2 , . . . , xs ) e τ ∈ S n una sostituzione qualsiasi. Si verifichi che τσ τ −1 =
(τ(x1 ), τ(x2 ), . . . , τ(xs )).
Esercizio 4.8. Utilizzando l’esercizio precedente, si verifichi che due cicli della stessa lunghezza
sono coniugati.
Esercizio 4.9. Sia H ◁ S n tale che H contiene un ciclo di lunghezza s: si dimostri che H contiene
tutti i cicli di lunghezza s.
Esercizio 4.10. Si verifichi l’equazione (4.1).
57
Gruppi finiti di trasformazioni
Esercizio 4.11. Dimostrare che un gruppo semplice commutativo è ciclico di ordine primo.
Esercizio 4.12. Di determini per quali valori θ la rotazione ρ θ ha ordine finito. (Suggerimento: si
identifichi il piano con C e ρ θ con la moltiplicazione per e2πiθ )
Esercizio 4.13. Con la notazione della proposizione 4.17, si verifichi che ρσ ρ(P) = σ(P) con
P = (0, 0), (1, 0), (0, 1).
Esercizio 4.14. Il gruppo delle isometrie è generato dai simboli {τ(a,b) , ρ θ , σ} con (a, b) ∈ R2 e
θ ∈ [0, 2π). Si trovi una presentazione del gruppo, con questi simboli.
Esercizio 4.15. Si trovi un sottogruppo di GL2 (R) isomorfo al gruppo diedrale D2n , con n generico.
Esercizio 4.16. Si dimostri che l’insieme delle isometrie del piano che fissano un poligono regolare
di n lati, con centro in (a, b) ∈ R2 e vertice in (a, b) + ρ θ (0, 1), è coniugato a D2n .
Esercizio 4.17. Sia X un sottoinsieme qualsiasi di R2 . Definiamo G come il sottoinsieme del gruppo
delle isometrie del piano che fissa X: G è un gruppo?
Esercizio 4.18. Si determinino tutte le classi di coniugio del gruppo diedrale D2n .
58
Gruppi Abeliani
I gruppi abeliani sono, in un certo senso, compatibili con la struttura di Z. Infatti se G è un
gruppo abeliano in notazione additiva abbiamo che n(x ± y) = nx ± ny, (n ± m)x = nx ± mx,
(nm)x = n(mx) e 1x = x — dove m, n ∈ Z ed x, y ∈ G. Queste sono esattamente le relazioni che
definiscono uno spazio vettoriale, tranne per il fatto che Z non è un campo.
La conseguenza di questo fatto è che i gruppi abeliani hanno molte proprietà degli spazi vettoriali.
Ad esempio le combinazioni lineari su Z, {nx + my ∶ n, m ∈ Z}, di due elementi x, y ∈ G formano
il sottogruppo ⟨x, y⟩ generato da x ed y; vedremo così che è possibile trovare degli elementi
x1 , x2 , . . . xs di G tali che ogni y ∈ G può essere scritto in modo unico∗ come combinazione lineare
degli x i (vedi anche l’esercizio 5.2). Ricordiamo che questa proprietà definisce una base di uno
spazio vettoriale.
D’altro canto, i gruppi abeliani presentano delle differenze sostanziali. Ad esempio possiamo avere
nx = 0 con n, x ≠ 0: se G è finito ci basta prendere n = o(x). Una sottile conseguenza di questo
è che due «basi» non hanno necessariamente la stessa cardinalità: {1̄} e {2̄, 3̄} sono entrambe
«basi» di Z/6Z (vedi ancora l’esercizio 5.2). La comprensione dei prossimi paragrafi, pertanto, sarà
agevolata se il lettore vorrà confrontarne i risultati con quello che sa sugli spazi vettoriali.
Salvo menzione contraria, tutti i gruppi di questo capitolo sono abeliani ed in notazione additiva.
. Somma diretta di gruppi abeliani
Somma esterna
Ricordiamo che a partire da due gruppi G1 e G2 possiamo costruire un gruppo G1 ⊕ G2 con
(x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ). In generale, dati dei gruppi abeliani G1 , G2 , . . . , Gs possiamo
costruire un gruppo G = G1 ⊕G2 ⊕⋅ ⋅ ⋅⊕Gs , dove la somma è definita componente per componente.
Chiamiamo G la somma diretta esterna degli G i ; notiamo anche che se questi sono tutti finiti
allora o(G) = ∏ o(G i ).
Somma interna
Supponiamo ora che G1 , G2 , . . . , Gs siano sottogruppi di G e consideriamo l’insieme G1 + G2 +
⋅ ⋅ ⋅ + Gs = {x1 + x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xs ∶ x i ∈ G i }. Si verifica facilmente che questo è un sottogruppo di G e
∗
Da intendersi in questo modo: se y = ∑ n i x i = ∑ m i x i allora n i x i = m i x i per ogni i. In generale non avremo
ni = mi .
59
Gruppi Abeliani
che la mappa
θ∶ G1 ⊕ G2 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ Gs
(x1 , x2 , . . . , xs ) / G1 + G2 + ⋅ ⋅ ⋅ + G s
/ x1 + x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + x s
è un omomorfismo suriettivo. In genere θ non è iniettiva: ad esempio se G1 = G2 = G, allora
G1 + G2 = G e la mappa θ ∶ G ⊕ G → G che manda (x, y) in x + y ha nucleo {(x, −x) ∶ x ∈ G}.
Se però θ è iniettiva e G1 + G2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Gs = G allora G è isomorfo alla somma esterna di suoi
sottogruppi: in questo caso diciamo che G = G1 + G2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Gs è somma diretta interna degli
G i . Essendo θ un isomorfismo, confonderemo la somma esterna con quella interna e parleremo
generalmente di somma diretta.
Esempio
Sia G = Z/6Z; poniamo G1 = ⟨2̄⟩ e G2 = ⟨3̄⟩. Poiché 1̄ = 4̄ + 3̄ è un generatore di G, G1 + G2 coincide
con G. D’altra parte G1 ⊕ G2 ha 2 ⋅ 3 = 6 elementi per cui θ ∶ G1 ⊕ G2 → G è un isomorfismo;
G è quindi somma interna di G1 e G2 . Inoltre, poiché G1 ≃ Z/3Z e G2 ≃ Z/2Z, abbiamo anche
Z/3Z ⊕ Z/2Z ≃ G; l’isomorfismo è dato da (m mod 3, n mod 2) ↦ 2m + 3n mod 6.
Teorema .
Sia G = G1 +G2 +⋅ ⋅ ⋅+Gs somma di suoi sottogruppi. Allora le seguenti proprietà sono equivalenti:
. G1 + G2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Gs è una somma diretta (cioè G ≃ G1 ⊕ G2 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ Gs )
. se x1 + x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xs = 0 con ogni x i ∈ G i , allora tutti gli x i = 0
. se x1 + x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xs = y1 + y2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ys con x i , y i ∈ G i , allora x i = y i per ogni i
Dimostrazione.
1 ⇒ 2 Se x1 + x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + xs = 0 allora (x1 , x2 , . . . , xs ) ∈ ker θ; perciò ci basta notare che, per il
punto 1, θ è un isomorfismo.
2 ⇒ 3 È sufficiente riscrivere l’equazione come (x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + (xs − ys ) = 0.
3 ⇒ 1 Dobbiamo mostrare che θ è iniettiva: se abbiamo θ(x1 , x2 , . . . , xs ) = 0 allora x1 + x2 + ⋅ ⋅ ⋅ +
xs = 0 + 0 + ⋅ ⋅ ⋅ + 0 e quindi ogni x i = 0.
. Gruppi abeliani finiti
Consideriamo in questo paragrafo solo gruppi abeliani finiti.
p-Sylow
Ricordiamo che ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale, quindi per ogni primo p che
divide l’ordine del gruppo c’è un solo p-Sylow.
Proposizione .
Un gruppo abeliano finito è somma diretta dei suoi p-Sylow.
60
. Gruppi abeliani finiti
Dimostrazione. Sia G il gruppo; se p divide l’ordine di G, indichiamo con G p il p-Sylow. Per
definizione di p-Sylow, l’ordine di G è il prodotto degli ordini dei p-Sylow, cioè o(G) = o(⊕ p G p ).
L’idea è di mostrare che la mappa θ ∶ ⊕ p G p → G è iniettiva e che quindi, per via dell’ordine,
suriettiva.
Consideriamo il caso in cui o(G) sia divisibile da due soli primi p e q. Supponiamo quindi che
(x p , x q ) ∈ ker(θ), cioè che x p = −x q . L’ordine di x p è una potenza di p mentre p non divide o(x q );
segue che o(x p ) = o(x q ) = 1, cioè x p = x q = 0 e quindi θ è iniettiva.
Lasciamo al lettore il compito di dimostrare, per induzione, il caso generale.
p-componenti Primarie
Per ogni primo p definiamo G[p] = {x ∈ G ∶ p k x = 0, per qualche k ∈ N}. Notiamo che per il
primo teorema di Sylow, G[p] = {0} se e solo se p non divide l’ordine di G. Inoltre G[p] è un
sottogruppo di G; infatti se p k x = 0 e p l y = 0 allora p k+l (x − y) = 0.
Chiamiamo G[p] la p-componente primaria, o p-torsione, di G.
Proposizione .
La p-componente primaria di un gruppo abeliano finito è il suo p-Sylow.
Dimostrazione. Supponiamo che p divida o(G), sennò non c’è niente da dimostrare. Se x ∈ G p ,
l’ordine di x è una potenza di p per cui x ∈ G[p], cioè G p ⊆ G[p]. L’inclusione inversa è mostrata
nell’esercizio 5.3 e quindi i due insiemi coincidono.
Corollario .
Un gruppo abeliano finito è somma diretta delle sue p-componenti primarie.
Diciamo che un sottogruppo H di G ha un supplementare se esiste un sottogruppo K di G tale
che G = H ⊕ K. Lasciamo al lettore il compito di mostrare che
Lemma .
Se H < G ha un supplementare K, allora G/H ≃ K.
p-gruppi
Diciamo che G è un p-gruppo se l’ordine di ogni elemento di G è una potenza di p. La p-componente di un gruppo finito, ad esempio, è un p-gruppo. Vogliamo dimostrare che ogni p-gruppo è
somma diretta di gruppi ciclici della forma Z/p k Z.
Lemma .
Sia G un p-gruppo finito e g un elemento di ordine massimale; allora ⟨g⟩ ha un supplementare.
Dimostrazione. Sia H l’insieme dei sottogruppi H di G tali che H ∩ ⟨g⟩ = {0}: H non è vuoto
perché contiene {0} ed è finito perché lo è G. Esiste quindi H ∈ H di ordine massimo; supponiamo
61
Gruppi Abeliani
che H non sia il supplementare di ⟨g⟩: per l’esercizio 5.4 questo significa che H + ⟨g⟩ ≠ G. Sia
x ∈/ H + ⟨g⟩ un elemento di ordine minimo; allora x ≠ 0 (perché?) ed inoltre px ∈ H + ⟨g⟩:
infatti, se o(x) = p k , allora o(px) = p k−1 (vedi l’esercizio 1.12); ma l’ordine di x è minimo, per cui
px ∈ H + ⟨g⟩.
Perciò px ha la forma h + ag con h ∈ H ed a ∈ Z. Abbiamo
0 = p k x = p k−1 (px) = p k−1 (h + ag) = p k−1 h + p k−1 ag
per cui p k−1 ag ∈ H ∩ ⟨g⟩ e quindi è uguale a 0. Essendo o(g) ⩾ o(x) = p k , segue che a ha la forma
pb e che p(x − bg) = h ∈ H mentre x − bg ∈/ H (sennò avremmo x ∈ H + ⟨g⟩).
Poiché o(H) è massimale in H, il sottogruppo ⟨H, x − bg⟩ di G non è un elemento di H, cioè
⟨H, x − bg⟩ ha intersezione non banale con ⟨g⟩. Sia mg = h ′ + n(x − bg) ≠ 0 in tale intersezione,
dove m, n ∈ Z ed h ′ ∈ H. Segue che nx ∈ H + ⟨g⟩. L’intero n non è divisibile per p: abbiamo visto
che p(x − bg) ∈ H e quindi, se p dividesse n, allora n(x − bg) ∈ H; in altre parole, mg ∈ H ∩ ⟨g⟩,
cioè mg = 0, che è impossibile.
Abbiamo ora px, nx ∈ H + ⟨g⟩ con p ed n relativamente primi. Considerando le loro immagini in
G/(H + ⟨g⟩) otteniamo subito che x ∈ H + ⟨g⟩ (vedi l’esercizio 1.5), il che contraddice le ipotesi.
Abbiamo così mostrato che G = H + ⟨g⟩ è una somma diretta.
Possiamo così scrivere G = ⟨g1 ⟩ ⊕ H1 con o(g1 ) = p k1 massimale in G. D’altra parte H1 < G è un
p-gruppo e possiamo riapplicare il lemma ottenendo H1 = ⟨g2 ⟩ ⊕ H2 con o(g2 ) = p k2 massimale
in H, e quindi k2 ⩽ k1 . Poiché il gruppo G è finito, il procedimento termina dopo un numero finito
di passi per darci una decomposizione
G = ⟨g1 ⟩ ⊕ ⟨g2 ⟩ ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ ⟨gs ⟩ ≃ Z/p k1 Z ⊕ Z/p k2 Z ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ Z/p k s Z
(5.1)
con o(g1 ) = k1 ⩾ o(g2 ) = k2 ⩾ . . . ⩾ o(gs ) = ks .
La decomposizione 5.1 non è affatto unica: ad esempio il gruppo G presentato da
{⟨a, b⟩ ∶ 2a = 2b = 0, a + b = b + a}
può essere visto come G = ⟨a⟩ ⊕ ⟨b⟩ oppure come G = ⟨a + b⟩ ⊕ ⟨a − b⟩. È invece unica la sequenza
dei k i , che per il gruppo G dell’esempio è (2, 2): una dimostrazione, per induzione sull’ordine di
G, è negli esercizi 5.12–5.15.
Il teorema di struttura
Sia G un gruppo abeliano finito. Per il corollario 5.4, G = ⊕ p G[p] e la decomposizione è unica. Per
l’equazione (5.1), ciascun G[p] si decompone come ⊕i Z/p k i Z dove la successione k1 ⩾ k2 ⩾ . . .
(che dipende da p) è unica. Quindi
Teorema . (Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti)
Un gruppo abeliano finito G è isomorfo ad una somma di gruppi ciclici:
G ≃ ⊕ Z/p ki i Z
62
. Gruppi abeliani finiti
dove i primi p i dividono l’ordine di G e sono eventualmente ripetuti. I numeri p ki i non dipendono
dalla decomposizione e sono detti divisori elementari di G.
Esempio
Sia G = Z/12Z⊕Z/15Z⊕Z/20Z⊕Z/36Z; vogliamo trovare i divisori elementari di G. Incominciamo
col decomporre ciascun componente di G:
• Z/15Z ha ordine 15 = 3 ⋅ 5 e quindi il 3-Sylow ha ordine 3 mentre il 5-Sylow ha ordine 5. Segue
subito che Z/15Z ≃ Z/3Z ⊕ Z/5Z.
• Z/12Z contiene un elemento di ordine quattro: 3 mod 12. Quindi il 2-Sylow è ciclico di
ordine 4 mentre il 3-Sylow ha ordine 3. Perciò Z/12Z ≃ Z/22 Z ⊕ Z/3Z.
• Analogamente, Z/20Z ≃ Z/22 Z ⊕ Z/5Z.
• Infine Z/36Z contiene un elemento di ordine quattro: 9 mod 36; ed uno di ordine nove:
4 mod 36. Abbiamo quindi che Z/36Z ≃ Z/22 Z ⊕ Z/32 Z.
Mettendo tutto insieme otteniamo
G ≃ Z/22 Z ⊕ Z/22 Z ⊕ Z/22 Z ⊕ Z/3Z ⊕ Z/3Z ⊕ Z/32 Z ⊕ Z/5Z ⊕ Z/5Z
I divisori elementari di G sono dunque (22 , 22 , 22 , 3, 3, 32 , 5, 5).
Fattori Invarianti
Vogliamo scrivere G, il gruppo dell’esempio precedente, nella forma
Z/d1 Z ⊕ Z/d2 Z ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ Z/ds Z
dove ciascun d i divide il successivo d i+1 . Ricordiamo che se m ed n sono due interi relativamente
primi, allora Z/mZ ⊕ Z/nZ è isomorfo al gruppo ciclico Z/mnZ. Disponiamo i divisori elementari
di G nella seguente tabella
2∶ 22 22 22
3∶ 32 3 3
5∶ 5 5
d∶ d3 d2 d1
e poniamo d1 = 22 ⋅ 3 = 12, d2 = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60 e d3 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180. Lasciamo al lettore il compito di
verificare che così facendo otteniamo
G ≃ Z/12Z ⊕ Z/60Z ⊕ Z/180Z
Chiamiamo 12, 60 e 180 i fattori invarianti di G. In generale abbiamo
Teorema .
Un gruppo abeliano finito G si scrive in modo unico come
G ≃ Z/d1 Z ⊕ Z/d2 Z ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ Z/ds Z
dove ciascun d i divide il successivo d i+1 .
63
Gruppi Abeliani
Dimostrazione. I fattori invarianti d i si trovano a partire dai divisori elementari nello stesso modo
mostrato nell’esempio. Ci rimane da mostrare che se
G ≃ Z/d1 Z ⊕ Z/d2 Z ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ Z/ds Z ≃ Z/d1′ Z ⊕ Z/d2′ Z ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ Z/dr′ Z
′
con d i che divide d i+1 e d i′ che divide d i+1
, allora r = s e d i′ = d i . Fissato un primo p, sia k i
ki
l’esponente di p in d i — cioè d i = p m con p che non divide m. Analogamente per k ′i . Allora,
per gli esercizi 5.10 e 5.11,
G[p] ≃ Z/p k1 Z ⊕ Z/p k2 Z ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ Z/p k s Z ≃ Z/p k1 Z ⊕ Z/p k2 Z ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ Z/p k r Z
′
′
′
Ma d i divide d i+1 , quindi k i ⩽ k i+1 . Per l’unicità della decomposizione di un p-gruppo, r = s e
k i = k ′i . Ripetendo il ragionamento per tutti i primi che dividono l’ordine di G, otteniamo che
d i = d i′ , per ogni indice i.
Proposizione .
Il gruppo abeliano finito G è ciclico se e solo se, per ogni primo p che divide il suo ordine, G ha
esattamente un sottogruppo di ordine p.
Dimostrazione. Ricordiamo che un gruppo ciclico di ordine n ha uno ed un solo sottogruppo di
ordine d per ogni intero d che divide n. Quindi, se è ciclico, G ha esattamente un sottogruppo di
ordine p.
Supponiamo ora che G abbia un solo sottogruppo di ordine p, per ogni primo p. G[p] non può
essere somma di più Z/p k Z, poiché ciascuno di questi contiene un sottogruppo di ordine p. Per il
corollario 5.4, G è somma diretta di gruppi ciclici di ordine ciascuno relativamente primo all’altro:
G = ⊕ p G[p].
Dimostriamo per induzione sul numero dei divisori primi di G che G è ciclico. Se o(G) ha un solo
fattore primo p, allora G = G[p] che è ciclico per quanto appena visto. Fissiamo ora un fattore
primo q di o(G): per l’ipotesi d’induzione, G1 = ⊕ p≠q G[p] è ciclico ed ha ordine relativamente
primo con o(G[q]); quindi, per l’esercizio 1.8, anche G = G1 ⊕ G[q] è ciclico.
. Gruppi abeliani finitamente generati
Consideriamo, in questo paragrafo, i gruppi abeliani finitamente generati, cioè gruppi abeliani per
cui esiste un sistema di generatori formato da un numero finito di elementi. Se G è un gruppo
abeliano che ammette un sistema di generatori {x1 , . . . , x n } allora ogni elemento di G è della
forma β1 x1 + . . . β n x n con β i ∈ Z.
Il gruppo libero su un generatore X è costituito dagli elementi nx, con n ∈ Z. Indichiamo tale
gruppo con Zx: esso è isomorfo a Z attraverso l’applicazione
Z
n
64
/ Zx
/ nx
. Gruppi abeliani finitamente generati
Se Znx è il sottogruppo generato da nx l’isomorfismo precedente induce un isomorfismo sui
quozienti Z/nZ ≃ Zx/Znx.
Indichiamo con Zn il gruppo somma diretta Z ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ Z di n copie di Z. Gli elementi
a1 = (1, 0, . . . , 0)
⋮
a n = (0, . . . , 0, 1)
costituiscono una base di Zn su Z nel senso che ogni elemento di Zn si scrive in uno ed un sol
modo come α1 a1 + . . . α n a n con α i ∈ Z.
Un gruppo commutativo finitamente generato G si dice libero se G ≃ Zn per qualche n. Osserviamo
che in tale gruppo l’unico elemento di ordine finito è l’elemento neutro.
Si può dimostrare che l’intero n è univocamente determinato e sarà detto rango di G (si noti
l’analogia con la nozione di dimensione di uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo).
Dato un gruppo commutativo finitamente generato G, diremo che {e1 , . . . , e n } è una base di G su
Z se ogni elemento di G si scrive in uno ed un sol modo come α1 e1 + . . . α n e n con α i ∈ Z. In tal
caso l’applicazione
/G
Zn
/ ∑ αi ei
∑ αi ai
è un isomorfismo. Quindi G ammette una base formata da n elementi se e solo se è libero di rango
n.
Abbiamo il seguente importante teorema, di cui non diamo la dimostrazione (vedi Samuel):
Teorema .
Sia G un gruppo abeliano libero di rango n ed H un suo sottogruppo. Allora H è libero di rango
q ⩽ n. Inoltre esiste una base {e1 , . . . e n } di G e degli interi non nulli {d1 , . . . , d q } tali che
{d1 e1 , . . . , d q e q } è una base di H.
Sia ora G un gruppo abeliano finitamente generato e {x1 , . . . , x n } un suo sistema di generatori.
Abbiamo allora un omomorfismo suriettivo
θ∶ Zn
∑ni α i a i
/G
/ ∑n α i x i
i
Segue che G è isomorfo a Zn / ker φ.
Per il teorema precedente, possiamo trovare una base {e1 , . . . , e n } di Zn e degli interi {d1 , . . . , d q }
tali che ker φ ≃ Zd1 e1 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ Zd q e q . Il quoziente Z/ ker φ è allora isomorfo a T ⊕ F dove T ≃
Z/d1 Z ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ Z/d q Z è finito, mentre F ≃ Zn−q . In conclusione abbiamo
Teorema . (Teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati)
Sia G un gruppo abeliano finitamente generato, allora G è isomorfo a T ⊕ F dove T è un gruppo
finito formato dagli elementi di ordine finito di G mentre F è un gruppo libero di rango finito.
65
Gruppi Abeliani
Si dirà che F è la parte libera di G mentre T è la parte di torsione. Dato un gruppo abeliano G
finitamente generato, per capire la sua struttura si dovrà perciò determinare il rango della parte
libera F e la struttura del gruppo abeliano finito T come descritta nel paragrafo precedente.
Esercizi
Esercizio 5.1. Sia G un gruppo abeliano (con notazione additiva). Si verifichi che n ⋅ x = nx, con
n ∈ Z ed x ∈ G, non definisce un’azione di Z su G.
Esercizio 5.2. Sia G = Z/6Z: ogni elemento di G si scrive in modo unico come combinazione
lineare di 1̄. Si mostri che ogni elemento di G si scrive anche in modo unico come combinazione
lineare di 2̄ e 3̄. Si mostri anche che se n2̄ + m3̄ = 0̄ allora n2̄ = m3̄ = 0̄.
Esercizio 5.3. Sia G un gruppo finito e sia x ∈ G un elemento di ordine p k , con p primo e k intero.
Si mostri che x è incluso nel p-Sylow G p di G. (Suggerimento: si consideri G/G p .)
Esercizio 5.4. Siano H e K sottogruppi di un gruppo abeliano G. Si mostri che G è somma diretta
interna di H e K se e solo se G = H + K ed H ∩ K = {0}.
Esercizio 5.5. Sia G un gruppo abeliano finito di ordine dispari e sia f un’automorfismo di G
di ordine due. Si mostri che G = G1 ⊕ G2 dove f (x1 ) = x1 per ogni x1 ∈ G1 e f (x2 ) = −x2 per
ogni x2 ∈ G2 . Sotto quali condizioni G1 e G2 non sono banali? (Suggerimento: si consideri la f2
dell’esercizio 2.1)
Esercizio 5.6. Dati due gruppi H e K, sia φ∶ H ⊕ K → K la proiezione sul secondo fattore. Si mostri
che φ induce un isomorfismo (H ⊕ K)/H ≃ K e se ne deduca il lemma 5.5.
Esercizio 5.7. Sia G un p-gruppo non necessariamente commutativo. Utilizzando l’equazione delle
classi, si mostri che Z(G) non è banale. Si concluda che un p-gruppo non è mai semplice.
Esercizio 5.8. Sia G un gruppo generico, non necessariamente commutativo. Se H < G, diciamo
che H ha un supplementare se esiste K < G tale che H × K ≃ G. Si mostri che l’analogo del
lemma 5.5 vale supponendo H normale in G.
Esercizio 5.9. Si mostri che solo i sottogruppi banali di Z ammettono un supplementare. (Suggerimento: i sottogruppi di Z sono della forma nZ e Z/nZ è finito se n > 1.)
Esercizio 5.10. Si dimostri che se G = ⊕si=1 G i , allora G[p] = ⊕si=1 G i [p], dove p è un primo
qualsiasi.
Esercizio 5.11. Sia p un primo ed m un intero non divisibile per p. Posto n = p k m, si verifichi che
(Z/nZ)[p] ≃ Z/p k Z.
Esercizio 5.12. Si mostri che se G = H1 ⊕ H2 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ Hs allora nG = nH1 ⊕ nH2 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ nHs , per
qualsiasi intero n.
Esercizio 5.13. Se G = H1 ⊕ H2 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ Hs con H i = Z/p k i Z, si verifichi che pG ≃ ⊕k i >1 Z/p k i −1 Z.
(Suggerimento: esercizio 1.13)
Esercizio 5.14. Sia G come nell’esercizio precedente. Si mostri che o(G) = o(pG) + ∑k i =1 p.
66
. Gruppi abeliani finitamente generati
Esercizio 5.15. Sia G un p-gruppo. Supponiamo che
G = H1 ⊕ H2 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ H s = K1 ⊕ K2 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ K r
con H i ≃ Z/p k i Z, K i ≃ Z/p l i Z, k1 ⩾ k2 ⩾ . . . e l1 ⩾ l2 ⩾ . . . . Si dimostri che s = r e che k i = l i per
ogni i, supponendo che la stessa proprietà valga per pG.
Esercizio 5.16. Sia G = Z/6Z ⊕ Z/18Z ⊕ Z/100Z. Si calcolino i divisori elementari ed i fattori
invarianti di G.
Esercizio 5.17. Si dimostri che i soli sottogruppi finiti di C∗ sono della forma µ n , con n intero non
negativo. (Suggerimento: vedi l’esercizio 1.10)
Esercizio 5.18. Quali sono i sottogruppi finiti di R∗ ?
Esercizio 5.19. Sia K un campo e G un sottogruppo finito di K ∗ . Si dimostri che G è ciclico.
(Suggerimento: per ogni primo p che divide l’ordine di G, ogni elemento di ordine p in G è uno
zero dell’equazione X p = 1, cioè X p − 1 = 0.)
Esercizio 5.20. Scriviamo per comodità [x, y] = x yx −1 y−1 . Si verifichino le formule seguenti:
[x y, z] = x[y, z]x −1 [x, z]
[x −1 , y] = x −1 [y, x]x
[x, yz] = [x, y]y[x, z]y−1
[x, y−1 ] = y−1 [y, x]y
Esercizio 5.21. Utilizzando l’esercizio precedente, si calcoli (D2n )′ .
67
Gruppi Abeliani
68
SU(2) ed SO(3)
. SU(2) ed SO(2)
Ricordiamo che una matrice 2 × 2 a coefficienti complessi P appartiene ad SU(2) se PP ∗ = I e
d −b ). Le due condizioni che definiscono
det(P) = 1. Se P = ( ac db ) e det(P) = 1, allora P −1 = ( −c
a
SU(2) sono equivalenti a:
d = ā,
c = −b̄,
∣a∣2 + ∣b∣2 = 1
(6.1)
Se poniamo a = x1 + ix2 e b = x3 + ix4 , vediamo che SU(2) è in corrispondenza biunivoca con la
sfera 3-dimensionale S 3 in R4 ; in particolare la matrice I corrisponde al punto N = (1, 0, 0, 0) e −I
corrisponde a S = (−1, 0, 0, 0).
Classi di coniugio
Vogliamo studiare le classi di coniugio in SU(2). Useremo la seguente
Proposizione .
Una matrice di SU(2) si diagonalizza con una matrice di SU(2).
Dimostrazione. La moltiplicazione per una matrice P di SU(2) definisce un endomorfismo normale di C2 dotato del prodotto scalare standard. Esiste dunque una matrice Q in U(2) che la diagonalizza. Se α = det Q, allora ∣α∣ = 1. Sia β tale che β 2 = α: la matrice β −1 Q appartiene a SU(2) e
diagonalizza P.
Se P = ( −ab̄ bā ) appartiene ad SU(2), il suo polinomio caratteristico è x 2 − 2 Re(a)x + 1 dove
2 Re(a) = 2x1 = Tr(A); quindi
Corollario .
Ogni matrice P in SU(2) è coniugata ad una matrice diagonale avente sulla diagonale due
numeri complessi non reali coniugati di valore assoluto uno, oppure alla matrice I oppure alla
matrice −I.
Corollario .
Date due matrici A e B di SU(2) le seguenti affermazioni sono equivalenti:
. A e B sono coniugate
. Tr(A) = Tr(B)
69
SU(2) ed SO(3)
. A e B hanno lo stesso polinomio caratteristico
Dimostrazione. Vista la forma del polinomio caratteristico, è chiaro che le ultime due affermazioni
sono equivalenti. Se A è coniugata, e quindi simile, a B, allora Tr(A) = Tr(B); viceversa, se le due
tracce sono uguali, le due matrici hanno lo stesso polinomio caratteristico e quindi sono simili
alla stessa matrice diagonale.
Dato che Tr(A) = 2 Re(a) = 2x1 , dove −1 ⩽ x1 ⩽ 1, vediamo che per ogni c ∈ [−1, 1] l’insieme
delle matrici di SU(2) che corrispondono ai punti (x1 , x2 , x3 , x4 ) aventi x1 = c, forma una classe
di coniugio. Le classi di coniugio corrispondono quindi ai «paralleli» di S 3 di equazione x1 = c;
fissato c, sono i punti di R3 tali che x22 + x32 + x42 = 1 − c 2 . In particolare vediamo che la classe è
ridotta ad un solo elemento esattamente quando c = ±1: per tali valori abbiamo i punti N ed S di
S 3 che corrispondono alle matrici I e −I. Per l’osservazione 3.4 queste sono dunque le matrici che
appartengono al centro di SU(2). Si noti che esse sono le sole matrici scalari appartenenti a SU(2).
In altre parole
Z(SU(2)) = {±I} = SU(2) ∩ Z(GL2 (C))
come avevamo già visto precedentemente nel paragrafo 2.6.
Sottogruppi normali
Un’importante proprietà di SU(2) è la seguente, che però non siamo al momento in grado di
dimostrare, poiché ci servono alcune proprietà dei gruppi topologici
Proposizione .
L’unico sottogruppo normale non banale di SU(2) è {±I}.
Ricordiamo che una matrice 3 × 3 a coefficienti reali A appartiene ad SO(3) se A tA = I e det(A) = 1.
Per studiare SO(3) ricordiamo i seguenti fatti che abbiamo dimostrato nel paragrafo 2.6.
Proposizione .
Una matrice A di SO(3) ammette sempre 1 come autovalore.
Proposizione .
Una matrice A di SO(3) rappresenta una rotazione di R3 intorno ad un asse.
. Omomorfismo da SU(2) a SO(3)
Abbiamo visto che le classi di coniugio in SU(2) sono determinate dalla traccia. Sia C la classe
di coniugio delle matrici con traccia zero. Se A è una matrice di SU(2) corrispondente al punto
(x1 , x2 , x3 , x4 ) di S 3 , allora Tr(A) = 0 se e solo se x1 = 0. La classe C è allora formata da matrici
complesse 2×2 anti-hermitiane con traccia zero. Queste ultime formano uno spazio vettoriale reale
70
. Omomorfismo da SU(2) a SO(3)
V di dimensione tre in cui una base è costituita dalle matrici A2 = ( 0i −i0 ) , A3 = ( −10 01 ) , A4 =
( 0i 0i ). Siano (y2 , y3 , y4 ) le coordinate rispetto a tale base. Per (6.1), una matrice A = y2 A2 + y3 A3 +
y4 A4 appartiene ad SU(2) se e solo se y22 + y32 + y42 = 1. Quindi la classe C in V è data dall’insieme
di equazione y22 + y32 + y42 = 1, cioè S 2 ⊆ R3 .
SU(2) agisce per coniugio su V : otteniamo dunque un omomorfismo φ di SU(2) in GL3 (R) in
quanto in V è stata fissata una base. In quest’azione C viene mandata in se stessa: infatti nell’azione
di coniugio all’interno del gruppo SU(2), la classe C è un orbita (e l’azione di SU(2) su C è
transitiva). Questo significa che Im(φ) fissa S 2 e quindi che Im(φ) ⊆ O(3).
Per dimostrare che Im(φ) ⊆ SO(3) sfruttiamo il fatto che φ è continua, come si vede scrivendo
esplicitamente l’applicazione φ. Usiamo quindi un argomento topologico (vedi il paragrafo 14.3):
dato che SU(2) è connesso, la sua immagine deve essere contenuta in una componente connessa
di O(3). Sappiamo che tale immagine contiene la matrice identità di O(3) in quanto immagine
della matrice identità di SU(2), quindi Im(φ) è contenuta nella componente connessa SO(3).
Per calcolare il nucleo di φ dobbiamo trovare le matrici P ∈ SU(2) tali che PAP −1 = A per ogni A
anti-hermitiana con traccia zero. Basta verificare tale condizione sugli elementi di una base di V ,
per esempio la base {A2 , A3 , A4 } di cui sopra. Otteniamo così che ker(φ) = {±I}.
Dimostriamo ora che φ è suriettiva. Verifichiamo prima di tutto che Im(φ) contiene tutte le
rotazioni intorno al punto X = (1, 0, 0). Se P è la matrice diagonale avente sulla diagonale eiθ ed
e−iθ , allora φ(P) è la rotazione di 2θ nel piano con coordinate (y3 , y4 ) perpendicolare al punto
(1, 0, 0) — la verifica è lasciata al lettore. Ricordiamo poi che il punto X corrisponde alla matrice
A2 . Data una matrice A ∈ C, esiste una matrice Q ∈ SU(2) tale che A = QA2 Q −1 . Quindi se
Y = (y2 , y3 , y4 ) è il punto corrispondente alla matrice A, allora φ(Q)(X) = Y. Inoltre, se H
rappresenta una rotazione intorno ad X, allora φ(Q)Hφ(Q)−1 è una rotazione intorno ad Y.
Sappiamo che H = φ(P) per qualche P per quanto visto. Segue che φ(Q)Hφ(Q)−1 = φ(QPQ −1 )
è una rotazione intorno ad Y. Al variare di P in SU(2), e quindi di H, otteniamo tutte le rotazioni
intorno ad Y, vettore generico di norma unitaria in V . Dato che ogni elemento di SO(3) è una
rotazione intorno ad un asse, cioè intorno ad un vettore unitario che lo individua, φ è suriettiva.
In conclusione
Teorema .
SO(3) è isomorfo a SU(2)/{±I}.
Esercizi
Esercizio 6.1. Si determinino tutte le classi di coniugio di O(2).
71
SU(2) ed SO(3)
72
Rappresentazioni
Abbiamo visto nel capitolo precedente che ogni gruppo finito è isomorfo ad un sottogruppo di un
gruppo di matrici. Vogliamo esplicitarne la costruzione.
Sia G un gruppo e sia V uno spazio vettoriale su un campo K dotato di una base B = {v g } g∈G indicizzata dagli elementi di G; in particolare, se G ha ordine finito n, allora V è uno spazio vettoriale
di dimensione n. Fissato un elemento g0 ∈ G, la mappa v g ↦ v g0 g definisce un endomorfismo di
V . Possiamo così costruire un’applicazione
/ GL(V )
ρ∶ G
g0 (7.1)
/ (v g ↦ v g0 g )
È immediato verificare che ρ è un omomorfismo di gruppi, e che quindi definisce un’azione di G
sullo spazio vettoriale V . Chiamiamo la mappa (7.1) la rappresentazione regolare di G. Scriviamo
anche ρ g per indicare la trasformazione lineare ρ(g) e gv per ρ g (v).
Esempio
Sia C3 = ⟨x ∶ x 3 = 1⟩ il gruppo ciclico di ordine tre. Sia V = C3 con base B = {v1 , vx , vx 2 }. La
rappresentazione regolare di C3 è:
ρ1 (a1 v1 + a x vx + a x 2 vx 2 ) = a1 v1 + a x vx + a x 2 vx 2
ρ x (a1 v1 + a x vx + a x 2 vx 2 ) = a x v1 + a x 2 vx + a1 vx 2
ρ x 2 (a1 v1 + a x vx + a x 2 vx 2 ) = a x 2 v1 + a1 vx + a x vx 2
Sia R g = MB
B (ρ g ) la matrice associata a ρ g rispetto alla base B. Allora
⎛ 1 0 0⎞
R 1 = ⎜0 1 0 ⎟ ,
⎝0 0 1 ⎠
⎛0 0 1 ⎞
R x = ⎜ 1 0 0⎟ ,
⎝0 1 0⎠
⎛0 1 0⎞
R x 2 = ⎜0 0 1 ⎟
⎝ 1 0 0⎠
Poiché le tre matrici sono unitarie, sono diagonalizzabili. Lasciamo al lettore la verifica che
√
w1 =
3
3
√
(v1 + vx + vx 2 ),
w2 =
3
3
√
(ζ v1 + ζvx + vx 2 ),
2
w3 =
3
3
(ζv1 + ζ 2 vx + vx 2 )
73
Rappresentazioni
è una base ortonormale di autovettori simultanea per ρ1 , ρ x e ρ x 2 , dove ζ = e2πi/3 è una radice
′
cubica dell’unità. Posto B ′ = {w1 , w2 , w3 } e R ′g = MB
B′ (ρ g ) abbiamo
R1′
⎛ 1 0 0⎞
= ⎜0 1 0⎟ ,
⎝0 0 1 ⎠
R′x
⎛1 0 0 ⎞
= ⎜0 ζ 0 ⎟ ,
⎝0 0 ζ 2 ⎠
R ′x 2
⎛ 1 0 0⎞
= ⎜0 ζ 2 0⎟
⎝0 0 ζ ⎠
. Rappresentazione di un gruppo
Definizione. Una rappresentazione di un gruppo G è un omomorfismo
ρ∶ G Ð→ GL(V )
dove V è uno spazio vettoriale su un campo K. Scriveremo spesso ρ g per ρ(g). La dimensione di
ρ è dim(V ); in particolare diciamo che ρ è una rappresentazione finita se la sua dimensione è
finita.
Una rappresentazione ρ∶ V → G definisce un’azione di G su V tramite
g ⋅ v = ρ g (v),
∀g ∈ G, v ∈ V
Sia V uno spazio vettoriale su K di dimensione finita n, e sia ρ∶ G → GL(V ) una rappresentazione
su V . Allora, fissata una base B di V possiamo definire una rappresentazione matriciale:
/ GLn (K)
R∶ G
g
/ MB ρ g
B
La rappresentazione dipende dalla scelta della base: sia R ′ la rappresentazione associata alla base
′
′
B ′ di V ; se P = MB
B è la matrice di cambio di base da B a B, allora, per ogni g ∈ G,
R ′g = PR g P −1
Diciamo che R ed R ′ sono rappresentazioni coniugate.
Viceversa, una rappresentazione matriciale R∶ G → GLn (K) definisce una rappresentazione
ρ∶ G → GL(K n )
tramite
n
ρ g (e j ) = ∑ R g (i, j)ei
i=1
n
dove E = {e1 , . . . , en } è la base standard di K ed R g (i, j) è l’elemento di posto (i, j) della matrice
R g . È immediato verificare che R è la rappresentazione matriciale associata a ρ rispetto alla base E.
Definizione. Date due rappresentazioni ρ∶ G → GL(V ) e ρ ′ ∶ G → V ′ , diciamo che una mappa
lineare φ∶ V → V ′ è G-invariante se
∀g ∈ G, v ∈ V ,
gφ(v) = φ(gv)
O, equivalentemente, se ρ ′g ○ φ = φ ○ ρ g per ogni g ∈ G. Diciamo che le due rappresentazioni sono
isomorfe se esiste un isomorfismo G-invariante da V in V ′ .
74
. Rappresentazione di un gruppo
Siano ρ∶ G → GL(V ) e ρ ′ ∶ G → GL(V ′ ) due rappresentazioni isomorfe tramite φ∶ V → GL(V ′ ).
Fissiamo una base B di V ed una B ′ di V ′ . Siano R ed R′ le rappresentazioni matriciali associate,
′
rispettivamente, a ρ rispetto alla base B e a ρ ′ rispetto alla base B ′ ; poniamo infine P = MB
B φ.
Allora
∀g ∈ G, R ′g = PR g P −1
In altri termini, le rappresentazioni matriciali associate a rappresentazioni isomorfe sono coniugate.
In particolare, se prendiamo B ′ = φ(B), abbiamo R′g = R g per ogni g ∈ G.
Lasciamo al lettore la verifica che le rappresentazioni definite da due rappresentazioni matriciali
coniugate sono isomorfe.
Esempi
. Dato un gruppo qualsiasi G, la sua rappresentazione regolare è una rappresentazione di
dimensione o(G).
. Se G è un gruppo di matrici, cioè un sottogruppo di GLn (K) con K = R o C, allora
l’inclusione in GLn (K) è una rappresentazione di dimensione n, detta rappresentazione
standard.
. Dati G e V qualsiasi, la mappa G → GL(V ) che associa ad ogni g ∈ G l’identità di GL(V ) è
una rappresentazione, detta rappresentazione banale.
. Sia n un intero e sia {v1 , . . . , vn } una base di uno spazio vettoriale V di dimensione n. Una
rappresentazione di dimensione n del gruppo simmetrico è allora
/ GL(V )
ρ∶ S n
g
/ (vn ↦ v g⋅n )
. Data, in generale, un’azione di un gruppo G su un insieme X, possiamo definire una
rappresentazione di G nel modo seguente: sia VX uno spazio vettoriale complesso dotato di
una base {v x }x∈X ; fissato un elemento g ∈ G, la mappa vx ↦ v g⋅x definisce un endomorfismo
di VX . Possiamo così costruire un’applicazione
/ GL(VX )
ρ∶ G
g
/ (v x ↦ v g⋅x )
Chiamiamo ρ la rappresentazione associata all’azione di G su X. La rappresentazione regolare e la rappresentazione precedente sono esempi di rappresentazioni associate all’azione,
rispettivamente, di un gruppo su se stesso per moltiplicazione sinistra, e di S n sull’insieme
{1, . . . , n}.
. Una rappresentazione di dimensione due di D2n = ⟨ρ, σ ∶ ρ n = σ 2 = 1, σ ρ = ρ −1 σ⟩, il gruppo
diedrale di ordine 2n, è data da
r∶ D2n
/ GL2 (C)
ρ
/ ( cos θ n − sen θ n )
σ
/(1 0 )
0 −1
sen θ n cos θ n
dove θ n =
2π
n
75
Rappresentazioni
La rappresentazione r ′ ottenuta come sopra ma ponendo θ n = −2π/n è isomorfa ad r.
