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Classe 4D
18 dicembre 2008
VERIFICA DI FISICA: lavoro ed energia
Domande
1) Forze conservative ed energia potenziale:
(punti: 1.5)
a) Dai la definizione di forza conservativa ed indicane le proprietà.
b) fornisci la definizione più generale possibile di energia potenziale, specificando l’equazione
dimensionale e le possibili unità di misura
c) scrivi ed illustra l’espressione dell’energia potenziale elastica.
2) Momento meccanico ed equilibrio:
(punti: 1.5)
a) Dai la definizione di momento meccanico di una forza, specificando l’equazione
dimensionale e l’unità di misura.
b) Calcola il momento meccanico della forza in figura rispetto al polo O indicato.
c) Enuncia le condizioni di equilibrio per un corpo rigido
O
20 cm
60°
F=20 N
3) Impulso e quantità di moto :
(punti: 1.5)
a) Dai la definizione di impulso di una forza, specificando l’equazione dimensionale e l’unità di
misura.
b) Scrivi l’espressione della quantità di moto di un corpo puntiforme, specificando l’equazione
dimensionale e l’unità di misura.
c) Enuncia il teorema dell’impulso
Problemi
1) Un corpo di massa M=1,5 kg è vincolato ad una molla di costante
elastica k=200 N/m, quando viene colpito da una proiettile di massa
m=100 g che si muove orizzontalmente alla velocità V=80 km/h
a) determina la massima deformazione subita dalla molla dopo l’urto.
b) La percentuale di energia persa durante l’urto
(punti:2)
r
V
2) Una massa M=100 g è appesa ad una fune ideale di lunghezza L=1,5 m
fissata al soffitto. Il corpo viene spostato in modo che la fune formi un
angolo di 30° rispetto alla verticale e da questa posizione viene lasciato
libero di oscillare.
a) Determina la velocità con cui il corpo raggiunge la posizione di “fune
verticale”.
b) Determina la tensione della fune nella posizione verticale (durante
l’oscillazione)
c) Determina l’espressione dell’energia potenziale dovuta alla forza peso in
funzione dell’angolo x che la fune forma con la verticale e traccia il
grafico della funzione ottenuta
(punti:2,5)
Verifica di fisica 18 dicembre 4D
1
Soluzione verifica di Fisica Lavoro ed energia
Domanda n. 1: Forze conservative ed energia potenziale:
a) Dai la definizione di forza conservativa ed indicane le proprietà.
Una forza è conservativa se il lavoro da essa compiuto su un corpo che si muove da un punto A ad
un punto B non dipende dal percorso, cioè L Aγ1B = L Aγ 2 B = L AB . Per una forza conservativa il
lavoro su un percorso chiuso è nullo, mentre il lavoro compiuto su un corpo da A a B è opposto a
quello compiuto da B ad A. L AB = − LBA
b) Fornisci la definizione più generale possibile di energia potenziale, specificando l’equazione
dimensionale e le possibili unità di misura.
Poiché il lavoro compiuto da una forza conservativa non dipende dal percorso è possibile definire la
funzione energia potenziale come il lavoro che la forza conservativa compirebbe su un corpo che si
trova in un generico punto P per portarlo in un punto P0 scelto come riferimento. E potenziale = LPP0 .
L’equazione dimensionale è: [E P ] = [M ][L ]2 [T ]−2 , di conseguenza nel sistema S.I l’unità di misura
è kg ⋅ m 2 / s 2 = Joule ( J ) , nel sistema C.G.S. g ⋅ cm 2 / s 2 = erg = 10 −7 J
c ) Scrivi ed illustra l’espressione dell’energia potenziale elastica.
La forza elastica è conservativa ed un corpo soggetto ad essa ha un’energia potenziale data da:
1
1
E P = kx 2 − kx02 , dove k è la costante elastica della molla, x è la deformazione in un generico
2
2
punto P e x0 è la deformazione nel punto P0 scelto come riferimento, in genere si preferisca
scegliere come punto di riferimento quello di molla non deformata, così x0=0.
