Teoremi di Geometria

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Alex Gotev
Prova orale di Geometria, A.A. 2009/2010, prof. Raffaele Scapellato
Elenco dei teoremi richiesti con dimostrazione
1. Annullamento del prodotto per gli spazi vettoriali
Proposizione (2.2.2, pag. 38)
Sia: k ∈K , v ∈V  k scalare , v vettore 
Si ha kv =0 se e solo se k =0 oppure v =0
Dimostrazione
Si consideri kv=v 0k  
kv =v0kv
Si consideri anche kv=k  0v 

0=v0
kv =k0kv

0=k0
Viceversa se kv=0 e k ≠0, esiste k −1 ∈ K tale che v=k −1 kv =k −1⋅0=0
2. Isomorfismo tra uno spazio vettoriale di dimensione n e Kn.
Proposizione (Teorema 5.1.6, pag. 86)
SiaV  K uno spazio vettoriale contenente una base B=v 1, v 2, .. , v n .
Esiste unisomorfismo T B da V  K  a K n , che si ottiene facendo
corrispondere ad ogni vettore la n−upla delle sue coordinate rispetto alla base.
Dimostrazione
La proposizione assicura che la funzione T B descritta è ben definita ed è una biiezione.
Essa è anche lineare , infatti si considerino :
n
n
u=∑ ai v i
v=∑ bi vi
i=1
i=1
n
allora uv =∑ a ib i v i
i=1
dunque T B  uv = a1b 1, ... , a nb n = T B uT B  v
n
inoltre
ku=∑ k ai vi
i=1
quindi si ha T B ku = ka1, ... , k a n  = kT B  u
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3. Teorema di interpolazione.
Proposizione (Teorema 6.1.6, pag. 96)
Siano V  K  e V '  K  spazi vettoriali , sia { v 1, ... , v n } una base di V.
Per ogni w 1, ... , w n ∈ V ' esiste un' unica funzione lineare
T :V V '
tale che T v 1 =w1, T v 2 =w 2, ... , T v n=w n
Dimostrazione
n
Il generico v ∈ V si può scrivere nella forma : v=∑ ai v i
i=1
n
Definiamo: T v =∑ a i w i.
i=1
La linearità si verifica direttamente , mostrando l ' esistenza della funzione con
l e proprietà richieste.
Per quanto riguarda l ' unicità , sia T 1 :V  V ' una F.L.tale che
T 1  v i=wi per ogni i=1, ... , n
allora T 1 v =T 1

n

∑ ai vi =
i=1
n
∑ a i T 1 v i  =
i=1
n
∑ ai w i
i=1
= T v  , quindi T 1=T
4. Indipendenza di autovettori relativi ad autovalori distinti.
Proposizione (Proposizione 7.1.7, pag. 109)
Sia T :V V lineare. Se v 1, ... , v k sono autovettori di T corrispondenti ad
autovalori distinti 1, ... ,  k , allora v 1 ,... , v k sono linearmente indipendenti.
Dimostrazione
Procediamo per induzione su k :
se k =1 l ' autovettore v 1 non è nullo e quindi è indipendente.
Sia ora k 1 e supponiamo che
a 1 v1 ...a nv n=0
Applicando T si ha anche , per linearità
a1 T  v1 ...a k T v k =0, cioè a 1 v 1...a k k v k =0
Sottraendo la prima uguaglianza moltiplicata per k dall ' ultima , si ottiene :
a1 1− k v 1...a k−1 k −1 −k  v k−1=0
Per l ' ipotesi induttiva v 1, ... , v k−1 sono indipendenti e quindi
a1 1 −k =...=a k−1 k−1− k =0
da cui a1=...=a k−1=0 e quindi anche ak v k =0 e a k =0
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5. Caratterizzazione degli autovalori come radici del polinomio caratteristico
Proposizione (Teorema 7.2.1, pag. 109)
T: Endomorfismo di uno spazio n-dimensionale Vn(K)
A: Matrice associata a T rispetto ad una base B
Le seguenti condizioni sono equivalenti:
1. Lo scalare  ∈ K è autovalore di T
2. Esiste x ≠ 0 in Kn tale che Ax = λx
3. det(A – λIn) = 0
Dimostrazione
Se x = TB(v),
T(v) = λv se e solo se Ax = λx.
Dunque λ è autovalore se e solo se il sistema lineare omogeneo (A – λIn) = 0
ha una soluzione non nulla, che si verifica se e solo se det(A – λIn) = 0
6. Caratterizzazione delle matrici associate a endomorfismi simmetrici.
Proposizione (Proposizione 9.1.3, pag. 140)
Sia B=e 1 ,... , en  una base ortonormale di V.
a  Se x e y sono i vettori colonnadelle coordinate di v e w rispetto a B , allora
v , w= xT y nel caso reale ,
 v , w= x T y nel caso complesso
b  L ' endomorfismo T è simmetrico se e solo se la matrice associata A= M B T 
è simmetrica , è hermitiano se e solo se la matrice A= M B T  è hermitiana
cioè A=AT
Dimostrazione
a  Sia nel caso reale che complesso vale
v , w=∑ ∑ x j y k e j , e k  = ∑ x j y j = xT y , perchè B è ortonormale
j
k
j
b  Per a  , nel caso reale
T v  , w =  Ax T y = x T AT y , mentre v , T w = x T Ay
Se AT = A , allora T v  , w  = v , T w  e T è simmetrico.
Viceversa , se T è simmetrico scegliendo v =e j e w=e k si ottiene  AT  jk =a jk
cioè Aè una matrice simmetrica.
Nel caso hermitiano v ,T w = x T  Ay  = x T A y e si conclude come nel caso reale.
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Alex Gotev
7. Diagonalizzazione delle forme quadratiche
Proposizione (Teorema 9.3.5, pag. 145)
Ogni forma quadratica è diagonalizzabile mediante una trasformazione
ortogonale di coordinate
Dimostrazione
Per il teorema spettrale, per ogni matrice reale simmetrica A, esistono:
• una matrice diagonale D e
• una matrice ortogonale P
tali che:
P-1AP = PTAP = D
Dunque A è congruente a D e la forma quadratica associata ad A diventa, mediante la
trasformazione ortogonale x = Py, la forma quadratica
q '  y =1 y12... n y 2n
dove 1 ,... , n sono gli autovalori di A
Testo di riferimento:
M. P. Manara, A. Perotti, R. Scapellato - Geometria e algebra lineare, Esculapio, 2a Edizione, 2007.
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