. Identifichiamo D4 con un sottogruppo di S4 come nella proposizione 4.18, cioè ρ = (1234) e
σ = (24), e consideriamone l’azione sui vertici {S1 , S2 , S3 , S4 } e sui lati {L12 , L23 , L34 , L41 }
di un quadrato. Otteniamo così due rappresentazioni di dimensione quattro:
r V ∶ D4
/ GL4 (C)
ρ
/ ( 1 0 0 0)
0 1 00
000 1
r L ∶ D4
/ GL4 (C)
ρ
/ ( 1 0 0 0)
0 1 00
00 1 0
σ
/
1
( 00
0
0
0
0
1
0
0
1
0
000 1
00 1 0
0
1
0)
0
σ
000 1
/ (0 0 1 0)
0 1 00
1 000
. Sia C n = ⟨x ∶ x n = 1⟩ il gruppo ciclico di ordine n. Sia ζ = e2πi/n una radice primitiva
n-esima dell’unità. Allora per ogni classe di resto a ∈ Z/nZ abbiamo una rappresentazione
di dimensione uno
/ C∗
ρa ∶ Cn
xi
/ ζ ai
dove abbiamo identificato GL(C) con C∗ nel modo ovvio. Queste rappresentazioni non sono
isomorfe fra loro perché, ad esempio, GL1 (C) = C∗ è commutativo e quindi rappresentazioni
coniugate sono uguali.
. Una rappresentazione di dimensione uno del gruppo additivo C è data da z ↦ ez . In
generale, dato un qualsiasi numero complesso w ∈ C, abbiamo una rappresentazione ρw di
dimensione uno data da z ↦ ezw .
. L’omomorfismo SU(2) → SO(3) definito nel paragrafo 6.2 definisce una rappresentazione
di dimensione tre del gruppo SU(2).
. Sia X un insieme su cui agisce un gruppo G; possiamo allora costruire una rappresentazione
di G sullo spazio vettoriale F(X) di tutte le funzioni da X in C nel modo seguente:
ρ∶ G
g
/ GL(F(X))
/ ( f ↦ f ○ φ−1 )
g
dove φ∶ G → T(X) è l’omomorfismo che esprime l’azione di G, cioè g⋅x = φ g (x). Mostriamo
che ρ è una rappresentazione, cioè che ρ è un omomorfismo di gruppi: se g, h ∈ G abbiamo
−1 −1
−1
−1
ρ(gh) = ( f ↦ f ○ φ−1
gh ) = ( f ↦ f ○ (φ h φ g )) = ( f ↦ f ○ φ h ○ φ g )
mentre
−1
−1
−1
ρ(g)ρ(h) = ( f ↦ f ○ φ−1
g ) ○ ( f ↦ f ○ φh ) = ( f ↦ f ○ φh ○ φ g )
analogamente si dimostra che ρ g −1 = ρ −1
g .
76
. Rappresentazioni irriducibili
Rappresentazioni di SU(2)
Sfruttando l’esempio 11, possiamo costruire delle rappresentazioni dei gruppi di matrici sui polinomi. Notiamo, per prima cosa, che lo spazio vettoriale Cd [X] dei polinomi complessi di grado
d in una variabile è isomorfo allo spazio Vd dei polinomi complessi omogenei in due variabili
dello stesso grado: associamo a X i il monomio omogeneo X i Y d−i . Vediamo poi un polinomio
P(X, Y) ∈ Vd come una mappa C2 → C: è immediato verificare che, se g ∈ GL2 (C), allora anche
P ○ g ∈ Vd . Abbiamo così un’azione di GL2 (C) su Vd definita da g ⋅ P = P ○ g −1 .
Restringiamo ora il nostro interesse alle rappresentazioni di SU(2). Ricordiamo che una matrice
g ∈ SU(2) ha la forma
a b
g=(
) , con ∣a∣2 + ∣b∣2 = 1
−b̄ ā
quindi, se P ∈ Vd e notando che g −1 = tḡ,
(g ⋅ P)(X, Y) = P(āX − bY , b̄X + aY)
(7.2)
Se d = 1, una base di V1 è {X, Y}. Dalla (7.2) ricaviamo
g ⋅ X = āX − bY ,
g ⋅ Y = b̄X + aY ,
dove g = (
a b
)
−b̄ ā
ā b̄ ) = ḡ.
Quindi la matrice che rappresenta l’azione di g è ( −b
a
Se d = 2, una base di V2 è {X 2 , XY , Y 2 }. Poiché, con g come sopra,
g ⋅ X 2 = ( āX − bY)2 = ā 2 X 2 − 2 ābXY + b2 Y 2
g ⋅ XY = (āX − bY)(b̄X + aY) = abX 2 + (a ā − b b̄)XY − abY 2
g ⋅ Y 2 = (b̄X + aY)2 = b̄2 X 2 + a b̄XY + a 2 Y 2
quindi la matrice che rappresenta l’azione di g è
2
ab
b̄2 ⎞
⎛ ā
⎜−2 āb a ā − b b̄ 2a b̄⎟
⎝ b2
−ab
a2 ⎠
. Spazi G-invarianti e rappresentazioni irriducibili
Definizione. Sia data una rappresentazione ρ∶ G → GL(V ) di un gruppo G. Diciamo che il
sottospazio W di V è G-invariante se G ⋅ W ⊆ W, cioè gw ∈ W per ogni scelta di g ∈ G e w ∈ W.
Notiamo che se W è G-invariante, allora ρ induce una rappresentazione ρ∣W ∶ G → GL(W) tramite
g ↦ ρ g ∣W .
Definizione. Una rappresentazione ρ∶ G → GL(V ) è detta irriducibile se V non ha sottospazi
propri G-invarianti. La rappresentazione è detta riducibile se non è irriducibile.
77
Rappresentazioni
Esempi
. Se G ha almeno due elementi, allora la sua rappresentazione regolare è riducibile. Infatti il
vettore ∑ g∈G v g è lasciato fisso dall’azione di G:
g0 ⋅ ∑ v g = ∑ v g0 g = ∑ v g
g∈G
g∈G
g∈G
Quindi la retta L(v) generata da v è un sottospazio proprio G-invariante.
. Analogamente, se n > 1 la rappresentazione di dimensione n di S n vista sopra è riducibile
perché fissa ∑ni=1 vn .
. Se ρ è una rappresentazione di dimensione uno, essa è necessariamente irriducibile.
. La rappresentazione r∶ D2n → GL2 (C) del gruppo diedrale è irriducibile. Infatti σ ⋅ ( ba ) =
a
( −b
); quindi le uniche rette di C2 fissate da σ sono gli assi cartesiani, che però non sono
fissati da ρ.
Somma diretta di rappresentazioni
Siano ρ1 ∶ G → GL(V1 ) e ρ2 ∶ G → GL(V2 ) due rappresentazioni. Possiamo identificare in modo
ovvio GL(V1 ) × GL(V2 ) con un sottogruppo di GL(V1 ⊕ V2 ); in questo modo possiamo definire
una rappresentazione ρ1 ⊕ ρ2 ∶ G → V1 ⊕ V2 come (ρ1 ⊕ ρ2 )(g) = ρ1 (g) ⊕ ρ2 (g).
Viceversa, supponiamo che ρ∶ G → GL(V ) sia una rappresentazione riducibile e che V sia somma
diretta di sottospazi G-invarianti: V = W1 ⊕ W2 . Posto ρ i = ρ∣W avremo allora ρ = ρ1 ⊕ ρ2 .
Diciamo che ρ è somma diretta delle rappresentazioni ρ1 e ρ2 .
Fissiamo, per i = 1, 2, una base Bi di Vi e consideriamo la rappresentazione matriciale R i associata
a ρ i rispetto alla base Bi . Sia R la rappresentazione matriciale associata a ρ rispetto alla base B1 ∪B2 .
Allora
⎛ R1 (g) O ⎞
Rg =
(7.3)
⎝ O R2 (g) ⎠
Data una rappresentazione riducibile ρ non è chiaro come ottenere una decomposizione in sottospazi G-invarianti. Supponiamo che la ρ sia di dimensione finita e su uno spazio hermitiano;
diciamo che essa è unitaria se ρ g è un endomorfismo unitario per ogni g. Abbiamo allora la
seguente
Lemma .
Sia ρ∶ G → GL(V ) una rappresentazione su uno spazio hermitiano V . Se ρ è unitaria e W è un
sottospazio G-invariante, allora anche W ⊥ lo è.
Dimostrazione. Sia v ∈ W ⊥ , cioè v ⊥ W. Per l’unitarietà di ρ abbiamo gv ⊥ gW = W quindi
gv ∈ W ⊥ per ogni g ∈ G. Segue che W ⊥ è G-invariante.
Proposizione .
Sia ρ∶ G → GL(V ) una rappresentazione di dimensione finita su uno spazio hermitiano. Se ρ è
unitaria allora ρ è somma diretta di rappresentazioni irriducibili.
78
. Rappresentazioni irriducibili
Dimostrazione. Dimostriamo la tesi per induzione su dim(V ): se dim(V ) = 1 la rappresentazione
è chiaramente irriducibile.
Supponiamo allora che ρ sia riducibile di dimensione n. Se W è un sottospazio proprio G-invariante, allora per il lemma anche W ⊥ lo è. Essendo V di dimensione finita, V = W ⊕ W ⊥ quindi
ρ = ρ∣W ⊕ ρ∣W ⊥ Per ipotesi d’induzione, le rappresentazioni ρ∣W e ρ∣W ⊥ sono somma diretta di
rappresentazioni irriducibili, quindi anche ρ lo è; il che dimostra la tesi.
Proposizione .
Sia ρ∶ G → V unitaria. Allora il sottospazio W di V è G-invariante se e solo se la proiezione
π = πW di V su W commuta con ogni endomorfismo ρ g .
Dimostrazione. Sia v ∈ V fissato, e scriviamo v = v1 + v2 con v1 ∈ W e v2 ∈ W ⊥ .
Se W è G-invariante, allora lo è anche W ⊥ per il lemma 7.1. Perciò, per ogni g ∈ G,
ρ g v = ρ g v1 + ρ g v2 ∈ W ⊕ W ⊥
Quindi
πρ g v = ρ g v1 = ρ g πv
cioè π commuta con ogni ρ g . Se, invece, vale quest’ultima proprietà, allora
ρ g W = ρ g πV = πρ g V = πV = W
cioè W è G-invariante.
Esempio
Sia C3 = ⟨x ∶ x 3 = 1⟩ il gruppo ciclico di ordine tre e ρreg la rappresentazione regolare di C3 .
Sia {w1 , w2 , w3 } la base ortonormale di autovettori contemporanei per ρ(1), ρ(x), ρ(x 2 ) definita
nell’esempio di pagina 73 e sia L i = L(wi ) la retta generata da wi con i = 1, 2, 3. Allora
ρreg = ρ reg ∣L1 ⊕ ρ reg ∣L2 ⊕ ρ reg ∣L3
dove ρ reg ∣L i ∶ C3 → L i è, per ogni i = 1, 2, 3, una rappresentazione irriducibile di dimensione uno di
C3 . D’altra parte conosciamo già tre rappresentazioni irriducibili di dimensione uno, non isomorfe
fra loro:
/ C∗
/ C∗ ρ2 ∶ C n
/ C∗ ρ 2 ∶ C n
ρ1 ∶ C n
xi
/1
xi
/ ζi
xi
/ ζ 2i
dove ζ = e2πi/3 . Se φ i ∶ C → L i è l’isomorfismo definito da φ i (1) = wi , non è difficile verificare che
ρ reg ∣L i = φ i ○ ρ i . In altre parole
ρ reg ≃ ρ1 ⊕ ρ2 ⊕ ρ3
79
Rappresentazioni
Rappresentazioni di gruppi finiti
Supponiamo ora che, data una rappresentazione ρ∶ G → GL(V ), il gruppo G sia finito e che V sia
uno spazio vettoriale hermitiano di dimensione finita su C.
Nel paragrafo precedente abbiamo mostrato che, se la rappresentazione è unitaria, allora si decompone in rappresentazioni irriducibili. La condizione che ρ sia unitaria non è strettamente
necessaria: è infatti possibile scegliere una metrica per V che renda tale la rappresentazione.
Proposizione .
Sia ρ∶ G → GL(V ) una rappresentazione su uno spazio vettoriale dotato di una forma hermitiana ⟪⋅, ⋅⟫. Allora esiste una forma hermitiana ⟨⋅, ⋅⟩ definita positiva su V rispetto alla quale ρ è
unitaria, cioè
∀g ∈ G, ∀v, w ∈ V , ⟨gv, gw⟩ = ⟨v, w⟩
Dimostrazione. L’idea è di mediare la forma ⟪⋅, ⋅⟫ rispetto agli elementi di G. Sia
⟨v, w⟩ =
1
∑ ⟪gv, gw⟫
o(G) g∈G
È immediato verificare che, per ogni v, w ∈ V e λ1 , λ2 ∈ C,
⟨v, w⟩ = ⟨w, v⟩,
⟨λ1 v1 + λ2 v2 , w⟩ = λ1 ⟨v1 , w⟩ + λ2 ⟨v2 , w⟩
cioè che ⟨⋅, ⋅⟩ è una forma hermitiana.
Poiché ⟪⋅, ⋅⟫ è definita positiva, abbiamo che ∑ g∈G ⟪gv, gv⟫ ⩾ 0 per ogni v e che la somma è zero
se e soltanto se gv = 0 per ogni g; Ma per ogni g la mappa ρ g è un isomorfismo, per cui gv = 0 se
e soltanto se v = 0: questo mostra che ⟨⋅, ⋅⟩ è definita positiva.
Infine, dato un elemento qualsiasi g0 di G abbiamo
⟨g0 v, g0 w⟩ =
1
1
∑ ⟪g0 gv, g0 gw⟫ =
∑ ⟪gv, gw⟫
o(G) g∈G
o(G) g∈G
Perciò ρ è unitaria rispetto a ⟨⋅, ⋅⟩.
Corollario .
Sia ρ∶ G → GL(V ) una rappresentazione di un gruppo finito su uno spazio vettoriale complesso
di dimensione finita. Allora ogni endomorfismo ρ g è diagonalizzabile.
Dimostrazione. Fissata una base di V otteniamo un isomorfismo fra V e Cd dove d = dim V ; tramite questo isomorfismo possiamo dotare V di un prodotto hermitiano. Per la proposizione possiamo sempre supporre che ρ sia unitaria. Ci basta ricordare, a questo punto, che ogni endomorfismo
unitario è diagonalizzabile.
80
. Rappresentazioni irriducibili
Osservazione 7.6. Non sarà in generale possibile richiedere che gli endomorfismi ρ g siano simultaneamente diagonalizzabili: infatti se così fosse, poiché le matrici diagonali commutano fra di loro,
avremo che ghv = hgv per ogni g, h ∈ G e per ogni v ∈ V . Cioè l’azione di G sarebbe commutativa: questo è impossibile se, ad esempio, ρ è la rappresentazione regolare. Vedi anche gli esercizi 7.7
e 7.8.
Teorema . (Teorema di Maschke)
Sia ρ∶ G → GL(V ) una rappresentazione di un gruppo finito su uno spazio vettoriale complesso
di dimensione finita, allora ρ si decompone in somma diretta di rappresentazioni irriducibili.
Dimostrazione. Ragionando come sopra possiamo supporre che ρ sia unitaria. La tesi segue allora
dalla proposizione 7.2.
Lemma di Schur
Siano ρ∶ G → GL(V ) e e ρ ′ ∶ G → GL(V ′ ) due rappresentazioni e sia φ∶ V → V ′ una mappa Ginvariante, cioè gφ(v) = φ(gv) per ogni g ∈ G e per ogni v ∈ V . Vogliamo mostrare che allora φ è
una mappa molto particolare
Lemma .
Siano ρ, ρ ′ e φ come sopra, allora ker φ e Im φ sono sottospazi G-invarianti di, rispettivamente,
V e V ′.
Dimostrazione. Supponiamo v ∈ ker φ, cioè φ(v) = 0. Allora, per ogni g ∈ G,
φ(gv) = gφ(v) = g0 = 0
perciò gv ∈ ker φ, quindi ker φ è G-invariante.
Supponiamo ora che v′ = φ(v) ∈ Im φ, allora gv′ = φ(gv) ∈ Im φ, perciò anche Im φ è Ginvariante.
Teorema . (Lemma di Schur)
. Siano ρ∶ G → GL(V ) e e ρ ′ ∶ G → GL(V ′ ) due rappresentazioni irriducibili di un gruppo
qualsiasi G, e sia φ∶ V → V ′ una mappa G-invariante non nulla. Allora φ è un isomorfismo.
. Sia ρ∶ G → V una rappresentazione unitaria in uno spazio hermitiano di dimensione finita.
Allora ρ è irriducibile se e solo se {φ ∈ End(V ) ∶ φ è G-invariante} = {omotetie di V }.
Dimostrazione. Se uno dei due spazi hanno dimensione nulla non c’è nulla da dimostrare: supponiamo quindi che dim V , dim V ′ > 0 e consideriamo ker φ: è un sottospazio G-invariante di
V , quindi per l’irriducibilità di ρ è {0} oppure V ; poiché nel secondo caso avremmo che φ è la
mappa nulla, otteniamo che φ è iniettiva.
81
Rappresentazioni
Consideriamo ora Im φ: per lo stesso motivo è {0} oppure V ′ ; ma nel primo caso φ sarebbe la
mappa nulla, quindi Im φ = V ′ , cioè φ è suriettiva. Segue che φ è un isomorfismo. Questo dimostra
la prima parte.
Supponiamo ora che V sia hermitiano di dimensione finita. Se φ = λ1 è un omotetia, allora φ
commuta con ogni ρ g , cioè φ è G-invariante. D’altra parte, se φ è un endomorfismo qualsiasi, φ
ammette almeno un autovalore λ; consideriamo allora ker(φ − λ1): per il lemma 7.8 è G-invariante,
mentre per definizione ha dimensione almeno uno, quindi, se ρ è irriducibile, ker(φ − λ1) = V . In
altre parole φ = λ1 è un’omotetia.
Supponiamo infine che ogni endomorfismo G-invariante sia un’omotetia e sia W un sottospazio
G-invariante di V . Essendo ρ unitaria, segue dalla proposizione 7.3 che la proiezione π di V su W è
G-invariante e quindi un’omotetia λ1. È immediato verificare che le uniche possibilità sono λ = 0
oppure λ = 1: nel primo caso W = V mentre nel secondo W = {0}. Perciò ρ è irriducibile.
Il lemma di Schur ci permette di classificare le possibili mappe lineari fra due spazi vettoriali su
cui agisce un dato gruppo, la restrizione che la mappa sia G-invariante non è molto forte, come
dimostra la seguente
Proposizione .
Date due rappresentazioni ρ∶ G → GL(V ), ρ ′ ∶ G → V ′ di un gruppo finito G, e una mappa
lineare φ∶ V → V ′ allora la mappa lineare
1
−1
′
/ V′
φ̃∶ V
cioè
φ̃ =
∑ ρg ○ φ ○ ρg
o(G) g∈G
1
−1
gφ(g
v)
/
∑
v
o(G) g∈G
è G-invariante. Se ρ = ρ ′ allora Tr φ̃ = Tr φ.
Dimostrazione. La mappa φ̃ è lineare perché combinazione lineare delle mappe lineari ρ ′g ○ φ ○ ρ −1
g .
Se g0 ∈ G, allora
1
1
−1
−1
−1
−1 −1
g0−1 φ̃(g0 v) =
∑ g gφ(g g0 v) =
∑ (g g)φ((g0 g) v) = φ̃(v)
o(G) g∈G 0
o(G) g∈G 0
cioè φ̃(g0 v) = g0 φ̃(v), per cui φ̃ è G-invariante.
Supponiamo ora che le due rappresentazioni coincidano. Poiché la traccia è invariante per coniugio,
ρ ′g ○ φ ○ ρ −1
g ha la stessa traccia di φ. Quindi
Tr φ̃ =
1
1
′
−1
∑ Tr (ρ g ○ φ ○ ρ g ) =
∑ Tr φ = Tr φ
o(G) g∈G
o(G) g∈G
Per il lemma di Schur, se gli spazi V e V ′ non sono isomorfi, allora la mappa φ̃ è necessariamente
nulla. D’altra parte, se V = V ′ e φ è un endomorfismo con traccia non nulla, allora φ̃ non è nulla
e quindi è necessariamente un’omotetia. Lasciamo al lettore la dimostrazione che, in tal caso, φ̃ è
la moltiplicazione per Tr φ/ dim V .
82
. Caratteri di gruppi finiti
. Caratteri di gruppi finiti
Definizione. Il carattere di una rappresentazione di dimensione finita ρ∶ G → GL(V ) è
χ∶ G
g
/C
/ Tr ρ g
La dimensione di χ è la dimensione di ρ, cioè quella di V come spazio vettoriale. Un carattere
irriducibile è il carattere di una rappresentazione irriducibile.
Ricordiamo che la traccia di una matrice è invariante per coniugio e che quindi è ben definita la
traccia di un endomorfismo. Per lo stesso motivo un carattere è costante sulle classi di coniugio:
χ(hgh −1 ) = χ(g) per ogni g, h ∈ G.
Se χ è un carattere di dimensione maggiore di uno, χ non sarà in generale un omomorfismo di
gruppi perchè non lo è Tr∶ GL(V ) → C. Se però dim V = 1, la traccia coincide con l’isomorfismo
∼
canonico GL(V ) → C∗ (ogni endomorfismo è un’omotetia) dato dal determinante, quindi il
carattere coincide con la rappresentazione matriciale ed è, in particolare, un omomorfismo di
gruppi.
Le proprietà fondamentali dei caratteri sono le seguenti
Proposizione .
Siano χ e χ′ caratteri di due rappresentazioni ρ e ρ ′ di G. Allora:
a)
b)
c)
d)
Se ρ è isomorfa a ρ ′ , allora χ = χ′
χ(1) = dim(χ)
χ(g −1 ) = χ(g), per ogni g ∈ G
il carattere di ρ ⊕ ρ ′ è χ + χ′ .
Dimostrazione. Siano R ed R ′ le rappresentazioni matriciali associate a ρ e ρ ′ rispetto a delle basi
fissate qualsiasi.
Se ρ e ρ ′ sono isomorfe, allora esiste una matrice M ∈ GLn (Cn ), con n = dim V = dim χ, tale che
R = MR ′ M −1 , quindi Tr R = Tr R ′ , il che dimostra la (a).
La proprietà (b) segue dal fatto che χ(1) = Tr R1 = Tr I n = n.
Supponiamo fissato g ∈ G. Per il corollario 7.5, la matrice R g è diagonalizzabile; supponiamo
quindi che R g sia la matrice diagonale data da (λ1 , . . . , λ n ). Allora R(g −1 ) = R(g)−1 è la matrice
−1
−1
diagonale data da (λ−1
1 , . . . , λ n ). Per l’esercizio 7.4, ∣λ i ∣ = 1 per ogni i = 1, . . . , n; quindi λ i = λ i ,
da cui segue la proprieta (c).
La proprietà (d) segue subito dalla (7.3).
Esempi
. Sia ρ reg ∶ G → GL3 (C) la rappresentazione regolare di G = ⟨x ∶ x 3 = 1⟩, il gruppo ciclico di
ordine tre. Allora
χreg (1) = 3, χreg (x) = 0, χreg (x 2 ) = 0
83
Rappresentazioni
Se ρ1 , ρ2 , ρ3 sono le tre rappresentazioni irriducibili di G viste nell’esempio di pagina 79 e
se χ1 , χ2 , χ3 sono i rispettivi carattere, la lora tabella è:
χ1
χ2
χ3
1 x x2
1 1 1
1 ζ ζ2
1 ζ2 ζ
(7.4)
Possiamo così verificare direttamente che χreg = χ1 + χ2 + χ3 (ricordiamo che ζ è una radice
di X 3 − 1 = (X − 1)(X 2 + X + 1).
. Sia r∶ S3 = D6 → GL2 (C) la rappresentazione dell’esempio 6 di pagina 75. Abbiamo visto
nell’esempio 3 di pagina 41 che le classi di coniugio di S3 sono tre: 1, {ρ, ρ2 } e {σ , ρσ , ρ 2 σ}.
Quindi la tabella del carattere χ di r è:
1 ρ σ
χ 2 −1 0
dove nelle ordinate abbiamo scritto un rappresentante per ogni classe di coniugio. Per
denotare la cardinalità di ogni classe di coniugio scriveremo anche
1 ρ×2 σ ×3
χ 2 −1
0
(7.5)
Rappresentazioni associate ad azione di gruppo
Proposizione .
Sia ρ la rappresentazione associata all’azione di un gruppo finito G su un insieme finito X, e sia
χ il carattere di ρ, allora χ(g) è il numero di elementi di X fissati da g.
Dimostrazione. Infatti, se R(g) = ((R g )x y ) è la «matrice» di ρ(g) rispetto alla base {vx }x∈X di
VX , abbiamo
⎧
⎪
⎪1 se gx = y
(R g )x y = ⎨
⎪
⎪
⎩0 sennò
Quindi
χ(g) = Tr R g = ∑ (R g )x y = #{x ∈ G ∶ gx = x}
x∈X
Esempi
. Sia χreg il carattere della rappresentazione regolare di un gruppo finito G, allora
⎧
⎪
⎪o(G)
χreg (g) = ⎨
⎪
⎪
⎩0
84
se g = 1
sennò
. Caratteri di gruppi finiti
. Siano rV ed r L le rappresentazioni associate all’azione di D4 sui vertici e sui lati del quadrato
(vedi l’esempio 7 a pagina 76); le classi di coniugio di D4 sono
{1}, {ρ, ρ 3 }, {ρ 2 }, {σ , ρ2 σ}, {ρα, ρ 3 σ}
(vedi anche l’esercizio 4.18). Quindi la tabella dei caratteri χV e χ L è
χV
χL
1 ρ × 2 ρ 2 σ × 2 ρσ × 2
4
0
0
2
0
4
0
0
0
2
Questo mostra che le due rappresentazioni non sono isomorfe.
Ortogonalità
Chiamiamo L2 (G) lo spazio vettoriale hermitiano che si ottiene dotando lo spazio F(G) delle
funzioni di G in C del prodotto hermitiano
⟨φ, ψ⟩ =
1
∑ φ(g)ψ(g)
o(G) g∈G
(7.6)
Notiamo che la dimensione di L2 (G) è o(G): infatti se f g ∶ G → C è la funzione che manda g in 1 e
tutti gli altri elementi in 0, allora { f g } g∈G è una base di L2 (G).
I caratteri di G sono elementi di L2 (G). Vogliamo mostrare che il prodotto hermitiano permette
di identificare quelli irriducibili.
Teorema . (di ortogonalità dei caratteri irriducibili)
I caratteri irriducibili di un gruppo finito G sono ortonormali in L2 (G), cioè ⟨χ, χ⟩ = 1 e
⟨χ, χ′ ⟩ = 0 se χ ≠ χ′ sono caratteri irriducibili.
Dimostrazione. Per la proposizione 7.11, possiamo riscrivere la (7.6) come
⟨χ, χ′ ⟩ =
1
′ −1
∑ χ(g)χ (g )
o(G) g∈G
(7.7)
Supponiamo che dim χ = 1: il carattere è un omomorfismo di gruppo; segue così dalla (7.7) che
⟨χ, χ⟩ = 1. Se invece χ e χ′ sono due caratteri distinti di dimensione uno, sia ψ l’endomorfismo di
C definito da
1
′ −1
ψ=
∑ ρ g ○ (ρ g )
o(G) g∈G
dove ρ e ρ ′ sono le rappresentazioni associate ai caratteri Per la proposizione 7.10, l’endomorfismo
è G-invariante; ma le rappresentazioni ρ e ρ ′ non sono isomorfe, quindi, per il lemma di Schur,
ψ è l’endomorfismo nullo. Ricordando che in dimensione uno il carattere corrisponde alla
rappresentazione matriciale, segue che ⟨χ, χ′ ⟩ = 0.
Supponiamo ora che le dimensioni siano qualunque.
85
Rappresentazioni
Lemma .
Siano ρ e ρ ′ due rappresentazioni irriducibili di G in, rispettivamente, V e V ′ . Fissate delle basi
qualsiasi per i due spazi vettoriali, siano R e R ′ le rispettive rappresentazioni matriciali. Allora,
per ogni scelta degli indici i, j, k, l:
δ il δ jk
1
• se V = V ′ e ρ = ρ ′ , abbiamo:
∑ (R g )i j (R g −1 )kl =
o(G) g∈G
dim V
′
∑ (R g )i j (R g −1 )kl = 0
• se ρ e ρ ′ non sono isomorfe, abbiamo:
g∈G
Dimostrazione. Sia φ∶ V → V ′ una mappa lineare con matrice associata M = (m il ), rispetto alle
basi {e1 , . . . , en } e {e′1 , . . . , e′p } fissate. Sia φ̃ la mappa G-invariante definita dalla proposizione 7.10.
1
Allora la matrice associata a φ̃ è M̃ = o(G)
∑ g∈G R g MR′g −1 = (m̃ il ), con
m̃ il =
1
′
∑ ∑(R g )i j m jk (R g −1 )kl
o(G) g∈G j,k
Consideriamo ora la famiglia di applicazioni lineari E ab ∶ V → V ′ definite da E ab (e j ) = δb j e′a .
Allora
(E ab )l i = δ al δbi
quindi
(Ẽ ab )il =
1
′
∑ (R g )ia (R g −1 )bl
o(G) g∈G
Se V = V ′ e ρ = ρ ′ , allora Ẽ jk è l’omotetia per Tr E k j / dim V = δ k j / dim V , quindi
δ il δ k j
1
∑ (R g )i j (R g −1 )kl = (Ẽ jk )il =
o(G) g∈G
dim V
mentre, se ρ non è isomorfo a ρ ′ , il lemma di Schur implica Ẽ jk = 0, perciò
1
′
∑ (R g )i j (R g −1 )kl = 0
o(G) g∈G
Questo dimostra il lemma.
Possiamo ora dimostrare il teorema. Infatti, con le notazioni del lemma
1
1
′
′
⟨χ, χ′ ⟩ =
∑ ∑(R g )ii (R g −1 )kk = ∑
∑ (R g )ii (R g −1 )kk
o(G) g∈G i,k
o(G)
g∈G
i,k
Quindi
⟨χ, χ⟩ = ∑
i,k
mentre, se ρ non è isomorfa a ρ
δ ik δ ki
=1
dim V
′
⟨χ, χ′ ⟩ = ∑ 0 = 0
i,k
86
. Caratteri di gruppi finiti
Corollario .
I caratteri irriducibili di un dato gruppo finito formano un insieme finito. In particolare, le classi
di equivalenza di rappresentazioni di un dato gruppo finito sono in numero finito.
Infatti L2 (G) è uno spazio vettoriale di dimensione o(G) e un insieme di vettori ortonormali è
necessariamente linearmente indipendente; quindi ci sono al più o(G) caratteri irriducibili.
In realtà possiamo fare di meglio: chiamiamo funzione di classe sul gruppo G una funzione
φ∶ G → C costante sulle classi di coniugio di G. L’insieme delle funzioni di classe forma uno
sottospazio vettoriale C = C(G) di L2 (G), di dimensione uguale al numero di classi di coniugio di
G. Poiché i caratteri sono funzioni di classe, deduciamo che il numero di caratteri irriducibili di G
è al più uguale al numero di classi di coniugio di G: vedremo più avanti che vale l’uguaglianza.
Decomposizione delle rappresentazioni
Siano ρ1 , ρ2 , . . . , ρ N «le» rappresentazioni irriducibili di G (in realtà: dei rappresentanti delle
classi di equivalenza di rappresentazioni irriducibili; per comodità, però, useremo sempre questa
denominazione), e siano χ1 , χ2 , . . . , χ N i relativi caratteri. Se χ è un carattere di G, allora χ è
combinazione lineare ∑i n i χ i dei caratteri irriducibili. Essendo questi ortonormali, abbiamo che
n i = ⟨χ, χ i ⟩. Otteniamo così la seguente
Proposizione .
Sia ρ una rappresentazione di G di carattere χ. Allora:
N
ρ ≃ ⊕⟨χ, χ i ⟩ρ i
i=1
Dimostrazione. Per il teorema di Maschke, possiamo scrivere ρ = ∑i n i ρ i con opportuni coefficienti n i . Quindi χ = ∑i n i χ i . La tesi segue immediatamente.
Chiamiamo l’intero n i la molteplicità di ρ i in ρ. Un’immediata conseguenza della proposizione è
il seguente
Corollario .
Due rappresentazioni sono isomorfe se e solo se hanno lo stesso carattere.
Proposizione .
Una rappresentazione ρ di carattere χ è irriducibile se e soltanto se ⟨χ, χ⟩ = 1.
Dimostrazione. Se, per la proposizione precedente, ρ ≃ ∑i n i ρ i , allora il teorema 7.13 ci dà
⟨χ, χ⟩ = n2i
Poiché le molteplicità sono interi non negativi, segue subito che se ⟨χ, χ⟩ = 1, allora χ è irriducibile.
Il viceversa è la prima parte del teorema 7.13.
87
Rappresentazioni
Decomposizione della rappresentazione regolare
Proposizione .
Sia ρ reg la rappresentazione regolare di un gruppo finito G, e siano ρ1 , . . . , ρ N le rappresentazioni
irriducibili di G. Se d i = dim ρ i allora
ρ reg ≃ d1 ρ1 ⊕ ⋅ ⋅ ⋅ ⊕ d N ρ N
Dimostrazione. Grazie all’esempio 1 di pagina 84 abbiamo che, per ogni carattere χ di G:
⟨χ, χreg ⟩ =
1
1
reg −1
χ(1)o(G) = dim(χ)
∑ χ(g)χ (g ) =
o(G) g∈G
o(G)
La proposizione segue allora dalla 7.16.
Poiché o(G) = χreg (1), la proposizione ci dà
χreg (1) = ∑ d i χ i (1) = ∑ d i2
i
i
Questo ci permette di ricavare il seguente
Teorema .
Siano ρ1 , . . . , ρ N le rappresentazioni irriducibili di un gruppo finito G, e sia d i = dim ρ i . Allora
2
∑ d i = o(G)
i
Esempi
. Le rappresentazioni irriducibili del gruppo ciclico C3 di ordine tre sono le tre rappresentazioni ρ1 , ρ2 , ρ3 di pagina 73. Infatti C3 ha tre classi di coniugio (vedi l’esercizio 3.2), e l’unico
modo di scrivere 3 come somma di tre quadrati è 3 = 1 + 1 + 1, quindi C3 ha esattamente
tre rappresentazioni irriducibili non isomorfe, tutte di dimensione uno. Dalla tabella (7.4)
ricaviamo che
⟨χ1 , χ2 ⟩ =
1
1 + ζ2 + ζ
−1
=0
∑ χ1 (x)χ2 (x ) =
3 x∈C3
3
⟨χ1 , χ3 ⟩ =
1
1 + ζ + ζ2
−1
=0
∑ χ1 (x)χ3 (x ) =
3 x∈C3
3
⟨χ2 , χ3 ⟩ =
1
1 + ζ2 + ζ4
−1
=0
∑ χ2 (x)χ3 (x ) =
3 x∈C3
3
quindi le tre rappresentazioni non sono fra loro isomorfe.
88
. Rappresentazioni irriducibili di SU(2)
. Vogliamo determinare le rappresentazioni irriducibili di S3 : il gruppo ha tre classi di coniugio
e l’unico modo di scrivere sei come somma di al più tre quadrati è 6 = 1 + 1 + 22 , quindi S3
ha due rappresentazioni irriducibili r1 , r2 di dimensione uno ed una r3 di dimensione due.
Sia r la rappresentazione dell’esempio 6 di pagina 75. Dalla tabella (7.5) ricaviamo che
⟨χ, χ⟩ =
1
1 ⋅ 22 + 2 ⋅ (−1)2 + 3 ⋅ 02
2
=1
∑ # Cl(x) ∣χ(x)∣ =
6 x=1,ρ,σ
6
quindi r è irriducibile per la proposizione 7.18: poniamo r3 = r ed r1 la rapprsentazione
banale.
Rimane da determinare r2 : se r reg è la rappresentazione regolare, allora
χreg = χ1 + χ2 + 2χ3
quindi la tabella dei caratteri di S3 è:
1 ρ×2 σ ×3
χ1 1
1
1
1
−1
χ2 1
χ3 2 −1
0
χreg 6
0
0
Percio r2 è la rappresentazione S3 → C∗ definita da r2 (ρ) = 1 ed r2 (σ) = −1.
. Rappresentazioni irriducibili di SU(2)
Abbiamo visto a pagina 77 che, posto Vd lo spazio dei polinomi omogenei di grado d, la mappa SU(2) → GL(Vd ) che associa a g ∈ SU(2) la trasformazione ρd (g)∶ P ↦ P ○ g −1 è una rappresentazione. Vogliamo mostrare in questo paragrafo che queste sono essenzialmente tutte le
rappresentazioni irriducibili di SU(2).
Fissiamo d ⩾ 1, poniamo ρ = ρd e
Pi (X, Y) = X i Y d−i ,
con i = 0, . . . , d
d
d
Pk (X, Y) = (k1 X + k2 Y)d = ∑ ( )k1i k2d−i Pi (X, Y),
i=0 i
per ogni k = (k1 , k2 ) ∈ C2
(7.8)
(7.9)
Poiché {P0 , . . . , Pd } genera Vd , ed i monomi sono indipendenti, la dimensione di Vd è d + 1.
Mostriamo che anche i Pk generano Vd :
Fatto . (Determinante di Vandermonde)
j−1
Sia V una matrice d × d della forma V = (v i j ) con v i j = α i , con gli α i qualsiasi. Allora
det(V ) = ∏1⩽i< j⩽d (α j − α i ).
89
Rappresentazioni
Lemma .
I polinomi Y d e {(X + ζ j Y)d } j=1,...,d sono indipendenti, dove ζ = e2πi/d è una radice primitiva
d-esima dell’unità.
Dimostrazione. Poiché
d
d
(X + ζ j Y)d = ∑ ( )ζ i j Pi (X, Y)
i=0 i
ci basta mostrare che la matrice
d
⎛ 1 ( 1 )ζ
⎜ 1 (d )ζ 2
⎜
1
⎜
M = ⎜⋮
⋮
⎜
⎜
d
⎜ 1 ( 1 )ζ d
⎝0
0
(d2 )ζ 2
...
⋮
⋱
...
...
(d2 )ζ 2⋅2 . . .
(d2 )ζ d2
0
d
(d−1
)ζ d−1
d
(d−1
)ζ 2(d−1)
⋮
d
(d−1
)ζ d(d−1)
0
(dd )ζ d ⎞
(dd )ζ 2d ⎟
⎟
⎟
⋮ ⎟
⎟
2⎟
(dd )ζ d ⎟
1 ⎠
è invertibile. Abbiamo, sviluppando il determinante sull’ultima riga ed utilizzando il fatto 7.21:
RRR1 ζ
RR
d
d RRRR1 ζ 2
det(M) = ∏ ( ) RRR
⋮
i=1 i RRR ⋮
RRR1 ζ d
R
ζ2 . . .
ζ 2⋅2 . . .
⋮
⋱
d2
ζ
...
ζ d−1 RRRR
R
ζ 2(d−1) RRRR d d
R = ∏ ( ) ∏ (ζ k − ζ j )
⋮ RRRR i=1 i 1⩽ j<k⩽d
R
ζ d(d−1) RRRR
Essendo ζ una radice primitiva, det(M) ≠ 0, cioè i polinomi dati sono linearmente indipendenti.
Definiamo una forma sesquilineare ⟨⋅, ⋅⟩ su Vd tramite
⟨Pi , P j ⟩ = i!(d − i)!δ i j
cioè
d
d
d
i=0
j=0
i=0
⟨∑ a i X i Y d−i , ∑ b j X j Y d− j ⟩ = ∑ i!(d − i)!a i b̄ i
Segue immediatamente dalla (7.10) che ⟨⋅, ⋅⟩ è un prodotto hermitiano.
Proposizione .
La rappresentazione ρ∶ SU(2) → Vd è unitaria.
Dimostrazione. Abbiamo, grazie alla (7.9) e per ogni k, l ∈ C2 ,
d
d
d
d
d j d− j
d 2
⟨Pk , Pl ⟩ = ⟨∑ ( )k1i k2d−i Pi , ∑ ( )l1 l2 P j ⟩ = ∑ i!(d − i)!( ) k1i k2d−i l1i l2d−i
i
i=0 i
i=0
j=0 j
d
= ∑ i!(d − i)!
i=0
90
d!
d
( )(k1 l¯1 )i (k2 l¯2 )d−i = d!(k1 l¯1 + k2 l¯2 )d = d!⟨k, l⟩d
i!(d − i)! i
(7.10)
. Rappresentazioni irriducibili di SU(2)
dove l’ultimo prodotto hermitiano è quello standard di C2 . Se g ∈ SU(2), allora g è unitario, quindi
⟨gk, gl⟩ = ⟨k, l⟩,
per ogni k, l ∈ C2
Abbiamo, per la (7.2),
gPk (X, Y) = Pk ( āX − bY , X̄ + aY) = (k1 (āX − bY) + k2 ( X̄ + aY))
d
d
= ((k1 ā + k2 b̄)X + (−k1 b + k2 a)Y) = Pḡk (X, Y)
Perciò
⟨gPk , gPl ⟩ = ⟨Pḡk , Pḡl ⟩ = d!⟨ ḡk, ḡl⟩d = d!⟨k, l⟩d = ⟨Pk , Pl ⟩
qualsiasi siano k, l ∈ C2 . Avendo mostrato che i vettori di questa forma generano Vd , concludiamo
che ρ g è un’isometria di Vd , cioè ρ g è unitaria per ogni g. In altre parole, la rappresentazione ρ è
unitaria.
Teorema .
Per ogni intero d ⩾ 0, la rappresentazione SU(2) → GL(Vd ) definita da gP = P ○ g −1 è
irriducibile.
Dimostrazione. Per il lemma di Schur (teorema 7.9) ci basta mostrare che se φ ∈ GL(Vd ) commuta
con ogni ρ g , allora φ è un omotetia.
Fissiamo a ∈ C con ∣a∣ = 1, e poniamo g = ( 0a 0ā ). Allora, per ogni elemento della base {P0 , . . . , Pd }
di Vd m per la (7.2):
(ρ g (Pi )) (X, Y) = Pi (a −1 X, aY) = a d−2i Pi (X, Y)
(7.11)
cioè Pi è un autovettore, con autovalore a d−2i , dell’endomorfismo ρ g di Vd . Se scegliamo a in
modo che gli {a d−2i }i=0,...,d siano tutti distinti (scegliendo, ad esempio, a di ordine infinito), allora
ρ g ha d + 1 autospazi distinti di dimensione uno. Per ipotesi e per la (7.11),
(ρ g φ)(Pi ) = (φρ g )(Pi ) = a d−2i φ(Pi )
cioè φ(Pi ) è un autovettore di ρ g con autovalore a d−2i ; quindi, per ogni i, abbiamo φ(Pi ) = λ i Pi
con λ i ∈ C opportuno.