Domanda n. 2: Momento meccanico ed equilibrio
a) Dai la definizione di momento meccanico di una forza, specificando l’equazione dimensionale e
l’unità di misura.
r
Data un forza F con punto di applicazione P e scelto un polo O fisso, si definisce momento
r
r
r
r r
meccanico il prodotto vettoriale tra il vettore posizione r = OP e la forza F . Cioè τO = r ∧ F . Il
modulo di tale vettore è dato dal prodotto tra il modulo della forza e il braccio, cioè la distanza tra il
polo e la retta d’azione della forza, la direzione è perpendicolare al piano individuato dai due vettori
e il verso si determina con la regola della mano destra. L’equazione dimensionale è:
[τ O ] = [M ][L]2 [T ]−2
e l’unità di misura è Nm.
O
b) Calcola il momento meccanico della forza in figura rispetto al polo O indicato.
r
r r
Dalla definizione τO = r F sin α = 20 ⋅ 0,2 ⋅ sin(30°) = 2 Nm
La direzione è perpendicolare al piano individuato dai due vettori, il verso, secondo
la regola della mano destra è entrante.
20 cm
60°
F=20 N
c) Enuncia le condizioni di equilibrio per un corpo rigido
r
Affinché il centro di massa di un corpo rigido sia fermo è necessario che Resterne = 0 e che in un
r
r
dato istante vCM = 0 . Affinché il corpo rigido non ruoti si ha τOesterne = 0 e in un dato istante
ω=0
Domanda n. 3 Impulso e quantità di moto
a) Dai la definizione di impulso di una forza, specificando l’equazione dimensionale e l’unità di
misura
Verifica di fisica 18 dicembre 4D
2
Nel caso di forza costante che agisce in un intervallo di tempo ∆t dall’istante t1 all’istante t2,
r
r
l’impulso è il prodotto tra la forza e l’intervallo di tempo: I t1,t2 = F∆t , l’equazione dimensionale è
[I ] = [M ][L] [T ]−1
e di conseguenza l’unità di misura nel S.I è: kg ⋅ m / s , nel sistema C.G.S. è:
g ⋅ cm / s . Nel caso più generale di forza non costante l’impulso è la somma vettoriale degli impulsi
infinitesimi esercitati dalla forza in intervalli di tempo tanto piccoli da poter considerare la forza
n r
r
costante: I t1,t2 = ∑ Fi ∆t i
i =1
b) Scrivi l’espressione della quantità di moto di un corpo puntiforme, specificando l’equazione
dimensionale e l’unità di misura.
r
r
r
Per un corpo puntiforme di massa m e velocità v , la quantità di moto è: q = mv , la sua equazione
dimensionale è: [q ] = [M ][L ] [T ]−1 e di conseguenza l’unità di misura nel S.I è: kg ⋅ m / s , nel
sistema C.G.S. è: g ⋅ cm / s
c)Enuncia il teorema dell’impulso
Il teorema dell’impulso per un corpo è diretta conseguenza del secondo principio della dinamica e
dice che l’impulso della risultante delle forze agenti su un corpo è uguale alla variazione della
r
r
quantità di moto: I t1,t2 (totale) = ∆q . Nel caso di un sistema il teorema si riferisce all’impulso delle
r
r
forze esterne e naturalmente alla quantità di moto del sistema: I t1,t2 (esterne) = ∆Q
Problema n. 1
Un corpo di massa M=1,5 kg è vincolato ad una molla di costante elastica
k=200 N/m, quando viene colpito da una proiettile di massa m=100 g che
si muove orizzontalmente alla velocità V=80 km/h
a) determina la massima deformazione subita dalla molla dopo l’urto.
b) La percentuale di energia persa durante l’urto
r
V
FASE dell’URTO:
Se l’urto avviene orizzontalmente, non ci sono impulsi di forze esterne durante la fase di urto,
r
r
quindi le quantità di moto del sistema prima e dopo l’urto sono uguali: Q(t1 ) = Q(t 2 ) . Trattandosi
di urto perfettamente anelastico e considerando i moduli dei vettori si ha: mV = (m + M )V1 , quindi
m
V1 =
V = 1,39 m / s (fatte le opportune equivalenze)
m+M
Trattandosi di urto anelastico non si avrà conservazione dell’energia cinetica, infatti nell’istante t1 si
1
1
ha: E c (t1 ) = mV 2 = 24,69 J , mentre nell’istante t2 E c (t 2 ) = (m + M )V12 = 1,55 J , si sono cioè
2
2
E (t ) − Ec (t 2 )
persi 23,14 J, che rappresentano il 94% dell’energia di partenza ( c 1
⋅ 100% )
Ec (t1 )
FASE dopo l’URTO:
r
V1
A
B
Dopo l’urto, il sistema costituito da m+M è soggetto alla forza elastica, che è conservativa e al peso
e alla normale che non compiono lavoro, quindi conserva la propria energia meccanica:
E M ( A) = E M ( B) . Scelto come punto di riferimento quello di molla non deformata e ricordando
che nel punto di massima deformazione la velocità è nulla si può scrivere:
Verifica di fisica 18 dicembre 4D
3
m+M
1
1
(m + M )V12 = kx 2 l’unica incognita è x che si può determinare: x = V1
= 0,12 m .