θ sen θ
Sia ora h = ( −cos
sen θ cos θ ), con θ ∈ R, una rotazione. Allora,
d
d
(φρ h )(Pd )(X, Y) = φ ((X cos θ + Y sen θ)d ) = ∑ ( ) cosi (θ) send−i (θ)φ(Pi )(X, Y)
i=0 i
d
d
= ∑ λ i ( ) cosi (θ) send−i (θ)Pi (X, Y)
i
i=0
mentre
(ρ h φ)(Pd )(X, Y) = λd ρ h (Pd )(X, Y) = λd (X cos θ + Y sen θ)d
d
d
= ∑ λd ( ) cosi (θ) send−i (θ)Pi
i
i=0
91
Rappresentazioni
Essendo le due espressioni uguali per ogni θ ∈ R, concludiamo che λ i = λd per ogni i = 0, . . . , d −1,
cioè che φ è un’omotetia. Pertanto, come detto sopra, ρ è una rappresentazione irriducibile
Esercizi
Esercizio 7.1. Si mostri che la rappresentazione regolare ρ reg ∶ G → GLn (C) di un gruppo finito G
di ordine n è unitaria rispetto al prodotto hermitiano standard di Cn .
Esercizio 7.2. Si mostri che se ρ∶ G → GL(V ) è una rappresentazione di un gruppo finito G,
unitaria rispetto al prodotto hermitiano ⟪⋅, ⋅⟫, allora il prodotto hermitiano ⟨⋅, ⋅, ⟩ definito dalla
proposizione 7.4 coincide con ⟪⋅, ⋅⟫.
Esercizio 7.3. Sia ρ∶ G → C∗ una rappresentazione di dimensione uno di un gruppo finito G. Si
dimostri che, per ogni g ∈ G, ρ(g) è una radice dell’unità.
Esercizio 7.4. Sia ρ una rappresentazione di dimensione finita di un gruppo finito G. Si dimostri
che, se gv = λv con v ≠ 0 e λ scalare, allora ∣λ∣ = 1.
Esercizio 7.5. Siano ρ∶ G → GL(V ) e ρ ′ ∶ G → GL(V ) due rappresentazioni su uno spazio vettoriale
V di dimensione finita su C. Supponiamo anche che esista un un endomorfismo φ di V tale che
φ ○ ρ g = ρ ′g ○ φ per ogni g. Si dimostri che ρ = ρ ′ .
Esercizio 7.6. Sia ρ∶ G → GL(V ) con V spazio vettoriale di dimensione n su C, e sia φ un
endomorfismo G-invariante di V . Si dimostri che φ è la moltiplicazione per Tr φ/n.
Esercizio 7.7. Diciamo che una rappresentazione ρ∶ G → GL(V ) è diagonalizzabile se esiste una
base di V rispetto alla quale ogni endomorfismo ρ g è diagonale. Si dimostri che se G è un gruppo
finito non commutativo allora esiste una rappresentazione irriducibile di G non diagonalizzabile.
(Suggerimento: si consideri la rappresentazione regolare di G.)
Esercizio 7.8. Sia G un gruppo abeliano finito. Si mostri che ogni rappresentazione finita di G è
diagonalizzabile.
92
Parte II
Topologia
93
Spazi topologici
Iniziamo con un esempio: consideriamo Rn con la distanza euclidea d(x, y) = ∥x − y∥. Un
sottoinsieme A di Rn si dice aperto se per ogni x ∈ A esiste un ε > 0 (dipendente da x) tale
che l’insieme B(x, ε) = {x ∈ Rn tali che d(x, y) < ε} è contenuto in A. In particolare, l’insieme
vuoto ∅ ed Rn sono aperti. Inoltre, la riunione di una famiglia qualsiasi di aperti è un aperto e
l’intersezione di un numero finito di aperti è un aperto.
. Aperti e chiusi
Dare una topologia su un insieme X significa assegnare una famiglia A di sottoinsiemi di X, detti
aperti, che soddisfino le seguenti condizioni:
. L’insieme vuoto ∅ e l’insieme X sono aperti
. la riunione di una famiglia qualsiasi di aperti è un aperto
. l’intersezione di un numero finito di aperti è un aperto
Un insieme X con una topologia è detto spazio topologico.
Un sottoinsieme C di uno spazio topologico X si dice chiuso se il suo complementare A = X ∖ C è
aperto. La famiglia dei chiusi C soddisfa le condizioni duali delle precedenti:
. L’insieme vuoto ∅ e l’insieme X sono chiusi
. l’intersezione di una famiglia qualsiasi di chiusi è un chiuso
. la riunione di un numero finito di chiusi è un chiuso
La conoscenza della famiglia degli aperti A è ovviamente equivalente a quella della famiglia dei
chiusi C.
Spazi metrici
Una metrica su un insieme X è un’applicazione d ∶ X × X → R+ tale che, per ogni x, y, z ∈ X:
. d(x, y) = d(y, x)
. d(x, y) = 0 se e solo se x = y
. d(x, z) ⩽ d(x, y) + d(y, z)
(disuguaglianza triangolare)
Data una metrica d, possiamo definire una topologia su X in cui un insieme A è aperto se per
ogni x ∈ A esiste un sottoinsieme B(x, ε) = {y tali che d(x, y) < ε} contenuto in A, dove ε è una
costante maggiore di zero e dipendente da x. (Si verifichi che in tal modo si ottiene effettivamente
una topologia, detta topologia determinata dalla metrica d.) Chiamiamo spazio metrico uno
spazio topologico dotato di una topologia determinata da una metrica.
95
Spazi topologici
La bolla di raggio ε centrata in x0 , con ε un numero reale non negativo e x0 ∈ X è l’insieme
B(x0 , ε) = {x ∈ X ∶ d(x, x0 ) < ε}. Scriveremo Bd (x0 , ε) quando la scelta della metrica non
risulterà chiara. Si osservi che una bolla Bd (x0 , ε) è un aperto nella topologia determinata dalla
metrica d.
Nell’esempio iniziale, Rn è dotato della topologia determinata dalla distanza euclidea. Tale topologia è anche detta topologia euclidea. Nel seguito Rn sarà sempre tacitamente dotato di tale
topologia. Nel seguito useremo anche la notazione D n per indicare la bolla chiusa B(0, 1) = {x ∈
Rn ∶ d(O, x) ⩽ 1} ⊆ Rn , detta anche cella n-dimensionale (di Rn ).
Osservazione 8.1. Non tutte le topologie provengono da una metrica. Inoltre, metriche distinte
possono dar luogo alla stessa topologia.
Topologia discreta
La topologia discreta è quella in cui ogni sottoinsieme è aperto.
Intorni
Sia Y un sottoinsieme dello spazio topologico X. Un sottoinsieme U di X è detto intorno di Y se
esiste un aperto A tale che Y ⊆ A ⊆ U. Si ha la seguente proposizione:
Proposizione .
A è aperto se e solo se è intorno di ogni suo punto.
Dimostrazione. Se A è un aperto, è intorno di ogni suo punto per la definizione stessa di intorno.
Viceversa, se per ogni punto x ∈ A esiste un aperto Ux tale che x ∈ Ux ⊆ A, allora A = ⋃x∈A Ux ,
quindi A è aperto in quanto riunione di una famiglia di aperti.
Sottospazi
Un sottoinsieme Y di uno spazio topologico X ha una topologia naturale indotta da X in cui
un sottoinsieme B di Y è aperto se B = Y ∩ A dove A è un aperto di X. Equivalentemente un
sottoinsieme D di Y è chiuso se D = Y ∩C, dove C è un chiuso di X. Diremo che Y è un sottospazio
di X quando è dotato di questa topologia, che è detta topologia indotta.
Nel seguito tutti i sottoinsiemi di Rn si considereranno tacitamente dotati della topologia indotta.
Per esempio: S 1 è il cerchio di raggio unitario nel piano R2 con la topologia indotta.
. Continuità
Un’applicazione f da uno spazio topologico X ad uno spazio topologico Y si dice continua se la
controimmagine di un aperto di Y è un aperto di X, cioè se
A aperto in Y Ô⇒ f −1 (A) aperto in X
96
. Continuità
Se f ∶ X → Y, g∶ Y → Z sono funzioni continue, allora è immediato verificare che la composizione
g ○ f ∶ X → Z è continua.
Due spazi topologici X ed Y si dicono omeomorfi se esiste un’applicazione f da X in Y che è
biunivoca e bicontinua (cioè anche l’inversa f −1 è continua). L’applicazione f è detta omeomorfismo.
Esempi
. La retta reale R è omeomorfa all’intervallo (−1, +1) attraverso la funzione f definita da
f (x) =
x
1 + ∣x∣
Analogamente si mostra che ogni bolla aperta di R è omeomorfa ad R e, più in generale,
che ogni bolla aperta di Rn è omeomorfa ad Rn .
. Il cerchio S 1 meno un punto N, cioè S 1 ∖ {N}, è omeomorfo alla retta reale R attraverso la
proiezione da N sulla retta tangente ad S 1 nel punto diametralmente opposto ad N.
N
S
. La sfera S meno un punto N è omeomorfa al piano R2 attraverso la proiezione da N sul
piano tangente ad S 2 nel punto diametralmente opposto ad N.
2
. C è omeomorfo ad R2 attraverso l’applicazione z = x + i y ↦ (x, y).
. Mn (R) è in corrispondenza biunivoca con Rn se fissiamo un ordine fra gli elementi a i, j
delle matrici di Mn (R). Per esempio, possiamo ordinare gli elementi da sinistra a destra e
2
dall’alto in basso. In tal modo, possiamo identificare Mn (R) con Rn come spazi topologici.
2
Analogamente Mn (C) è identificato con Cn . Dato che C è omeomorfo ad R2 , Mn (C) è
2
identificabile a R2n .
2
. SU(2) ha una topologia indotta da GL2 (C) che a sua volta è un sottospazio topologico
di M2 (C) identificato con C4 . Una matrice P = ( ac db ) appartiene a SU(2) se PP ∗ = I e
det(P) = 1. Questo significa che d = ā, c = −b̄ e che ∣a∣2 + ∣b∣2 = 1. Se poniamo allora
a = x1 + ix2 e b = x3 + ix4 , possiamo associare a P il punto (x1 , x2 , x3 , x4 ) di R4 : tale punto
giace su S 3 . Otteniamo in questo modo un omeomorfismo tra SU(2) ed S 3 .
Prodotti
Siano X ed Y due spazi topologici. Lo spazio prodotto X × Y è l’insieme prodotto X × Y dotato
della topologia in cui un sottoinsieme è aperto se riunione di insiemi che sono il prodotto di
97
Spazi topologici
un aperto di X per un aperto di Y. Con tale definizione, le proiezioni di X × Y su X ed Y sono
continue.
Lasciamo per esercizio la verifica delle seguenti proposizioni.
Proposizione .
Un sottoinsieme Z di X × Y è intorno di un suo punto (x, y) se esiste un aperto A in X contenente
x ed un aperto B in Y contenente y tali che A × B ⊆ Z.
Proposizione .
Dato y in Y, X × {y} è omeomorfo ad X attraverso l’applicazione (x, y) ↦ x.
Proposizione .
Sia Z uno spazio topologico ed f ∶ Z → X, g∶ Z → Y due applicazioni. Allora l’applicazione
h(z) = ( f (x), g(x)) da Z ad X × Y è continua se e solo se f e g sono continue.
Continuità locale
Sia f un’applicazione fra due spazi topologici X ed Y, e siano x un punto di X ed y = f (x).
Diciamo che f è continua in x se per ogni intorno V di y esiste un intorno U di x tale che
f (U) ⊆ V. Equivalentemente, f è continua in x se la controimmagine f −1 (V) di un intorno V
qualsiasi di y è un intorno di x. Il legame tra continuità locale e globale è dato dalla seguente
Proposizione .
Una funzione f è continua se e solo se lo è in ogni punto.
Dimostrazione. Supponiamo f continua. Dato un intorno V del punto y = f (x), esso contiene
un aperto B con y ∈ B. Dato che f è continua, l’insieme A = f −1 (B) è aperto. Inoltre A contiene
x, quindi è un intorno di x. Si ha f (A) ⊆ B ⊆ V, quindi f è continua in x.
Supponiamo ora che f sia continua in ogni punto. Sia D un aperto di Y ed E = f −1 (D). Dato
x ∈ E, sia y = f (x) la sua immagine, che quindi appartiene a D. L’insieme D è un intorno di y e
quindi per la continuità in x esiste un intorno Ux di x tale che f (Ux ) ⊆ D. Ciò significa che Ux è
contenuto in E e perciò E è un intorno di x. Data l’ipotesi, E è intorno di ogni suo punto. Per la
proposizione 8.2, E è aperto.
Esempio
I polinomi, o più in generale tutte le funzioni incontrate in analisi per le quali è stata verificata
la continuità locale, sono dunque funzioni continue. Per esempio, la funzione det∶ Mn (R) → R,
che associa ad ogni matrice A il suo determinante det(A), è continua essendo un polinomio negli
elementi a i, j della matrice. Da questo segue che l’insieme GLn (R) è un aperto in Mn (R) in quanto
controimmagine dell’aperto R ∖ {0} di R attraverso la funzione determinante.
98
. Chiusura ed interno
Convergenza
Dato uno spazio topologico X, diciamo che la successione {a n }n∈N converge ad a se per ogni
intorno aperto U di a esiste ν (dipendente da U) tale che per ogni n > ν, a n ∈ U. Scriviamo anche
a n → a. Chiamiamo a limite della successione.
Se X è uno spazio metrico ed ε > 0, B(a, ε) è un intorno aperto di a, per cui se a n → a, esiste ν
dipendente da ε tale che per ogni n > ν, a n ∈ B(a, ε), cioè d(a n , a) < ε. Viceversa, ogni intorno
aperto di a contiene una bolla B(a, ε) con ε > 0. Abbiamo così verificato che in uno spazio metrico
a n converge ad a se e solo se per ogni ε > 0 esiste ν tale che per ogni n > ν, d(a n , a) < ε. In
particolare, in uno spazio metrico il limite di una successione — se esiste — è unico; questo non è
vero in generale: vedi gli esercizi 8.12, 10.6 e 10.7.
Proposizione .
Una funzione f da uno spazio metrico X in uno spazio topologico Y è continua nel punto x ∈ X
se e solo se f (x n ) → f (x) per ogni successione convergente x n → x.
Dimostrazione. Supponiamo che f sia continua in x e sia V ⊆ Y un intorno di f (x). Se U = f −1 (V),
allora U è un intorno di x, e quindi esiste ν tale che per ogni n > ν, x n ∈ U. Allora, per gli stessi n,
f (x n ) ∈ V.
Supponiamo invece che f mandi successioni convergenti ad x in successioni convergenti ad
y = f (x).
Supponiamo che f non sia continua in x. Perciò esiste un intorno V di y tale che, qualsiasi sia U
intorno di x, esiste x ′ ∈ U con f (x ′ ) ∈/ V. In particolare, se U = B(x, 2−n ), c’è x n con d(x, x n ) < 2−n
ed f (x n ) ∈/ V. Quindi x n → x mentre f (x n ) non converge a y, contrariamente alle ipotesi.
Abbiamo così mostrato che f è continua in x.
. Chiusura ed interno
Chiusura e punti aderenti
Sia Y un sottoinsieme di uno spazio topologico X. La chiusura di Y, che indichiamo con Ȳ, è
l’intersezione di tutti i chiusi contenenti Y. È un insieme chiuso contenuto in ogni chiuso che
contiene Y. Un punto x di X è aderente ad Y se ogni intorno U di x ha intersezione non vuota
con Y.
Proposizione .
La chiusura di un sottoinsieme Y è l’insieme dei punti aderenti ad Y.
Dimostrazione. Sia Z il complementare della chiusura di Y: è un aperto ed è il più grande aperto
avente intersezione vuota con Y. Sia T il complementare dell’insieme dei punti aderenti ad Y.
Se z ∈ Z allora z non è aderente ad Y perché Z è un suo intorno che non interseca Y. Quindi
z ∈ T e Z ⊆ T. Se t ∈ T allora esiste un intorno U di t, che possiamo supporre aperto, avente
99
Spazi topologici
intersezione vuota con Y. Segue che U ⊆ Z e che Z e T coincidono, e quindi che coincidono anche
i loro complementari.
Esempi
. Sia X uno spazio metrico con metrica d. Dato un punto x di X ed un sottoinsieme Y ⊆ X,
definiamo d(x, Y) ∶= inf y∈Y {d(x, y)} Allora la chiusura di Y è l’insieme dei punti x tali
che d(x, Y) è zero.
. La chiusura della riunione di due sottoinsiemi è la riunione delle loro chiusure.
. La chiusura dell’intersezione di due sottoinsiemi è contenuta, ma in generale non coincide,
con l’intersezione delle chiusure.
Lasciamo per esercizio al lettore la dimostrazione della seguente
Proposizione .
Sia Y un sottoinsieme dello spazio X. Valgono le seguenti proprietà:
.
.
.
.
.
Se Z ⊆ Y allora la chiusura di Z in Y è l’intersezione di Y con la chiusura di Z in X.
Y è aperto se e solo se ogni aperto di Y è aperto in X.
Y è chiuso se e solo se ogni chiuso di Y è chiuso in X.
Y è un intorno di y in X se e solo se ogni intorno di y in Y è intorno di y in X.
Se X è uno spazio metrico con metrica d, la restrizione di tale metrica ad Y induce la topologia
indotta.
Interno
Dato un sottoinsieme Y di uno spazio topologico X, l’interno di Y, che denotiamo Y̊, è l’insieme
dei punti per i quali Y è un intorno. Tale insieme è un aperto ed è il più grande aperto contenuto
in Y: infatti, se facciamo la riunione di tutti gli aperti contenuti in Y otteniamo un aperto, ed Y è
intorno di ciascun punto questo aperto. Viceversa, l’insieme dei punti per i quali Y è un intorno è
aperto: infatti, se Y è intorno di y allora esiste un aperto B tale che y ∈ B ⊆ Y e quindi Y è intorno
per tutti i punti di B.
Osserviamo che lo spazio X è la riunione disgiunta di Y̊ e di X ∖ Y.
Ovviamente un insieme è aperto quando coincide col proprio interno.
Punti di accumulazione
Sia Y un sottoinsieme dello spazio topologico X. Un punto x è un punto di accumulazione, o
punto limite, di Y se ogni intorno di x contiene almeno un punto di Y diverso da x. L’insieme di
tali punti si chiama il derivato di Y e si denota con D(Y). La chiusura di Y coincide con Y ∪ D(Y).
Un punto y ∈ Y è isolato (in Y) se esiste un intorno U di y tale che U ∩ Y = {y}. L’insieme dei
punti isolati di Y si denota con Y∗ . Avremo Y∗ ∩ D(Y) = ∅ e Ȳ = Y∗ ∪ D(Y).
100
. Chiusura ed interno
Frontiera
La frontiera di un sottoinsieme Y di uno spazio X è l’insieme chiuso ottenuto con l’intersezione
della chiusura di Y e della chiusura del complementare di Y. Tale insieme è indicato col simbolo
F(Y). Lasciamo al lettore la verifica che Ȳ è la riunione disgiunta di Y̊ e F(Y); e che, analogamente,
X è la riunione disgiunta di Y̊, (X ∖ Y)˚e F(Y). La frontiera di D n = B(0, 1) ⊆ Rn è la sfera unitaria
S n−1 in Rn : tale insieme è anche detto il bordo di D n e indicato col simbolo ∂D n .
Insiemi densi
Un sottoinsieme D di X è denso (in X) se la sua chiusura coincide con X. Equivalentemente, D è
denso se ha intersezione non vuota con ogni aperto non vuoto di X.
Esempi
. Q è denso in R. Infatti, dato un aperto non vuoto qualsiasi U di R, possiamo sempre trovare
un numero razionale in U: sia B(x0 , ε) una bolla aperta in U e sia n un intero tale che
1/n < ε; allora il numero razionale ⌊nx0 ⌋/n ∈ B(x0 , ε) ⊆ U, dove ⌊x⌋ indica la parte intera
di x.
. GLn (R) è denso in Mn (R). Sia Ω un aperto non vuoto di Mn (R) (che identifichiamo
2
come al solito con Rn ). Vogliamo dimostrare che Ω ∩ GLn (R) non è vuoto. Sia A ∈ Ω:
2
se det(A) ≠ 0, abbiamo finito. Se det(A) = 0, sia L la retta in Rn che congiunge A con il
punto corrispondente alla matrice I (la matrice identità) e sia t un parametro su L: quindi
le coordinate dei punti di L sono polinomi di primo grado in t. La funzione determinante,
ristretta ad L è un polinomio in t; tale polinomio ha uno zero nel punto A ed assume il
valore 1 in corrispondenza di I, quindi non è identicamente nullo ed ha al più n radici, le
quali corrispondono a punti di L. L’intersezione di L con Ω contiene un intervallo aperto
contenente A in cui la funzione determinante è diversa da zero, tranne che in un numero
finito di punti; possiamo così trovare B ∈ Ω con det B ≠ 0.
. GLn (C) è denso in Mn (C). Si può dimostrare esattamente come nel caso reale. Diamo
inoltre una seconda dimostrazione più diretta. Vogliamo dimostrare che la chiusura di
GLn (C) è Mn (C): sia A ∈ Mn (C) ∖ GLn (C), cioè det(A) = 0. Essendo C algebricamente
chiuso, A è simile ad una matrice triangolare, cioè A = CSC −1 dove C ∈ GLn (C) e
⎛ λ1
⎞
⎜. . . ⋱
⎟
⎜
⎟
⎜. . . . . . . λr
⎟
⎟
S=⎜
⎜. . . . . . . . . . . 0
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜. . . . . . . . . . . . . . . ⋱ ⎟
⎝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0⎠
Sia S ε la matrice ottenuta da S sostituendo i termini diagonali nulli con ε: chiaramente
S ε ∈ GLn (C), quindi CS ε C −1 ∈ GLn (C) e
lim CS ε C −1 = CSC −1 = A
ε→0
101
Spazi topologici
Esercizi
Esercizio 8.1. Sia f ∶ X → Y. Si dimostri che f è continua se e solo se per ogni chiuso C in Y, f −1 (C)
è chiuso in X.
Esercizio 8.2. Si dimostri che la definizione data di aperti in uno spazio metrico definisce effettivamente una topologia.
Esercizio 8.3. Si dimostri che una bolla Bd (x0 , ε) è un aperto nella topologia determinata dalla
metrica d.
Esercizio 8.4. Siano X e Y due spazi metrici dotati, rispettivamente, delle metriche dX e dY .
Definiamo un’applicazione d = dX ×dY ∶ (X×Y)×(X×Y) Ð→ R+ ponendo d((x, y), (x ′ , y′ )) =
max{dX (x, x ′ ), dY (y, y′ )}. Si dimostri che d è una metrica, detta metrica prodotto.
Esercizio 8.5. Si dimostri che due metriche d e d ′ di uno spazio X inducono la stessa topologia su
X se e solo se per ogni punto x ∈ X e per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che
Bd (x0 , δ) ⊆ Bd ′ (x0 , ε),
Bd ′ (x0 , δ) ⊆ Bd (x0 , ε)
In tal caso diciamo che le due metriche sono equivalenti.
Esercizio 8.6. Sia d ′ la metrica prodotto di R2 = R × R. Si dimostri che d ′ è equivalente alla metrica
euclidea.
Esercizio 8.7. Si dimostrino le proposizioni 8.3, 8.4 e 8.5.
Esercizio 8.8. Dato uno spazio topologico X, definiamo una metrica
⎧
⎪
⎪0
d(x, y) = ⎨
⎪
⎪
⎩1
se x = y
se x ≠ y
Si dimostri che questa metrica discreta induce la topologia discreta su X.
Esercizio 8.9. Sia Y un sottoinsieme dello spazio metrico X. Chiamiamo diametro di Y la quantità
d(Y) = supx,y∈Y {d(x, y)}. Si dimostri che se Y ha diametro inferiore ad ε e la sua intersezione
con B(x, ε) è non vuota, allora Y ⊆ B(x, 2ε).
Esercizio 8.10. Sia X uno spazio metrico ed Y un suo sottoinsieme. Si mostri che la funzione
d ∶ X → R+ che manda x ↦ d(x, Y) è continua.
Esercizio 8.11. Si determini l’interno, la chiusura e l’insieme derivato dei seguenti spazi topologici:
. L’insieme Q dei numeri razionali (con la topologia indotta da R).
. Il disco puntato D ∖ {O}, dove D è l’insieme B(0, 1), cioè il disco unitario di R2 e O è
l’origine.
. X = {(x, y) ∈ R2 ∶ x > 0, y > 0, x y < 1}
Esercizio 8.12. Sia X uno spazio metrico. Si mostri che se a n → a è una successione convergente,
allora a è l’unico punto limite dell’insieme {a n }.
Esercizio 8.13. Dati i polinomi f1 , . . . , f k ∈ R[x1 , . . . , x n ] non identicamente nulli sia
Z = {(x1 , . . . , x n ) ∶ f i ((x1 , . . . , x n )) = 0, per ogni i = 1, 2, . . . , k}
Dimostrare che Rn ∖ Z è denso in Rn .
102
. Chiusura ed interno
Esercizio 8.14. Dare un esempio di una funzione f ∶ R → R continua e non costante tale che
l’insieme R ∖ {x ∶ f (x) = 0} non sia denso in R.
Esercizio 8.15. Dimostrare che le matrici diagonalizzabili formano un insieme denso in M2 (C).
(Suggerimento: si considerino le matrici con autovalori distinti). Si dimostri anche che le matrici
diagonalizzabili non sono dense in M2 (R)
Esercizio 8.16. Sia Y il sottoinsieme delle matrici diagonalizzabili in Mn (R). Dimostrare che Y̊ è
l’insieme delle matrici con autovalori distinti.
103
Spazi topologici
104
Spazi Quozienti
Sia X uno spazio topologico e ∼ una relazione di equivalenza in X. Sia Y l’insieme quoziente X/∼ e p
l’applicazione canonica da X ad Y. Vogliamo dotare Y di una topologia in modo che l’applicazione
p sia continua, assegnando ad Y il maggior numero possibile di aperti compatibilmente con questa
condizione. Proviamo a definire la topologia di Y nel modo seguente:
A ⊆ Y è aperto se p−1 (A) è aperto in X
Si verifica facilmente che si ottiene in tal modo una topologia su Y che soddisfa le condizioni volute.
Tale topologia è detta topologia quoziente. (Si verifichi che, con tale definizione, un sottoinsieme
Z di Y è chiuso se e solo se p−1 (Z) è chiuso in X.)
Dato un sottoinsieme B di X, la sua saturazione S(B) rispetto a ∼ è l’insieme costituito da tutti
gli elementi equivalenti agli elementi di B. Cioè S(B) = {y tali che y ∼ x, al variare di x in B}. Se
B = S(B) diremo che B è saturo. Vediamo dunque che gli aperti del quoziente sono le immagini
degli aperti saturi di X. Si osservi che in generale la saturazione di un aperto non è un aperto.
La proprietà fondamentale dei quozienti è descritta nella seguente
Proposizione .
Sia X uno spazio topologico, Y il suo quoziente rispetto alla relazione di equivalenza ∼ e p
l’applicazione canonica da X ad Y. Siano f ∶ X → Z e g∶ Y → Z due applicazioni in uno spazio
Z tali che f = g p. Allora f è continua se e solo se g è continua.
X?
??
??
p ??
f
Y
/Z
?
g
Dimostrazione. Se g è continua, anche f lo è in quanto composizione di due applicazioni continue.
Supponiamo f continua. Sia A un aperto di Z. Allora f −1 (A) è aperto. ma f −1 (A) = p−1 (g −1 (A)).
Dunque l’insieme g −1 (A) è un aperto di Y per la definizione di topologia quoziente. Segue che g è
continua.
Osservazione 9.2. Data un’applicazione f ∶ X → Z, l’applicazione g∶ X/∼ → Z tale che f = g p
esiste se e solo se f (x) = f (y) ogni volta che x ∼ y. In tal caso, g è unica e possiamo applicare la
proposizione.
105
Spazi Quozienti
Esempi
. Sia I l’intervallo chiuso [0, 1] e ∼ la relazione che identifica i due punti 0 e 1. Allora I/∼ è
omeomorfo al cerchio S 1 .
. Otteniamo lo stesso quoziente partendo da R con la relazione che identifica due punti le cui
coordinate differiscono per un intero.
. Sia I × I il quadrato {(x, t) ∶ x, t ∈ [0, 1]} e definiamo la seguente relazione di equivalenza:
(0, t) ∼ (1, t), mentre se x ≠ 0, 1, (x, t) è equivalente solo a se stesso. Lo spazio quoziente è
omeomorfo al cilindro S 1 × I.
Graficamente, la relazione di equivalenza sarà rappresentata nel modo seguente:
Dove le freccie indicano i lati da identificare.
. Sia I × I come nell’esempio precedente e definiamo una relazione di equivalenza in cui
(0, t) ∼ (1, 1 − t). Graficamente
Dove i lati con le frecce vanno identificati seguendo il verso di percorrenza indicato. Lo
spazio quoziente è detto banda di Möbius. Il bordo della banda di Möbius è per definizione
l’immagine nel quoziente dei due lati che non vengono identificati: tale insieme è omeomorfo
ad S 1 .
. Sia I × I come sopra e definiamo una relazione d’equivalenza in cui (0, t) ∼ (1, t) e (x, 0) ∼
(x, 1). Graficamente
106
. Quozienti e sottospazi
Lo spazio quoziente T è detto toro ed è omeomorfo a S 1 × S 1 .
. Sia I × I come sopra e definiamo una relazione d’equivalenza in cui (0, t) ∼ (1, 1 − t) e
(x, 0) ∼ (x, 1). Graficamente
Lo spazio quoziente è la bottiglia di Klein.
. Un esempio molto importante è lo spazio proiettivo reale di dimensione n, Pn (R) così
definito: sia X lo spazio Rn+1 ∖{O}, costituito dai vettori non nulli di Rn+1 ; consideriamo due
vettori non nulli u e v equivalenti se esiste uno scalare α (necessariamente diverso da zero)
tale che u = αv e definiamo Pn (R) come il quoziente di X con questa relazione di equivalenza.
Lo spazio ottenuto può essere pensato come l’insieme delle rette in Rn+1 passanti per l’origine,
dotato della topologia quoziente. Si ottiene lo stesso quoziente partendo dalla sfera S n ⊆ Rn+1
ed identificando punti antipodali (vedi l’esempio che segue la proposizione 9.3).
Un sottoinsieme B ⊆ Rn+1 ∖ {O} è saturo quando è della forma B = (⋃i∈I L i ) ∖ {O}, dove
L i è una retta per l’origine.
. Quozienti e sottospazi
Sia X uno spazio su cui è definita una relazione di equivalenza ∼ ed Y un sottospazio di X.
Indichiamo con lo stesso simbolo la relazione indotta su Y. Siano pX e pY le proiezioni di X ed
Y nei loro quozienti. L’inclusione Y ⊆ X induce un’inclusione Y/∼ ⊆ X/∼. Otteniamo quindi un
diagramma commutativo:
Y ⊆ X
pY
pX
Y/∼ ⊆ X/∼
Vogliamo vedere sotto quali condizioni i due spazi quoziente sono omeomorfi. Ciò permetterà
in alcuni casi di visualizare meglio il quoziente di uno spazio X, limitandosi ad un opportuno
107
Spazi Quozienti
sottospazio Y. La prima condizione è che i due insiemi quoziente devono coincidere: questo
significa che Y deve contenere un rappresentante per ogni classe di equivalenza.
−1
Se A è un aperto di X/∼, la sua intersezione con Y/∼ è un aperto perché p−1
Y (A∩Y/∼) = Y ∩ pX (A)
−1
è un aperto di Y in quanto pX (A) è un aperto di X. Ne segue che l’inclusione Y/∼ ⊆ X/∼ è sempre
continua.
Tuttavia, anche supponendo che i due insieme quoziente coincidano, gli spazi topologici quoziente
in generale non coincidono in quanto vi possono essere degli aperti di Y/∼ che non sono aperti in
X/∼. Ad esempio, se X = [0, 1], Y = [0, 1) e la relazione ∼ è quella che identifica i due punti 0 ed 1,
allora X/∼ è isomorfo ad S 1 mentre Y/∼ coincide con Y. Questi due spazi non sono omeomorfi in
quanto uno è compatto (vedi il capitolo 11 più avanti) e l’altro no; oppure l’insieme [0, ε) con ε < 1
è aperto in Y mentre la sua immagine in X/∼ non lo è.
Dato dunque un aperto B in Y/∼, che supponiamo coincidente insiemisticamente con X/∼, vedia−1
mo che è aperto anche in X/∼ se p−1
X (B) è aperto in X. Ma pX (B) è la saturazione in X dell’insieme
−1
pY (B) che è un aperto saturo in Y. In conclusione:
Proposizione .
Dati uno spazio topologico X, un suo sottoinsieme Y ⊆ X ed una relazione d’equivalenza ∼ su X,
i due quozienti Y/∼ ed X/∼ sono omeomorfi se e solo se valgono le seguenti condizioni:
. Y contiene un rappresentante per ogni classe di equivalenza
. le saturazioni in X degli aperti saturi di Y sono aperti in X.
Esempio
Un caso in cui le due condizioni sono verificate è quello di Pn (R) descritto nell’esempio 7 di
pagina 107 come quoziente di Rn+1 ∖ {O} oppure come quoziente di S n . Nel caso n = 2, lo spazio
P2 (R) è anche il quoziente del disco chiuso di R2 , cioè dell’insieme B(O, 1) = D 2 , rispetto alla
relazione che identifica punti antipodali del bordo S 1 . Infatti, consideriamo la sfera
3
S 2 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 ∶ ∑ x i2 = 1}
i=1
Allora la semisfera chiusa
S+2 = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ S 2 ∶ x1 ⩾ 0}
è omeomorfa a D 2 attraverso la proiezione sul piano (x2 , x3 ). Attraverso tale omeomorfismo il
bordo di D2 corrisponde all’insieme dei punti di S+2 con x1 = 0. La relazione d’equivalenza ∼
identifica due punti antipodali di tale bordo e al sottospazio S+2 possiamo applicare la proposizione
precedente.
. Azione di gruppi su spazi topologici
Sia G un gruppo ed X uno spazio topologico. Diciamo che X è un G-spazio se esiste un’azione di
G su X con omeomorfismi di X, cioè se esiste un omomorfismo di gruppi φ∶ G → Omeo(X), dove
108
. Azione di gruppi
quest’ultimo indica il gruppo degli omeomorfismi di X, che è un sottogruppo del gruppo T(X)
delle applicazioni biunivoche di X in sé. Se x è un punto di X e g ∈ G indichiamo φ(g)(x) con gx.
Analogamente, se Y ⊆ X, indichiamo con gY l’insieme degli elementi della forma g y, dove y ∈ Y.
Indichiamo poi con X/G lo spazio quoziente rispetto alla relazione di equivalenza: x ∼ y se esiste
g ∈ G tale che y = gx. Tale spazio è quindi lo spazio delle orbite dotato della topologia quoziente.
Per questo importante tipo di quoziente vale il seguente:
Teorema .
Sia X un G-spazio e p ∶ X → X/G l’applicazione canonica. Allora:
. p è un’applicazione aperta, cioè manda aperti in aperti
. se G è finito, p è anche chiusa, cioè manda chiusi in chiusi.
Dimostrazione.
. Dato un aperto A in X, la sua immagine p(A) è aperta in X/G perché p−1 (p(A)) è la
riunione della famiglia di sottoinsiemi gA, al variare di g in G, ciascuno dei quali è aperto
perché φ(g) è un omeomorfismo.
. Dato un chiuso C in X, ragioniamo come in 1. Dato che G è finito, dobbiamo fare la riunione
di un numero finito di chiusi, che è un chiuso.
Osservazione 9.5. Si noti che in generale l’applicazione di passaggio al quoziente non è né chiusa
né aperta.
Esercizi
Esercizio 9.1. Si verifichi che l’insieme Omeo(X) degli omeomorfismi di uno spazio topologico X
in sé forma un gruppo.
Esercizio 9.2. Si dimostri che in generale l’applicazione canonica p ∶ X → X/∼ non è né aperta né
chiusa.
Esercizio 9.3. Sia f un’applicazione continua e chiusa da X in Y. Sia y un punto di Y ed U un aperto
di X contenente f −1 (y). Dimostrare che esiste un aperto V ⊆ Y contenente y tale che f −1 (V) ⊆ U.
Esercizio 9.4. Si mostri che «incollando» due bande di Möbius lungo il bordo si ottiene una bottiglia
di Klein.
Esercizio 9.5. Sia X lo spazio ottenuto dalla sfera S 2 togliendo due calotte sferiche aperte disgiunte e
simmetriche rispetto all’origine. Si verifichi che lo spazio Y ottenuto da X modulo l’identificazione
antipodale è una banda di Möbius e che Y è un sottospazio di P2 (R).
109
Spazi Quozienti
110
Separazione
Uno spazio topologico X si dice separato (oppure di Hausdorff, oppure T2) se, dati due punti
distinti x ed y esiste un intorno U di x ed un intorno V di y tali che U ∩ V = ∅.
y
x
U
V
In particolare si verifica facilmente che
Proposizione .
Ogni spazio metrico è separato.
Notiamo che se X è separato ed x ∈ X, l’insieme X ∖ {x} è aperto, in quanto intorno di ogni suo
punto: quindi {x} è chiuso. Più in generale abbiamo la seguente proposizione.
Proposizione .
. Se X è separato, ogni sottospazio è separato.
. Se X è separato, ogni suo punto è chiuso.
. Gli spazi X e Y sono separati se e solo se lo spazio prodotto X × Y è separato.
Dimostrazione. La verifica del punto 1 è immediata.
Supponiamo ora che X sia separato e sia x ∈ X; dato un punto y ≠ x di X esistono due intorni U
di x e V di y tali che U ∩ V = ∅. L’insieme X ∖ {x} è dunque un intorno di ciascun suo punto y,
quindi è aperto.
Supponiamo ora che X ed Y siano separati e siano z1 = (x1 , y1 ) e z2 = (x2 , y2 ) due punti distinti
di X × Y. Possiamo supporre x1 ≠ x2 : esistono quindi due aperti disgiunti U1 ed U2 in X tali che
x1 ∈ U1 e x2 ∈ U2 . Gli insiemi U1 × Y ed U2 × Y sono aperti disgiunti in X × Y e contengono,
rispettivamente, z1 e z2 . Supponiamo, viceversa, che X × Y sia separato e fissiamo un punto y ∈ Y;
allora, per il punto 1, lo spazio X × {y} è separato in quanto sottospazio di X × Y; d’altra parte,
sappiamo che X è omeomorfo a X × {y} ed è perciò separato. Analogamente per Y.
111
Separazione
Corollario .
Sia X uno spazio topologico ed { f i }i∈I una famiglia di applicazioni continue di X in uno spazio
separato Y. Per ogni y in Y, l’insieme C = {x ∈ X ∶ f i (x) = y, ∀i ∈ I} è chiuso.
Dimostrazione. Infatti C è l’intersezione dei sottoinsiemi Ci = {x ∈ X ∶ f i (x) = y}, ciascuno dei
quali è chiuso perché controimmagine del chiuso {y} attraverso un’applicazione continua.
Spazi separati
Esempi
. Il caso tipico in cui si applica il corollario è quello in cui Y è la retta reale, f1 , . . . , f n sono
funzioni continue da X in R e C = {x ∈ X ∶ f i (x) = 0, ∀i}. In tal caso l’insieme C è anche
detto l’insieme degli zeri delle funzioni f1 , . . . , f n
. Se Y è la retta reale ed f una funzione continua da X in R, allora per ogni a ∈ R, l’insieme
{x ∈ X ∶ f (x) = a} è chiuso. Segue che GLn (R) è aperto in Mn (R) perché complementare
dell’insieme {A ∈ Mn (R) ∶ det(A) = 0}.
. Se identifichiamo M2 (R) con R4 , allora O(2) è chiuso. Infatti se P = ( ac db ), la condizione
P tP = I diventa a 2 + b2 − 1 = 0, c 2 + d 2 − 1 = 0, ac + bd = 0.
Osservazione 10.4. Il quoziente X/∼ di uno spazio separato X rispetto ad una relazione d’equivalenza ∼ in generale non è separato (vedi l’esercizio 10.5). Abbiamo tuttavia il seguente importante:
Esempio
Lo spazio proiettivo Pn (R) è separato. Verifichiamolo per n = 2, il caso analogo essendo del tutto
analogo. Siano S ed T due rette distinte per l’origine di R3 . Siano P e −P i punti d’intersezione
di S con S 2 , Q e −Q i punti d’intersezione di T con S 2 . Scegliamo una calotta sferica aperta C
centrata in P ed una calotta sferica aperta D centrata in Q tali che gli insiemi C, −C, D e −D siano
disgiunti. Sia A l’insieme delle rette per l’origine passanti per i punti di C (e quindi di −C) e B
l’insieme delle rette per l’origine passanti per i punti di D (e quindi di −D). Gli insiemi A ∖ {O} e
B ∖ {O} sono aperti saturi di R3 ∖ {O} le cui immagini in P2 (R) separano le immagini di S ∖ {O}
e di T ∖ {O}. Vedremo in seguito un altro metodo per dimostrare lo stesso risultato.
Proposizione .
Uno spazio topologico X è separato se e solo se ∆ è chiuso in X × X, dove ∆ è il sottoinsieme di
X × X formato dalle coppie (x, y) con y = x.
Dimostrazione. Esercizio per il lettore.
Proposizione .
Siano f e g due applicazioni continue da uno spazio X in uno spazio separato Y. Allora l’insieme
Z = {x ∈ X ∶ f (x) = g(x)} è chiuso in X.
112
Dimostrazione. Sia y un punto del complementare di Z. Dunque f (y) ≠ g(y). Essendo Y separato,
esistono un intorno U di f (y) ed un intorno V di g(y) che non s’intersecano. Segue che l’aperto
f −1 (U) ∩ g −1 (V) è contenuto nel complementare di Z, cioè il complementare di Z è aperto.
Corollario .
Nelle stesse ipotesi della proposizione, se f ≡ g su un sottoinsieme denso D, allora f ≡ g.
Esempio
Siano A e B due matrici in Mn (K) (K = R o C). Dimostriamo che i polinomi caratteristici di AB e
BA coincidono. Siano f (x) = a n x n +⋅ ⋅ ⋅+a0 il polinomio caratteristico di AB e g(x) = b n x n +⋅ ⋅ ⋅+b0
quello di BA. Sappiamo che a n = b n = (−1)n e a0 = b0 = det(AB) = det(BA). È chiaro che
a i = a i (A, B) e b i = b i (A, B) dipendono in modo continuo da A e B.
Se B è invertibile allora AB = B−1 BAB, quindi AB è simile a BA; ne segue che i due polinomi
coincidono. Quindi, se fissiamo A, a i (A, B) = b i (A, B) per ogni B ∈ GLn (K). Per la densità di
GLn (K) in Mn (K), l’uguaglianza vale per ogni B ∈ Mn (K).
Facendo variare A si ottiene il risultato.
Esercizi
Esercizio 10.1. Diciamo che uno spazio topologico X è T1 se dati due punti distinti x ed y esiste un
intorno U di x ed un intorno V di y tali che x ∈/ V ed y ∈/ U. Si verifichi che uno spazio separabile è
T1, ma che non vale il viceversa.
x
U
y
V
Esercizio 10.2. Si dimostri che X è T1 se e solo se ogni punto x è chiuso.
Esercizio 10.3. Si dimostri la proposizione 10.2.
Esercizio 10.4. Si dimostri che O(n) e SO(n) sono chiusi in Mn (R) e che U(n) e SU(n) sono
chiusi in Mn (C).
Esercizio 10.5. Sia X = {(x, y) ∈ R2 ∶ x 2 = 1} e definiamo una relazione d’equivalenza ∼ su X come
(x, y) ∼ (x ′ , y′ ) se y = y′ ≠ 0. Si dimostri che X/∼ non è separato.
Esercizio 10.6. Si dimostri che se, in uno spazio separato X, la successione {a n } converge ad a e
ad a ′ allora a = a ′ .
Esercizio 10.7. Sia dia un esempio di una successione {a n } in uno spazio topologico X (necessariamente non separato) convergente a due punti a e a ′ distinti.
113
Separazione
Esercizio 10.8. Sia X uno spazio topologico separato. X è detto regolare se, dati un punto x ed un
chiuso C non contenente x, esistono due aperti disgiunti A, B tali che x ∈ A e C ⊆ B.
X è detto normale se dati due chiusi disgiunti C, D, esistono due aperti disgiunti A, B tali che
C ⊆ A e C ⊆ B. (È chiaro che normale implica regolare.)
Si dimostri che ogni spazio metrico è normale. (Suggerimento: utilizzare le distanze da C e da D)
Esercizio 10.9. Sia X uno spazio topologico ed x ∈ X. Una famiglia {Ui }i∈I di intorni di x è detta
sistema fondamentale di intorni di x se ogni intorno di x contiene un intorno Ui per qualche i.
. Se X è metrico, si verifichi che ogni punto x ha un sistema fondamentale di intorni numerabile.
. Si dimostri che uno spazio separato X è regolare se e solo se ogni punto x ∈ X ha un sistema
fondamentali di intorni chiusi.
Esercizio 10.10. Sia X uno spazio separato. Si dimostri che se ogni punto di X ha un intorno
chiuso che è regolare (nella topologia indotta) allora X è regolare. (Suggerimento: utilizzare
l’esercizio 10.9.2)
114
Compattezza
Spazi compatti
Un ricoprimento di uno spazio topologico X è una famiglia {Ui }i∈J di sottoinsiemi la cui unione è
X: si dirà aperto se ogni Ui è aperto. Un sottoricoprimento è un ricoprimento {U j } j∈J dove J ⊆ I.
Diciamo che uno spazio X è compatto se da ogni suo ricoprimento aperto {Ui }i∈I è possibile
estrarre un sottoricoprimento finito.
Se X è uno spazio metrico ed A un sottoinsieme di X, chiamiamo diametro di A la quantità
d(A) = supx,y∈A {d(x, y)}. Un insieme A si dice limitato se il suo diametro è finito.
Teorema .
Gli intervalli chiusi e limitati [a, b] della retta reale R sono compatti.
Dimostrazione. Dimostriamo il teorema solo nel caso dell’intervallo [0, 1], il caso generale essendo
del tutto analogo. (Inoltre, essendo due intervalli chiusi omeomorfi, il caso generale seguirà altresì
dalla proposizione 11.3)
Supponiamo quindi che U = {Ui }i∈I sia un ricoprimento aperto di [0, 1] da cui non si possa estrarre
un sottoricoprimento finito. Dividiamo l’intervallo [0, 1] a metà e consideriamo i due sottointervalli
[0, 1/2] e [1/2, 1]: almeno uno dei due non potrà essere ricoperto con una sottofamiglia finita di U;
chiamiamo [a1 , b1 ] questo intervallo. Nello stesso modo, uno dei due intervalli [a1 , (a1 + b1 )/2] e
[(a1 + b1 )/2, b1 ] non potrà essere ricoperto da una sottofamiglia finita di U: denotiamo questo
intervallo [a2 , b2 ]. Procedendo nello stesso modo otterremo una sequenza infinita di intervalli
[a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ ⋅ ⋅ ⋅ ⊃ [a n , b n ] ⊃ . . .
Di conseguenza,
a n ⩽ a n+1 < b n+1 ⩽ b n ,
con b n − a n = 2−n
Segue che le successioni monotone a n e b n convergono rispettivamente ad a e b, con a ⩽ b. Segue
anche che b − a ⩽ 2−n per ogni n, cioè che a = b.
Poiché a ∈ [0, 1], esiste un aperto U ∈ U con a ∈ U. Essendo la topologia di [0, 1] quella indotta
dalla metrica euclidea, esiste una bolla B(a, ε) ⊆ U, per un ε > 0 opportuno. Fissiamo un intero
ν > − log2 ε, in modo che bν − aν < ε. Si verifica immediatamente che ciò implica che [aν , bν ] ⊆
B(a, ε) ⊆ U. In altre parole, l’intervallo [aν , bν ] può essere ricoperto con una sottofamiglia finita
di U, il che è impossibile.
Proposizione .
115
Compattezza
. Ogni sottospazio chiuso di un compatto è compatto.
. Ogni sottospazio compatto di uno spazio separato è chiuso.
Dimostrazione.
. Sia C un chiuso dello spazio compatto X ed {Ui }i∈I un ricoprimento aperto di C. Per ogni
indice i sia Ui = C ∩ Vi , dove Vi è un aperto di X. La famiglia {Vi }i∈I ∪ (X ∖ C) è un
ricoprimento aperto di X da cui si può estrarre un sottoricoprimento finito. Gli aperti di
tale sottoricoprimento diversi da X ∖ C ricoprono C. Intersecandoli con C otteniamo un
numero finito di aperti Ui di C che lo ricoprono.
. Sia K un compatto contenuto nello spazio separato X ed x ∈/ K. Per ogni y ∈ K esistono
un intorno V y di y ed un intorno Vx (y) di x, dipendente da y, aventi intersezione vuota.
Possiamo supporre tali intorni aperti. Dato che K è compatto, esisteranno un numero finito
di punti y1 , . . . , y n tali che K è contenuto nella riunione dei corrispondenti intorni. Se allora
Vx è l’intersezione Vx (y1 ) ∩ Vx (y2 ) ∩ ⋅ ⋅ ⋅ ∩ Vx (y n ), avremo un aperto che contiene x e che
non interseca K, quindi il complementare di K è aperto.
. Funzioni continue su compatti
Proposizione .
Sia f ∶ X → Y una funzione continua. Se X è compatto la sua immagine è uno spazio compatto.
Dimostrazione. Possiamo supporre f suriettiva. Sia V = {Vi }i∈I un ricoprimento aperto di Y.
Poniamo Ui = f −1 (Vi ) per ogni i ∈ I. Per la suriettività di f si avrà Vi = f (Ui ). Gli aperti {Ui }i∈I
formano un ricoprimento aperto di X dal quale si può estrarre un sottoricoprimento finito. Le
immagini attraverso le f degli aperti di tale sottoricoprimento formano un sottoricoprimento
finito estratto da V. Quindi f (X) è compatto.
Teorema .
Due spazi X e Y sono compatti se e solo se il loro prodotto X × Y è compatto.
Dimostrazione. Supponiamo compatto il prodotto X × Y. Essendo la proiezione su ciascun fattore
continua, per la proposizione 11.3 anche X ed Y sono compatti.
Supponiamo ora i due fattori compatti e che il ricoprimento sia della forma {Ui × Vi }i∈I . Per ogni
x ∈ X, {x}×Y è compatto essendo omeomorfo ad Y. Ma {Ui ×Vi }i∈I ricopre {x}×Y, per cui esiste
un sottoinsieme finito I(x) ⊆ I tale che {Ui × Vi }i∈I(x) ricopre {x} × Y. Sia Ux l’aperto ⋂i∈I(x) Ui
di X; quindi {Ux }x∈X è un ricoprimento aperto di X da cui possiamo estrarre un sottoricoprimento
finito Ux1 , . . . , Ux m . Se poniamo I ′ = ⋃m
k=1 I(x k ), abbiamo trovato un sottoricoprimento finito
{Ui × Vi }i∈I ′ di X × Y. Infatti, fissato una coppia qualsiasi (x, y) ∈ X × Y, avremo che x ∈ Ux k
per qualche k; essendo (x k , y) in {x k } × Y, avremo y ∈ Vi , per un opportuno i ∈ I(x k ); ma
x ∈ Ux ⊆ Ui , con lo stesso i e quindi (x, y) ∈ Ui × Vi .
116
. Funzioni continue su compatti
Dimostriamo infine che dato un ricoprimento aperto qualsiasi {W j } j∈J di X × Y possiamo estrarne
un sottoricoprimento finito {W j } j∈J ′ . Per definizione, ogni W j = ⋃i∈I( j) Ui × Vi , dove Ui e Vi
sono aperti, rispettivamente, di X e Y, mentre I( j) è un insieme d’indici dipendente da j. Posto
I = ⋃ j I( j), abbiamo che {Ui × Vi }i∈I è un ricoprimento aperto di X × Y e che quindi esiste un
sottoricoprimento finito {Ui × Vi }i∈I ′ . Per ogni indice i ∈ I ′ , scegliamo un j ∈ J tale che i ∈ I( j) —
cioè W j ⊇ Ui × Vi — e denotiamo J ′ l’insieme (finito!) di questi indici. Abbiamo così trovato un
sottoricoprimento finito {W j } j∈J ′ di X × Y.
Teorema .
Sia f un’applicazione continua da uno spazio compatto X a uno spazio separato Y. Se f è
biunivoca, allora è un omeomorfismo.
Dimostrazione. Poniamo g = f −1 : essendo f biunivoca, g è ben definita. Dobbiamo dimostrare
che g è continua, cioè, per l’esercizio 8.1, che se C è un chiuso di X, allora g −1 (C) è chiuso. Ora,
g −1 (C) = f (C) è compatto per la proposizione 11.3 e quindi, essendo Y separato, chiuso grazie
alla proposizione 11.2.
Osservazione 11.6. Il teorema appena dimostrato avrà importanti applicazioni. Osserviamo che
l’ipotesi che X sia compatto è essenziale: se prendiamo infatti X = [0, 1) ed Y = S 1 , allora f (x) =
e2πix è un’applicazione continua e biunivoca da X in Y, ma i due spazi non sono omeomorfi perché
Y è compatto ed X no, per la proposizione 11.2.
Teorema .
Sia X uno spazio topologico separato e compatto, ed Y = X/∼ un suo quoziente. Se l’applicazione
canonica p∶ X → Y è chiusa, allora Y è separato e compatto.
Dimostriamo dapprima il seguente
Lemma .
Sia X uno spazio topologico separato e compatto. Se C e D sono due chiusi disgiunti di X, allora
esistono due aperti disgiunti U e V di X tali che C ⊆ U e D ⊆ V.
Dimostrazione. Osserviamo che per la proposizione 11.2 C e D sono compatti. Fissiamo un punto
x in C. Esistono un aperto Ax ed un aperto Bx tali che x ∈ Ax , D ⊆ Bx ed inoltre Ax ∩ Bx = ∅
(dimostrazione lasciata al lettore per esercizio — vedi l’esercizio 11.5). Al variare di x in C, otteniamo
un ricoprimento aperto di C da cui si può estrarre un sottoricoprimento finito formato dagli aperti
Ax1 , . . . , Ax n . Definendo U la loro unione e V = Bx1 ∩ ⋅ ⋅ ⋅ ∩ Bx n , il lemma è soddisfatto.
Dimostrazione del teorema 11.7. La compattezza di Y segue, per la proposizione 11.3, dal fatto che X
è compatto e che p è continua e suriettiva. Osserviamo poi che i punti di Y sono chiusi: infatti ogni
y in Y è immagine di un punto x di X, che è chiuso (per la proposizione 10.2, essendo X separato),
tramite la funzione p, chiusa per ipotesi. Siano ora y ≠ z due punti di Y. Gli insiemi C = p−1 (y) e
117
Compattezza
D = p−1 (z) sono chiusi disgiunti di X. Esistono allora, per il lemma, due aperti disgiunti U e V di
X tali che C ⊆ U e D ⊆ V. Gli insiemi X ∖ U e X ∖ V sono dunque chiusi ed anche le loro immagini
attraverso la p sono chiusi in Y per l’ipotesi fatta su p. Ne segue che Y ∖ p(X ∖ U) è un aperto
contenente y e che Y ∖ p(X ∖ V) è un aperto contenente z. Tali aperti hanno intersezione vuota,
perché se avessero un punto t in comune, allora p−1 (t) sarebbe contenuto contemporaneamente
in U ed in V. Concludiamo che Y è separato.
Un caso notevole in cui possiamo applicare il teorema è quello di un G-spazio dove G è finito:
Corollario .
Sia X uno spazio topologico separato e compatto su cui agisce un gruppo finito G. Allora X/G è
separato e compatto.
Dimostrazione. Ci basta ricordare che per il teorema 9.4 l’applicazione canonica p∶ X → X/G è
chiusa.
Esempio
Lo spazio proiettivo reale di dimensione n è il quoziente di S n modulo l’identificazione antipodale.
Se indichiamo con −x il punto antipodale di x, l’applicazione x ↦ −x è un omeomorfismo di S n
in sè il cui quadrato è l’identità. Abbiamo quindi un gruppo di ordine due che agisce su S n il cui
quoziente è Pn (R). D’altro canto, S n è compatta per il teorema di Heine-Borel. Segue che Pn (R)
è separato e compatto.
. Compattezza in spazi metrici
Ricordiamo tre teoremi importanti.
Teorema . (numero di Lebesgue)
Sia X uno spazio metrico in cui ogni successione ammette una sottosuccessione convergente.
Dato un ricoprimento aperto {Ui }i∈I , esiste un numero reale ε > 0 tale che ogni sottoinsieme
di X di diametro minore di ε è contenuto in un aperto del ricoprimento. Diciamo che ε è un
numero di Lebesgue per il ricoprimento {Ui }.
Dimostrazione. Supponiamo che non ci sia un numero di Lebesgue per il ricoprimento dato. Allora
per ogni intero n esiste un sottoinsieme An di X non incluso in nessun aperto del ricoprimento e di
diametro minore di 1/n. All’interno di ognuno di tali insiemi scegliamo un punto x n . Per ipotesi una
sottosuccessione della successione {x n } converge ad un qualche x ∈ X. In particolare, se x è incluso
in un aperto U del ricoprimento, possiamo prendere una bolla B(x, ε) ⊆ U. Quindi, per un’infinità
di interi n, x n ∈ B(x, ε/2); in particolare, preso ν con 1/ν < ε/2, otteniamo d(Aν ) < 1/ν < ε/2.
Segue immediatamente (vedi anche l’esercizio 8.9) che Aν ⊆ B(x, ε) ⊆ U, contrariamente alle
ipotesi.
118
. Compattezza in spazi metrici
Diciamo che uno spazio metrico X è totalmente limitato se per ogni ε > 0 esiste un sottoinsieme
finito A di X tale che X = ⋃x∈A B(x, ε); cioè nessun punto di X dista più di ε da un punto di A. È
facile verificare che un insieme totalmente limitato è anche limitato e che in Rn vale il viceversa
(vedi anche gli esercizi). In generale vale la seguente
Proposizione .
Se in uno spazio metrico X ogni successione ha una sottosuccessione convergente, allora X è
totalmente limitato.
Dimostrazione. Fissiamo ε > 0 e supponiamo che X non sia totalmente limitato. Vogliamo trovare,
per induzione, una successione in X in cui ogni punto dista più di ε dall’altro: ovviamente da
una simile successione non sarebbe possibile estrarre una sottosuccessione convergente, e questo
contraddirebbe l’ipotesi.
Costruiamo, dunque, una simile successione. Sia x1 un punto qualsiasi di X: poiché X non è
totalmente limitato, esiste x2 ∈/ B(x1 , ε). Supponiamo ora di avere una successione finita x1 , . . . , x n
tale che d(x i , x j ) > ε per ogni i, j compresi fra 1 ed n. Poiché X non è totalmente limitato,
⋃ni=1 B(x i , ε) ⊊ X e quindi esiste x n+1 ∈ X tale che d(x n+1 , x i ) > ε per ogni i = 1, . . . , n. Per
induzione esiste allora una successione infinita con d(x i , x j ) > ε per ogni i, j.
Teorema . (Bolzano–Weierstrass)
Sia X uno spazio metrico. Allora le tre proprietà seguenti sono equivalenti:
. X è compatto
. ogni successione in X ha una sottosuccessione convergente
. ogni sottoinsieme infinito ha almeno un punto limite
Dimostrazione.
3 ⇒ 2 Sia {x n } una successione in X: se uno dei punti della successione appare infinite volte,
allora possiamo estrarre una sottosuccessione costante e quindi convergente. Se invece ogni
punto di {x n } appare un numero finito di volte, allora l’insieme dei punti della successione
è infinito e quindi ammette un punto limite x. Segue immediatamente che esiste una
sottosuccessione di {x n } convergente ad x.
2 ⇒ 1 Sia {Ui } un ricoprimento aperto di X e sia 3ε un suo numero di Lebesgue. Per la proposizione 11.11 esiste un sottoinsieme finito A di X tale che X = ⋃x∈A B(x, ε). Essendo il diametro
di ciascuna di queste bolle 2ε < 3ε, per ogni x ∈ A esiste un aperto Ux del ricoprimento contenente B(x, ε). D’altro canto, ogni punto di X appartiene ad una delle bolle B(x, ε) ⊆ Ux
con x ∈ A e quindi {Ux }x∈A è un sottoricoprimento finito di X. Abbiamo così dimostrato
che X è compatto.
1 ⇒ 3 Supponiamo che A ⊆ X sia infinito e privo di punti limite. Allora, per ogni punto x ∈ X esiste
un intorno aperto Ux che non contiene nessun elemento di A, tranne al più x. Chiaramente
{Ux }x∈X è un ricoprimento aperto da cui possiamo estrarre un sottoricoprimento finito
{Ux1 , . . . , Ux n }. In particolare anche A è incluso in un tale ricoprimento; per la scelta degli
intorni, segue che A ⊆ {x1 , . . . , x n } e quindi A è finito, il che è impossibile.
119
Compattezza
Proposizione .
Sia {x n } una successione nello spazio metrico compatto X. Supponiamo che ogni sottosuccessione
convergente di {x n } converga allo stesso punto x. Allora x n converge ad x.
Dimostrazione. Si osservi che la compattezza di x implica l’esistenza di sottosuccessioni convergenti. Se x n non converge ad x, esiste un intorno aperto U di x tale che la x n non cade definitivamente in U, cioè per ogni intero k esiste n k > k tale che x n k ∈/ U. La successione {x n k } è contenuta
nel chiuso C = X ∖ U; essendo X compatto, anche C è compatto e quindi la {x n k } ha una sottosucessione convergente in C. Troveremmo così una sottosuccessione convergente di {x n }, che non
converge ad x.
Teorema . (Heine-Borel)
Sia X un sottospazio di Rn . Allora X è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
Dimostrazione. Se X è limitato allora è immediato verificare che X è incluso in un cubo I n , dove I
è un opportuno intervallo chiuso di R e I n è un compatto essendo il prodotto di n compatti. In
particolare, X è un sottoinsieme chiuso di un compatto, e quindi è compatto per la proposizione 11.2.
D’altro canto, se X è compatto, per la stessa proposizione è pure chiuso. Se non fosse limitato, allora
potremmo costruire una successione {x n } ⊆ X con ∥x n ∥ ⩾ ∥x n−1 ∥ + 1 per ogni n. In particolare
d(x n , x m ) ⩾ 1 per ogni n ≠ m e quindi nessuna sottosuccessione di {x n } può convergere. Questo
contraddice il teorema di Bolzano-Weierstrass e quindi X è limitato.
Esempi
. O(n) è compatto. Infatti abbiamo visto, nell’esercizio 10.4, che è chiuso in Mn (R), identificabile con lo spazio affine di dimensione n2 . Le colonne di una matrice di O(n) sono vettori
di Rn di lunghezza unitaria, quindi gli elementi di una matrice di O(n) sono numeri reali di
valore assoluto minore o uguale a uno. Segue che O(n) è anche limitato e quindi compatto.
. SO(n) è compatto. Infatti è un sottoinsieme chiuso di O(n) e quindi compatto per la
proposizione 11.2.
. U(n) ed SU(n) sono compatti. Per dimostrarlo ci basta ragionare come nei due esempi
precedenti.
Corollario . (teorema di Weierstrass)
Sia f ∶ X → R una funzione continua, dove X è uno spazio compatto. Allora esiste un punto di X
in cui f raggiunge il massimo ed un punto in cui raggiunge il minimo.
Dimostrazione. L’immagine f (X) è compatta in R e quindi chiusa e limitata, per il teorema di
Heine-Borel. Segue che sup f (x) è finito, quindi è un punto di accumulazione e appartiene ad
f (X), cioè f (x) ha un massimo. Analogamente per il minimo.
120
. Compattezza in spazi metrici
Esercizi
Esercizio 11.1. Si verifichi che uno spazio totalmente limitato è anche limitato.
Esercizio 11.2. Si dimostri che un sottoinsieme limitato di Rn è totalmente limitato.
Esercizio 11.3. Sia Φ la forma bilineare simmetrica su R2 di segnatura (1, 1) corrispondente alla
forma quadratica x 2 − y2 . Si dimostri che il gruppo O(1, 1) che conserva tale forma non è compatto.
Esercizio 11.4. Si dimostri che il gruppo di Lorentz O(3, 1) non è compatto.
Esercizio 11.5. Sia X uno spazio separato e compatto. Si dimostri che X è regolare.
Esercizio 11.6. Sia dia un esempio di uno spazio metrico non compatto e di un suo ricoprimento
aperto che non ammette un numero di Lebesgue.
Esercizio 11.7. Si dimostri direttamente che se ogni successione in uno spazio X ammette una
sottosuccessione convergente, allora ogni sottoinsieme infinito di X ha almeno un punto limite.
Esercizio 11.8. Uno spazio topologico X è localmente compatto se ogni punto x ha un intorno
compatto. Dato uno spazio separato X si verifichi che X è localmente compatto se e solo se per
ogni punto x esiste un sistema fondamentale di intorni avente chiusura compatta.
121
Compattezza
122
Connessione
Spazi connessi
Diciamo che uno spazio topologico X non è connesso se esistono due aperti non vuoti e disgiunti
la cui unione è X. Equivalentemente, esiste un sottoinsieme non vuoto e diverso da X che è
contemporaneamente aperto è chiuso. In caso contrario diciamo che X è connesso.
Ricordiamo che un intervallo è un sottoinsieme I della retta reale R tale che se x, y ∈ I, con x < y,
allora [x, y] ⊆ I.
Teorema .
Un sottoinsieme X della retta reale è connesso se e solo se è un intervallo.
Dimostrazione. Supponiamo che X non sia un intervallo: allora ci sono tre punti a < b < c con
a, c ∈ X ma b ∈/ X. Segue che X ∩ (−∞, b) e X ∩ (b, +∞) sono aperti (nella topologia di X,
beninteso), non vuoti e disgiunti, la cui unione è X. Quindi X non è connesso.
Supponiamo ora che l’intervallo X non sia connesso: X = A ∪ B con A e B aperti non vuoti e
disgiunti. Siano x < y due punti rispettivamente in A e in B (tali x ed y esistono, eventualmente
dopo aver scambiato A e B). Poniamo A′ = A ∩ [x, y] e B′ = B ∩ [x, y]: essendo [x, y] chiuso
e limitato in R, anche A′ e B′ sono chiusi e limitati in R. Dato che A′ è limitato, il suo estremo
superiore è finito: sia c = sup A′ . Dato che A′ è chiuso, allora c ∈ A′ . Poiché y ∈ B′ e gli insiemi
A′ e B′ disgiunti, segue che c < y. Poiché X è un intervallo, tutti i punti a destra di c sono in B′ e
quindi c ∈ B′ = B′ , il che è impossibile.
Nel seguito ci sarà utile il seguente risultato, la cui dimostrazione è lasciata per esercizio.
Lemma .
Sia Z il sottospazio della retta reale costituito dai due punti 0 e 1. Uno spazio X non è connesso se
e solo se esiste un’applicazione continua e suriettiva da X in Z. Equivalentemente, X è connesso
se e solo se ogni applicazione continua da X a Z è costante.
Proposizione .
Sia X uno spazio connesso ed f ∶ X → Y un’applicazione continua. Allora f (X) è connessa.
Dimostrazione. Se f (X) è la riunione di due aperti non vuoti e disgiunti A e B, allora X è la riunione
delle loro controimmagini che sono ancora due aperti non vuoti e disgiunti, contrariamente
all’ipotesi.
123
Connessione
Esempi
. Un cammino in uno spazio X è un’applicazione continua γ∶ [0, 1] → X. L’immagine di tale
cammino (che denoteremo spesso con γ se non vi è possibilità di confusione) è connessa.
. Il cerchio S 1 è connesso perché immagine di R attraverso un’applicazione continua.
. Se f ∶ [a, b] → R è un’applicazione continua con f (a) < 0 ed f (b) > 0, allora esiste un
t ∈ (a, b) tale che f (t) = 0. Infatti l’immagine di [a, b] è un connesso, quindi un intervallo,
contenente f (a) ed f (b) e quindi l’intero intervallo [ f (a), f (b)].
Proposizione .
Gli spazi topologici X e Y sono connessi se e solo se il loro prodotto X × Y è connesso.
Dimostrazione. Se il prodotto è connesso, anche i fattori lo sono perché le proiezioni sui fattori
sono continue. Supponiamo ora X e Y connessi. Sia f ∶ X × Y → Z = {0, 1} un’applicazione
continua. Verifichiamo che è costante. Siano z1 = (x1 , y1 ) e z2 = (x2 , y2 ) due punti. Avremo
f (z1 ) = f (x1 , y2 ) perché z1 e (x1 , y2 ) sono contenuti nel sottospazio {x1 } × Y ≃ Y che è connesso
e su cui la f è costante per il lemma. Analogamente si mostra che f (x1 , y2 ) = f (z2 ), quindi f è
costante.
. Criteri di connessione
È importante avere a disposizione qualche criterio per stabilire la connessione di uno spazio.
Proposizione .
Sia {Yi }i∈I una famiglia di connessi di X tali che Yi ∩ Y j ≠ ∅ per ogni coppia di indici i e j.
Allora la loro riunione Y = ⋃i∈I Yi è connessa.
Dimostrazione. Se Y fosse la riunione di due aperti disgiunti non vuoti A e B allora, per ogni i,
Yi sarebbe completamente contenuto in A oppure in B, essendo connesso. Dato che sia A che
B non sono vuoti, esiste un indice i per cui Yi ⊆ A ed un indice j con Y j ⊆ B contro l’ipotesi
sull’intersezione.
Segue facilmente (ma ne lasciamo al lettore la dimostrazione) che
Corollario .
. Sia Y un sottospazio connesso di X. Sia {Yi }i∈I una famiglia di connessi di X tali che Y∩Yi = ∅
per ogni i. Allora Y ∪ (⋃i∈I Yi ) è connesso.
. Siano Y1 , Y2 , . . . connessi in X tali che Yi ∩ Yi+1 ≠ ∅. Allora la loro riunione è connessa.
124
. Componenti Connesse
Esempi
. Sia x un punto di Rn . Una riunione di rette o segmenti contenenti x è connessa.
. Il disco aperto D in R2 e la sua chiusura sono connessi.
. Una semisfera aperta o chiusa è connessa in quanto omeomorfa a D o alla sua chiusura.
. Una sfera S 2 è connessa in quanto riunione di due semisfere con intersezione non vuota.
. Se Y è un sottoinsieme denso e connesso di X, allora X è connesso. In particolare, se Y è
connesso anche la sua chiusura è connessa.
. Se Y è denso e connesso in X, allora ogni Z tale che Y ⊆ Z ⊆ X è connesso.
. Sia G un gruppo topologico, H un sottogruppo e G/H l’insieme delle classi laterali sinistre con la topologia quoziente. Se H e G/H sono connessi, allora G è connesso: vedi il
teorema 14.7.
. Componenti Connesse
Sia x un punto dello spazio X. La riunione di tutti i connessi contenenti x è un connesso per la
proposizione 12.5 ed è ovviamente il più grande connesso contenente x. Tale insieme è chiuso,
si chiama componente connessa di x e sarà denotato C x . Due componenti connesse hanno intersezione vuota oppure coincidono: infatti se la loro intersezione non è vuota, la riunione è un
connesso che le contiene entrambe. Le componenti connesse danno una partizione di X.
Esempio
Se Y ⊆ X non è vuoto, è connesso ed è contemporaneamente aperto e chiuso, allora è una
componente connessa di X. Infatti, se Y ⊊ Z, dove Z è connesso, allora Y è aperto e chiuso in Z e
quindi Z = Y ∪ (Z ∖ Y), contrariamente all’ipotesi su Z.
. Connessione per archi
Uno spazio topologico X si dice connesso per archi se, dati due punti x ed y in X, esiste un
cammino (od arco) γ∶ [0, 1] → X con γ(0) = x e γ(1) = y — si ricordi che un cammino è per
definizione continuo. Useremo lo stesso simbolo γ ed useremo la parola «cammino» anche per
indicare il sottoinsieme di X immagine dell’applicazione corrispondente. Diremo anche che γ è
un cammino da x ad y.
Proposizione .
Se lo spazio X è connesso per archi allora è connesso.
Dimostrazione. Supponiamo che X sia la riunione di due aperti disgiunti non vuoti A e B, e
prendiamo un punto x in A ed un punto y in B. Se γ è un cammino da x ad y, allora γ ∩ A e γ ∩ B
sono due aperti non vuoti e disgiunti la cui unione è γ, il che è assurdo essendo γ connesso.
125
Connessione
Osservazione 12.8. Non vale il viceversa, cioè esistono spazi connessi ma non connessi per archi
(vedi l’esercizio 12.7).
Composizione di cammini
Siano α e β due cammini in X tali che α(1) = β(0). Definiamo un nuovo cammino αβ nel modo
seguente:
⎧
⎪
se t ∈ [0, 1/2]
⎪α(2t)
(αβ)(t) = ⎨
⎪
⎪
⎩β(2t − 1) se t ∈ [1/2, 1]
L’applicazione αβ è continua e definisce un cammino, detto la composizione di α e β, che ha lo
stesso punto iniziale di α e lo stesso punto finale di β.
Cammino inverso
Dato un cammino α da x ad y, il cammino inverso α −1 è l’applicazione definita da α −1 (t) = α(1−t).
Esso è chiaramente un cammino da y ad x.
Connessione delle sfere
Come applicazione della proposizione 12.7 dimostriamo che:
Proposizione .
Se n ⩾ 1, S n è connesso.
Dimostrazione. Dati due punti non antipodali P e Q di S n , il punto tP + (1 − t)Q non coincide
con l’origine per nessun t ∈ [0, 1], quindi il cammino
γ(t) =
tP + (1 − t)Q
∥tP + (1 − t)Q∥
congiunge P a Q. Se invece i due punti sono antipodali, per esempio P = (1, 0, 0, . . . , 0) e
Q = (−1, 0, 0, . . . , 0), prendiamo il cammino γ(t) = (cos t, sen t, 0, . . . , 0) con t ∈ [0, π], che
congiunge P a Q.
Esercizi
Esercizio 12.1. Si dimostri il lemma 12.2.
Esercizio 12.2. Si dimostri che se x è un punto qualsiasi di R allora R ∖ {x} non è connesso. Si
deduca che R non è omeomorfo ad R2 .
Esercizio 12.3. Si verifichi che Q non è connesso.
Esercizio 12.4. Si mostri che non vale l’inverso dell’esempio 5 di pagina 125, cioè è possibile avere
Y denso in X, con Y non connesso ed X connesso.
126
. Connessione per archi
Esercizio 12.5. Si verifichi che ogni bolla di Rn è connessa per archi.
Esercizio 12.6. Sia X ⊆ R2 dato da {(x, sen x1 ) ∈ R2 ∶ ∣x∣ ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) ∈ R2 ∶ y ∈ [−1, 1]}. Si
dimostri che X è connesso.
Esercizio 12.7. Sia X come nell’esercizio precedente. Si dimostri che X non è connesso per archi.
Esercizio 12.8. Diciamo che due cammini α e α ′ sono equivalenti se esiste un omeomorfismo φ di
[0, 1] in sé tale che φ(0) = 0, φ(1) = 1 e α ′ = α ○ φ. Si dimostri che se α, β e γ sono tre cammini
con α(1) = β(0) e β(1) = γ(0), allora (αβ)γ è equivalente a α(βγ).
127
Connessione
128
Varietà Topologiche
Uno spazio topologico separato X è una varietà topologica di dimensione n se ogni punto x di
X ha un intorno aperto Ux omeomorfo alla bolla unitaria aperta B(O, 1) ⊆ Rn . La bolla B(O, ε)
con ε < 1 è un intorno aperto di x la cui chiusura è compatta. Si noti che la chiusura di B(O, ε) in
B(O, 1), essendo compatta nello spazio separato X, è anche la chiusura di B(O, ε) in X. Quindi X è
localmente compatto. Si dirà anche che X è localmente euclideo per indicare l’esistenza, per ogni
punto x ∈ X, di un intorno aperto omeomorfo a B(O, 1). La dimensione di una varietà topologica
è ben definita perché vale il teorema seguente, che non dimostriamo (ma vedi l’esercizio 12.2)
Teorema .
Se n ≠ m, allora un aperto non vuoto di Rn non è omeomorfo ad un aperto di Rm .
Per le varietà topologiche la connessione equivale alla connessione per archi:
Proposizione .
Sia X una varietà topologica. Allora X è connessa se e solo se è connessa per archi.
Dimostrazione. La connessione per archi implica la connessione, come abbiamo visto nella proposizione 12.7.
Supponiamo X connesso. Sia D(x) = {y ∈ X ∶ esiste un arco da x ad y}. Dimostriamo che D(x)
è aperto e chiuso. Infatti D(x) è aperto perché se y è un suo punto ed U y un intorno aperto
di y omeomorfo a B(O, 1), allora U y ⊆ D(x): per ogni z ∈ U y esiste un cammino β da y a z
contenuto in U y ; componendolo con un cammino α da x ad y otteniamo un cammino da x a z.
Analogamente, X ∖ D(x) è aperto. Infatti se y ∈/ D(x), preso un intorno U y omeomorfo a B(O, 1),
per ogni z ∈ U y , non può esistere un arco da x a z: se ci fosse, componendolo con un arco da z
ad y in U y otterremmo un arco da x ad y. Quindi U y è contenuto nel complementare di D(x).
Quindi D(x) è aperto e chiuso; non è vuoto perché contiene x e quindi D(x) = X. Dati infine due
punti qualsiasi y, z ∈ X, esiste un cammino α da x ad y ed un cammino β da x a z; quindi α −1 β è
un cammino da y a z.
Esempi
Lasciamo al lettore il compito di dimostrare che gli spazi topologici degli esempi 1–7 sono tutti
varietà topologiche.
. Rn (vedi l’esempio 1 di pagina 97).
. Aperti di Rn , aperti di varietà topologiche.
129
Varietà Topologiche
. Le sfere S n ⊆ Rn+1 : infatti un intorno del punto (1, 0, . . . , 0) omeomorfo alla bolla unitaria di
Rn , tramite la proiezione sull’iperpiano {x1 = 0}, è l’insieme {(x0 , . . . , x n ) ∈ S n ∶ x0 > 0}.
. Prodotti di varietà topologiche: ad esempio il toro S 1 × S 1 .
. Gli spazi proiettivi Pn (R) (vedi qui di seguito).
. Una varietà topologica di dimensione due è detta superficie topologica; abbiamo visto tre
esempi di superfici compatte: S 2 , P2 (R), S 1 × S 1 ; esiste una classificazione completa delle
superfici topologiche compatte.
.
a) GLn (R) è una varietà topologica di dimensione n2 in quanto è un aperto di uno spazio
affine di dimensione n2
b) O(n) è una varietà topologica di dimensione n(n − 1)/2, ma per ora non siamo in
grado di dimostrarlo
c) SO(n) è una varietà topologica, perché è un aperto di O(n)
d) SU(2) è una varietà topologica, in quanto omeomorfo a S 3 (vedi pagina 97)
In generale, tutti i gruppi di matrici che incontreremo sono varietà topologiche.
. Sia Hn il sottoinsieme di Rn costituito da tutti i punti (x1 , . . . , x n ) con x n ⩾ 0. Definiamo
il bordo di Hn come ∂Hn = {x ∈ Hn ∶ x n = 0}. Una varietà topologica con bordo è uno
spazio topologico separato M (con una base numerabile di aperti) tale che ogni punto x ∈ M
ha un intorno omeomorfo ad un aperto di Hn . Il bordo di M, denotato ∂M è l’insieme
dei punti x ∈ M per cui esiste un omeomorfismo di un intorno di x con un aperto di Hn
che associa al punto x l’origine O ∈ ∂Hn . Esempi di varietà topologiche con bordo sono la
banda di Möbius e D n .
. Spazi proiettivi reali
Ricordiamo che lo spazio proiettivo reale è stato definito come un quoziente di Rn+1 ∖ {O} (vedi
pag. 107). Sia p l’applicazione di passaggio al quoziente.
Se P = p(x0 , x1 , . . . , x n ), diremo che x0 , x1 , . . . , x n sono coordinate omogenee di P; scriveremo
anche P = (x0 ∶ x1 ∶ ⋅ ⋅ ⋅ ∶ x n ). Queste, in realtà, sono determinate a meno di una costante
moltiplicativa non nulla, e quindi non sono vere coordinate: possiamo dire se una coordinata
omogena è uguale zero o diversa da zero ma non possiamo assegnare un valore ad una coordinata
omogenea diversa da zero.
Vogliamo dimostrare che Pn (R) è una varietà topologica di dimensione n. Sia V0 il complementare
in Rn+1 ∖ {0} dell’insieme {x0 = 0}: è un aperto saturo la cui immagine U0 in Pn (R) è l’aperto
costituito dai punti aventi la prima coordinata omogenea diversa da zero. In modo analogo si
costruiscono gli aperti U1 , U2 , . . . , Un . Un punto dello spazio proiettivo giace necessariamente
in almeno uno di questi aperti, e se verifichiamo che ognuno di questi è omeomorfo a B(O, 1),
abbiamo mostrato che Pn (R) è una varietà topologica di dimensione n.
Verifichiamo che U0 è omeomorfo a Rn e quindi a B(O, 1). Sia P = (x0 ∶ x1 ∶ ⋅ ⋅ ⋅ ∶ x n ) ∈ U0 e
poniamo φ(P) = (x1 /x0 , x2 /x0 , . . . x n /x0 ) ∈ Rn . Tale applicazione è ben definita e proviene da
130
. Connessione dei gruppi classici
un’applicazione ψ di V0 in Rn per passaggio al quoziente.
Rn+1 ∖ {0}
⋃
V0
p
/ Pn (R)
p
/ U0 t
⋃
ρ
φ
64 R
n
ψ
Ovviamente ψ(x0 , . . . , x n ) = (x1 /x0 , x2 /x0 , . . . x n /x0 ) è continua in V0 ; quindi φ è continua e
stabilisce una corrispondenza biunivoca fra U0 ed Rn , come si vede immediatamente. Verifichiamo
ora che l’inversa ρ = φ−1 è continua. Sia A un aperto di U0 : abbiamo ρ −1 (A) = φ(A) = ψ(p−1 (A))
e B = p−1 (A) è un aperto saturo contenuto in V0 . Quindi B è della forma (⋃i∈I L i ) ∖ {O}, dove
le L i sono rette per l’origine. La condizione B ⊆ V0 significa che le rette L i non sono contenute
nell’iperpiano π0 = {x0 = 0}. L’applicazione ψ è costante su ciascuna retta L i ∖ {O}. Posto
π1 = {x0 = 1}, l’intersezione L i ∩ π1 dà l’unico punto di L i con prima coordinata uguale ad
uno. D’altra parte l’applicazione ψ induce un omeomorfismo fra π1 ed Rn . Dato che B è aperto,
l’insieme D = B ∩ π1 è aperto in π1 . Inoltre ψ(B) = ψ(D), quindi ρ −1 (A) = φ(A) = ψ(B) è aperto
in Rn .
. Connessione dei gruppi classici (prima parte)
Ricordiamo che per una varietà la connessione è equivalente alla connessione per archi. Mostriamo
ora alcune proprietà di connessione (e non) di alcuni gruppi classici.
Proposizione .
Abbiamo che:
.
.
.
.
GLn (R) non è connesso.
O(n) non è connesso.
SU(2) è connesso.
SO(3) è connesso.
Dimostrazione.
. Sia A una matrice con determinante positivo e B una matrice con determinante negativo.
Se GLn (R) fosse connesso esisterebbe un cammino γ da A a B. Essendo la funzione determinante continua, α = det ○γ ∶ [0, 1] → R è una funzione continua con α(0) < 0 e α(1) > 0.
Dunque esiste t ∈ [0, 1] tale che α(t) = 0, cioè det(γ(t)) = 0, il che è impossibile, essendo
γ un cammino in GLn (R).
. Si ragiona come sopra, partendo da una coppia di matrici di O(n) con determinante,
rispettivamente, +1 e −1.
. Abbiamo visto che SU(2) è omeomorfo a S 3 , che è connesso per la proposizione 12.9.
131
Varietà Topologiche
. Ogni elemento di SO(3) rappresenta una rotazione intorno ad un asse. Ciò significa che
data una matrice A ∈ SO(3), esiste una matrice Q ∈ SO(3) tale che A = Q −1 BQ dove
0
0 ⎞
⎛1
B = ⎜0 cos θ − sen θ ⎟
⎝0 sen θ cos θ ⎠
rappresenta una rotazione di un angolo θ nel piano di equazione x = 0. Scriviamo B =
Rot(θ; y, z). Con queste notazioni è chiaro che il cammino α(t) = Rot(tθ; y, z) congiunge
la matrice identità I a B in SO(3). Allora il cammino γ(t) = Q −1 α(t)Q congiunge I ad A.
Segue facilmente che SO(3) è connesso per archi.
Corollario .
La varietà O(3) ha due componenti connesse.
Dimostrazione. Come abbiamo appena visto, SO(3) è connesso. Inoltre è (non vuoto e) aperto e
chiuso in O(3). Infatti, consideriamo l’applicazione continua det ∶ O(3) → R, che assume soltanto
i valori ±1; allora SO(3) è chiuso in quanto controimmagine del punto 1 ed è aperto perché il suo
complementare è controimmagine del punto −1. Quindi è una componente connessa. Scelta poi
una matrice A ∈ O(3) con determinante −1, l’applicazione X → AX è un omeomorfismo di O(3)
in sé che manda SO(3) nel suo complementare, che è dunque l’altra componente connessa.
. Numerabilità e paracompattezza
Uno spazio topologico X è a base numerabile se esiste una famiglia numerabile di aperti {An }n∈N
tale che ogni aperto è unione di aperti Ai . Se X è a base numerabile, allora ogni punto x ∈ X ha
un sistema fondamentale di intorni numerabile: (vedi l’esercizio 10.9) basterà prendere gli aperti
della base che contengono x.
Dato uno spazio topologico X ed un suo ricoprimento aperto {Ui }i∈I , diciamo che il ricoprimento
aperto {V j } j∈J è un suo raffinamento se per ogni indice j esiste un indice i( j), dipendente da j,
tale che V j ⊆ Ui( j) . In altre parole ciascuno dei V j è contenuto almeno in un Ui .
Dato poi un ricoprimento aperto, diremo che è localmente finito se per ogni punto x ∈ X esiste un
intorno U di x che ha intersezione non vuota solo con un numero finito di aperti del ricoprimento.
Uno spazio topologico X si dice paracompatto se è separato e se ogni ricoprimento aperto ammette
un raffinamento aperto localmente finito. Vale il seguente teorema che avrà importanti applicazioni
nelle varietà differenziabili.
Teorema .
Sia X uno spazio separato, localmente compatto e a base numerabile. Allora X è paracompatto.
Dimostrazione. La dimostrazione è conseguenza immediata delle due proposizioni seguenti.
132
. Numerabilità e paracompattezza
Proposizione .