2
2
K
Problema n. 2
Una massa M=100 g è appesa ad una fune ideale di lunghezza L=1,5 m fissata al soffitto. Il corpo
viene spostato in modo che la fune formi un angolo di 30° rispetto alla verticale e da questa
posizione viene lasciato libero di oscillare.
a) Determina la velocità con cui il corpo raggiunge la posizione di “fune verticale”.
b) Determina la tensione della fune nella posizione verticale (durante l’oscillazione)
c) Determina l’espressione dell’energia potenziale dovuta alla forza peso in funzione dell’angolo x
che la fune forma con la verticale e traccia il grafico della funzione ottenuta
La massa M è soggetta alla forza peso e alla tensione della fune (che non
compie lavoro essendo perpendicolare allo spostamento), quindi conserva la
propria energia meccanica: E M ( A) = E M ( B) . Fissato il livello di
riferimento in figura, ricordando le relazioni trigonometriche si ha:
1
Mg (− L cos α) = MV 2 + Mg (− L) , l’unica incognita è V che si può
2
determinare: V = 2 gL(1 − cos α) = 1,98 m / s .
H
α
A
B
V
Per determinare la tensione della fune bisogna ricordare il secondo principio della
r r
r
dinamica. Nella posizione B si ha: P + T = ma , considerando le componenti sull’asse
V2
V2
x e ricordando che l’accelerazione normale è a =
, si ottiene: T − Mg = M
,
R
R
V2
l’unica incognita è T, quindi: T = M ( g +
) = 1,24 N
R
B
V
L’espressione dell’energia potenziale varia al variare del livello di riferimento scelto, con quello
utilizzato per la prima parte dell’esercizio, detto x il generico angolo che la fune forma con la
verticale, si ha: E P ( x) = Mg (− L cos x) = −1,47 cos x .
Il grafico si ottiene dilatando verticalmente di 1,47 il grafico
del coseno e facendo il simmetrico rispetto all’asse delle
ascisse.
π
π
L’espressione ha senso fisico per − ≤ x ≤ , in questo
2
2
particolare caso, dato che l’ampiezza di oscillazione è di 30°,
π
π
varrà per − ≤ x ≤ .
6
6
y
2
−4
−2
2
−2
Ricordando che l’energia potenziale è una funzione definita a
meno di una costante additiva (k) che dipende dalla scelta del
punto di riferimento, qualunque altra scelta del livello di
riferimento avrebbe dato una funzione del tipo E P ( x) = −1,47 cos x + k , e quindi il grafico sarebbe
stato una traslazione verticale di k di quello qui riportato.
−4
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4
x
4
Dalle discipline alla realtà: un percorso di conoscenza
Cosa significa conoscere? Qual è l'oggetto della conoscenza? E' uno o ce ne sono tanti? C 'è
un'unica forma di conoscenza o ce ne sono tante?
- Quando si può dire di conoscere una cosa?
- Come si conosce? Quali sono gli strumenti della conoscenza?
- Qual è il ruolo delle discipline nella costruzione di un percorso di conoscenza?
- Cosa si intende con l'espressione "conoscenza scientifica"? Quali sono le caratteristiche di questo
tipo di conoscenza?
- quando un metodo di conoscenza può dirsi scientifico? Esiste un solo metodo di conoscenza
scientifica o più di uno?
- Quale l'origine e la finalità della conoscenza scientifica? Come nasce e come procede una indagine
scientifica?
- La conoscenza scientifica è superiore ad altri metodi di conoscenza? Perchè?
- Che ruolo gioca la personale visione del mondo dello scienziato nell'indagine scientifica?
- La scienza deve avere dei limiti o deve essere libera da qualsiasi vincolo? Nel caso debba avere
dei limiti chi li stabilisce e in base a quali criteri?
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