Sia X uno spazio separato, localmente compatto e a base numerabile. Allora esiste una famiglia
numerabile di aperti {Ω n }n∈N tale che Kn = Ω n è compatto e
Kn ⊆ Ω n+1 ⊆ K̊n+1 ,
X = ⋃ Ω n = ⋃ Kn
n
n
Dimostrazione. Sia {An }n∈N una base numerabile di aperti. Dato un punto x ∈ X sia U un suo
intorno compatto: U è chiuso in X perché X è separato. L’intorno U deve contenere un aperto
Ai della base, contenente x. La chiusura di Ai in X coincide con la sua chiusura in U perché U è
chiuso in X; quindi Ai ha una chiusura compatta. Segue che, se dalla base originaria scegliamo
gli aperti a chiusura compatta, otteniamo ancora una base {Un }n∈N (ovviamente numerabile).
Poniamo allora Ω1 = U1 , K1 = Ω1 . Supponiamo poi Ω n = U1 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ Ui n . Sia Kn = Ω n , allora
Kn = Ū1 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ Ūi n e quindi Kn è compatto in quanto riunione finita di compatti. Se i n+1 è il più
piccolo indice > i n tale che Kn ⊆ U1 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ Ui n+1 , poniamo Ω n+1 = U1 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ Ui n+1 e K n+1 = Ω̄ n+1 .
Si ha allora Kn ⊆ Ω n+1 ⊆ K̊n+1 e gli aperti Ω n soddisfano le condizioni volute.
Proposizione .
Sia X uno spazio separato. Supponiamo che vi sia una famiglia numerabile {Kn }n∈N di compatti
tali che Kn ⊆ K̊n+1 e X = ⋃n Kn . Allora X è paracompatto.
Dimostrazione. Sia {Ai }i∈I un ricoprimento di X: vogliamo trovare un raffinamento localmente
finito. Gli insiemi Kn sono chiusi poiché X è separato. Per ogni n l’insieme Kn+1 ∖ K̊n è chiuso in
Kn+1 , quindi è compatto e ricopribile con un numero finito di aperti del ricoprimento dato:
Kn+1 ∖ K̊n = ⋃ Ai ,
I n ⊆ I finito
i∈I n
Inoltre Kn+1 ∖ K̊n ⊆ K̊n+2 ∖ Kn−1 . L’insieme Bi,n = Ai ∩ (K̊n+2 ∖ Kn−1 ) è un aperto di X e
Kn+1 ∖ K̊n ⊆ ⋃ Bi,n
i∈I n
Gli aperti {Bi,n }i∈I n ,n∈N formano dunque un raffinamento di {Ai }i∈I . Tale raffinamento è localmente finito perché se x ∈ X esiste un indice n tale che x ∈ Kn ma x ∈/ Kn−1 ; quindi x appartiene
all’aperto U = K̊n+1 ∖ Kn−1 . Gli aperti Bi,k che possono avere intersezione non vuota con U sono
quelli con k = n − 2, n − 1, n, n + 1 e sono così in numero finito.
Nel teorema seguente, vediamo un’applicazione tipica dell’esistenza di raffinamenti localmente
finiti.
Teorema .
Sia X uno spazio paracompatto, allora X è normale, cioè dati due chiusi disgiunti C, D esistono
due aperti disgiunti A, B tali che C ⊆ A, D ⊆ B.
133
Varietà Topologiche
Dimostrazione. Essendo X separato, per ogni punto x ∈ C e per ogni y ∈ D esistono aperti
disgiunti U(x, y) e V(x, y) tali che x ∈ U(x, y) e y ∈ V(x, y). Fissiamo x ∈ C: troviamo due
aperti disgiunti U(x) e V(x) tali che x ∈ U(x) e D ⊆ V(x) (in altre parole, dimostriamo che X è
regolare). Consideriamo il ricoprimento aperto di X formato da X ∖ D e dagli aperti V(x, y) con
y ∈ D. Sia {W j } j∈J un suo raffinamento localmente finito e sia V(x) la riunione dei W j che sono
contenuti in qualche V(x, y), con y ∈ D; tale V(x) è aperto e contiene D. Sappiamo che esiste un
intorno aperto U di x che incontra un numero finito di W j , in particolare, incontra un numero
finito fra i W j la cui unione è V(x). Se questi ultimi sono contenuti in V(x, y1 ) ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ V(x, y n ),
allora l’aperto U(x) = U ∩ U(x, y1 ) ∩ ⋅ ⋅ ⋅ ∩ U(x, y n ) non incontra V(x).
Consideriamo ora il ricoprimento aperto di X formato da X ∖ C e {U(x)}x∈C . Sia {Tk }k∈K un suo
raffinamento aperto localmente finito. L’insieme A ottenuto dalla riunione dei Tk contenuti in
qualche U(x), con x ∈ C, è aperto e contiene C. Verifichiamo ora che ogni y ∈ D ha un intorno
aperto B(y) tale che A ∩ B(y) = ∅. Dato y ∈ D, esiste un intorno aperto V di y che incontra un
numero finito di Tk , in particolare un numero finito fra i Tk la cui unione è A. Se questi ultimi
sono contenuti in U(x1 ) ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ U(x m ), allora V ∩ V(x1 ) ∩ ⋅ ⋅ ⋅ ∩ V(x m ) è l’aperto B(y) cercato. Se
B è la riunione dei B(y) con y ∈ D, allora la coppia A, B soddisfa le condizioni volute.
Conclusioni
Sia X una varietà topologica. Lo spazio topologico X ha le seguenti proprietà:
.
.
.
.
.
separato
localmente euclideo
localmente compatto
regolare (vedi l’esercizio 10.10)
connesso ⇐⇒ connesso per archi
Supponiamo inoltre che X sia a base numerabile, avremo allora:
.
.
.
.
base numerabile
paracompatto
normale
metrizzabile (cioè esiste una metrica che induce la topologia data)
Non diamo la dimostrazione dell’ultima proprietà (vedi corollario 2, pag. 195 di [D]). La proprietà
(9) implica la (8) (vedi l’esercizio 10.8).
Esercizi
Esercizio 13.1. Sia U ⊆ X un aperto in una varietà topologica di dimensione n. Si verifichi che
dim(U) = n.
Esercizio 13.2. Si mostri che R non è isomorfo ad Rn se n > 1. (Suggerimento: si tolga un punto
da entrambi.)
134
Gruppi Topologici
Per mostrare che in generale O(n) ha due componenti connesse o che SO(n) ed SU(n) sono
connessi abbiamo bisogno di sfruttare il fatto che, oltre ad essere varietà topologiche, possiedono
anche una struttura di gruppo.
Un gruppo topologico G è uno spazio topologico separato dotato di una struttura di gruppo in cui
la moltiplicazione è un’applicazione continua da G ×G in G e la funzione inversa è un’applicazione
continua da G in G. Ad esempio, tutti i gruppi di matrici che abbiamo considerato finora sono
gruppi topologici con la topologia indotta da Mn (R) oppure da Mn (C).
Un’applicazione φ da un gruppo topologico G ad un altro gruppo topologico G ′ è un isomorfismo di gruppi topologici se è un isomorfismo algebrico ed un omeomorfismo. Un sottogruppo
topologico H di un gruppo topologico G è un sottogruppo di G dotato della topologia indotta.
Per ogni g ∈ G, la moltiplicazione a sinistra per g è un omeomorfismo di G in sé. Analogamente
per la moltiplicazione a destra. L’applicazione inversa è un omeomorfismo di G in sé, quindi se V
è un intorno dell’elemento neutro e di G, l’insieme W = V ∩ V−1 è un intorno simmetrico di e,
cioè W = W−1 . Segue che ogni intorno di e contiene un intorno simmetrico.
Abbiamo visto che SO(3) è la componente connessa di O(3) contenente la matrice identità I.
Come sappiamo, SO(3) è un sottogruppo chiuso e normale. In generale vale il seguente
Teorema .
Sia G un gruppo topologico ed H la componente connessa dell’elemento neutro e di G. Allora H
è un sottogruppo normale chiuso.
Dimostrazione. H è chiuso per definizione, essendo una componente connessa. Per dimostrare
che è sottogruppo bisogna verificare che H ⋅ H −1 ⊆ H: sia x ∈ H, l’insieme Hx −1 è connesso perché
immagine omeomorfa di un connesso e contiene l’elemento e = xx −1 ; dunque Hx −1 ⊆ H. Sia
poi g ∈ G: l’insieme gHg −1 è connesso perché è immagine omeomorfa di un connesso, inoltre
contiene l’elemento e per cui gHg −1 ⊆ H; quindi H è normale.
Un’importante proprietà dei gruppi connessi è espressa dal seguente
Teorema .
In un gruppo topologico connesso G ogni intorno dell’elemento neutro e genera G.
Dimostrazione. Sia V un intorno di e ed H = ⟨V⟩ il sottogruppo generato dagli elementi di V. Se
h ∈ H avremo che hV ⊆ H, essendo H un sottogruppo, e che hV è un intorno aperto di h; cioè H è
intorno di ogni suo punto, quindi è aperto per la proposizione 8.2. Supponiamo ora che g ∈ G ∖ H:
135
Gruppi Topologici
vogliamo mostrare che l’intorno aperto gV è un sottoinsieme di G ∖ H. Infatti se x ∈ gV ∩ H, allora
x = gv per qualche v ∈ V e quindi g = xv −1 sarebbe il prodotto di due elementi di H, in particolare
g ∈ H, contrariamente alle ipotesi. Segue che G ∖ H è aperto, cioè che H è aperto, chiuso e non
vuoto (contiene e): essendo G connesso, H deve coincidere con G.
. Azione di gruppi
Ricordiamo che se G è un gruppo ed X un insieme, diciamo che G agisce su X se è dato un
omomorfismo φ di G nel gruppo T(X) delle applicazioni biunivoche di X in sé. In tale caso,
diciamo anche che X è un G-insieme. Se g ∈ G ed x ∈ X, scriveremo gx al posto di φ(g)(x).
Se X è uno spazio topologico e φ(g) è un omeomorfismo di X in sé per ogni g ∈ G, diremo che G
agisce sullo spazio X oppure che X è un G-spazio. Se inoltre G è uno spazio topologico diremo
che l’azione è continua se l’applicazione G × X → X definita da (g, x) → gx è continua. Se x è un
punto di X lo stabilizzatore S(x) sarà anche detto gruppo di isotropia di x. Dato un sottogruppo
H di G lo spazio G/H delle classi laterali sinistre con la topologia quoziente è anche detto spazio
omogeneo G/H.
Proposizione .
Sia G un gruppo topologico che agisce in modo continuo sullo spazio X. Siano H lo stabilizzatore
di un punto x0 di X ed Y l’orbita di x0 . Allora esiste una corrispondenza biunivoca e continua
da G/H ad Y.
Dimostrazione. Dalla continuità dell’applicazione G × X → X che manda (g, x) ↦ gx segue che
l’applicazione di G in Y che manda g ↦ gx0 è continua.
Dati due elementi g1 , g2 ∈ G, abbiamo che g1 x0 = g2 x0 se e solo se g2−1 g1 ∈ H, cioè g1 H = g2 H.
Segue che l’azione di G su X induce un’applicazione continua e biunivoca di G/H nell’orbita di
x0 , definita da gH → gx0 .
Osservazione 14.4. La corrispondenza inversa da Y a G/H non è, in generale, continua. In altre
parole, G/H non è, in generale, omeomorfo ad Y. Vale però il seguente
Teorema .
Sia G un gruppo topologico compatto che agisce in modo continuo e transitivo sullo spazio
separato X. Se H è il gruppo di isotropia di un punto, allora G/H è omeomorfo ad X.
Dimostrazione. Sia x il punto di cui H è il gruppo di isotropia. Per l’ipotesi di transitività, l’orbita
di x è tutto X. Per la proposizione precedente, sappiamo che l’applicazione gH → gx è continua e
biunivoca. Per ipotesi G è compatto, quindi per la proposizione 11.3 G/H è compatto. Di nuovo per
ipotesi X è separato, quindi per il teorema 11.5 l’applicazione gH → gx è un omeomorfismo.
Osservazione 14.6. Si noti che, nelle ipotesi del teorema, X è compatto perché G/H lo è. Inoltre H
è chiuso in G perché G/H è separato: infatti ogni punto di G/H è chiuso per la proposizione 10.2
ed H è la controimmagine in G di un punto di G/H.
136
. Connessione dei gruppi classici
Teorema .
Sia G un gruppo topologico ed H un sottogruppo. Se H e G/H sono connessi anche G è connesso.
Dimostrazione. Sia f ∶ G → Z = {0, 1} un’applicazione continua. La restrizione di f ad H è costante
essendo questo connesso; per lo stesso motivo è costante la restrizione di f ad ogni classe laterale.
Abbiamo quindi un’applicazione continua f˜∶ G/H → Z indotta da f : è costante per la connessione
di G/H. Quindi anche f è costante
. Connessione dei gruppi classici (seconda parte)
Teorema .
.
.
.
.
SO(n) è connesso
O(n) ha due componenti connesse
U(n) è connesso
SU(n) è connesso
Dimostrazione.
. Il gruppo O(n) agisce su S n−1 in modo continuo e transitivo (la verifica è lasciata al lettore:
l’azione è naturalmente quella indotta dall’azione di GLn (R) su Rn ). Il gruppo di isotropia
di un punto è isomorfo a O(n − 1) come si verifica immediatamente prendendo il gruppo
di isotropia del punto e1 = (1, 0, 0, . . . , 0). Anche SO(n) agisce transitivamente su S n−1 ,
ed il gruppo di isotropia di e1 è isomorfo a SO(n − 1). Per il teorema 14.5, sappiamo che
O(n)/ O(n − 1) e SO(n)/ SO(n − 1) sono omeomorfi a S n−1 , quindi connessi. Dato che
SO(1) è banalmente connesso, applicando induttivamente il teorema 14.7, otteniamo la
connessione di SO(n).
. Come abbiamo visto nella proposizione 13.3, O(n) non è connesso. Per 1, SO(n) è connesso
ed è anche chiuso e aperto, in quanto il complementare (cioè le matrici di O(n) con determinante −1) è chiuso: costituisce quindi una componente connessa. L’altra componente è il
suo complementare, che è omeomorfo.
. Consideriamo l’azione di U(n) su Cn . Come in 1, si vede che tale azione è transitiva sulla
sfera unitaria S 2n−1 di Cn identificato con R2n e che il gruppo di isotropia di un punto è
isomorfo a U(n − 1). Si ottiene quindi un omeomorfismo di U(n)/ U(n − 1) con S 2n−1 .
Dato che U(1) ≃ S 1 ⊆ C è connesso, applicando induttivamente il teorema 14.7 si ottiene il
punto 3.
. L’azione considerata in 3 induce un’azione transitiva di SU(n) sulla sfera S 2n−1 . Si ragione
poi nello stesso modo.
Notiamo i seguenti fatti:
. Come è chiaro dalle dimostrazioni precedenti, per O(n) non si può iniziare l’induzione,
perché O(1) non è connesso.
137
Gruppi Topologici
. Si possono dare altre dimostrazioni della connessione di SO(n), U(n) ed SU(n) attraverso
l’uso dei tori massimali di gruppi di Lie.
. Lo spazio U(n) è omeomorfo al prodotto SU(n) × S 1 attraverso l’applicazione che manda
la matrice A ∈ U(n) nella coppia (B, det A), dove B è la matrice ottenuta da A dividendo
tutti gli elementi della prima riga per det A e lasciando invariate tutte le altre righe. Dato
che S 1 è connesso, se sappiamo che SU(n) è connesso, segue che U(n) è connesso.
. Nel caso di U(n), la connessione può essere dimostrata anche con la suriettività dell’applicazione esponenziale, che è definita per i gruppi di Lie.
. Se consideriamo GLn (R) che non è compatto, non possiamo utilizzare il teorema 14.5. Esiste
tuttavia una generalizzazione di tale teorema per l’azione di gruppi localmente compatti su
spazi non necessariamente compatti. Nel corso della dimostrazione del prossimo teorema
ammetteremo l’esistenza di un omeomorfismo che è conseguenza di tale generalizzazione.
Una seconda dimostrazione sarà data utilizzando la decomposizione polare nel paragrafo
sulle decomposizioni.
Referenza?
. Osserviamo infine che tutti i gruppi di matrici considerati sono varietà topologiche, quindi
in essi la connessione equivale alla connessione per archi.
Teorema .
GLn (R) ha due componenti connesse.
Dimostrazione. Sia G+n = GL+n (R) l’insieme delle matrici con determinante strettamente positivo:
è un insieme non vuoto, aperto e chiuso. Dimostriamo per induzione su n che è anche connesso.
G+1 è la semiretta positiva, dunque è connesso.
Supponiamo ora n ⩾ 2: il gruppo G+n agisce transitivamente su Rn ∖ {O}. Se e1 è il primo versore
della base standard, il suo stabilizzatore è il sottogruppo H che ha sulla prima colonna il trasposto
di e1 . Come spazio topologico, H è omeomorfo a G+n−1 ×Rn−1 , quindi è connesso per l’ipotesi
d’induzione. Per la proposizione 14.3, G+n /H è in corrispondenza biunivoca con Rn ∖ {O}, che è
connesso. Non possiamo applicare il teorema 14.5 perché G+n non è compatto, ma ammettiamo
ugualmente, senza dimostrazione, che questi due spazi connessi siano omeomorfi (esiste una
generalizzazione del teorema 14.5 al caso di gruppi localmente compatti che può essere applicata in
questo caso: vedi il teorema 2.3.2 di [T]). Grazie al teorema 14.7 concludiamo che G+n è connesso e
quindi una componente connessa di GLn (R). L’altra componente è ovviamente il complementare
G−n che è omeomorfo a G+n .
Teorema .
GLn (C) è connesso.
Dimostrazione. Sia A una matrice di GLn (C) e indichiamo con a1 , a2 , . . . , an le sue righe, che
formano una base di Cn e a cui possiamo, quindi, applicare il procedimento di ortogonalizzazione
138
. SU(2) ed SO(3)
di Gram-Schmidt. Otteniamo una base ortonormale:
v1 = k11 a1
v2 = k21 a1 + k22 a2
⋮
vn = k n1 a1 + k22 a2 + ⋅ ⋅ ⋅ + k nn an
con k ii ≠ 0, per ogni i. Se K è la matrice con elementi k i j (che sono zero se j > i), allora KA è la
matrice le cui righe sono v1 , v2 , . . . , vn . Dato che questi vettori formano una base ortonormale, la
matrice KA è unitaria e quindi A = K −1 Q con Q unitaria e K triangolare inferiore con determinante
non nullo. Le matrici triangolari inferiori con determinante diverso da zero formano un gruppo
moltiplicativo T(n)∗ e topologicamente formano uno spazio omeomorfo a (C∗ )n × Cn(n−1)/2 , che
è connesso. L’applicazione T(n)∗ × U(n) → GLn (C) che associa alla coppia (K, Q) la matrice
K −1 Q è suriettiva per quanto visto. Dato che U(n) è connesso segue che GLn (C) è connesso.
. SU(2) ed SO(3)
Abbiamo studiato SO(3) e SU(2) dal punto di vista algebrico nel capitolo 6. In particolare abbiamo
visto che SO(3) è isomorfo a SU(2)/{±I}, dove {±I} è il centro di SU(2). D’altro canto, questi
due gruppi sono dotati in modo naturale di una topologia per cui sono dei gruppi topologici.
L’applicazione canonica φ∶ SU(2) → SO(3) è continua come si vede scrivendola esplicitamente in
termini di coordinate. Possiamo vedere SU(2) come uno spazio su cui agisce moltiplicativamente
il gruppo {±I}. Sia Y lo spazio quoziente: è compatto in quanto quoziente di SU(2) che è compatto.
L’applicazione φ induce un’applicazione continua Y → SO(3) che è biunivoca perché Y ed SO(3)
coincidono come insiemi. Essendo SO(3) separato, concludiamo per il teorema 11.5 che:
Proposizione .
SO(3) è omeomorfo a SU(2)/{±I}.
Ricordiamo anche che SU(2) è omeomorfo alla sfera S 3 ed è immediato vedere che se alla matrice A di SU(2) corrisponde il punto P di coordinate (x1 , x2 , x3 , x4 ), allora alla matrice −A corrisponde il punto −P e che quindi il passaggio al quoziente modulo {±I} in SU(2) corrisponde all’identificazione antipodale nella sfera S 3 . I due spazi quozienti sono quindi omeomorfi ed
abbiamo che:
Proposizione .
SO(3) è omeomorfo a P3 (R).
Osservazione 14.13. Indichiamo con S1+ l’insieme dei punti di S 3 aventi la prima coordinata x1 > 0 e
con S1− il suo antipodale costituito dai punti con x1 < 0. Questi due insiemi sono aperti e disgiunti
e la loro riunione è un aperto saturo di S 3 . La restrizione a S1+ dell’applicazione p ∶ S 3 → P3 (R) è
continua ed iniettiva e l’insieme W1 = p(S1+ ) = p(S1− ) è un aperto di P3 (R) la cui controimmagine
139
Gruppi Topologici
è formata da S1+ ∪ S1− . L’insieme S1+ è omeomorfo a W1 attraverso la p: infatti se A è un aperto di
S1+ avremo p−1 (p(A)) = A ∪ (−A) cioè la controimmagine di p(A) è un aperto e quindi p(A)
è aperto con la topologia quoziente. Analogamente p induce un omeomorfismo fra S1− e W1 . Se
introduciamo in modo analogo gli insiemi S i+ , S i− , Wi con i = 1, 2, 3, 4, vediamo che ogni punto x
di P3 (R) è contenuto in uno dei Wi , cioè è contenuto in un aperto Vx la cui controimmagine è
costituita da due aperti disgiunti ciascuno dei quali è omeomorfo a Vx attraverso la p. Si dice allora
che p ∶ S 3 → P3 (R) è un rivestimento (a due fogli). In particolare i due spazi sono localmente
omeomorfi. Vedremo l’importanza dei rivestimenti nel capitolo 16.
Esempio
Vogliamo dimostrare che O(1, 1) ha quattro componenti connesse. Lasciamo al lettore il compito
di dimostrare ciascuna delle seguenti affermazioni
. La matrice A = ( ac db ) appartiene ad O(1, 1) se e solo se a2 − c 2 = 1, d 2 − b2 = 1 e ab − cd = 0.
. Le matrici di O(1, 1) hanno determinante ±1 e si verificano entrambi i casi.
. O(1, 1) è la riunione di quattro connessi disgiunti che si parametrizzano come segue:
(
ch θ sh θ
ch θ − sh θ
− ch θ sh θ
− ch θ − sh θ
), (
), (
), (
)
sh θ ch θ
sh θ − ch θ
− sh θ ch θ
− sh θ − ch θ
dove
eθ − e−θ
eθ + e−θ
, ch θ =
,
2
2
(si osservi che sh è un omeomorfismo di R in sé).
sh θ =
θ∈R
. Consideriamo l’azione di O(1, 1) su R2 (con coordinate x, y): l’insieme x 2 − y 2 = 0 viene
mandato in sé e quindi le due rette che lo compongono vengono o fissate o scambiate fra
loro.
. Fissiamo come positive le orientazioni determinate sulle due rette di x 2 − y2 = 0 dai vettori
(1, 1) ed (1, −1): allora una matrice di O(1, 1) mantiene entrambe le orientazioni oppure le
cambia entrambe.
. Esiste un omomorfismo suriettivo φ∶ O(1, 1) → Z/2Z×Z/2Z in cui i quattro insiemi connessi
di cui sopra sono le controimmagini dei quattro elementi.
. Ciascuno dei quattro insiemi connessi è aperto e chiuso (usare una dimostrazione diretta
o alternativamente dimostrare che φ è continuo, una volta dotato il gruppo Z/2Z × Z/2Z
della topologia discreta).
. I quattro insiemi connessi trovati sono le componenti connesse di O(1, 1).
. Tori
Il toro n-dimensionale T n è per definizione il gruppo topologico S 1 × ⋅ ⋅ ⋅ × S 1 , prodotto di n
copie di S 1 , con la struttura algebrica e topologica prodotto. In particolare T 1 = S 1 e T 2 = T, la
140
. Tori
superficie che abbiamo chiamato toro. In generale diremo che un gruppo topologico G è un toro se
è isomorfo, come gruppo topologico, a T n per qualche n; cioè se esiste un’applicazione f ∶ G → T n
che è un isomorfismo algebrico ed omeomorfismo topologico.
Esempi
. SO(2) ≃ U(1) è un toro 1-dimensionale.
. Una matrice diagonale A di U(n) è della forma (
ei θ 1
⋱
ei θ n
) perché gli autovalori di una
matrice unitaria sono numeri complessi di valore assoluto uno. Quindi le matrici diagonali
di U(n) formano un toro T n , associando alla matrice A l’n-upla (eiθ 1 , . . . eiθ n ).
Notiamo che i tori sono gruppi topologici compatti, connessi, abeliani. Tali proprietà caraterizzano
i tori, nel senso che si ha il seguente e importante teorema di cui non diamo la dimostrazione (vedi
[Adams])
Teorema .
Sia G un gruppo di matrici compatto, connesso, abeliano. Allora G è un toro.
Osservazione 14.15. Tale teorema vale più in generale per i gruppi di Lie (vedi [Adams]) e la sua
dimostrazione si basa sull’applicazione esponenziale (generalizzazione di quanto noi definiremo
nel paragrafo 17.5) dal rivestimento universale di G a G stesso.
Un gruppo topologico G si dice monogeno se esiste x ∈ G tale che il sottogruppo ⟨x⟩ è denso in G;
tale x sarà detto un generatore topologico di G. È chiaro ad esempio che R(+) non è monogeno.
Proposizione .
Il toro T n è monogeno.
Dimostrazione. Facciamo la dimostrazione solo nel caso n = 1, quello generale essendo del tutto
analogo.
Pensiamo ad S 1 come R/Z. Fissiamo una base numerabile U1 , U2 , . . . di aperti per la topologia
di S 1 . Penseremo agli U1 come sottoinsiemi di [0, 1). Vogliamo trovare un x ∈ [0, 1) tale per ogni
Uk esiste un multiplo nx di x appartenente ad Uk (con n > 0). Sia I1 = [a1 , b1 ] ⊆ U1 con a1 ≠ b1 ;
se n1 è un intero positivo sufficientemente grande, allora n1 I1 = [n1 a1 , n1 b1 ] ⊇ [0, 1]. Quindi nel
quoziente S 1 , l’immagine di n1 I1 è tutto S 1 .
Possiamo allora scegliere un intervallo I2 = [a2 , b2 ] ⊆ I1 con a2 ≠ b2 tale che n1 I2 ⊆ U2 . Ciò
è possibile perché la moltiplicazione per n1 è un’applicazione continua da S 1 in sé e quindi la
controimmagine di U2 è un aperto e quindi contiene un intervallo chiuso. Sia poi n2 un intero
positivo tale che l’immagine in R/Z di n2 I2 sia tutto S 1 . E così via. . .
L’intersezione I = ⋂+∞
k=1 I k è non vuota; inoltre se x ∈ I, per ogni Uk avremo n k−1 x ∈ n k−1 I k ⊆ Uk .
Se I contiene due punti distinti x < y, posto d = y − x, avremo n k y − n k x = n k d ⩾ d. Dato che la
famiglia di aperti {Uk }k forma una base, deve contenere aperti piccoli a piacere: in particolare,
141
Gruppi Topologici
contiene aperti di diametro minore di d quindi I non può contenere due punti distinti. L’unico
elemento x così determinato è pertanto un generatore topologico di S 1 .
Dato un gruppo topologico G, un suo sottogruppo T che è un toro, sarà detto un toro di G. Nel
caso in cui T non sia contenuto propriamente in un altro toro di G, diremo che T è un toro
massimale di G. Osserviamo che i tori di G sono connessi e contengono l’elemento neutro di G,
quindi sono contenuti nella componente connessa (dell’elemento neutro). Segue ad esempio che i
tori di O(n) coincidono con quelli di SO(n). Un toro T di un gruppo di matrici G è chiuso in G
perché è compatto in uno spazio separato.
Se T è un toro di G, allora anche i suoi coniugati xTx −1 sono tori, dato che l’operazione di coniugio
per x che manda t in xtx −1 è un isomorfismo di G in sé che induce un isomorfismo fra T e xTx −1 .
Inoltre se T è un toro massimale, anche xTx −1 lo è, come si verifica facilmente. Osserviamo infine
che se T è un toro, l’insieme ⋃x∈G xTx −1 è connesso in quanto riunione di connessi contenenti
tutti l’elemento neutro.
Tori massimali di U(n), SU(n), SO(n)
Sia G uno dei seguenti gruppi: U(n), SU(n), SO(n). Nel paragrafo 2.6, abbiamo introdotto i
sottogruppi TG e precisamente
G
TG
SO(2n + 1)
⎫
⎧
Rθ
⎪
⎞⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎛ 1 ⋱
⎟⎬
⎨⎜
R
⎪
θ n ⎠⎪
⎪
⎪
⎪
1 ⎪
⎭
⎩⎝
SO(2n)
U(n)
SU(n)
⎫
⎧
⎪
⎞⎪
⎪
⎪⎛ R θ 1
⋱
⎬
⎨
⎪
⎝
⎪
⎪
R θ n ⎠⎪
⎭
⎩
⎫
⎧
iθ
⎪
⎞⎪
⎪
⎪⎛ e 1
⋱
⎬
⎨
⎪
⎪
⎝
⎪
eiθ n ⎠⎪
⎭
⎩
⎫
⎧
iθ
⎪
⎪
⎞
⎪
⎪⎛ e 1
n
⋱
∶ ∑i θ i = 2kπ ⎬
⎨
⎪
⎪
⎝
⎪
⎪
eiθ n ⎠
⎭
⎩
. Abbiamo dimostrato che i gruppi TG sono isomorfi algebricamente a dei tori. È immediato
vedere che in ciascun caso l’isomorfismo è un isomorfismo di gruppi topologici.
. Abbiamo verificato, in ciascun caso, che TG non è contenuto propriamente in nessun
sottogruppo commutativo di G; in particolare, TG è un toro massimale di G che abbiamo
chiamato toro massimale standard di G.
. Nel teorema 2.31 abbiamo visto che G = ⋃x∈G xTG x −1 . Cioè G è ricoperto dai coniugati del
toro massimale standard, che sono essi stessi tori massimali.
. Dai due punti precedenti segue che ogni toro massimale di G è un coniugato di TG .
Sia infatti s un generatore topologico del toro massimale S. Per la (3), s ∈ xTG x −1 per un
opportuno x ∈ G. Quindi S ⊆ xTG x −1 : per la massimalità di S, abbiamo S = xTG x −1 .
Più in generale, le proprietà precedenti valgono per ogni gruppo di matrici:
Teorema .
Sia G un gruppo di matrici compatto e connesso. Allora:
. Esiste un toro massimale T
. G è ricoperto dai coniugati di T, cioè G = ⋃x∈G xTx −1
. ogni toro massimale di G è un coniugato di T
142
. Decomposizioni
Osservazione 14.18. La (3) si ricava dalle prime due esattamente come nel caso di U(n), ecc.
Osservazione 14.19. Il teorema è vero, ancora più in generale, per i gruppi di Lie compatti e connessi
(vedi [Adams]).
Osservazione 14.20. Se G non è compatto, in generale non contiene alcun toro: ad esempio (Rn , +).
Osservazione 14.21. Se in un gruppo di matrici valgono (1) e (2), allora tale gruppo è certamente
connesso in quanto riunione di una famiglia di connessi aventi intersezione non vuota (l’elemento
neutro).
. Decomposizioni
Dato un gruppo topologico G diciamo che G = G1 ⋅ G2 è una decomposizione di G se G1 e G2
sono sottoinsiemi di G ed ogni elemento x ∈ G si scrive in modo unico come x1 x2 con x1 ∈ G1 e
x2 ∈ G2 . Se G1 e G2 sono sottogruppi, non si pretende che G sia algebricamente isomorfo al gruppo
prodotto G1 × G2 .
Proposizione . (decomposizione polare)
Si hanno le seguenti decomposizioni:
GLn (R) = O(n) × Sn (R)+
GLn (C) = U(n) × Hn (C)+
dove Sn (R)+ sono le matrici simmetriche reali definite positive e Hn (C)+ sono le matrici
hermitiane complesse definite positive.
Tali decomposizioni sono omeomorfismi.
Dimostrazione. Facciamo la dimostrazione per il caso GLn (R).
Data M ∈ GLn (R), vogliamo scrivere M = CS dove C ∈ O(n), S ∈ Sn (R)+ , ora
M = tS tC = SC −1
t
quindi
t
MM = S 2
cioè la S è una «radice quadrata» di tMM. La matrice A = tMM è simmetrica e definita positiva,
infatti la forma quadratica corrispondente è
X ↦ tX tMMX = ⟨MX, MX⟩
che è > 0 se X ≠ 0. Diagonalizziamo la matrice A con una D ∈ O(n): avremo
DAD−1 = (
con α i > 0. Allora
−1
S ∶= D (
α1
√
α1
⋱
αn
⋱√
) =∶ F
αn
)D
143
Gruppi Topologici
è una matrice simmetrica definita positiva e tale che S 2 = A.
La matrice C = MS −1 appartiene ad O(n), infatti
⟨CX, CY⟩ = ⟨MS −1 X, MS −1 Y⟩ = ⟨tMMS −1 X, S −1 Y⟩ =
−1
⟨S 2 S −1 X, S −1 Y⟩ = ⟨t S SX, Y⟩ = ⟨X, Y⟩
tenuto conto che tS = S.
Vediamo ora che la matrice S (e quindi C) è univocamente determinata. Dimostriamo dapprima
che S è un polinomio in A. Data A = D −1 FD, avremo Ak = D −1 F k D per ogni intero k ⩾ 0. Quindi
dato un polinomio P(x) = a0 + a1 x + ⋅ ⋅ ⋅ + a m x m , si ha P(A) = D −1 P(F)D. Essendo F diagonale,
abbiamo
P(F) = (
Allora, se P(α i ) =
√
P(α 1 )
⋱
P(α n )
P(A) = D −1 (
),
P(α 1 )
⋱
P(α n )
)D
α i , segue che
P(A) = D −1 (
√
α1
⋱√
αn
)D = S
Come noto, un polinomio di questo tipo esiste sempre (usando per esempio, l’interpolazione di
Lagrange o di Newton). Supponiamo ora che S1 sia simmetrica, definita positiva ed S12 = A. Allora
A ed S1 commutano e quindi S1 commuta con S (che è un polinomio in A). Le matrici S ed S1
possono allora essere diagonalizzate simultaneamente: dato che i loro autovalori sono positivi ed
S 2 = S12 , deve essere S = S1 .
L’applicazione
/ GLn (R)
Ψ∶ O(n) × Sn (R)+
(C, S) / CS
è dunque biunivoca ed ovviamente continua. Dobbiamo verificare che anche l’inversa è continua.
Sia {M n } una successione tendente ad M in GLn (R); abbiamo M n = C n S n ed M = CS dove C n , C
sono ortogonali mentre S n , S sono simmetriche definite positive. Vogliamo mostrare che C n → C
e che S n → S. È chiaro che, se C n → C, allora S n = C n−1 M n → C −1 M = S; basterà quindi dimostrare
che C n → C. Essendo O(n) compatto, ciò è equivalente a dimostrare che tutte le sottosuccessioni
convergenti di C n convergono a C (ricordiamo che tali sottosuccessioni esistono perché O(n)
è compatto). Sia {C n k } una sottosuccessione convergente a C ′ ∈ O(n). Allora S n k = C n−1k M n k
converge a S ′ = (C ′ )−1 M. La matrice S ′ è simmetrica in quanto limite di matrici simmetriche;
inoltre, ragionando come sopra, (S ′ )2 = tMM e quindi S ′ è definita positiva. Per la biunivocità di
Ψ, segue che S ′ = S e C ′ = C.
Proposizione . (decomposizione di Iwasawa)
Si hanno le seguenti decomposizioni:
SLn (R) = SO(n) × A × NR
144
SLn (C) = SU(n) × A × NC
. Decomposizioni
dove
A = {matrici diagonali (
λ1
0
⋱
0
λn
) ∶ λ i ∈ R>0 , λ1 . . . λ n = 1}
1
∗
⋱ )}
0 1
1
∗
NC = {matrici unipotenti a coefficienti complessi ( ⋱ )}
0 1
NR = {matrici unipotenti a coefficienti reali (
Le decomposizioni precedenti sono degli omeomorfismi,
Dimostrazione. Dimostriamo il teorema solo nel caso di G = SL2 (C): negli altri casi la dimostrazione è simile e si ottiene con le modifiche evidenti. Poniamo N = NC e K = SU(2).
Osserviamo che AN è formato dalle matrici {( 0λ
AN = NA.
α )
λ−1
∶ α ∈ C, λ ∈ R>0 } ed è un sottogruppo perché
L’intersezione A ∩ N è costituita dalla sola matrice identità: segue che ogni t = ( 0λ λα−1 ) ∈ AN si
scrive in modo unico come prodotto t = an dove a = ( 0λ λ0−1 ) ∈ A ed n = ( 01 α/λ
1 ) ∈ N.
Se g ∈ G, vogliamo trovare k ∈ K, a ∈ A, n ∈ N tali che g = kan = kt, cioè tg −1 = k −1 ∈ K.
Cerchiamo allora una matrice triangolare superiore t tale che tg −1 ∈ U(2). Siano {e1 , e2 } la base
standard di C2 ed f i = g −1 (e i ), con i = 1, 2.
L’ortonormalizzazione della base { f1 , f2 } con il procedimento di Gram–Schmidt si realizza con
una matrice t triangolare superiore avente sulla diagonale elementi reali e strettamente positivi. In
particolare: det(t) ∈ R>0 .
La matrice tg −1 manda {e1 , e2 } in una base ortonormale, quindi tg −1 ∈ U(2). Inoltre il suo
determinante è reale e positivo, quindi tg −1 ∈ SU(2). Segue che l’applicazione
φ∶ K × A × N
(k, a, n) /G
/ kan
è suriettiva, quindi G = KAN; essa è ovviamente continua. La Φ è iniettiva perché K ed AN sono
sottogruppi e la loro intersezione è costituita dalla sola matrice identità: infatti ( 0λ λα−1 ) ∈ SU(2) se
e solo se le colonne hanno lunghezza uno e sono ortogonali. Dato che λ ∈ R>0 , queste condizioni
sono verificate se e solo se λ = 1 ed α = 0.
Verifichiamo infine che Φ è un omeomorfismo. Le componenti di f1 = g −1 (e1 ) ed f2 = g −1 (e2 )
variano con continuità al variare di g in SL2 (C). D’altra parte, i coefficienti della matrice t del processo di Gram-Schmidt dipendono con continuità dalle componenti di f1 , f2 ; quindi l’applicazione
g ↦ t = t(g) è continua. Anche la matrice k = g t −1 dipende allora con continuità da g. Infine,
è facile vericare che l’applicazione A × N → AN che manda (a, n) in an è un omeomorfismo,
quindi (a, n) dipende con continuità da k. Segue che Φ−1 (g) = (k, a, n) è continua.
Ricordiamo inoltre i seguenti omeomorfismi:
Proposizione .
L’applicazione che associa ad una matrice A la coppia (det A, B), dove B è la matrice ottenuta
145
Gruppi Topologici
da A dividendo tutti gli elementi della prima riga per det A e lasciando invariate le altre righe
induce gli omeomorfismi:
GL+n (R) ≃ R+∗ × SLn (R)
GLn (C) ≃ C∗ × SLn (C)
O(n) ≃ {±1} × SO(n)
U(n) ≃ S 1 × SU(n)
Corollario .
GL+n (R) è omeomorfo a SO(n) × S+n (R), quindi è connesso.
Dimostrazione. La prima affermazione segue dalle proposizioni 14.22 e 14.24. La seconda affermazione segue dal teorema 14.8 e dall’esercizio 14.1.
Esercizi
Esercizio 14.1. Si dimostri che S+n (R) è un semicono convesso in Rn(n+1)/2 . Un sottoinsieme X di
Rn si dice convesso se dati due punti a, b ∈ X il segmento (1 − t)a + tb, con t ∈ [0, 1], è contenuto
in X; X è un semicono se dato un punto a ∈ X, la semiretta ta, con t > 0, è contenuta in X.
146
Parte III
Topologia Algebrica
147
Gruppo Fondamentale
D’ora in poi tutti gli spazi topologici considerati saranno connessi per archi, anche se questa
ipotesi non venisse ricordata esplicitamente.
. Omotopia di cammini e π1
Omotopia di cammini
Sia dunque X un tale spazio e x0 , x1 due suoi punti. Dati due cammini α e β aventi punto iniziale
x0 e punto finale x1 , diciamo che sono cammini omotopi relativamente a {0, 1} e scriviamo
α ≅ β rel {0, 1} se esiste un’applicazione F∶ I × I → X tale che
F(x, 0) = α(x)
F(x, 1) = β(x)
per ogni x ∈ I
F(0, t) = x0
F(1, t) = x1
per ogni t ∈ I
L’applicazione F è detta un’omotopia da α a β (relativamente a {0, 1}). Per ogni t fissato l’applicazione Ft (x) = F(x, t) è un cammino da x0 ad x1 : F0 coincide con α ed F1 coincide con β.
β
F
0
/
x0
x1
X
1
α
La relazione di omotopia appena descritta è una relazione di equivalenza fra i cammini da x0 a x1
ed indichiamo con [α] la classe di α. Se α e β sono due cammini da x0 a x1 , e γ e δ due cammini
da x1 a x2 , i cammini αγ e βδ vanno da x0 a x2 . Se [α] = [β] ed anche [γ] = [δ] allora [αγ] = [βδ].
Lasciamo al lettore la verifica delle affermazioni precedenti.
Fissiamo ora un punto x0 e consideriamo i cammini chiusi in x0 , cioè i cammini aventi punto
iniziale e finale coincidenti con x0 . In base alle considerazioni precedenti possiamo definire una
149
Gruppo Fondamentale
moltiplicazione fra le classi di cammini ponendo [α][β] = [αβ]. Nel seguito indicheremo con x0
anche il cammino costante nel punto x0 . Abbiamo allora il seguente
Teorema .
L’insieme delle classi di omotopia (relativamente a {0, 1}) dei cammini chiusi in x0 , con la moltiplicazione sopra definita, forma un gruppo detto gruppo fondamentale di X in x0 e denotato
π1 (X, x0 ).
Dimostrazione.
• L’elemento neutro è ovviamente la classe del cammino costante in x0 .
• L’inverso di [α] è la classe [α −1 ], dove α −1 è il cammino inverso di α. Infatti un’omotopia
fra il cammino costante ed il cammino αα −1 è data da
⎧
α(2x)
⎪
⎪
⎪
⎪
F(x, t) = ⎨α(t)
⎪
⎪
⎪
−1
⎪
⎩α (2x − 1)
se 0 ⩽ 2x ⩽ t
se t ⩽ 2x ⩽ 2 − t
se 2 − t ⩽ 2x ⩽ 2
(15.1)
Lasciamo come esercizio al lettore la costruzione di un’omotopia fra il cammino costante
ed α −1 α.
• L’associatività del prodotto segue dall’esercizio 12.8 e dell’esercizio 15.5.
Diremo che un cammino chiuso α in x0 è omotopicamente banale se [α] è l’elemento neutro. Ciò
significa che α può essere deformato con continuità fino al cammino costante.
L’ipotesi che lo spazio X sia connesso per archi implica il seguente
Teorema .
Sia γ un cammino da x0 a x1 . L’applicazione [α] ↦ [γ−1 αγ] è un’isomorfismo da π1 (X, x0 ) a
π1 (X, x1 ).
Dimostrazione. È facile verificare che l’applicazione è un omomorfismo. Inoltre essa ammette
un’inversa [β] ↦ [γβγ −1 ]
Indicheremo nel seguito tale applicazione con γ∗ . Al variare del punto base x0 in X otteniamo
quindi dei gruppi fondamentali che sono isomorfi fra loro. Se non vogliamo mettere in evidenza un particolare punto base, scriveremo π1 (X) invece che π1 (X, x0 ) e lo chiameremo gruppo
fondamentale di X.
Diremo che uno spazio è semplicemente connesso se il suo gruppo fondamentale è banale. Per il
teorema 15.2, tale definizione è indipendente dalla scelta del punto x0 .
150
. Tipo di omotopia
Omomorfismo Indotto
Supponiamo ora che f sia un’applicazione continua da X ad Y e poniamo y0 = f (x0 ). Ad essa è
associata un’applicazione f∗ ∶ π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ) definita da f∗ ([α]) = [ f α]. È facile verificare
che f∗ è un omomorfismo ben definito, detto omomorfismo indotto e che se g è un’applicazione
di Y in Z tale che g(y0 ) = z0 , allora (g f )∗ = g∗ f∗ . È chiaro che se X è omeomorfo ad Y allora
i gruppi fondamentali di X ed Y sono isomorfi. Vediamo ora che due spazi omotopicamente
equivalente hanno gruppi fondamentali isomorfi.
. Tipo di omotopia
Funzioni Omotope
Sia Y uno spazio topologico ed A un suo sottospazio. Date due applicazioni f , g da Y ad X tali che
le loro restrizioni ad A coincidano, diciamo che f è omotopa a g relativamente ad A e scriviamo
f ≅ g rel A se esiste un’applicazione continua F∶ Y × I → X tale che
F(y, 0) = f (y)
F(y, 1) = g(y)
F(y, t) = f (y) = g(y)
per ogni y ∈ Y
per ogni y ∈ A
Se A è l’insieme vuoto diremo semplicemente che f è omotopa a g.
f
Y
A
F
X
f (Y)
g
g(Y)
f (A) = g(A)
Spazi Contraibili
Uno spazio si dice contraibile se l’applicazione identità 1X di X in sé è omotopa ad un’applicazione
costante da X ad un punto.
Un esempio di tali spazi è Rn : infatti se x = (x1 , . . . x n ), l’applicazione F(x, t) = tx = (tx1 , . . . , tx n )
è un’omotopia dall’applicazione identità all’applicazione costante che manda tutto Rn nell’origine.
Altri esempi sono: gli intervalli di R; gli insiemi B(O, ε) e le loro chiusure in Rn ; ogni insieme
stellato di Rn , cioè ogni insieme formato dalla riunione di segmenti aperti o chiusi passanti tutti
per uno stesso punto; ogni insieme convesso di Rn .
151
Gruppo Fondamentale
Lasciamo come esercizio la dimostrazione della seguente
Proposizione .
Uno spazio X è contraibile se e solo se per ogni spazio Y due qualsiasi applicazioni da Y in X
sono omotope.
Due spazi X ed Y sono detti dello stesso tipo di omotopia oppure omotopicamente equivalenti
se esistono due applicazioni f ∶ X → Y e g∶ Y → X tali che g f sia omotopa a 1X e f g sia omotopa
1Y . Le applicazioni f e g sono anche dette equivalenze omotopiche.
Esempi
. X è contraibile se e solo se è omotopicamente equivalente allo spazio costituito da un solo
punto.
. Rn ∖ {punto} ha lo stesso tipo di omotopia di S n−1 , se n ⩾ 2.
Teorema .
Uno spazio contraibile è semplicemente connesso.
Dimostrazione. Per ipotesi sappiamo che esiste un’omotopia F da 1X all’applicazione costante
che manda tutto X in un suo punto x0 . Supponiamo per semplicità che durante l’omotopia x0
sia sempre mandato in sé, cioè F(x0 , t) = x0 per ogni t. Questo significa che 1X è omotopa
all’applicazione costante x0 relativamente a x0 . Sia α un cammino chiuso in x0 : per ogni t il
cammino α t (x) = F(α(x), t) è un cammino chiuso in x0 ; otteniamo quindi un’omotopia di
cammini chiusi in x0 da α0 = α ad α1 che è il cammino costante in x0 .
Nel caso generale in cui non valga l’ipotesi semplificativa sulla F, consideriamo l’applicazione α×1 ∶
I×I Ð→ X×I e componiamola con la F: otteneniamo così un’applicazione G(x, t) ∶ I×I Ð→ X tale
che G(x, 0) = α(x) e G(x, 1) = x0 . Inoltre G(0, t) = F(α(0), t) = F(x0 , t) = F(α(1), t) = G(1, t).
Al variare di t, G(0, t) descrive un cammino chiuso γ in x0 identico a quello descritto da G(1, t).
Per la proposizione seguente α è omotopo al cammino chiuso γ−1 x0 γ rel {0, 1}, che è omotopicamente banale.
Proposizione .
Sia G(x, t) ∶ I × I → X un’applicazione continua. Poniamo: α(x) = G(x, 0); β(x) = G(x, 1);
γ(t) = G(0, t); δ(t) = G(1, t). Allora α ≅ δ −1 βγ rel {0, 1}.
Dimostrazione. Siano a, b, c, d i cammini I → I×I dati da a(t) = (t, 0), b(t) = (t, 1), c(t) = (0, t),
d(t) = (1, t); allora a ≅ cbd −1 rel {0, 1} tramite una funzione H ∶ I × I → I × I. Segue che
F = G ○ H ∶ I × I → X è un’omotopia da α a γβδ −1 rel {0, 1}.
152
. Tipo di omotopia
β
b
c
d
0
a
G
1
/
γ
δ
0
α
X
1
Proposizione .
Sia F(y, t) ∶ Y × I → X un’omotopia fra le applicazione f (y) = F(y, 0) e g(y) = F(y, 1) da
Y a X. Siano x0 = f (y0 ), x1 = g(y0 ) ed α(t) = F(y0 , t). Se f∗ e g∗ sono gli omomorfismi
indotti da f e g rispettivamente sui gruppi fondamentali e se α ∗ è l’isomorfismo fra π1 (X, x0 ) e
π1 (X, x1 ) associato ad α, allora g∗ = α ∗ f∗ .
Dimostrazione. Per ogni cammino chiuso β in y0 , la funzione F(β(s), t) è tale che F(β(s), 0) =
f (β(s)), F(β(s), 1) = g(β(s)); inoltre F(β(0), t) = F(y0 , t) = F(β(1), t) = α(t). Possiamo
quindi applicare la proposizione 15.5 alla funzione (s, t) ↦ F(β(s), t) da I × I in X.
Possiamo ora generalizzare l’ultimo teorema:
Teorema .
Se i due spazi X ed Y sono omotopicamente equivalenti allora i gruppi fondamentali π1 (X) e
π1 (Y) sono isomorfi.
Dimostrazione. Siano f un’applicazione da X ad Y e g un’applicazione da Y ad X tali che f g è
omotopa all’identità di Y e g f è omotopa all’identità di X. Siano x0 un punto di X, y0 = f (x0 ),
x1 = g(y0 ), y1 = f (x1 ). Per la proposizione precedente, (g f )∗ = g∗ f∗ è un isomorfismo fra
π1 (X, x0 ) e π1 (X, x1 ); quindi f∗ è un omomorfismo iniettivo da π1 (X, x0 ) a π1 (Y, y0 ) e g∗ è un
omomorfismo suriettivo da π1 (Y, y0 ) a π1 (X, x0 ). Ripetendo l’analogo ragionamento per f g, e
partendo dal punto y0 ∈ Y, otteniamo che anche g∗ è iniettivo.
Esempi
. π1 (R2 ∖ {punto}) = π1 (S 1 ) = Z.
153
Gruppo Fondamentale
. R2 ∖ {due punti} è omotopicamente equivalente alla figura «ad otto», cioè allo spazio
ottenuto unendo due cerchi in un punto; vedremo che il suo gruppo fondamentale è il
gruppo libero su due generatori.
. π1 (Rn ∖ {punto}) = π1 (S n−1 ) = {1} se n ⩾ 3, come vedremo.
. Rn ∖ {k punti} = {1} per n ⩾ 3: è intuitivo che un cammino in tale spazio possa essere
sempre deformato al cammino costante. Alternativamente, si può usare induttivamente il
teorema di Van Kampen, che enuncieremo nel paragrafo 15.5.
Nel seguito utilizzeremo il seguente
Teorema .
Dato uno spazio X con un suo punto x0 ed uno spazio Y con un suo punto y0 , allora il gruppo
fondamentale π1 (X × Y, (x0 , y0 )) è isomorfo a π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 ).
Dimostrazione. Siano p e q le proiezioni di X × Y su X ed Y rispettivamente. Esse inducono un
omomorfismo (p∗ , q∗ ) ∶ π1 (X × Y, (x0 , y0 )) → π1 (X, x0 ) × π1 (Y, y0 ) che è un isomorfismo
in quanto ammette, come si può verificare senza troppa fatica, il seguente inverso: alla coppia
([α], [β]) corrisponde la classe del cammino chiuso γ in (x0 , y0 ) definito da γ(t) = (α(t), β(t)).
Retratti di deformazione
Dato uno spazio X ed un suo sottospazio A, indichiamo con i l’inclusione di A in X. Diciamo che
A è un retratto (forte) di deformazione di X se esiste un’applicazione r ∶ X → A tale che la sua
restrizione ad A sia l’identità su A e tale che i ○ r ≃ 1X rel (A).
In altre parole deve esistere un’omotopia F(x, t) ∶ X × I → X tale che F(x, 0) = x per ogni x ∈ X,
F(a, t) = a per ogni a ∈ A ed ogni ogni t ∈ I, ed infine F(x, 1) ∈ A per ogni x ∈ X. Da quanto visto
segue che A ed X hanno lo stesso tipo di omotopia e che l’applicazione i induce un isomorfismo
sui gruppi fondamentali.
Esempi
. Un esempio tipico è S n come retratto (forte) di R n+1 ∖ {0}. L’omotopia è in questo caso
F(x, t) = tx/ ∥x∥ + (1 − t)x. Nel paragrafo seguente dimostreremo che π1 (S 1 ) = Z, quindi
π1 (R2 ∖ {0}) = Z. Segue che R2 non ha lo stesso tipo di omotopia di R2 ∖ {0} e quindi
i due spazi non sono omeomorfi. Osserviamo ancora che S 2 è semplicemente connesso
(come vedremo) quindi non possiamo usare lo stesso argomento per dimostrare che R3 non
è omotopo ad R3 ∖ {0}.
. Ricordiamo che il cilindro e la banda di Möbius sono entrambi quozienti del quadrato
[0, 1] × [0, 1] di R2 (vedi il capitolo 9). Lasciamo al lettore il compito di verificare che
l’applicazione r ∶ [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] × {1/2} che manda (x, t) in (x, 1/2) passa al
quoziente in entrambi i casi e rende S 1 un retratto (forte) del cilindro e della banda.
154
. Gruppo fondamentale di S 1
. Gruppo fondamentale di S 1
Consideriamo l’applicazione φ∶ R → C che manda x in φ(x) = e2πix : la sua immagine è il cerchio
unitario . Abbiamo così un’applicazione continua φ∶ R → S 1 tale che, per ogni y ∈ S 1 , esiste
un intorno aperto U la cui controimmagine φ−1 (U) è la riunione disgiunta di aperti, ciascuno
omeomorfo ad U attraverso φ. Questo è un esempio di rivestimento, nozione sulla quale torneremo
nel prossimo capitolo. Vale allora il seguente teorema, che dimostreremo più avanti.
Teorema . (sollevamento dei cammini e delle omotopie)
Dato un cammino α in S 1 con punto iniziale 1, esiste un unico cammino f in R con punto iniziale
0 tale che φ ○ f = α: diremo che f è il sollevamento di α con punto iniziale 0.
Inoltre, se β è un altro cammino in S 1 con punto iniziale 1 e g il suo unico sollevamento con
punto iniziale 0, e se esiste un’omotopia F da α a β relativamente a {0, 1}, allora esiste ed è
unica una omotopia G da f a g relativamente a {0, 1} e tale che φ ○ G = F.
Corollario .
Se α e β sono due cammini chiusi in S 1 con punto iniziale 1 tali che [α] = [β], allora i loro
sollevamenti in R con punto iniziale 0 sono omotopi rel{0, 1} ed hanno lo stesso punto finale.
Naturalmente il corollario non dice nulla di nuovo rispetto al teorema. Vogliamo però mettere in
evidenza che i punti finali dei sollevamenti di due cammini omotopi coincidono se tali sollevamenti
partono dallo stesso punto. Questo permette di definire un’applicazione Ψ∶ π1 (S 1 , 1) → Z che
associa ad ogni classe [α] il punto finale f (1) del sollevamento f di α che inizia in 0. Possiamo
ora dimostrare:
Teorema .
π1 (S 1 , 1) è isomorfo a Z.
Dimostrazione. Prendiamo come punto base 1 in S 1 e consideriamo l’applicazione Ψ∶ π1 (S 1 , 1) → Z
appena definita. Se f (rispettivamente g) è il sollevamento di α (rispettivamente β) che inizia in 0,
siano m = f (1) = Ψ([α]) ed n = g(1) = Ψ([β]). Sia h il cammino in R definito da h(x) = g(x)+m.
È chiaro che h è il sollevamento di β che inizia in m. Possiamo quindi comporre i cammini f ed h
ottenendo un cammino h f che inizia in 0, finisce in m + n e che è un sollevamento di αβ. Questo
dimostra che Ψ è un omomorfismo. Esso è suriettivo perché dato n in Z, l’applicazione q(x) = nx,
con x ∈ [0, 1], è un cammino in R che termina in n e che è il sollevamento del cammino chiuso
φ ○ q in S 1 . Inoltre è iniettivo: infatti se Ψ([α]) = 0, il sollevamento f di α che inizia in 0 è un
cammino chiuso; essendo R contraibile, esiste un’omotopia G da f al cammino costante in 0,
relativamente a {0, 1}; allora F = φ ○ G è un’omotopia da α al cammino costante in 1, cioè α è
omotopicamente banale.
Corollario .
Il gruppo fondamentale della banda di Möbius e del cilindro è isomorfo a Z.
155
Gruppo Fondamentale
Dimostrazione. Ci basta ricordare che S 1 è un retratto forte di deformazione sia della banda di
Möbius che del cilindro, e quindi hanno lo stesso gruppo fondamentale.
Corollario .
Sia T un toro ed x0 un suo punto qualsiasi. Allora π1 (T, x0 ) ≃ Z × Z.
Dimostrazione. Ci basta ricordare che il toro è omeomorfo al prodotto S 1 × S 1 e che quindi, per il
teorema 15.8, il suo gruppo fondamentale è isomorfo a π1 (S 1 ) × π1 (S 1 ).
. Gruppo fondamentale di S n
Referenza
Dimostriamo ora che S n è semplicemente connesso per n ⩾ 2. Questo è il primo caso che incontriamo di uno spazio semplicemente connesso che non è contraibile. Questa seconda affermazione sarà dimostrata nel capitolo sull’omologia. Consideriamo per semplicità il caso n = 2: il caso
generale è analogo.
Osserviamo che il complementare di un punto in S 2 è omeomorfo ad R2 e quindi contraibile.
Se fissiamo un punto base x0 e prendiamo un cammino chiuso α in x0 , nel caso in cui α non
passa per un punto Q ≠ x0 , possiamo concludere che α è omotopicamente banale in quanto esiste
un’omotopia da α al cammino costante in S 2 ∖ {Q}.
In generale si può dimostrare che ogni cammino chiuso in x0 è omotopo ad un cammino che
non passa almeno per un punto, e quindi trarre la stessa conclusione di prima; tuttavia tale
dimostrazione è laboriosa. Diamo quindi un’altra dimostrazione della semplice connessione di S n
per n ⩾ 2.
Teorema .
S n è semplicemente connesso per n ⩾ 2.
Dimostrazione per n = 2. Siano N il polo nord ed S il polo sud; fissiamo un punto base x0 sull’equatore. Sia U una calotta aperta centrata in N contenente l’equatore e V l’aperto simmetrico
contenente S; abbiamo così un ricoprimento aperto di S 2 . Se α∶ I → S 2 è un cammino chiuso in x0 ,
le controimmagini di U e V formano un ricoprimento aperto del compatto I. Per il teorema 11.10
sul numero di Lebesgue, possiamo suddividere I in un certo numero di intervalli chiusi tali che
l’immagine di ciascuno sia contenuta completamente in U oppure in V. Per semplicità supponiamo
che α([0, 1/2]) ⊆ U e che α([1/2, 1]) ⊆ V (il caso generale è del tutto analogo).
Il punto y = α(1/2) appartiene ad U ∩ V, che è connesso per archi. Scegliamo un cammino β da x0
ad y che sia contenuto interamente in U ∩ V; indichiamo poi con α1 il cammino da x0 ad y dato
dalla restrizione di α a [0, 1/2] e con α2 il cammino da y a x0 dato dalla restrizione di α a [1/2, 1].
Il cammino chiuso α è allora omotopo al cammino chiuso α1 β−1 βα2 come si verifica facilmente.
Ma α1 β −1 è un cammino chiuso in U quindi omotopicamente banale in U (ed in S 2 ). Analogamente
βα2 è omotopicamente banale. Segue il teorema.
156
. Teorema di Van Kampen
. Teorema di Van Kampen
I ragionamenti fatti nel teorema precedente possono essere generalizzati ottenendo il seguente
teorema (la cui dimostrazione si trova, ad esempio, nel testo di Kosniowski)
Teorema . (teorema di Van Kampen)
Sia X uno spazio connesso per archi. Supponiamo che X sia unione di due aperti U, V connessi
per archi tali che U ∩ V sia non vuoto e conesso per archi. Sia x0 un punto base di U ∩ V.
Supponiamo che i gruppi fondamentali di U, V e U ∩ V siano dati con generatori e relazioni:
π1 (U, x0 ) = ⟨S1 ∶ R1 ⟩,
π1 (V, x0 ) = ⟨S2 ∶ R2 ⟩,
π1 (U ∩ V, x0 ) = ⟨S ∶ R⟩
Sia T l’insieme delle relazioni ottenute eguagliando le espressioni degli elementi di S in funzione,
rispettivamente, degli elementi di S1 e di S2 (cioè considerando un cammino in U ∩ V prima
come cammino in U, poi come cammino in V ed imponendo l’uguaglianza). Allora
π1 (X, x0 ) = ⟨S1 ∪ S2 ∶ R1 ∪ R2 ∪ T⟩
Osservazione 15.16. Siano α U (risp. α V ) l’inclusione di U (risp. V) in X, β U (risp. β V ) l’inclusione di
U ∩ V in U (risp. V) e j l’inclusione di U ∩ V in X. Quindi j = α U βU = α V β V . Abbiamo il seguente
diagramma commutativo di omomorfismi
α∗U
/ π1 (X)
9 O
s
s
j∗ ss
U
s
β∗
α∗V
ss
sss
/ π1 (V)
π1 (U ∩ V)
π1 (U)
O
β∗V
Nel caso particolare in cui β∗V e β∗U sono isomorfismi, allora j∗ , α∗U e α∗V sono isomorfismi. Infatti
l’ipotesi che β∗U sia un isomorfismo significa che π1 (U) = ⟨S ∶ R⟩, dove gli elementi di S sono
pensati come cammini in U; analogamente π1 (V) = ⟨S ∶ R⟩ dove gli elementi di S sono ora pensati
come cammini in V. Quindi π1 (X) = ⟨S1 ∪ S2 ∶ R1 ∪ R2 ∪ T⟩ dove S1 = S2 = S ed R1 = R2 = R e
T = ∅ perché i cammini di U ∩ V si esprimono sia in U che in V con gli elementi di S e quindi
non danno luogo a nuove relazioni. Segue che π1 (X) = ⟨S ∶ R⟩.
Esempi
. Sia S 2 = U ∪ V come nel teorema 15.14. Essendo entrambi gli aperti semplicemente connessi,
il loro gruppo fondamentale è banale e quindi S1 = S2 = ∅. Segue che anche π1 (S 2 , x0 ) =
⟨∅⟩ = {1}.
. Sia X la «figura otto», cioè lo spazio formato dall’unione di due cerchi C e D aventi un comune
un solo punto x0 che prendiamo come punto base. Se prendiamo come aperto U l’insieme
formato dall’unione di C con un piccolo arco aperto di D contenente x0 e come aperto V il
suo simmetrico, vediamo che U∩V è connesso per archi e semplicemente connesso in quanto
contraibile. D’altro canto, U è omotopo a C per cui π1 (U, x0 ) = π1 (C, x0 ) = ⟨c⟩, il gruppo
157
Gruppo Fondamentale
ciclico infinito generato dal cammino c, ottenuto percorrendo (in un senso assegnato) il
cerchio C.
C
x0 D
U
V
U∩V
Analogamente, π1 (V, x0 ) = π1 (D, x0 ) = ⟨d⟩, dove d è il cammino ottenuto percorrendo il
cerchio D. Essendo S = ∅, anche T = ∅ e quindi π1 (X, x0 ) = ⟨{c, d}⟩, il gruppo libero (non
commutativo) su due generatori.
. Sia X lo spazio ottenuto attaccando un cerchio S 1 ad una sfera S 2 in un punto x0 .
x0
U
U∩V
V
Prendiamo come aperto U l’unione di S 2 con un arco aperto di S 1 contenente x0 ; come aperto
V l’unione di S 1 con una calotta sferica aperta contenente x0 . Allora π1 (U) = π1 (S 2 ) = {1}
e π1 (V) = π1 (S 1 ) ≃ Z ed U ∩ V è contraibile. Segue che π1 (X, x0 ) ≃ Z, dove un generatore è
lo stesso di π1 (S 1 ).
. Sia Sn il «bouquet» di n cerchi, cioè lo spazio formato dall’unione di n cerchi C1 , . . . , Cn
aventi in comune un solo punto x0 , che prendiamo come punto base. Sia c i il cammino
ottenuto percorrendo il cerchio Ci .
C2
C1
C3
C6
C4
U
V
U∩V
C5
Siano U e V due aperti come nel disegno. Lasciamo al lettore il compito di dimostrare (per
induzione su n) che π1 (Sn , x0 ) = ⟨c1 , . . . , c n ⟩, il gruppo libero su n generatori.
. Sia K la bottiglia di Klein. Ricordiamo (vedi l’esercizio 9.4) che K può essere ottenuta
identificando due bande di Möbius M1 ed M2 lungo i rispettivi bordi. Sia U1 (risp. U2 ) un
intorno aperto del bordo di M1 (risp. M2 ) e poniamo U = M1 ∪ U2 (risp. V = M2 ∪ U1 )
modulo la relazione d’«incollamento». Sia U che V sono delle bande di Möbius (aperte),
mentre U ∩ V è un cilindro. Il gruppo fondamentale di U è il gruppo ciclico generato dal
cammino α mentre π1 (V) = ⟨β⟩ e π1 (U ∩ V) = ⟨γ⟩, dove γ = γ2 ○ γ1 .
158
. Gruppo fondamentale di superfici compatte orientabili
a
d
x0
M1
a
d
a
α
x0
a
U
x0
x0
c
γ2
c
x0
U∩V
x0
x0
c
c
x0
V
b
M2
b
d
x0
b
β
d
γ1
b
x0
Se βU è l’inclusione U ∩ V → U, allora β∗U ([γ]) = 2[α]: un’omotopia fra β∗U (γ) e 2α è data
da
x0
β∗U (γ2 )
a
x0
a
β∗U (γ1 )
Analogamente β∗V ([γ]) = 2[β]. Quindi π1 (K, x0 ) = ⟨{α, β} ∶ α 2 = β 2 ⟩.
. Gruppo fondamentale di superfici compatte orientabili
Il toro
Abbiamo visto che la sfera S 2 è semplicemente connessa e che se T è il toro S 1 × S 1 , allora π1 (T) =
Z × Z; queste sono superfici topologiche compatte e connesse. Il toro T è ottenuto dal quadrato
identificando i lati opposti. Fissiamo come punto base x0 in T il punto immagine dei vertici del
quadrato, che vengono identificati nel quoziente. Indichiamo con a un lato del quadrato e con b il
successivo; supponiamo di aver orientato sia a che b secondo un’orientazione fissata del bordo.
159
Gruppo Fondamentale
x0
x0
b
a
a
x0
x0
b
Se ora percorriamo nel senso dell’orientazione il bordo del quadrato otteniamo un cammino
chiuso la cui immagine in T è, tenuto conto delle identificazioni, della forma aba −1 b −1 . Si noti che
abbiamo indicato con la stessa lettera (a oppure b) un lato del quadrato e la sua immagine in T,
dove diventa un cammino chiuso. In T, però, tale cammino è omotopicamente banale perché π1 (T)
è commutativo: in effetti possiamo anche darne la presentazione π1 (T, x0 ) = ⟨{a, b} ∶ aba−1 b−1 ⟩.
Il caso generale
Prendiamo ora un poligono con 4g lati, dove g ⩾ 1, e fissiamo un verso di percorrenza del bordo.
Etichettiamo quindi i lati in successione e diamo a ciascuno un’orientazione con un esponente
+1 se lo orientiamo concordemente al bordo e −1 in caso contrario, partendo da uno di essi e nel
−1
modo seguente: a1 b1 a1−1 b1−1 a2 b2 a2−1 b2−1 . . . a g b g a−1
g bg .
a−1
g
b−1
g
a1
b1
a−1
1
bg
ag
b−1
1
a2
b2
b−1
2
Referenza
a−1
2
Sia X g la superficie topologica compatta e connessa che si ottiene identificando il bordo del
poligono secondo le etichette e le orientazioni assegnate: è la superficie compatta (connessa)
orientabile di genere g. Per g = 1 otteniamo il toro; definiamo, invece, la sfera come la superficie
di genere zero. Osserviamo che l’aggettivo «orientabile» avrà una spiegazione in seguito. Abbiamo
allora il seguente risultato, la cui dimostrazione si può trovare, ad esempio, sul Kosniowski:
160
. Gruppo fondamentale di gruppi topologici
Teorema .
Il gruppo fondamentale π1 (X g ) è isomorfo al gruppo
−1
⟨a1 , . . . , a g , b1 , . . . , b g ∶ a1 b1 a1−1 b1−1 a2 b2 a2−1 b2−1 . . . a g b g a −1
g b g = 1⟩
Corollario .
L’abelianizzato π1 (X g )ab è isomorfo a Z2g .
Corollario .
Due superfici topologiche compatte connesse e orientabili sono omeomorfe se e solo se hanno lo
stesso genere.
. Gruppo fondamentale di gruppi topologici
Sia G un gruppo topologico, con elemento neutro e. Se α e β sono due cammini in G, con punti
iniziali rispettivamente x0 ed y0 e punti finali x1 ed y1 , allora
α ⋅ β∶
/G
[0, 1]
t
/ α(t)β(t)
è un cammino in G con punto iniziale x0 y0 e punto finale x1 y1 . In particolare se α e β sono
cammini chiusi in e, allora anche α ⋅ β è un cammino chiuso in e.
Supponiamo ora di avere un’omotopia F da α ad un altro cammino α ′ e un’omotopia G da β
a β ′ . Allora H ∶ [0, 1] × [0, 1] → G che associa a (s, t) il punto F(s, t)G(s, t) è un’omotopia da
α ⋅ β ad α ⋅ β′ . Possiamo così definire il prodotto [α] ⋅ [β] anche sulle classi di omotopia e quindi
in π1 (G, e). In realtà, la composizione di classi di equivalenza di cammini è equivalente al loro
prodotto:
Proposizione .
Siano α e β due cammini chiusi in e. Allora i cammini αβ, α ⋅ β, βα e β ⋅ α sono omotopi.
Dimostrazione. Sia γ il cammino costante in e. È chiaro che i cammini α ed αγ sono omotopi,
tramite un’opportuna omotopia F (vedi l’esercizio 15.4). Analogamente esisteranno un’omotopia
G da α a γα, un’omotopia H da β a γβ ed un’omotopia K da β a βγ. Allora F ⋅ H è un’omotopia
fra α ⋅ β e (αγ) ⋅ (γβ) = (α ⋅ γ)(γ ⋅ β) = αβ. Analogamente, G ⋅ K è un’omotopia da α ⋅ β a
(γα) ⋅ (βγ) = βα e K ⋅ G è un’omotopia da β ⋅ α a (βγ) ⋅ (γα) = βα.
Sia α −1 è il cammino inverso di α, cioè α −1 (t) = α(1 − t); allora avremo che α −1 è omotopo al
−1
cammino α̃ dato da α̃(t) = (α(t)) . Otteniamo così il seguente, importante, risultato
Teorema .
Il gruppo fondamentale π1 (G, e) è commutativo.
161
Gruppo Fondamentale
Esercizi
Esercizio 15.1. Si dimostri che l’omotopia definisce effetivamente una relazione di equivalenza.
Esercizio 15.2. Si verifichi che il prodotto tra classi di omotopia è ben definito, cioè che se [α] = [β]
e [γ] = [δ] allora [αγ] = [βδ].
Esercizio 15.3. Sia φ una funzione continua da I in sé tale che φ(0) = 0 ed φ(1) = 1. Si costruisca
un’omotopia fra φ e la funzione identica x ↦ x.
Esercizio 15.4. Sia α un cammino chiuso in x0 e γ il cammino costante in x0 . Si costruisca
un’omotopia fra α ed αγ.
Esercizio 15.5. Si dimostri che se α e β sono due cammini che soddisfano la relazione di equivalenza
dell’esercizio 12.8 allora [α] = [β] (Suggerimento: si dimostri per prima cosa che se φ è come
nell’esercizio precedente, α è omotopa a αφ).
Esercizio 15.6. Si verifichi che l’equazione (15.1) definisce un’omotopia fra il cammino costante e
αα −1 .
Esercizio 15.7. Si costruisca un’omotopia fra il cammino costante ed il cammino α −1 α.
Esercizio 15.8. Si dimostri la proposizione 15.5
Esercizio 15.9. Si mostri che l’abelianizzato di π1 (K), dove K è la bottiglia di Klein è isomorfo al
√
sottogruppo di (R∗ , ⋅) generato da ± 2. Si concluda che K non è omeomorfa a nessuna superficie
orientata.
162
Rivestimenti
. Topologia dei rivestimenti
Iniziamo con un esempio: consideriamo l’applicazione φ∶ x → φ(x) = exp(2πix) dalla retta reale
al piano complesso. L’immagine è il cerchio unitario S 1 . Abbiamo così un’applicazione continua
φ∶ R → S 1 tale che per ogni y ∈ S 1 esiste un intorno aperto U la cui controimmagine φ−1 (U) è la
riunione disgiunta di aperti, ciascuno omeomorfo ad U attraverso φ.
Siano X, B spazi topologici separati. Data un’applicazione continua φ∶ X → B, diciamo che è un
rivestimento se
. φ è continua e suriettiva
. per ogni punto y ∈ B esiste un intorno aperto U tale che φ−1 (U) è la riunione disgiunta di
aperti ciascuno omeomorfo ad U attraverso la φ
Gli aperti U di B che soddisfano la condizione (2) si diranno aperti ammissibili (per φ). Diremo
inoltre che B è la base e che X è lo spazio totale; diremo anche che X è un rivestimento di B.
L’applicazione φ è detta a volte la proiezione su B. La controimmagine φ−1 (y) = X y di un punto
y di B è detta la fibra in y.
Nell’esempio considerato la fibra di ciascun punto y = exp(2πix) di S 1 è costituita dagli infiniti
punti {x + n ∶ n ∈ Z}. Possiamo dare subito esempi di rivestimenti finiti, in cui cioè la fibra di
ogni punto è finita: per ogni intero positivo n, sia φ n ∶ S 1 → S 1 l’applicazione φ(z) = z n ; tale
applicazione è un rivestimento in cui la fibra di ogni punto contiene n punti. È un risultato notevole
che i rivestimenti connessi di S 1 sono esattamente quelli descritti negli esempi precedenti, cioè R
con l’applicazione exp(2πix) ed S 1 con le applicazioni z n .
Altri esempi di rivestimenti sono le applicazioni da S n a Pn (R) date dall’identificazione antipodale:
se n = 3, lo abbiamo verificato nell’osservazione 14.13; il caso generale è del tutto analogo.
Proposizione .
Sia φ∶ X → B un rivestimento. Allora:
. la fibra di ciscun punto ha la topologia discreta
. φ è un omeomorfismo locale, cioè per ogni x ∈ X esistono un intorno aperto V di x ed un
intorno aperto di U di y = φ(x) che sono omeomorfi attraverso la φ
. l’applicazione φ è aperta e B ha la topologia quoziente
Dimostrazione. I punti 1 e 2 sono conseguenza immediata della definizione di rivestimento. Per
quanto riguarda il punto 3, siano A un aperto di X, y un punto di φ(A) ed x un punto di A tale che
φ(x) = y. Sia poi U un aperto ammissibile di B contenente y. La controimmagine di U è formata
163
Rivestimenti
da aperti disgiunti Vi , con i in un qualche insieme di indici I, omeomorfi ad U. Uno solo di questi
contiene x: sia Vi(x) . L’insieme A ∩ Vi(x) è aperto quindi l’insieme omeomorfo φ(A ∩ Vi(x) ) è
aperto in U e di conseguenza in B. Tale insieme contiene y. Segue che φ(A) è aperto in B perché
intorno di ogni suo punto.
Dimostriamo ora che B ha la topologia quoziente. Sappiamo che φ è suriettiva, continua, aperta. Sia
U un aperto di B: allora φ−1 (U) è aperto. Viceversa se U è un sottoinsieme di B tale che φ−1 (U) è
aperto, allora U, che coincide con φ(φ−1 (U)) essendo φ suriettiva, è aperto perché φ è aperta.
. Sollevamenti di applicazioni
Proposizione . (unicità dei sollevamenti)
Sia φ∶ X → B un rivestimento ed α un’applicazione continua da uno spazio connesso Y in B.
Supponiamo che f e g siano due applicazioni continue di Y in X tali che φ f = φg = α. Se
f (y) = g(y) in un punto y, allora f = g.
f
g
*4
X
JJ
JJ
φ
J
α JJJ
J$ Y JJ
B
Dimostrazione. Sia Z = {z ∈ Y ∶ f (z) = g(z)}. Dimostriamo che Z è aperto e chiuso: dato che Y
è connesso seguirà che Z (non vuoto per ipotesi) coincide con Y.
Per la proposizione 10.6, Z è chiuso in quanto X è separato. Sia z un punto di Z e b = α(z). Preso un
intorno aperto ammissibile U di b, esiste un solo aperto W di X che contiene il punto f (z) = g(z)
e che omeomorfo ad U attraverso φ. Se V è un intorno di z tale che f (V) ⊆ W e g(V) ⊆ W, per
ogni t ∈ V avremo che φ( f (t)) = φ(g(t)) ed f (t) ∈ W, g(t) ∈ W. Segue che f (t) = g(t) perché
φ è un omeomorfismo fra W e U. Quindi V ⊆ Z e Z è intorno di ogni suo punto.
Un’applicazione f come sopra, tale che φ ○ f = α, è detta un sollevamento di α. In generale,
data un’applicazione γ∶ Y → B, diremo che un’applicazione h ∶ Y → X è un sollevamento di γ se
φ ○ h = γ.
Corollario .
Nelle condizioni della proposizione, sia f un’applicazione da X in sé tale che φ ○ f = φ. Se esiste
un punto x ∈ X tale che f (x) = x allora f è l’identità.
Dimostrazione. Basta applicare la proposizione con Y = X, α = φ e g = 1X .
Teorema . (esistenza dei sollevamenti di cammini ed omotopie)
Sia φ∶ X → B un rivestimento. Allora:
. Dato un cammino α∶ I → B esiste un sollevamento f ∶ I → X che è unico se si fissa il punto
iniziale.
164
. Sollevamenti di applicazioni
. Data un’applicazione continua F∶ I × I → B esiste un sollevamento G∶ I × I → X che è unico
se si fissa l’immagine del punto (0, 0).
. Se F è un’omotopia rel{0, 1} fra i cammini α e β, e G è un sollevamento di F, allora G è
un’omotopia rel{0, 1} fra f (x) = G(x, 0) e g(x) = G(x, 1); inoltre f è un sollevamento di α,
g è un sollevamento di β, f (0) = g(0), f (1) = g(1).
. In particolare, se α e β sono due cammini omotopi e chiusi in un punto base b0 ∈ B, e se f
(rispettivamente g) è un sollevamento di α (rispettivamente β) tale che f (0) = g(0), allora
f (1) = g(1).
Dimostrazione. Diamo la dimostrazione dei punti 1 e 3. La dimostrazione del punto 2 è analoga a
quella del punto 1 ma più laboriosa. Il punto 4 è conseguenza immediata del punto 3.
Dato dunque il cammino α, scegliamo un ricoprimento aperto {U j } j∈J di B costituito da aperti
ammissibili. Gli insiemi α −1 (U j ) formano, al variare di j, un ricoprimento aperto del compatto
I. Per il teorema 11.10 sul numero di Lebesgue, possiamo suddividere I in intervalli successivi
[a i , a i+1 ], con a0 = 0, a n = 1, e tali che l’immagine di ciascuno di essi attraverso α sia contenuta
in un aperto ammissibile del ricoprimento.
Costruiamo il sollevamento f induttivamente su [0, a i ], dove i = 0, 1, 2, . . . , n. Per n = 0, dobbiamo semplicemente scegliere il punto iniziale f (0) tale che φ( f (0)) = α(0). Supponiamo
di aver definito f su [0, a i ]. Se y i = φ( f (a i )), sia U j(i) un aperto del ricoprimento tale che
α([a i , a i+1 ]) ⊆ U j(i) . Il punto f (a i ) è contenuto in uno solo degli aperti disgiunti di X che formano la controimmagine di U j(i) attraverso φ: sia Vi tale aperto. Utilizzando l’omeomorfismo φ fra
Vi e U j(i) vediamo che esiste un unico prolungamento di f all’intervallo [a i , a i+1 ] con immagine in Vi e tale che φ f = α. L’unicità del sollevamento è evidente dalla costruzione o può essere
dedotta dalla proposizione 16.2.
Passiamo ora alla dimostrazione del punto 3. Dobbiamo verificare che G(0, t) è costante al variare di t in [0, 1]. Questo segue dal fatto che G(0, t) è una funzione continua da [0, 1] nella fibra di F(0, 0) in quanto G è un sollevamento di F ed inoltre F(0, t) = F(0, 0) per ogni t, essendo F un’omotopia rel{0, 1}. Dato che [0, 1] è connesso e le fibre hanno la topologia discreta,
G(0, t) è costante. In modo analogo G(1, t) è costante. Le altre affermazioni del punto seguono
immediatamente.
Fissiamo ora un punto base x0 in X e prendiamo come punto base in B la sua immagine b0 = φ(x0 ).
Supponiamo X e B connessi per archi. Dal teorema deduciamo i seguenti corollari
Corollario .
L’omomorfismo φ∗ ∶ π1 (X, x0 ) → π1 (B, b0 ) è iniettivo.
Dimostrazione. Se γ è un cammino chiuso in x0 tale che φ ○ γ è omotopo come cammino chiuso
in b0 al cammino sottostante attraverso un’omotopia F rel {0, 1}, allora il sollevamento G di F
tale che G(0, 0) = x0 è un’omotopia da γ al cammino costante in x0 .
165
Rivestimenti
Corollario .
Un elemento [α] di π1 (B, b0 ) appartiene a φ∗ (π1 (X, x0 )) se e solo se il sollevamento γ con
punto iniziale x0 di α è un cammino chiuso.
Dimostrazione. Segue immediatamente dal teorema.
Avremo bisogno di una generalizzazione del teorema 16.4: uno spazio topologico Z si dice localmente connesso per archi se per ogni punto z ∈ Z ed ogni intorno aperto V di z esiste un intorno
aperto di z connesso per archi e contenuto in V.
Teorema .
Sia φ∶ X → B un rivestimento, x0 un punto di X e b0 = φ(x0 ). Sia Y uno spazio connesso per
archi e localmento connesso per archi, ed y0 un punto di Y. Data un’applicazione continua
f ∶ Y → B tale che f (y0 ) = b0 , esiste un sollevamento g tale che g(y0 ) = x0 se e solo se
f∗ (π1 (Y, y0 )) ⊆ φ∗ (π1 (X, x0 )). Se esiste, tale sollevamento è unico.
Dimostrazione. La condizione è necessaria perché se α è un cammino chiuso in y0 , il cammino
immagine attraverso la f , cioè f ○ α, è uguale a φ ○ g ○ α, cioè è anche l’immagine attraverso φ del
cammino chiuso (in x0 ) g ○ α.
Supposta verificata la condizione dell’enunciato, definiamo l’applicazione g. Dato un punto y ∈ Y,
scegliamo un cammino β da y0 a y. Il cammino f ○ β in B ha come punto iniziale b0 . Per il
teorema 16.4 esiste un unico sollevamento γ di f ○ β con punto iniziale x0 . Definiamo allora
g(x) = γ(1).
Dobbiamo verificare che la definizione ha senso, cioè che non dipende dalla scelta di β. Sappiamo
che se sostituiamo β con un cammino omotopo rel{0, 1} il risultato non cambia in virtù del
teorema 16.4(3). Se poi δ è un cammino qualsiasi da y0 ad y, allora βδ −1 è un cammino chiuso in
y0 . Per l’ipotesi fatta, f∗ ([βδ −1 ]) ∈ φ∗ (π1 (X, x0 )) e quindi per il corollario 16.6 il sollevamento di
f ○ (βδ −1 ) è un cammino chiuso in x0 ; equivalentemente, i sollevamenti di f ○ β e di f ○ δ che
partono da x0 hanno lo stesso punto finale. Segue che g è ben definita.
L’ipotesi che Y sia localmente connesso per archi serve per dimostrare la continuità di g: omettiamo
questa verifica. L’unicità segue dalla proposizione 16.2.
. Azione di π1 (B) sulla fibra
Sia φ∶ X → B un rivestimento. Indichiamo con X0 la fibra in b0 e supponiamo come prima X e B
connessi per archi.
Dato un cammino chiuso α in b0 ed un punto x in X0 , sia f l’unico sollevamento di α tale che
f (0) = x. Se β è un altro cammino chiuso in b0 tale che [α] = [β] e g l’unico sollevamento di β
tale che g(0) = x, segue dal teorema 16.4(4) che f (1) = g(1). Possiamo quindi definire un’azione
destra di π1 (B, b0 ) su X0 nel modo seguente:
(x, [α]) z→ f (1) = x[α],
166
dove f è l’unico sollevamento di α che parte da x
. Azione di π1 (B) sulla fibra
Lasciamo al lettore la verifica che si ottiene effettivamente un’azione di gruppo su X0 .
Abbiamo il seguente, importante,
Teorema .
.
.
.
.
Lo stabilizzatore di un punto x0 ∈ X0 è il sottogruppo φ∗ (π1 (X, x0 ))
π1 (B, b0 ) agisce transitivamente su X0
Siano x, y due punti di X0 , allora φ∗ (π1 (X, x)) e φ∗ (π1 (X, y)) sono coniugati in π1 (B, b0 )
Se H è un sottogruppo di π1 (B, b0 ) coniugato di φ∗ (π1 (X, x)), allora esiste y ∈ X0 tale che
H = φ∗ (π1 (X, y))
Dimostrazione. Se α è un cammino chiuso in b0 tale che il suo sollevamento f che parte da
x0 ha come punto finale ancora x0 , allora α = φ f è immagine del cammino chiuso f , cioè
[α] ∈ φ∗ (π1 (X, x0 )). È immediato verificare il viceversa ottendo così il punto 1. Se x ed y sono
due punti di X0 , essendo X connesso per archi, esiste un cammino γ da x ad y: il cammino chiuso
α = φ ○ γ ha come sollevamento con punto iniziale x esattamente γ, quindi x[α] = γ(1) = y e
questo dimostra il punto 2.
Per dimostrare il punto 3 basta ricordare che i due sottogruppi in questione sono gli stabilizzatori
S(x) ed S(y) di x ed y rispettivamente per (1). Quindi se x[α] = y e [β] ∈ S(x) allora [α]−1 [β][α] ∈
S(y). Tale α esiste per il punto 2.
L’ultima affermazione significa che al variare del punto nella fibra X0 , le immagini dei vari
gruppi fondamentali formano una classe di coniugio nel π1 (B, b0 ). Lasciamo come esercizio
la dimostrazione di questa affermazione.
Corollario .
La fibra X0 è in corrispondenza biunivoca con l’insieme π1 (B, b0 )/φ∗ (π1 (X, x0 )) delle classi
laterali destre.
Dimostrazione. Segue subito dalla proposizione 3.1.
Corollario .
Se B è semplicemente connesso allora φ è un omeomorfismo fra X e B.
Dimostrazione. In questo caso φ è continua, aperta e biunivoca perché le fibre contengono un
solo elemento per il corollario 16.9. Quindi φ è omeomorfismo.
Il significato del corollario è che su uno spazio B semplicemente connesso non esistono rivestimenti al di fuori di quello banale costituito da un omeomorfismo fra X e B. Ci porremo in
seguito (pragrafi 16.7 e 16.8) il problema di classificare i rivestimenti di uno spazio B che non è
semplicemente connesso.
167
Rivestimenti
Il gruppo fondamentale degli spazi proiettivi reali
Un primo risultato che possiamo ottenere dalle considerazioni precedenti è:
π1 (P1 (R)) = Z,
π1 (Pn (R)) = Z/2Z, se n ⩾ 2
Infatti se n ⩾ 2 il rivestimento S n → Pn (R) ha delle fibre formate da due punti e lo spazio totale è
semplicemente connesso per il teorema 15.14. Nel caso n = 1, invece, P1 (R) è omeomorfo ad S 1 .
Cerchiamo di inviduare un generatore di π1 (P2 (R)). Deve essere un cammino α tale che [α] ≠ 1,
ma [α 2 ] = 1, dove 1 indica l’elemento neutro del gruppo, cioè la classe del cammino costante.
Se prendiamo come punto base in S 2 il polo nord N e quindi come punto base in P2 (R) la sua
immagine b0 , l’unico sollevamento γ di α che parte da N non deve essere chiuso — sennò γ
sarebbe omotopicamente banale e quindi anche α. Dato che la fibra di b0 è costituita dai due poli
N e S, segue che il punto finale di γ è S. Basta allora prendere come γ il cammino che congiunge
N ad S lungo un meridiano e come α la sua immagine. Il cammino α 2 ha come sollevamento un
cammino chiuso costituito da un cerchio massimo, che è omotopicamente banale.
. Gruppo fondamentale dei gruppi classici
Abbiamo visto che SO(2) è omeomorfo ad S 1 quindi π1 (SO(2)) = Z. Nel paragrafo 6.1 si è visto
che SU(2) è omeomorfo alla sfera S 3 mentre, per la proposizione 14.12, SO(3) è omeomorfo a
P3 (R). Quindi sappiamo che
π1 (SU(2)) = {1}
π1 (SO(3)) = Z/2Z
Tali risultati si generalizzano come segue:
Proposizione .
Abbiamo che
π1 (SO(n)) = Z/2Z per n ⩾ 3
π1 (SU(n)) = {1} per n ⩾ 1
π1 (U(n)) = Z per n ⩾ 1
Dimostrazione. Ricordiamo che SO(2) è omeomorfo ad S 1 e quindi il suo gruppo fondamentale è
Z. Dimostriamo la tesi su SO(n) per induzione su n, che supponiamo ⩾ 4.
Utilizziamo l’azione naturale di SO(n) sulla sfera S n−1 ⊆ Rn . Sia N = (0, . . . , 0, 1) ed S = −N. Sia
φ∶ SO(n) → S n−1 la mappa continua che associa alla matrice M ∈ SO(n) il punto M(N) ∈ S n−1 .
Dato che l’azione di SO(n) è transitiva, l’applicazione φ è suriettiva e lo stabilizzatore di N è il
sottogruppo {( C0 01 ) ∶ C ∈ SO(n − 1)}. Nel seguito identificheremo C ∈ SO(n − 1) con la matrice
( C0 01 ) ∈ SO(n).
I due insiemi A = S n−1 ∖ {S} ed il suo antipodale B sono aperti in S n−1 ed omeomorfi ad Rn−1 . La
loro intersezione A ∩ B è omeomorfa a Rn−1 ∖ {punto}. Quindi se n ⩾ 4 gli insiemi A, B, A ∩ B
168
. Gruppo fondamentale dei gruppi classici
sono semplicemente connessi. Sia ora U = φ−1 (A) e V = φ−1 (B). Vogliamo dimostrare che U è
omeomorfo a A × SO(n − 1).
Per ogni x ∈ A, x ≠ N, sia π x il piano generato da N ed x; diamo a π x l’orientazione determinata dalla coppia (N , x) fissando una base ortonormale { f1 , f2 }, che completiamo ad una base
{ f1 , . . . , f n } di Rn orientata come la base canonica. Esiste allora un solo elemento M(x) ∈ SO(n)
che induce l’identità sull’ortogonale di π x e la rotazione (cioè l’elemento di SO(2)) in π x che porta
N in x. Poniamo infine M(N) = I, la matrice identità.
Definiamo allora
ρ∶ A × SO(n − 1)
(x, C) / SO(n)
/ M(x)C
(ricordiamo che SO(n − 1) è identificato allo stabilizzatore di N in SO(n), quindi C fissa N).
L’applicazione ρ è continua, inoltre (φ ○ ρ)(x, C) = x; infatti
φ(M(x)C) = (M(x)C)(N) = M(x)(N) = x
Quindi ρ(A × SO(n − 1)) ⊆ U = φ−1 (A).
Viceversa, se D ∈ U, cioè φ(D) = x ∈ A, allora ρ −1 (D) è univocamente determinato: ρ −1 (D) =
(x, C) dove x = φ(D) e C = M(x)−1 D; è chiaro che anche ρ −1 è continua. Segue che U è omeomorfo ad A × SO(n − 1). Analogamente, V è omeomorfo a B × SO(n − 1) e U ∩ V è omeomorfo a
(A ∩ B) × SO(n − 1).
Tenuto conto che A, B e A ∩ B sono semplicemente connessi, π1 (U ∩ V) ≃ π1 (U) ≃ π1 (V) ≃
π1 (SO(n −1)) e l’inclusione di U∩V in U (risp. V) induce un isomorfismo sui gruppi fondamentali.
Applicando il teorema di Van Kampen alla coppia U, V e tenuto conto dell’osservazione 15.16
concludiamo che π1 (SO(n)) ≃ π1 (SO(n − 1)).
Per il caso SU(n) con n > 2, rinviamo il lettore a [T]. Infine, per il caso U(n), ci basta ricordare
che è omeomorfo a SU(n) × S 1 (vedi il paragrafo 14.2), e che quindi π1 (U(n)) = Z.
Proposizione .
Abbiamo:
π1 (SLn (C)) = {1} per n ⩾ 1
⎧
{1}
n=1
⎪
⎪
⎪
⎪
π1 (SLn (R)) = ⎨Z
n=2
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩Z/2Z n > 2
Dimostrazione. Per n = 1 il risultato è banale perché i gruppi in questione sono costituiti da un solo
punto. Per n > 1, utilizziamo le decomposizioni di Iwasawa di SLn (R) e di SLn (C). Per esempio,
sappiamo che SL2 (C) = KAN dove
K = SU(2)
A = {( 0λ
N=
0 )
}
λ−1 ∶ λ ∈ R>0
{( 01 z1 ) ∶ z ∈ C}
169
Rivestimenti
e che tale decomposizione è un omeomorfismo. Il risultato segue perché SU(2) è semplicemente
connesso; N è isomorfo a C come gruppo topologico e quindi è semplicemente connesso; ed infine
A è isomorfo come gruppo topologico al gruppo moltiplicativo R>0 (⋅) dei reali positivi, a sua volta
isomorfo ad R(+) con l’applicazione log, e quindi è anch’esso semplicemente connesso.
Il caso generale SLn (C) è del tutto analogo.
Nel caso di SLn (R), nella decomposizione di Iwasawa compare un fattore SO(n) e due fattori
semplicemente connessi, da cui il risultato, tenuto conto della proposizione 16.11.
. Automorfismi di un rivestimento
Sia X uno spazio connesso per archi e localmente connesso per archi e φ∶ X → B un rivestimento.
Lo spazio B è allora connesso per archi, essendo φ continua e suriettiva; e localmente connesso
per archi, essendo X e B localmente omeomorfi. Indichiamo con G = Aut(X/B) il gruppo degli
automorfismi di X in sé che commutano con φ, cioè degli omeomorfismi f di X in sé tali che
φ ○ f = φ. Gli elementi di G sono detti automorfismi del rivestimento. Segue dalla definizione che
una fibra X0 su un punto b0 viene mandata in sé e che quindi G agisce sulle fibre. Il corollario 16.3
dice che l’azione di G su X è libera, cioè che lo stabilizzatore di un punto è formato dalla sola
identità. Inoltre
Teorema .
L’azione di G su X è propriamente discontinua cioè per ogni x ∈ X esiste un intorno V tale che
V ∩ gV = ∅ per ogni g ∈ G diverso dall’elemento neutro.
Dimostrazione. Dato x ∈ X, scegliamo un aperto ammissibile U contenente b = φ(x). La controimmagine di U è formata da aperti disgiunti Vi , con i ∈ I, ciascuno omeomorfo ad U, ed x appartiene ad uno solo di essi: diciamo Vk . Se g è un elemento di G diverso dall’identità, allora g(x) ∈ Vh
dove Vh ≠ Vk perché l’azione è libera e ciascuno dei Vi contiene un solo punto della fibra X0 .
Dato che X è localmente connesso per archi possiamo suppore U connesso per archi. Ciascuno dei
Vi è dunque connesso per archi. L’insieme g(Vk ) è a sua volta connesso per archi ed è contenuto in φ−1 (U) perché φ ○ g(Vk ) = φ(Vk ) = U. Segue che g(Vk ) è contenuto nella componenente
connessa di φ−1 (U) contenente g(x), cioè Vh (anzi, g(Vk ) = Vh ) e quindi Vk ∩ gVk = ∅.
Fissiamo ora un punto base x0 in X e sia b0 = φ(x0 ). Indichiamo con H il gruppo φ∗ (π1 (X, x0 )) e
con N il suo normalizzante in π1 (B, b0 ), cioè il sottogruppo formato dagli elementi [δ] di π1 (B, b0 )
tali che [δ]H = H[δ]. Il gruppo N contiene H ed è il più grande sottogruppo di π1 (B, b0 ) che
contiene H come sottogruppo normale. Sappiamo che π1 (B, b0 ) agisce sulla fibra X0 nel modo
seguente: (x, [α]) ↦ γ(1) dove γ è l’unico sollevamento di α che parte da x. Abbiamo il seguente
importante
Teorema .
Esiste un omomorfismo ψ∶ N → G tale che, se g = ψ([α]), allora g(x0 ) = x0 [α]. Inoltre ψ
induce un isomorfismo fra N/H e G.
170
. Automorfismi di un rivestimento
Dimostrazione. Sia α un cammino chiuso in b0 tale che [α] ∈ N ed y = x0 [α] = γ(1) dove γ è il
sollevamento di α che parte da x0 . Il teorema 16.8 dice che
[α]−1 φ∗ (π1 (X, x0 ))[α] = φ∗ (π1 (X, y))
ma α ∈ N e quindi φ∗ (π1 (X, x0 )) = φ∗ (π1 (X, y)). Per il teorema 16.7 esiste allora un omeomorfismo g di X in sé che manda x0 in y e che commuta con φ. Tale g è univocamente determinato.
Posto g = ψ([α]), lasciamo al lettore la verifica che l’applicazione ψ∶ N → G così definita è un
omomorfismo.
Tale applicazione è suriettiva perché dato g ∈ G, se y = g(x0 ), γ è un cammino da x0 ad y in
X ed α = φ ○ γ, allora [α]−1 H[α] = φ∗ (π1 (X, y)) = φ∗ (π1 (X, g(x0 ))) = φ∗ g∗ (π1 (X, x0 )) =
φ∗ (π1 (X, x0 )) = H. Dunque [α] ∈ N ed è chiaro che g = ψ([α]).
Un elemento di g ∈ G è completamente determinato dal suo valora in x0 per il corollario 16.3. Segue
che [α] ∈ ker(ψ) se e solo se il sollevamento γ è un cammino chiuso. Quindi ker(ψ) coincide con
φ∗ (π1 (X, x0 )) = H per il corollario 16.6.
Corollario .
Se φ∗ (π1 (X, x0 )) è normale in π1 (B, b0 ), allora
G = Aut(X/B) ≃ π1 (B, b0 )/φ∗ (π1 (X, x0 ))
Diciamo che X è un rivestimento normale o di Galois di B se il gruppo G agisce transitivamente
su ciascuna fibra.
Teorema .
Un rivestimento φ∶ X → B (in cui X e B sono connessi per archi e localmente connessi per
archi) è di Galois se e solo se per ogni punto b ∈ B ed ogni punto x nella sua fibra, il gruppo
φ∗ (π1 (X, x)) è normale in π1 (B, b). Inoltre è sufficiente che la condizione sia verificata per
una coppia (b = φ(x), x).
Dimostrazione. Supponiamo che il rivestimento sia di Galois. Sia α un cammino chiuso in b ed
y = γ(1) dove γ è il sollevamento di α che parte da x. Sia g un elemento di G − Aut(X/B) tale che
g(x) = y. Allora [α]−1 φ∗ (π1 (X, x))[α] = φ∗ (π1 (X, y)) = φ∗ (π1 (X, g(x))) = (φg)∗ (π1 (X, x))
= φ∗ (π1 (X, x)), dunque φ∗ (π1 (X, x)) è normale in π1 (B, b).
Viceversa, supponiamo φ∗ (π1 (X, x)) normale in π1 (B, b). Se γ è un cammino in X da x ad y,
entrambi contenuti nella fibra di b, e se α è il cammino chiuso φ ○ γ, allora [α] è un elemento del
normalizzante di φ∗ (π1 (X, x)) che coincide per ipotesi con tutto π1 (B, b). Allora ψ([α]) — dove
ψ è la mappa del teorema 16.14 — è un elemento di G che manda x in y.
Lasciamo come esercizio la verifica dell’ultima affermazione.
171
Rivestimenti
. Rivestimento Universale
Sia φ∶ X → B un rivestimento. Supponiamo come al solito che X e B siano entrambi connessi
per archi e localmente connessi per archi. Fissiamo un punto base x in X e sia b = φ(x). Come
conseguenza immediata del teorema 16.7 si ha
Proposizione .
Supponiamo che X sia semplicemente connesso.Allora dato un rivestimento φ′ ∶ X′ → B ed un
punto x ∈ X′ tale che φ′ (x ′ ) = b, esiste una ed una sola applicazione continua f ∶ X → X′ tale
che φ′ ○ f = φ ed f (x) = x ′ .
Corollario .
Supponiamo che sia X che X′ siano semplicemente connessi. Allora l’applicazione f della
proposizione è un omeomorfismo fra X e X′ .
Quindi se lo spazio topologico B ha un rivestimento semplicemente connesso X, questo è univocamente determinato a meno di omeomorfismi che commutano con le proiezioni su B. Se X è
semplicemente connesso, diremo allora che φ∶ X → B è il rivestimento universale di B. In generale tale rivestimento non esiste, ma c’è bisogno di un’ipotesi tecnica supplementare: un spazio
B si dice semi-localmente semplicemente connesso se per ogni b ∈ B esiste un intorno U tale
che ogni cammino chiuso basato in b e contenuto in U è omotopo come cammino chiuso in B al
cammino costante (in altre parole, durante l’omotopia si può uscire da U).
Esempio
Sia B = S 1 . Indichiamo con φ∶ R → S 1 il rivestimento universale dato da φ(x) = exp(2πix) e
con φ n ∶ S 1 → S 1 il rivestimento φ n (z) = z n (dove S 1 è pensato nel piano complesso C con la
variabile z). Se prendiamo come punto base in R il punto 0 e come punto base in S 1 il punto 1,
l’applicazione f n (x) = exp(2πix/n) manda 0 in 1 e soddisfa φ = φ n ○ f n . Si osservi che f n ∶ R → S 1
è un rivestimento. Questo è un fatto generale: si veda la proposizione 16.22 qui di seguito.
Teorema .
Sia B uno spazio connesso per archi, localmente connesso per archi e semi-localmente semplicemente connesso. Allora il rivestimento universale X di B esiste. Inoltre la fibra X0 in un punto
b0 ∈ B è in corrispondenza biunivoca con π1 (B, b0 ); e il gruppo Aut(X/B) è isomorfo a π1 (B).
Dimostrazione. Per l’esistenza rinviamo ad un testo qualsiasi di topologia algebrica. ad esempio
[K]. La seconda affermazione è il corollario 16.9 mentre la terza è conseguenza immediata del
teorema 16.14.
Esempi
È chiaro che una varietà topologica connessa B soddisfa le condizioni del teorema e quindi ammette
un rivestimento universale X. Inoltre X è una varietà topologica, in quanto B ed X sono localmente
172
. Morfismi di rivestimenti e rivestimenti equivalenti
omeomorfi. Abbiamo visto che
.
.
.
.
.
La retta reale R è il rivestimento universale di S 1
Il piano R2 è il rivestimento universale del toro T
La sfera S n è il rivestimento universale di Pn (R) se n ⩾ 2
SU(2) è il rivestimento universale di SO(3)
Il disco aperto in R2 è il rivestimento universale della superficie compatta orientabile
(connessa) X g se g ⩾ 2: non dimostriamo questo fatto
. Morfismi di rivestimenti e rivestimenti equivalenti
Ci poniamo ora il problema di classificare i rivestimenti di uno spazio B. Abbiamo il seguente
Teorema .
Siano φ∶ X → B e ψ∶ Y → B due rivestimenti di B (dove X, Y e B sono connessi per archi e
localmente connessi per archi). Sia x un punto di X ed y un punto di Y tali che φ(x) = ψ(y) = b.
Allora:
. esiste un omeomorfismo f ∶ X → Y tale che ψ ○ f = φ e f (x) = y se e solo se φ∗ (π1 (X, x)) =
ψ∗ (π1 (Y, y))
. esiste un omeomorfismo g∶ X → Y tale che ψ ○ g = φ se e solo se φ∗ (π1 (X, x)) e ψ∗ (π1 (Y, y))
sono coniugati in π1 (B, b)
Dimostrazione. La prima affermazione è facile conseguenza del teorema 16.7. La seconda affermazione segue dalla prima tenendo conto del teorema 16.8 (punto 4).
Dati due rivestimenti X ed Y di B come nel teorema, diremo che un’applicazione continua
h ∶ X → Y è un morfismo (di rivestimenti di B) se ψ ○ h = φ. Ricordiamo che gli elementi di
Aut(X/B) sono detti automorfismi (del rivestimento). Se la condizione del secondo punto del
teorema è soddisfatta, diremo che i due rivestimenti sono equivalenti.
Corollario .
Dato un rivestimento φ∶ X → B e due punti x, y di X tali che φ(x) = φ(y), esiste un automorfismo g ∈ G = Aut(X/B) tale che g(x) = y se e solo se φ∗ (π1 (X, x)) = ψ∗ (π1 (X, y))
Dimostrazione. Basta applicare il teorema al caso in cui i due rivestimenti coincidono.
Lasciamo come utile esercizio la dimostrazione della seguente
Proposizione .
Siano φ∶ X → B e ψ∶ Y → B due rivestimenti di B (dove X, Y e B sono connessi per archi e
localmente connessi per archi). Sia h un morfismo di rivestimenti da X a Y. Allora h ∶ X → Y è
un rivestimento.
173
Rivestimenti
Il corollario 16.5 ed il teorema 16.20 ci suggeriscono che i rivestimenti di B siano classificati, a
meno di equivalenza, dalle classi di coniugio di π1 (B). Vedremo che questo è vero se B ammette
un rivestimento universale: il problema consiste nel dimostrare che per ogni sottogruppo H di
π1 (B) esiste un rivestimento φ∶ X → B tale che φ∗ (π1 (X)) = H.
. Azioni di gruppi e rivestimenti
Un’importante proprietà dei rivestimenti di Galois è data dalla seguente
Proposizione .
Sia X connesso per archi e localmente connesso per archi, φ∶ X → B un rivestimento di Galois e
G = Aut(X/B). Allora B è omeomorfo a X/G.
Dimostrazione. Il gruppo G agisce transitivamente sulle fibre per ipotesi. Quindi le fibre coincidono con le orbite dell’azione di G. D’altra parte sappiamo che la topologia di B è la topologia
quoziente rispetto alla relazione d’equivalenza che identifica i punti di una stessa fibra. Quindi le
due relazioni di equivalenza coincidono.
La proposizione 10.6 ammette un’inversa:
Proposizione .
Sia X uno spazio connesso per archi e localmente connesso per archi su cui agisce un gruppo G
in modo propriamente discontinuo. Sia B lo spazio quoziente X/G e φ∶ X → B l’applicazione
canonica. Allora φ∶ X → B è un rivestimento di Galois ed Aut(X/B) = G.
Dimostrazione. Sappiamo che φ è un’applicazione continua, suriettiva ed aperta. Dato x ∈ X, sia
V un suo intorno aperto tale che V ∩ gV = ∅ per ogni g ∈ G diverso dall’elemento neutro. Dato
che φ è aperta, U = φ(V) è un aperto contenente φ(x) ed inoltre φ−1 (U) = ⋃ g∈G gV. Gli aperti
gV sono disgiunti e φ∶ gV → U è continua, aperta, biunivoca e quindi un omeomorfismo per ogni
g ∈ G. Quindi U è un aperto ammissibile.
È chiaro che ogni g ∈ G determina un automorfismo del rivestimento. Elementi distinti di G
determinano automorfismi distinti: infatti se g ed h sono elementi di G che determinano lo stesso
automorfismo, allora h −1 g determina l’automorfismo identità, il che è possibile soltanto se h −1 g è
l’elemento neutro di G, perché l’azione è propriamente discontinua ed in particolare ogni elemento
di G diverso dall’elemento neutro agisce su X senza fissare alcun punto. Quindi G è identificabile
ad un sottogruppo di Aut(X/B). Le fibre del rivestimento sono le orbite sotto l’azione di G. Tale
azione è transitiva su ciascuna orbita e perciò il rivestimento è di Galois.
Infine, G = Aut(X/B) perché se f ∈ Aut(X/B), preso un punto x ∈ X sia y = f (x): sappiamo che
esiste g ∈ G tale che gx = y per la transitività dell’azione di G. Allora f coincide con l’automorfismo
determinato da g per la proposizione 16.2.
174
. Azioni di gruppi e rivestimenti
Corollario .
Nelle ipotesi della proposizione precedente, G è isomorfo a π1 (X/G)/φ∗ (π1 (X)). In particolare,
se X è semplicemente connesso, G è isomorfo a π1 (X/G).
Dimostrazione. Basta applicare il teorema 16.16 ed il corollario 16.15.
Teorema .
Sia B uno spazio connesso per archi e localmente connesso per archi che ha un rivestimento
universale φ∶ X → B e sia H un sottogruppo di π1 (B, b), dove b ∈ B. Allora esiste un rivestimento
ψ∶ Y → B ed un punto y ∈ Y tali che ψ∗ (π1 (Y, y)) = H.
Dimostrazione. Fissiamo un punto x ∈ X nella fibra di b. Abbiamo visto nel teorema 16.14 che
si può definire un isomorfismo fra π1 (B, b) ed il gruppo G = Aut(X/B). Attraverso questo
isomorfismo identifichiamo H con la sua immagine in G. L’azione di H su X è propriamente
discontinua perché lo è quella di G per il teorema 16.13. Sia Y il quoziente X/H in cui prendiamo
come punto base y l’orbita di x sotto l’azione di H. Il gruppo π1 (Y, y) è allora isomorfo ad H per
il corollario 16.25. Inoltre l’applicazione φ induce un’applicazione continua ψ∶ Y → B: infatti B è
omeomorfo ad X/G e quindi due punti di X che hanno la stessa immagine in Y — cioè che sono
equivalenti sotto l’azione di H — hanno la stessa immagine in B perché equivalenti sotto l’azione
di G.
Lasciamo al lettore la verifica che ψ è un rivestimento che ψ∗ (π1 (Y, y)) coincide con H.
Esempi
. Consideriamo B = SO(n). Abbiamo visto che π1 (SO(n)) = Z/2Z se n ⩾ 3, quindi gli unici
sottogruppi del π1 (B) sono quelli banali. Per i teoremi 16.20 e 16.26, esistono solo due
rivestimenti di SO(n) (a meno di isomorfismi): il rivestimento banale in cui lo spazio totale
è B stesso (e l’applicazione di rivestimento è l’identità) in corrispondenza del gruppo Z/2Z
ed il rivestimento universale X in corrispondenza del gruppo formato dal solo elemento
neutro. Tale rivestimento φ∶ X → B ha delle fibre formate da due elementi (teorema 16.19).
Lo spazio X è molto importante in fisica, ed ha una struttura di gruppo topologico (anzi,
di gruppo di Lie) ed è il cosidetto gruppo di spin e denotato con Spin(n). Il gruppo degli
automorfismi di tale rivestimento è formato da due elementi (per il corollario 16.25) che
sono l’identità e l’applicazione che consiste nello scambiare i due elementi di ciascuna fibra.
. Sia B = S 1 . Dato che il gruppo fondamentale è Z i rivestimenti sono in corrispondenza
biunivoca con i sottogruppi nZ di Z, con n ⩾ 0.
Se n = 0, abbiamo il rivestimento universale X = R con l’applicazione φ(x) = exp(2πix).
Il gruppo degli automorfismi di questo rivestimento è isomorfo a Z ed è costituito dalle
traslazioni su R per un intero m.
Se n > 0, abbiamo il rivestimento X = S 1 con l’applicazione φ n (z) = z n . L’applicazione
φ n manda il cammino α che consiste nel percorrere una volta S 1 (in senso antiorario, per
175
Rivestimenti
esempio) nel cammino nα che consiste nel percorrere n volte S 1 . Quindi
φ n ∗ (π1 (S 1 )) = nZ ⊂ Z = π1 (S 1 )
Il gruppo degli automorfismi di questo rivestimento, per il corollario 16.25, è isomorfo
a Z/nZ; indichiamone gli elementi con {σ1 , . . . , σn = 1X }. Per ogni k = 1, . . . , n avremo
n
che φ n (σk (z)) = (σk (z)) = z n = φ n (z), quindi σk (z)/z è una radice n-esima dell’unità.
Posto ζ = exp(2πi/n), sappiamo che il gruppo delle radici n-esime dell’unità è il gruppo
µ n = {ζ k ∶ k = 1, . . . , n}. Ponendo σk (z) = ζ k z per k = 1, . . . , n, otteniamo tutti gli
automorfismi del rivestimento.
176
Parte IV
Varietà Differenziabili
177
Varietà Differenziabili
. Nozione di varietà
Sia X uno spazio topologico separato ed a base numerabile.
Una carta di X è una coppia (U, φU ) dove U è un aperto di X, φU ∶ U → φU (U) è un omeomorfismo
e φU (U) è un aperto di Rn .
Date due carte (U, φU ) e (V, φV ) se U ∩ V ≠ ∅, φU (U ∩ V) e φV (U ∩ V) sono entrambi aperti di
Rn per l’invarianza topologica della dimensione.
Data la carta (U, φU ), possiamo introdurre delle coordinate su U: le coordinate del punto P ∈ U
sono x i (P) ∶= x i (φU (P) per i = 1, . . . , n.
Date due carte (U, φU ) e (V, φV ) abbiamo le funzioni continue, una inversa dell’altra:
φV ○ φ−1
U ∶φU (U ∩ V) Ð→ φV (U ∩ V)
φU ○ φ−1
V ∶φV (U ∩ V) Ð→ φU (U ∩ V)
Tali funzioni sono dette funzioni di transizione oppure cambiamenti di coordinate. Esse sono
degli omeomorfismi da φU (U ∩ V) a φV (U ∩ V) e viceversa.
Un atlante differenziabile di X è una collezione di carte U = {(Ui , φ i )}i∈I tale che
• {(Ui }i∈I è un ricoprimento aperto di X
∞
• le funzioni di transizione φ i j = φ i ○ φ−1
j ∶ φ j (U i ∩ U j ) → φ i (U i ∩ U j ) sono funzioni C per
ogni i, j.
Due atlanti differenziabili U = {(Ui , φ i )}i∈I e V = {(Vα , φ α )}i∈J si dicono equivalenti se l’atlante
U ∪ V è differenziabile. Ciò significa che i cambiamenti di coordinate ottenuti prendendo una
carta di U ed una carta V sono C∞ . Alla classe di equivalenza dell’atlante U possiamo associare un
unico atlante differenziabile U ottenuto dalla riunione di tutti gli atlanti della classe. Tale atlante è
ovviamente massimale, nel senso che ogni atlante equivalente ad U è formato con carte che sono
già in U. Un atlante massimale U è anche detto una struttura differenziabile n-dimensionale su
X. Possiamo finalmente dare la seguente
Definizione. Uno varietà differenziabile n-dimensionale è una coppia (X, U) formata da uno spazio topologico X separato ed a base numerabile, e da una struttura differenziabile n-dimensionale
U su X.
Automaticamente X è anche una varietà topologica di dimensione n.
Osservazione 17.1. Naturalmente per assegnare una struttura differenziabile n-dimensionale su
uno spazio topologico X (separato ed a base numerabile) è sufficiente assegnare un particolare
atlante differenziabile n-dimensionale.
179
Varietà Differenziabili
Esempi
. Ogni aperto Ω di Rn è ovviamente una varietà differenziabile con la struttura differenziabile
data dall’applicazione identità i∶ Ω ⊆ Rn .
Più in generale, se Ω è un aperto di una varietà differenziabile X, allora Ω è esso stesso una
varietà differenziabile, nel modo seguente: data una carta (U, φU ), allora (Ω ∩ U, φ Ω∩U ) è
una carta di Ω.
. Consideriamo lo spazio proiettivo reale Pn (R): ricordiamo che i punti possono essere
induviduati con le loro coordinate omogenee, cioè se x = (x0 , x1 , . . . , x n ) è un vettore
non nullo di Rn+1 denotiamo con (x) = (x0 ∶ x1 ∶ ⋅ ⋅ ⋅ ∶ x n ) il corrispondente punto
di Pn (R). Se Ui è l’insieme dei punti di Pn (R) aventi l’i-esima coordinata omogenea
diversa da 0, poniamo φ i ((x)) = (x0 /x i , . . . , x i−1 /x i , x i+1 /x i , . . . , x n /x i ). La φ i è ottenuta
dividendo tutte le coordinate omogenee per x i ed omettendo l’i-esima coordinata ed è un
omeomorfismo fra Ui ed Rn . È immediato verificare che (U0 , φ0 ), (U1 , φ1 ), . . . , (Un , φ n )
danno un atlante differenziabile su Pn (R).
Applicazioni differenziabili
In questo testo le funzioni C∞ (Ω, Rm ) di classe C∞ da un aperto Ω di Rn in valori in Rm
saranno dette semplicemente «funzioni differenziabili» (da Ω ad Rm ).
Siano X ed Y due varietà differenziabili ed f ∶ X → Y un’applicazione continua. Dati un punto
x ∈ X, ed una carta (V, φV ) tale che y = f (x) ∈ V, esiste per la continuità di f una carta (U, φU )
contenente x tale f (U) ⊆ V.
Un’applicazione continua f ∶ X → Y è detta differenziabile (cioè di classe C ∞ ) in x se, data una carta (V, φV ) di Y contenente f (x) ed una carta (U, φU ) contenente x tale f (U) ⊆ V, l’applicazione
φV ○ f ○ φ−1
U è differenziabile. Notiamo subito che tale proprietà non dipende dalle carte scelte in
x ed in f (x) perché i cambiamenti di carte sono C∞ .
Un’applicazione f ∶ X → Y fra varietà differenziabili è detta differenziabile se è differenziabile in ogni punto x di X. Se f è biiettiva e sia f che f −1 sono differenziabili, allora f è detta
diffeomorfismo.
Indichiamo con C∞ (X, Y) le applicazioni differenziabili da X ad Y.
Sottovarietà Differenziabili
Un sottoinsieme Y di una varietà differenziabile X si dirà sottovarietà differenziabile di dimensione r se per ogni punto P ∈ Y esiste una carta (U , φ) in P con coordinate (x1 , . . . , x n ) tali che
UY ∶= U ∩ Y è l’insieme
{Q ∈ U ∶ xr+1 (Q) = xr+2 (Q) = ⋅ ⋅ ⋅ = x n (Q) = 0}
Poniamo allora φY (Q) = (x1 (Q), . . . xr (Q)) per ogni Q ∈ UY .
Se Y è una sottovarietà di X, scegliamo delle carte (Ui , φ i ) come sopra tali che Y ⊆ ⋃i Ui .
Allora la famiglia {(UiY , φiY )} è un atlante C∞ di Y che determina una struttura differenziabile.
Si verifica che tale struttura non dipende dalla scelta delle carte.
180
. Spazio Tangente
. Spazio Tangente
Germi di funzioni
Sia X una varietà differenziabile di dimensione n e P un suo punto. Consideriamo le coppie ( f , U)
dove U è un intorno aperto di P ed f è una funzione C∞ a valori in R definita su U. Diciamo
che due coppie ( f , U) e (g, V) appartengono allo stesso germe se esiste un intorno aperto di
P su cui f e g coincidono. L’insieme dei germi delle funzioni C∞ in P sarà indicato con C∞
P .
Su questo insieme si definiscono in modo naturale le operazione di somma, prodotto per una
costante e prodotto, operando sui rappresentanti. In tal modo C∞
P acquista una struttura naturale
di R-algebra.
Il germe della funzione f definita in un intorno di P sarà indicato f P . Dalla definizione segue
che al germe f P possiamo associare il suo valore in P, che sarà ovviamente definito da f P (P) =
f (P). Possiamo quindi considerare l’insieme dei germi delle funzioni che si annullano in P, che
indichiamo con mP . Questo insieme è un ideale dell’algebra C∞
P , e quindi un suo sottospazio
vettoriale. Indichiamo ancora con m2P l’insieme dei germi di funzioni che sono combinazioni
lineari finite di prodotti di due elementi di mP . Abbiamo che m2P è un sottospazio vettoriale di mP .
Se f è una funzione C∞ definita in un intorno di P, la funzione f − f (P) si annulla in P e definisce
quindi un germe di mP .
Il differenziale di f in P, denotato d f P è l’immagine di tale germe in mP / m2P .
Dalla definizione segue che, date due funzioni f e g tali che f = g + c con c ∈ R costante, allora
d f P = dg P .
Teorema .
Sia X una varietà differenziabile di dimensione n e P un suo punto. Abbiamo:
. dim(mP / m2P ) = n
. Se (U, φ) è una carta in P, con coordinate x1 , . . . , x n , allora i differenziali dx1 P , . . . , dx n P
formano una base di mP / m2P .
Dimostrazione. Siano (U, φ) una carta in P con coordinate x1 , . . . , x n e p = φ(P) ∈ Rn . Se f è
una funzione C∞ in un intorno di P, allora la funzione g = f ○ φ−1 è una funzione C∞ definita in
un aperto contenente una bolla B(p, ε) di Rn .
Dall’analisi, sappiamo che per ogni x ∈ B(p, ε):
n
g(x) = g(p) + ∑
i=1
n
∂g
(p)(x i − x i (p)) + ∑ g i, j (x)(x i − x i (p))(x j − x j (p))
∂x i
i, j=1
dove
1
g i, j (x) = ∫ (1 − t)
0
∂2 g
(p + t(x − p)) dt
∂x i ∂x j
Inoltre le funzioni g i, j (x) sono C∞ .
181
Varietà Differenziabili
Ora, se f (P) = 0, cioè se f P ∈ mP , avremo
n
fP = ∑
i=1
∂( f ○ φ−1 )
(φ(P))(x i − x i (P))P
∂x i
Cioè
n
d fP = ∑
i=1
modulo m2P
∂( f ○ φ−1 )
(φ(P)) dx iP
∂x i
Segue che i differenziali dx1 P , . . . , dx n P generano mP / m2P .
Essi sono linearmente indipendenti perché se
n
2
∑ α i ⋅ (x i − x i (P))P ∈ mP
n
∑ α i ⋅ (x i − x i (p)) p ∈ m p
allora
i=1
2
i=1
Ma se h(x) è una funzione il cui germe appartiene ad m2p , le sue derivate parziali sono nulle in
p in quanto h(x) è combinazione linare di prodotti di due funzioni che si annullano in p. Nel
nostro caso avremo
n
∂
(∑ α i ⋅ (x i − x i (p))) (p) = 0,
∂x j i=1
per ogni j
cioè α j = 0 per ogni j.
Derivazioni
Dato un punto P di una varietà differenziabile X, una derivazione in P è un’applicazione D∶ C∞
P →
∞
R tale che, per ogni f P e g P in C P :
• D(a f P + bg P ) = aD( f P ) + bD(g P ), dove a, b sono delle costanti in R
• D( f P g P ) = f P (P)D(g P ) + g P (P)D( f P )
Segue subito che se c P è il germe della funzione costante c allora D(c P ) = 0: infatti per la seconda
condizione, D(1P ) = D(1P ⋅ 1P ) = 2D(1P ) e quindi D(1P ) = 0 e per la prima condizione D(c P ) =
D(c1P ) = cD(1P ) = 0. Dalla seconda condizione segue immediatamente che D si annulla su m2P .
Indichiamo con DP l’insieme delle derivazioni in P: DP possiede un’ovvia struttura di spazio
vettoriale su R.
Nel seguito, per non appesantire la notazione, se f è una funzione C∞ definita in un intorno
di P e D una derivazione in P, scriveremo D( f ) anziché D( f P ).
Analogamente scriveremo d f anziché d f P se sarà chiaro dal contesto che si tratta del differenziale nel punto P.
Sia (U, φ) una carta con coordinate x1 , . . . , x n e P un punto di U. Se f è una funzione C∞ definita
in U, useremo le notazioni
∂f
(P)
∂x i
182
oppure
(
∂
∣ )(f)
∂x i P
. Spazio Tangente
per indicare
∂( f ○ φ−1 )
(φ(P))
∂x i
cioè la derivata parziale della funzione f ○ φ−1 rispetto alla variabile x i , calcolata nel punto φ(P).
L’applicazione
∂
∂
∣ ∶ f z→ (
∣ )(f)
∂x i P
∂x i P
è una derivazione su C∞
P .
Teorema .
Sia X una varietà differenziabile di dimensione n e P un suo punto. Abbiamo:
. Lo spazio vettoriale DP è isomorfo ad (mP / m2P )∗ .
. Se (U, φ) è una carta in P, con coordinate x1 , . . . , x n , allora le derivazioni
∂
∂
∂
∣ ,
∣ , ...,
∣
∂x1 P ∂x2 P
∂x n P
formano una base di DP .
Dimostrazione. Una derivazione D in P definisce un funzionale lineare Φ su mP che si annulla su
m2P , quindi un elemento del duale di mP / m2P . Viceversa, dato un elemento Φ ∈ (mP / m2P )∗ ed
una funzione f di classe C ∞ definita in un intorno di P, poniamo D( f ) ∶= Φ( f − f (P)).
Le derivazione ∂x∂ i ∣P formano una base di DP in quanto, attraverso l’isomorfismo di DP con
(mP / m2P )∗ , corrispondono alla base duale della base dx1 P , . . . , x n P di mP / m2P . Infatti
∂
∣ (x j − x j (P))P = δ i, j
∂x i P
Osserviamo pure che se
n
D = ∑ αi
i=1
∂
∣
∂x i P
è una derivazione in P allora le sue componenti α i sono
α i = D(x i ) = D(x i − x i (P))
Vettori tangenti a curve
Siano P ed X come sopra e consideriamo l’insieme delle coppie (I ε , α) costituite da un intervallo
I ε = (−ε, +ε) ⊆ R e da una funzione α∶ I ε → X di classe C∞ e tale che α(0) = P. Chiameremo una
183
Varietà Differenziabili
tale coppia una curva in P. Diremo che due curve (I ε , α) e (I ε′ , α ′ ) in P sono tangenti in P se,
data una carta (U, φ) in P,
dφ(α(t))
dφ(α ′ (t))
(0) =
(0)
dt
dt
Se tale condizione è verificata in una carta, allora è verificata in ogni carta. Denotiamo con TP
l’insieme delle classi di equivalenza di curve tangenti in P: i suoi elementi saranno detti vettori
tangenti a curve in P. Tale insieme possiede un’ovvia struttura di spazio vettoriale su R. Se (U, φ) è
una carta in P con coordinate x1 , . . . , x n , possiamo considerare le curve α i (t) = (x1 (t), . . . , x n (t))
dove x i (t) = t + x i (P) mentre per tutte le altre coordinate x j (t) = x j (P). Indichiamo con e iP il
vettore tangente in P alla curva α i (t). Lasciamo al lettore la verifica che i vettori {e1P , . . . e nP }
formano una base di TP .
Verifichiamo che TP è isomorfo a DP : sia (I ε , α) una curva C∞ in P. Per ogni funzione f di classe
C∞ in un intorno di P, la funzione f ○ α è definita in un intervallo contenuto in I ε ed è a sua volta
C∞ . L’applicazione
d( f ○ α)
D∶ f z→
(0)
dt
è una derivazione in P detta anche derivata direzionale secondo il vettore tangente in P alla curva
(I ε , α). Viceversa, data una derivazione D ∈ DP che si esprime nella carta (U, φ) come
D = ∑ ai
i
∂
∣
∂x i P
possiamo definire, per t sufficientemente piccolo, l’applicazione
α(t) = φ−1 (a1 t + x1 (P), . . . , a n t + x n (P))
Tale applicazione è una curva in P ed il suo vettore tangente in P è
dφ(α(t))
dt
(0) = (a1 , . . . , a n )
nella base {e1P , . . . e nP } di TP relativa alla carta (U, φ) descritta sopra. In particolare e iP corrisponde a ∂x∂ i ∣P
Definizione. Data una varietà differenziabile n-dimensionale X ed un punto P di X, lo spazio
vettoriale n-dimensionale (mP / m2P )∗ è detto spazio tangente in P e sarà denotato TP oppure
TP (X).
Esso sarà identificato di volta in volta con lo spazio DP delle derivazioni in P o con lo spazio TP
dei vettori tangenti a curve in P.
Lo spazio mP / m2P è detto spazio cotangente in P, sarà denotato con T∗P oppure T∗P (X) ed è il
duale dello spazio tangente in P.
Ricordiamo che in una carta (U, φ) in P le basi { ∂∂x ∣P , . . . , ∂∂x ∣P } di TP e {dx1P , . . . dx nP } di T∗P
1
n
sono basi duali.
184
. Applicazione lineare tangente
Sia f un germe di funzione C∞ in P: il suo differenziale in P è d f = ∑i β i dx i dove β i =
∂f
∂x i (P).
Se D = ∑i α i ∂∂x ∣P è un elemento di TP , avremo:
1
D( f ) = ∑ α i
i
∂f
(P) = ∑ α i β i
∂x i
i
D’altra parte, se pensiamo a d f come elemento del duale di TP , avremo
d f (D) = ∑ β i dx i (∑ α i
i
i
∂
∣ ) = ∑ αi βi
∂ x1 P
i
Vale quindi l’uguaglianza D( f ) = d f (D).
. Applicazione lineare tangente
Sia X una varietà differenziabile di dimensione n ed Y una varietà differenziabile di dimensione m. Data un’applicazione differenziabile f ∶ X → Y ed un punto P ∈ X, possiamo definire
un’applicazione lineare
TP ( f )∶ TP (X) z→ T f (P) (Y)
nel modo seguente: se v è un vettore di TP (X), visto come derivazione, e g una funzione C∞ a
valori in R definita in un intorno di f (P, allora
(TP ( f )(v)(g) ∶= v(g ○ f )
L’applicazione TP ( f ) è detta applicazione lineare tangente ad f in P.
Osservazione 17.4. In molti testi (in particolare in lingua inglese) l’applicazione TP ( f ) è detta
anche differenziale di f in P e denotata d f P .
Tale terminologia deriva dal fatto che, se Y = R, cioè se f è una funzione differenziabile su X
a valori in R, allora TP ( f ) può essere identificato con il differenziale d f P , come è stato definito
precedentemente, se si identifica R con il proprio spazio tangente in un suo punto.
Infatti, lo spazio tangente ad R in un suo punto Q è uno spazio unidimensionale TQ (R) e se t è la
coordinata su R, una base di TQ (R) è dtd ∣Q , cioè TQ (R) = R dtd ∣Q . Dati la funzione differenziabile
f da X in R, il punto P ∈ X e una funzione differenziabile g(t) nell’intorno di Q = f (P), se
v = ∑ni=1 α i ∂x∂ i ∣P è un vettore di TP (X) espresso in una carta (U, φ), allora:
n
(TP ( f )(v))(g(t)) = v(g( f (x))) = (∑ α i
i=1
∂
∣ ) (g( f (x)))
∂x i P
n
∂f
dg
dg
= (∑ α i
(P)) (Q) = v( f ) (Q)
∂x i
dt
df
i=1
cioè
TP ( f )(v) = v( f )
d
∣
dt Q
185
Varietà Differenziabili
Se identifichiamo quindi R dtd ∣Q con R attraverso l’applicazione α dtd ∣Q ↦ α, allora TP ( f )(v) =
v( f ) ∈ R ma, come visto, v( f ) = d f P (v); cioè TP ( f )(v) = d f P (v). Attraverso tale identificazione,
ritroviamo che TP ( f ) = d f P ∈ Hom(TP (X); R) = T∗P ; cioè, d f P è un elemento del duale di TP
come definito originariamente.
Vogliamo ora trovare la matrice m × n che rappresenta TP ( f ) nelle basi di TP (X) e T f (P) (Y)
relative a carte coordinate. Sia (U, φ) una carta in P con coordinate (x1 , . . . , x n ) = x e (V, ψ) una
carta in Q = f (P) con coordinate (y1 , . . . , y n ) = y tali che f (U) ⊆ V. La funzione f è allora data
da m funzioni y i (x1 , . . . , x n ) con i = 1, . . . , m. Se
n
v = ∑ αj
j=1
∂
∣
∂x j P
e g(y) è una funzione differenziabile nell’intorno di Q, avremo:
⎛n
∂ ⎞
∂y i
∂g
(TP ( f )(v))(g(y)) = ∑ α j
∣ (g(y(x))) = ∑ α j
(P) ⋅
(Q)
∂x j
∂y i
⎝ j=1 ∂x j P ⎠
i, j
m
⎛⎛ n
⎞ ∂ ⎞
∂y i
(P)
∣ (g(y))
∑ αj
∂x j
⎠ ∂y i Q ⎠
i=1 ⎝⎝ j=1
=∑
⎛m
∂ ⎞
= ∑ βi
∣ (g(y))
⎝ i=1 ∂y i Q ⎠
dove
n
βi = ∑
j=1
∂y i
(P) ⋅ α j
∂x j
Quindi, se fissiamo le basi
∂
∂
{
∣ ,...,
∣ }
∂x1 P
∂x n P
di TP (X) e
⎧
⎫
⎪
⎪
∂
⎪ ∂
⎪
⎨
∣ ,...,
∣ ⎬
⎪
∂y
∂y m Q ⎪
⎪
⎪
⎩ 1 Q
⎭
di TQ (Y)
dove Q = f (P), al vettore v di componenti (α1 , . . . , α n ) corrisponde il vettore TP ( f )(v) di
componenti (β1 , . . . , β m ) dove β i è come sopra. La matrice m × n rappresentativa di TP ( f ) nelle
basi indicate è dunque la matrice jacobiana di f in P
J f (P) ∶= (
∂y i
(P))
i=1,...,m
∂x j
j=1,...,n
Il rango r P ( f ) dell’applicazione f nel punto P è per definizione il rango dell’applicazione TP ( f ).
. Teorema delle funzioni implicite
Teorema . (Teorema della funzione inversa)
Siano Ω un aperto di Rn ed f ∈ C∞ (Ω, Rn ). Se il rango di f in P è n (cioè se J f (P) è non
186
. Teorema delle funzioni implicite
singolare) allora esiste un intorno aperto U ⊆ Ω tale che V = f (U) è aperto ed f ∣U è un
diffeomorfismo da U in V.
Teorema . (Teorema del rango)
Siano X una varietà differenziabile di dimensione n, Y una varietà differenziabile di dimensione
m, A un aperto di X, B un aperto di Y. Supponiamo che f ∈ C∞ (A, B) abbia rango costante k
su A.
Dato un punto P ∈ A esiste allora una carta (U, φ) in P con coordinate (x1 , . . . , x n ) ed una
carta (V, ψ) in Q = f (P) con coordinate (y1 , . . . , y m ) tali che
• U ⊆ A, f (U) ⊆ V ⊆ B e
• la restrizione di f a U è data da f (x1 , . . . , x n ) = (x1 , . . . , x k , 0, . . . 0).
Corollario .
Nelle ipotesi del teorema precendente, sia Z l’insieme φ−1 (Q) ∩ U. Allora:
• Z è una sottovarietà differenziabile di U di dimensione n − k
• lo spazio tangente TP (Z) a Z in P è isomorfo a ker TP ( f )
Dimostrazione. Possiamo supporre che, con le notazioni del teorema, x1 (P) = ⋅ ⋅ ⋅ = x n (P) = 0 e
y1 (Q) = ⋅ ⋅ ⋅ = y m (Q) = 0. Le due affermazione seguono da un calcolo immediato.
Esempio
Sia M la varietà GLn (R) ed N la retta R. La dimensione di M è p = n2 . Consideriamo l’applicazione
φ∶ M → R che associa ad ogni A ∈ M il numero ψ(A) = det(A) − 1. Allora
SLn (R) = {A ∈ M ∶ φ(A) = 0} = φ−1 (0)
Calcoliamo J φ (X). Se A = (x i j ), allora sviluppando il determinante di A lungo la i-esima riga si
ha
φ((x i j ) = det((x i j )) − 1 = x i j X i j + Yi j − 1
dove X i j è il complemento algebrico di x i j . Notiamo che X i j ed Yi j non dipendono da x i j . Segue
che ∂φ/∂x i j = X i j e quindi J φ (X) è la matrice 1 × n2 : (. . . , ∂φ/∂x i j = X i j , . . . ). Il rango di tale
matrice è sempre uguale ad 1 perché se X i j = 0 per ogni i, j allora det X = 0, contrariamente
all’ipotesi X ∈ GLn (R). Segue dal corollario 17.7 che SLn (R) è una varietà di dimensione n2 − 1.
Vogliamo ora vedere come l’applicazione lineare J φ (X) agisce su Mn (R), identificato con Rn .
Data A = (a i j ) ∈ Mn (R) e X = (x i j ) ∈ GLn (R) avremo (J φ (X))(A) = ∑i, j X i j a i j . Posto
Y = X −1 = (y ji ) dove y ji = X i j / det X avremo
2
(X −1 A) j j =
cioè
1
∑ Xi j ai j
det X i
−1
∑ X i j a i j = det(X) Tr(X A)
i, j
187
Varietà Differenziabili
Quindi (J φ (X))(A) = det(X) Tr(X −1 A). Nel caso X = I avremo (J φ (I))(A) = Tr A. Se identifichiamo lo spazio tangente in I a GLn (R) con Mn (R), allora lo spazio tangente in I ad SLn (R)
può essere identificato al ker J φ (I) = {A ∈ Mn (R) ∶ Tr(A) = 0}.
. Esponenziale di matrici e gruppi a -parametro
Esponenziale di matrici
Vogliamo definire un’applicazione
/ GLn (C)
exp∶ Mn (C)
Nel caso n = 1, è la solita applicazione z ↦ ez dove
∞
zk
k=0 k!
ez = ∑
converge per ogni z ∈ C.
In generale, se A = (A i j ) ed Ak = ((Ak )i j ), definiamo exp(A) = eA = ((eA)i j ) dove
(Ak )i j
k!
k=0
∞
(eA)i j = ∑
dunque
∞
Ak
k=0 k!
eA = ∑
in
Mn (C) ≃ Cn
2
La definizione ha senso se le serie (eA)i j convergono: verifichiamo che, in effetti, una tale serie
2
converge assolutamente e uniformemente su ogni insieme limitato K di Mn (C) ≃ Cn . Dato
l’insieme limitato K esiste una costante positiva α tale che ∣A i j ∣ ⩽ α per ogni i, j e per ogni A ∈ K.
Si dimostra allora facilmente, per induzione, che ∣(Ak )i j ∣ ⩽ α k n k−1 < α k n k . Quindi, la serie
∞ ∣(Ak ) ∣
∞
(αn)k
ij
è dominata dalla ∑
che converge per ogni α.
∑
k!
k!
k=0
k=0
Proposizione .
Abbiamo che:
. Se B ∈ GLn (C), allora BeA B−1 = exp(BAB−1 )
. det(eA) = eTr A; in particolare, eA ∈ GLn (C)
. Se AB = BA, allora eA+B = eAeB = eB eA
. e−A = (eA)−1 .
188
. Esponenziale di matrici e gruppi a -parametro
k
i
A
Dimostrazione. Osserviamo che (BAB−1 )k = BAk B−1 e che le somme parziali S i (A) = ∑k=0
k!
convergono ad eA in Mn (C). Quindi limi→∞ BS i B−1 = BeA B−1 perché la moltiplicazione a destra
o a sinistra per una matrice fissa è un’operazione continua in Mn (C). Ora
BeA B−1 = B( lim S i (A))B−1 = lim BS i (A)B−1 = lim S i (BAB−1 ) = exp(BAB−1 )
i→∞
i→∞
i→∞
Questo dimostra il punto 1.
Data A, sappiamo che esiste B tale che BAB−1 è triangolare superiore (essendo su C). Quindi
BAk B−1 è ancora triangolare superiore. Perciò se λ1 , . . . λ n sono gli autovalori di BAB−1 (cioè di
A), allora λ1k , . . . λ nk sono gli autovalori di BAk B−1 (cioè di Ak ). Segue che exp(BAB−1 ) = BeA B−1
è triangolare superiore con elementi sulla diagonale eλ1 , . . . eλ n . Da questo otteniamo che
det(exp(BAB−1 )) = det(BeA B−1 ) = det(eA) = eλ1 +⋅⋅⋅+λ n = eTr(A)
Questo termina la dimostrazione del punto 2.
Siano ora A e B due matrici che commutano. Dato che le serie che esprimono gli elementi di eA ed
eB convergono assolutamente, avremo le seguenti uguaglianze
∞
∞
∞
n
Bh
Ak B h ∞ n Ak B n−k
n
Ak
) (∑
)= ∑
= ∑ (∑
) = ∑ ( ∑ ( )Ak B n−k )
n=0 k=0 k!(n − k)!
n=0 k=0 k
h=0 h!
h,k=0 k!h!
k=0 k!
∞
e A eB = ( ∑
Poiché A e B commutano, avremo
n
n k n−k
= (A + B)n
∑ ( )A B
k
k=0
da cui segue subito il punto 3.
La verifica del punto 4 è immediata.
Esponenziale di matrici di ASn (R) e di AHn (C)
Esaminiamo ora l’esponenziale di matrici anti-simmetriche reali ASn (R) ed anti-hermitiane
complesse AHn (C)
Osserviamo che se X ∈ ASn (R), cioè X = −tX, ed Y = e X , allora, dato che X e tX commutano in
t
t
quanto tX = −X, avremo Y tY = e X e X = e X+ X = eO = I. Inoltre det e X = eTr X = e0 = 1. Quindi
Y ∈ SO(n).
Vogliamo verificare che l’applicazione exp ∶ ASn (R) → SO(n) è suriettiva. Data A ∈ SO(n)
sappiamo, per il teorema 14.17, che è coniugata ad una matrice Y della forma
⎛R θ 1
⎜
⎜
⎜
⎝
⋱
Rθ m
⎞
⎟
⎟
⎟
1⎠
se n = 2m + 1;
⎛R θ 1
⎜
⎝
⋱
Rθ m
⎞
⎟
⎠
se n = 2m
189
Varietà Differenziabili
Sia A = BY B−1 con B ∈ SO(n). Se esiste X ∈ ASn (R) tale che Y = e X allora la matrice BXB−1 ∈
−1
ASn (R) come si verifica facilmente ed inoltre eBXB = Be X B−1 = BY B−1 = A. Essendo la matrice
Y diagonale a blocchi 2 × 2 più un eventuale blocco 1-dimensionale dato dal numero 1, basta
0 −1
dimostrare la suriettività di exp ∶ AS2 (R) → SO(2). Sia dunque X = ( 0x −x
0 ) = x ( 1 0 ) = xC,
2
3
4
dove C = ( 01 −1
0 ), la generica matrice di AS2 (R). Abbiamo che C = −I, C = −C e C = I quindi
X
possiamo calcolare facilmente i coefficienti di e = (α i j ):
α11 = 1 −
∞
x2 x4
x 2k
+
+ ⋅ ⋅ ⋅ = ∑ (−1)k
= cos(x)
2! 4!
(2k)!
k=0
ed analogamente
α12 = − sen(x),
α21 = sen(x),
Concludiamo che
eX = (
α22 = cos(x)
cos(x) − sen(x)
)
sen(x) cos(x)
e quindi exp è suriettiva.
Consideriamo ora una matrice H ∈ AHn (C), cioè H = −tH̄. La matrice eH è una matrice unitaria.
Infatti
t
t
eH ⋅ t(eH ) = eH e H̄ = eH+ H̄ = eO = I
Sia ora U una matrice unitaria: sappiamo, per il teorema 14.17, che è U è coniugata ad una matrice
D della forma
iθ 1
⎛e
⎞
⎛ iθ 1
⎞
H
⎟ = e , con H = ⎜
⎟
⋱
⋱
D=⎜
⎝
⎝
iθ n ⎠
eiθ n ⎠
La matrice H appartiene a AHn (C) così come la matrice V HV −1 ed avremo eV HV
−1
= U.
Abbiamo quindi dimostrato la seguente proposizione
Proposizione .
L’applicazione esponenziale dà luogo a delle applicazioni suriettive:
exp ∶ ASn (R) Ð→ SO(n)
exp ∶ AHn (C) Ð→ U(n)
Gruppi a -parametro
Consideriamo ora un importante esempio di applicazioni differenziabili che sono anche omomorfismi fra gruppi topologici: i cosidetti gruppi a 1-parametro (in GLn (C)).
n
2n
Identifichiamo come
√ al solito Mn (C) con C ≃ R . Se A = (a αβ ) ∈ Mn (C) allora a αβ = Re a αβ +
i Im a αβ dove i = −1. Data una matrice A = (a αβ ) ∈ Mn (C), consideriamo l’applicazione
2
φ∶ R
t
190
2
/ GLn (C)
/ etA
. Esponenziale di matrici e gruppi a -parametro
Per il punto 3 della proposizione 17.8, la φ è un omomorfismo di gruppi da R(+) a GLn (C).
Consideriamo gli elementi (etA)αβ = φ αβ (t) = Re φ αβ (t) + i Im φ αβ (t): dal modo in cui è definito
l’esponenziale di matrici, vediamo che Re φ αβ (t) e Im φ αβ (t) sono serie di potenze in t che
convergono per ogni t ∈ R. In particolare, quindi, sono funzioni reali C ∞ (anzi, analitiche) della
varibile t; a fortiori continue.
Al variore di t, l’immagine etA descrive una curva in GLn (C) passante per I = φ(0). Le coordinate
reali dell’immagine sono date dalle funzioni differenziabili Re φ αβ (t) e Im φ αβ (t) che, come detto,
sono serie di potenze in t. Se calcoliamo le derivate di tali funzioni in t = 0, ritroviamo esattamente
2
Re a αβ e Im a αβ dove A = (a αβ ); ovvero, usando l’identificazione Mn (C) ≃ R2n , la matrice
jacobiana di φ in 0 è
J φ (0) = A
cioè la matrice A è il vettore tangente al gruppo a 1-paramentro φ(t) = etA in φ(0) = I.
Con lo stesso calcolo si vede che
J φ (t) =
d tA
(e ) = AetA
dt
Esempio
Sia M la varietà GLn (R) ed N la varietà Sn (R) delle matrici simmetriche reali n×n. La dimensione
di M è p = n2 e la dimensione di N è m = n(n + 1)/2. Consideriamo l’applicazione ψ∶ M → N che
associa ad ogni matrice A ∈ M la matrice ψ(A) = AtA: è chiaro che ψ è un’applicazione C ∞ . Allora
O(n) = {A ∈ M ∶ ψ(A) = I} = ψ −1 (I)
Vogliamo calcolare Jψ (I). Se A = (x i j ), allora poniamo y i j = (AtA)i j = ∑k x ik x jk . Essendo la
matrice ψ(A) = AtA simmetrica, basta considerare gli y i j con j ⩾ i. Riordiniamo tali y i j nel modo
seguente:
y11 , y22 , . . . , y nn ,
y12 , y13 , . . . , y1n ,
y23 , . . . , y2n ,
⋮
y n−1,n
Ordiniamo poi le x i j nello stesso modo se i = j oppure se i < j ed in un ordine qualsiasi se i > j.
Calcoliamo ora le derivate:
∂y ii
= 2x ii
∂x ii
∂y ii
= 2x i j
∂x i j
quindi vale 2 in I
quindi vale 0 in I, se i ≠ j
191
Varietà Differenziabili
Le altre derivate di y ii sono 0. Dunque nella matrice Jψ (I) c’è un blocco n × n in alto a sinistra
diagonale con 2 sulla diagonale mentre gli altri elementi delle prime n righe sono 0. Prendiamo
ora y i j con i < j. Avremo:
∂y i j
= xjj
∂x i j
∂y i j
= x ii
∂x ji
quindi vale 1 in I
quindi vale 1 in I
Le altre derivate di y i j calcolate in I sono 0. Segue che la Jψ (I) è una matrice m × p della forma
(
2I n O O
)
O I m−n ∗
dove I k è la matrice identità k×k. In particolare il rango di Jψ (I) è massimo (cioè m). Se mostriamo
che il rango di Jψ (P) è uguale ad m per ogni P ∈ O(n) allora avremo, per il corollario 17.7,
dim O(n) = p − m = n2 −
n(n + 1) n(n − 1)
=
2
2
Sia φ∶ GLn (R) → GLn (R) la moltiplicazione a destra per P. È ovviamente un diffeomorfismo
di GLn (R); inoltre ψ ○ φ = ψ, perché ψ(A) = AtA = (AP)t(AP) = AP tP tA = ψ(AP) = ψ(φ(A)).
Segue che
Jψ (I) = Jψ○φ (I) = Jψ (P)J φ (I)
Dato che φ è un diffeomorfismo, J φ (X) è invertibile per ogni X ∈ GLn (R), quindi Jψ (I) e Jψ (P)
hanno lo stesso rango.
Calcoliamo lo spazio tangente in I di SO(n) (e di O(n)). Sia x ↦ α(x) una curva differenziabile
in O(n) passante per I, cioè α(x)tα(x) = I e α(0) = I. Allora, derivando, otteniamo
′
α ′ (x)tα(x) + α(x)tα (x) = 0,
per ogni x
′
Quindi, per x = 0, α ′ (0) = −tα (0), cioè la matrice α ′ (0) è anti-simmetrica (reale). Quindi lo
spazio tangente a SO(n) in I è costituito da matrici anti-simmetriche.
Verifichiamo viceversa che ogni A ∈ ASn (R) è un vettore tangente a SO(n) in I. Prendiamo
la curva x ↦ α(x) = exA ∈ GLn (R), con x ∈ R: è un gruppo ad 1-parametro e sappiamo che
α ′ (0) = A. Ci resta da verificare che la curva exA sta in SO(n), cioè che (exA)t(exA) = I e che
t
det(exA) = I. Ora, t(exA) = ex A. Inoltre le matrici A e tA = −A commutano, quindi
t
(exA)t(exA) = ex(A+ A) = e0 = I
Per quanto riguarda il determinante avremo: det exA = eTr xA = e0 = 1.
Concludiamo che lo spazio tangente ad SO(n) in I è lo spazio vettoriale ASn (R) delle matrici
anti-simmetriche reali n × n.
192
. Esponenziale di matrici e gruppi a -parametro
La dimensione dello spazio vettoriale ASn (R) è n(n − 1)/2 che è naturalmente uguale alla dimensione della varietà SO(n).
Ricordiamo che Mn (R) è un’algebra di Lie con [ , ] denotata gln . Se X, Y sono due matrici di
ASn (R) è facile verificare che [X, Y] appartiene ancora ad ASn (R), quindi ASn (R) è essa stessa
un’algebra di Lie con [ , ] denotata con son
Abbiamo quindi visto che lo spazio tangente nell’elemento neutro I ad SO(n) ha una struttura
di algebra di Lie e che l’applicazione esponenziale dà luogo ad un’applicazione suriettiva dallo
spazio tangente in I alla varietà SO(n).
193
Varietà Differenziabili
194
Indice analitico
n-dimensionale
struttura differenziabile ∼, 179
toro ∼, 140
varietà differenziabile ∼, 179
A3 , 37
A4 , 37–39
A n , 9, 22, 24, 37, 52
abelianizzato, 36, 38
abeliano
gruppo ∼, vedi commutativo
accumulazione
punto di ∼, 100
additiva
notazione ∼, 7, 12
aderente
punto ∼, 99
AHn (C), 189
alfabeto, 33
algoritmo
euclideo, 3, 16
alterno
gruppo ∼, vedi A n , 52
ammissibile
aperto ∼, 163
anello, 1, 17
commutativo, 2
dei polinomi, 2
aperto
ammissibile, 163
applicazione ∼, 109, 109
insieme ∼, 95, 102, 121, 134
ricoprimento ∼, 115, 165
applicazione
esponenziale, 138
applicazione
aperta, 109, 109
canonica, 21, 22, 24, 105, 109, 117, 139
chiusa, 109, 109
differenziabile, 180
iniettiva, 1
lineare tangente, 185
suriettiva, 1
arco
spazio connesso per ∼, 125
spazio localmente connesso per ∼, 166
ASn (R), 189, 192
atlante
differenziabile, 179
equivalente, 179
massimale, 179
automorfismo, 15, 66
di rivestimento, 170, 173
interno, 15, 23
azione
continua, 136
di
gruppo su spazio topologico, 108
di gruppo, 66
su insieme, 41, 76
su spazio topologico, 136
fedele, 42, 49
di gruppo
su insieme, 75
per coniugio, 42, 43, 45
propriamente discontinua, 170
transitiva, 42, 136
banale
cammino ∼, 150
rappresentazione ∼, 75
sottogruppo ∼, 11
195
Indice analitico
banda
bordo della-di Möbius, 106
di Möbius, 106, 109, 130, 154, 155, 158
base, 163
numerabile, 132, 134
Binet, teorema di ∼, 3, 14
bolla, 96, 97, 102, 126
Bolzano-Weierstrass
teorema di ∼, 119
bordo, 101, 130
della banda di Möbius, 106
di D2 , 108
di D n , 101
di Hn , 130
varietà topologica con ∼, 130
bottiglia
di Klein, 107, 109, 158, 162
C, 2, 7, 97, 163
C(G), 87
C∗ , 7, 17, 67
C n , 15, 76
C∞ , 15
cambiamento
di coordinate, 179
cammino, 124, 125
banale, 150
composizione di ∼, 126
inverso, 126
omotopo, 149
campo, 2, 42
canonico
applicazione ∼, 21, 22, 24, 105, 109, 117,
139
isomorfismo ∼, 24
carattere, 83
dimensione di ∼, 83
irriducibile, 83
carta, 179
Cauchy, teorema di ∼, 47
Cayley
teorema di ∼, 49
cella
n-dimensionale, 96
196
centralizzante, 43
centro, 26, 43, 51, 57, 66
chiusa
applicazione ∼, 109, 109
chiuso
insieme ∼, 95, 102, 121
chiusura, 102
di un insieme, 99
ciclico
gruppo ∼, 12, 15, 17, 53, 64
gruppo ∼ infinito, 15
ciclo, 8, 50
disgiunto, 50
lunghezza di un ∼, 8
cilindro, 106, 154, 155
classe
di coniugio, 41
di equivalenza, 1
di resto modulo n, 12
equazione delle ∼, 43, 66
funzione di ∼, 87
laterale destra, 20
laterale sinistra, 19, 42
commutativo
anello ∼, 2
diagramma ∼, 24
gruppo ∼, 10, 17, 33, 36, 58
commutatore, 37
compatto
spazio
localmente ≈, 121, 129
spazio ∼, 115, 121
spazio localmente ∼, 132, 134
superficie ∼ orientabile, 160
componente
connessa, 71, 125, 125, 132, 135, 137, 138,
140
p-∼ primaria, 61
composizione
di cammini, 126
di funzioni continue, 97
coniugati, 23
coniugato
elemento ∼, 41
Indice analitico
coniugato, elemento ∼, 23
coniugato, gruppo ∼, 23
coniugio
azione per ∼, 42, 43, 45
classe di ∼, 41
connesso
componente ∼, 71, 125, 125, 132, 135, 137,
138, 140
spazio
localmente ∼ per archi, 166
semi-localmente semplicemente ∼,
172
semplicemente ∼, 150, 175
spazio ∼, 123, 134
per archi, 125
continua
azione ∼, 136
funzione ∼, 96, 102, 103
funzione ∼ in un punto, 98
contraibile
spazio ∼, 151
convergente
successione ∼, 99, 102, 113
convesso
insieme ∼, 146
coordinate, 179
cambiamento di ∼, 179
omogenee, 130
cotangente
spazio ∼, 184
curva
in punto, 183
tangente, 183
vettore tangente a ∼, 184
D2
bordo di ∼, 108
D , 96
D6 , vedi S3
D8 , 57
D10 , 47
D2n , 58, 75, 78
D30 , 46
D8 , 39
n
D2n , 35, 39, 58
decomposizione, 143
deformazione
retratto di ∼, 154
denso
insieme ∼, 101, 126
derivata
direzionale, 184
derivato
gruppo ∼, 37
insieme ∼, 100, 102
derivazione, 182
destra
traslazione ∼, 42
diagonalizzabile
rappresentazione ∼, 92
diagramma
commutativo, 24
diametro, 102, 115
diedrale
gruppo ∼, vedi D2n
diffeomorfismo, 180
differenza, 1
differenziabile
applicazione ∼, 180
atlante ∼, 179
sottovarietà ∼, 180
differenziale, 181, 185
dimensione
di carattere, 83
di rappresentazione, 74
di varietà topologica, 129, 134
diretta
somma ∼, 14, 60, 66
esterna, 59
interna, 60, 66
direzionale
derivata ∼, 184
disco, 124
puntato, 102
unitario, 102
discontinua
azione propriamente ∼, 170
discreta
197
Indice analitico
metrica ∼, 102
topologia ∼, 96, 102, 163
disgiunto
ciclo ∼, 50
insieme ∼, 1
dispari
sostituzione ∼, 9, 52
distanza
da sottoinsieme, 100, 102
euclidea, 95
disuguaglianza
triangolare, 95
divisori
elementari, 63
D n , 130
bordo di ∼, 101
elementari
divisori ∼, 63
elemento
coniugato, 23, 41
inverso, 7
neutro, 7
ordine di un ∼, 13, 16, 17, 19
equazione
delle classi, 43, 66
equivalente
atlante ∼, 179
equivalente, rivestimento ∼, 173
equivalenti
spazi omotopicamente ∼, 152
equivalenza
classe di ∼, 1
di metriche, 102
omotopica, 152
relazione di ∼, 1
esponenziale
applicazione ∼, 138
esterna, somma diretta ∼, 59
euclidea
distanza ∼, 95
metrica ∼, 102
topologia ∼, 96
euclideo
198
algoritmo ∼, 3, 16
spazio localmente ∼, 129, 134
Eulero, funzione φ di ∼, 17
fattori
invarianti, 63
fedele
azione ∼, 42, 49
fibra, 163
finita
rappresentazione ∼, 74
finito
gruppo ∼, 10, 43, 49
ordine di un gruppo ∼, 13
ricoprimento localmente ∼, 132
fondamentale
gruppo ∼, 150
forma
bilineare simmetrica, 121
frontiera, 101
funzione
composizione di ∼ continue, 97
continua, 96, 102, 103
continua in un punto, 98
di classe, 87
di transizione, 179
omotopa, 151
φ di Eulero, 17
G-insieme, 136
G-invariante
mappa ∼, 74, 81, 92
sottospazio ∼, 77
G-spazio, 108, 118, 136
Galois
rivestimento di ∼, vedi rivestimento
normale
generato
gruppo ∼, 12, 22
generatore, 12, 34
topologico, 141
genere
superficie di ∼ g, 160
germe, 181
Indice analitico
valore di ∼, 181
GL2 (R), 57, 58
GLn (C), 3, 7, 14, 26, 101
GLn (K), 42
GLn (R), 3, 7, 14, 24, 26, 41, 43, 49, 101, 112, 130,
131, 138, 187, 191
gln , 192
GL(V ), 42
grado
di un polinomio, 2
gruppo, 7
a 1-parametro, 190
abeliano, vedi commutativo
alterno, vedi A n , 52
azione di ∼
su insieme, 75
azione di ∼, 66
su insieme, 41, 76
su spazio topologico, 108, 136
ciclico, 12, 15, 17, 53, 64
ciclico infinito, 15
commutativo, 10, 17, 33, 36, 58
coniugato, 23
degli omeomorfismi di spazio topologico, 109, 109
dei quaternioni, vedi H
delle isometrie, 54, 58
delle sostituzioni, vedi S n
derivato, 37
di isotropia, 136
di Lorentz, 121
di spin, 175
diedrale, vedi D2n
finito, 10, 43, 49
ordine di un ≈, 13
fondamentale, 150
generato, 12, 22
hamiltoniano, 39
infinito, 13
libero, 33, 37, 65
monogeno, 141
normale, 22, 38
ordine di un ∼, 19
p-∼, 61, 66
prodotto, 14, 17
quoziente, 21
semplice, 53, 58, 66
simmetrico, vedi S n
topologico, 125, 135
isomorfismo di ≈, 135
H, 35, 57
hamiltoniano
gruppo ∼, 39
Hausdorff, spazio di ∼, vedi separato, spazio
Heine-Borel
teorema di ∼, 120
Hn
bordo di ∼, 130
immagine, 1, 14
indice, 19, 21
indotta
topologia ∼, 102
indotto
omomorfismo ∼, 151
topologia ∼, 96, 96, 97, 100, 102, 135
infinito
gruppo ∼, 13
gruppo ciclico ∼, 15
iniettiva
applicazione ∼, 1
insieme
aperto, 95, 102, 121, 134
in Rn , 95
azione di gruppo su ≈, 41, 76
azione di gruppo su ≈, 75
rappresentazione associata, 75, 84
chiuso, 95, 102, 121
chiusura di un ∼, 99
convesso, 146
degli zeri, 102, 112
denso, 101, 126
derivato, 100, 102
disgiunto, 1
G-∼, 136
interno di un ∼, 100
limitato, 115
199
Indice analitico
prodotto, 1
quoziente, 105
saturo, 105
interna, somma diretta ∼, 60, 66
interno, 102, 103
automorfismo ∼, 15, 23
di un insieme, 100
intersezione, 1, 38
intervallo, 123
intorno, 96
sistema fondamentale di ∼, 114, 121, 132
invarianti
fattori ∼, 63
inverso, 2, 17
cammino ∼, 126
elemento ∼, 7
irriducibile
carattere ∼, 83
rappresentazione ∼, 77
isolato
punto ∼, 100
isometria, 54
isometrie
gruppo delle ∼, 54, 58
isomorfismo, 15
canonico, 24
di gruppi
topologici, 135
isotropia
gruppo di ∼, 136
jacobiana
matrice ∼, 186
Klein
bottiglia di ∼, 107, 109, 158, 162
L2 (G), 85
laterale
classe ∼ destra, 20
classe ∼ sinistra, 19, 42
Lebesgue
numero di ∼, 118, 121, 156, 165
lemma
di Schur, 81
200
lettera, 33
libera
parte ∼, 66
libero
gruppo ∼, 33, 37, 65
limitato
insieme ∼, 115
spazio ∼, 121
spazio totalmente ∼, 119, 121
limite
della successione, 99
punto ∼, 100, 102, 119, 121
localmente
spazio ∼ compatto, 121, 129
spazio ∼ connesso per archi, 166
Lorentz
gruppo di ∼, 121
lunghezza
di un ciclo, 8
M2 (C), 103
M2 (R), 103
µ 3 , 47
µ 5 , 47
µ n , 12, 15, 67
Mn (C), 101
topologia di ∼, 97
Mn (R), 101, 103, 112
topologia di ∼, 97
mappa
G-invariante, 74, 81, 92
Maschke
teorema di ∼, 81
massimale
atlante ∼, 179
toro ∼, 27, 31, 32, 138, 142
matrice
jacobiana, 186
matriciale
rappresentazione ∼, 74, 78
mcd, 3
mcm, 3
metrica, 95
discreta, 102
Indice analitico
equivalenza di ∼, 102
euclidea, 102
prodotto, 102
topologia determinata da una ∼, 95
metrico
spazio ∼, 95, 99, 100, 102, 111, 121
metrizzabile
spazio ∼, 134
modulo, 2
modulo, classe di resto ∼ n, 12
molteplicità, 87
moltiplicativa
notazione ∼, 7
monogeno
gruppo ∼, 141
morfismo
di rivestimenti, 173
Möbius
banda di ∼, 106, 109, 130, 154, 155, 158
bordo della banda di-, 106
n
classe di resto modulo ∼, 12
n-dimensionale
cella ∼, 96
neutro
elemento ∼, 7
normale
gruppo ∼, 22, 38
rivestimento ∼, 171, 174
sottogruppo ∼, 21
spazio ∼, 114, 133, 134
normalizzante, 23, 45, 170
normalizzato, 22, 34
notazione
additiva, 7, 12
moltiplicativa, 7
nucleo, 14
numerabile
base ∼, 132, 134
numero
di Lebesgue, 118, 121, 156, 165
primo, 3
nZ, 15, 21
O(1, 1), 121, 140
O(2), 27, 112
O(3), 132
O(n), 3, 113, 120, 130, 131, 137, 191, 192
O(x), 42
Omeo(X), 108
omeomorfismo, 97, 97
gruppo degli ∼ di spazio topologico, 109,
109
omeomorfo
spazio ∼, 97
omogeneo
coordinate ∼, 130
spazio ∼, 136
omomorfismo, 14
indotto, 151
omotopia, 149, 162
tipo di ∼, 152, 154
omotopico
equivalenza ∼, 152
omotopo
cammino ∼, 149
funzione ∼, 151
opposto, 2
orbita, 42
spazio delle ∼, 109
ordine
di un elemento, 13, 16, 17, 19
di un gruppo, 19
di un gruppo finito, 13
orientabile
superficie compatta ∼, 160
pcomponente primaria, 61
gruppo, 61, 66
Sylow, 44, 60, 61, 66
torsione, 61
P2 (R), 130
P3 (R), 139, 168
Pn (R), 107, 108, 112, 118, 130, 163, 168, 173
paracompatto
spazio ∼, 132, 133, 134
pari
201
Indice analitico
sostituzione ∼, 9, 52
parità, 52
parola, 33
ridotta, 33
parte
di torsione, 66
libera, 66
partizione, 1
φ
funzione ∼ di Eulero, 17
polinomio
anello dei ∼, 2
grado di un ∼, 2
presentazione, 34, 46
primaria, p-componente, 61
primo
numero ∼, 3
relativamente ∼, 3
procedimento di ortogonalizzazione di GramSchmidt, 139
prodotto
gruppo ∼, 14, 17
insieme ∼, 1
metrica ∼, 102
spazio ∼, 97, 111, 116
proiettivo, spazio ∼, vedi Pn (R)
proiezione, 98, 163
puntato
disco ∼, 102
punto
aderente, 99
curva un ∼, 183
di accumulazione, 100
isolato, 100
limite, 100, 102, 119, 121
Q, 7, 101, 102, 126
Q∗ , 7
quaternioni, vedi H
quoziente
gruppo ∼, 21
insieme ∼, 105
topologia ∼, 105
202
R, 7, 97, 101–103, 126, 134, 163, 173
R∗ , 7, 67
R2 , 102, 126, 154, 173
R3 , 154
R n , 154
Rn , 97, 124, 126, 129, 134, 151
insieme aperto in ∼, 95
sottospazi di ∼, 96
radici
n-esime dell’unità, vedi µ n
raffinamento, 132
rango, 65, 186
rappresentazione, 74
associata ad azione di gruppo su insieme,
75, 84
banale, 75
coniugata, 74
diagonalizzabile, 92
dimensione, 74
finita, 74
irriducibile, 77
isomorfa, 74
matriciale, 74, 78
regolare, 73, 73, 75, 78, 79, 83, 88, 92
riducibile, 77
somma diretta di ∼ i, 78
standard, 75
unitaria, 78, 80
regolare
rappresentazione ∼, 73, 73, 75, 78, 79, 83,
88, 92
spazio ∼, 114, 114, 121, 134
relativamente
primo, 3
relazione, 34
di equivalenza, 1
retratto
di deformazione, 154
ricoprimento, 115
aperto, 115, 165
localmente finito, 132
ridotta
parola ∼, 33
riducibile
Indice analitico
rappresentazione ∼, 77
rivestimento, 140, 155, 163
automorfismo di ∼, 170, 173
di Galois, vedi ∼ normale
equivalente, 173
morfismo di ∼, 173
normale, 171, 174
universale, 172, 174
S(x), 42
S 1 , 2, 24, 96, 97, 106, 108, 124, 154, 155, 163, 168,
173
S 2 , 71, 97, 109, 125, 130
S 3 , 69, 97, 139, 168
S n , 107, 108, 118, 126, 130, 154, 156, 160, 163, 173
S3 , 10, 16, 20, 23, 34, 35, 39, 47, 52, 89
S n , 8, 22, 24, 37, 49, 49, 55, 75, 78
Sn (R), 43, 191
saturazione, 105
saturo
insieme ∼, 105
Schur
lemma di ∼, 81
semicono, 146
semplice
gruppo ∼, 53, 58, 66
semplicemente
spazio ∼ connesso, 150, 175
spazio semi-localmente ∼ connesso, 172
separato
spazio ∼, 111, 113, 121, 132–134
simmetrico
gruppo ∼, vedi S n
sinistra
traslazione ∼, 42, 44
sistema
fondamentale di intorni, 114, 121, 132
SLn (R), 24
SLn (C), 3, 14
SLn (R), 3, 14
SO(2), 27, 168
SO(3), 70, 76, 131, 139, 168, 173
SO(n), 3, 27, 113, 120, 130, 137, 192
sollevamento, 155, 164
somma
diretta, 14, 60, 66
esterna, 59
interna, 60, 66
somma diretta, di rappresentazioni, 78
son , 192
sostituzione
dispari, 9, 52
gruppo delle ∼, vedi S n
pari, 9, 52
sottogruppo, 11, 16
banale, 11
normale, 21
sottoinsieme
distanza da ∼, 100, 102
sottoricoprimento, 115
sottospazio, 96
di Rn , 96
G-invariante, 77
sottovarietà
differenziabile, 180
spazi
omotopicamente equivalenti, 152
spazio
compatto, 115, 121
connesso, 123, 134
per archi, 125
contraibile, 151
cotangente, 184
delle orbite, 109
di Hausdorff, vedi ∼ separato
G-∼, 108, 118, 136
limitato, 121
localmente compatto, 121, 129, 132, 134
localmente connesso per archi, 166
localmente euclideo, 129, 134
metrico, 95, 99, 100, 102, 111, 121
metrizzabile, 134
normale, 114, 133, 134
omeomorfo, 97
omogeneo, 136
paracompatto, 132, 133, 134
prodotto, 97, 111, 116
proiettivo, vedi Pn (R)
203
Indice analitico
regolare, 114, 114, 121, 134
semi-localmente semplicemente connesso, 172
semplicemente connesso, 150, 175
separato, 111, 113, 121, 132–134
T1, 113
T2, vedi ∼ separato
tangente, 184
topologico, 95
azione di gruppo su ≈, 108, 136
gruppo degli omeomorfismi di ≈, 109,
109
totale, 163
totalmente limitato, 119, 121
vettoriale, 42, 59
spin
gruppo di ∼, 175
stabilizzatore, 42, 136
standard
rappresentazione ∼, 75
struttura
differenziabile n-dimensionale, 179
SU(2), 41, 69, 76, 97, 130, 131, 139, 168, 173
SU(n), 3, 113, 120, 137
successione, 119, 121
convergente, 99, 102, 113
limite della ∼, 99
superficie
compatta orientabile, 160
di genere g, 160
topologica, 130
supplementare, 61, 66
suriettiva
applicazione ∼, 1
Sylow
p-∼, 44, 60, 61, 66
teorema di ∼, 44, 61
T(X), 7, 41, 109, 136
T1
spazio ∼, 113
T2, spazio ∼, vedi separato, spazio
tangente
applicazione lineare ∼, 185
204
curva ∼, 183
spazio ∼, 184
vettore ∼ a curva, 184
teorema
di Binet, 3, 14
di Bolzano-Weierstrass, 119
di Cauchy, 47
di Cayley, 49
di Heine-Borel, 120
di Maschke, 81
di Sylow, 44, 61
di Van Kampen, 157
di Weierstrass, 120
tipo
di omotopia, 152, 154
topologia, 95, 102
determinata da una metrica, 95
discreta, 96, 102, 163
euclidea, 96
indotta, 96, 96, 97, 100, 102, 135
di Mn (C), 97
di Mn (R), 97
quoziente, 105
topologica
superficie ∼, 130
varietà ∼, 129, 134
topologico
generatore ∼, 141
gruppo ∼, 125, 135
spazio ∼, 95
toro, 107, 130, 141, 142, 156, 173
n-dimensionale, 140
massimale, 27, 31, 32, 138, 142
torsione
p-∼, 61
parte di ∼, 66
totale
spazio ∼, 163
transitiva
azione ∼, 136
transitiva, azione, 42
transizione
funzione di ∼, 179
traslazione
Indice analitico
destra, 42
sinistra, 42, 44
trasposizione, 9, 51
triangolare
disuguaglianza ∼, 95
U(n), 3, 113, 120, 137, 141
unione, 1
unitaria
rappresentazione ∼, 78, 80
unitario
disco ∼, 102
universale
rivestimento ∼, 172, 174
valore
di germe, 181
Van Kampen
teorema di ∼, 157
varietà
differenziabile n-dimensionale, 179
topologica, 129, 134
dimensione di ≈, 129, 134
varietà topologica
con bordo, 130
vettore
tangente a curva, 184
vettoriale, spazio ∼, 42, 59
Weierstrass
teorema di ∼, 120
Z, 7, 21, 33, 34
Z/nZ, 12, 14, 15, 17, 21, 34, 66
(Z/nZ)∗ , 17, 17
zero, 7
insieme degli ∼, 102, 112
205
