Università degli Studi di Catania

DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE E ARCHITETTURA
(DICAR)
Corso di laurea in Ingegneria civile e ambientale
Anno accademico 2016/2017 - 1° anno
ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA A - L
9 CFU - 2° semestre
Docente titolare dell'insegnamento
GIUSEPPE ZAPPALA'
Email: [email protected]
Edificio / Indirizzo: DMI - Blocco III
Telefono: +390957383002
Orario ricevimento: Lunedì, 8-10. Venerdì, 8-10.
OBIETTIVI FORMATIVI
Il corso ha la finalità di fornire le conoscenze di base sulla geometria lineare e di 2° grado e sull'algebra
lineare, con particolare attenzione agli aspetti applicativi.
PREREQUISITI RICHIESTI
Logica elementare.
Primissimi concetti di teoria degli insiemi.
Equazioni e disequazioni algebriche di primo e secondo grado.
FREQUENZA LEZIONI
Obbligatoria.
CONTENUTI DEL CORSO
Algebra lineare
I) -- Prodotto cartesiano. Relazioni binarie. Dominio e codominio. Applicazioni o funzioni. Inclusione,
identità, proiezioni. Funzioni iniettive e suriettive. Immagini e controimmagini. Restrizioni ed estensioni.
Composizione tra funzioni e sue proprietà. Funzioni invertibili e funzione inversa. Relazioni di
equivalenza. Insieme quoziente. Relazioni d'ordine. Cardinalità di un insieme. Operazioni su un insieme.
Strutture algebriche: semigruppi, monoidi, gruppi, anelli, corpi, campi. Anello degli interi relativi. Anello
delle classi di resto. Anello dei polinomi a coefficienti in un campo. Zeri di un polinomio. Molteplicità delle
radici di un'equazione. Campo dei numeri complessi. Forma algebrica e forma trigonometrica. Formula di
De Moivre. Radici $n$-me dei numeri complessi. Teorema fondamentale dell'algebra*.
II) -- Matrici ad elementi in un campo. Somma tra matrici. Gruppo abeliano delle matrici. Prodotto di uno
scalare per una matrice. Prodotto tra matrici. Propriet\`a delle operazioni tra matrici. Anello delle matrici
quadrate. Matrici triangolari, diagonali e scalari. Matrici trasposte. Matrici simmetriche ed
antisimmetriche. Determinante di una matrice quadrata e sue propriet\`a. Teorema di Binet*. Primo e
secondo teorema di Laplace*. Matrici invertibili. Matrice aggiunta. Calcolo dell'inversa di una matrice.
III) -- Spazi vettoriali e loro proprietà. Esempi: $K^n,$ $K^{m,n},$ $K[X].$ Sottospazi.
Intersezione e somma di sottospazi. Somma diretta. Generatori di uno spazio. Spazi vettoriali finitamente
generati. Dipendenza e indipendenza lineare. Criterio di indipendenza lineare. Base di uno spazio. Metodo
degli scarti successivi. Completamento di un insieme libero ad una base. Lemma di Steinitz. Dimensione
di uno spazio vettoriale. Formula di Grassmann. Dimensione di una somma diretta.
IV) -- Rango di una matrice. Matrici ridotte e metodo di riduzione. Rango delle matrici ridotte. Teorema di
Kronecker*. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. Teorema di Cramer. Sistemi
omogenei.
V) -- Applicazioni lineari fra spazi vettoriali e loro proprietà. Il nucleo e
l'immagine di una applicazione lineare. Iniettività, suriettività,
isomorfismi. Studio delle applicazioni lineari. Matrice del cambio di base. Matrici simili.
VI) -- Autovalori, autovettori ed autospazi di un endomorfismo. Calcolo degli autovalori: polinomio
caratteristico. Autospazi e loro dimensione. Molteplicit\` a algebrica e geometrica. Indipendenza degli
autospazi. Endomorfismi diagonalizzabili e diagonalizzazione delle matrici.
VII) -- Forme bilineari e matrici ad esse associate. Prodotti scalari. Ortogonalità. Prodotti scalari degeneri.
Vettori isotropi. Basi ortogonali. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram--Schmidt. Forme
quadratiche. Teorema di Sylvester*. Segnatura di una forma quadratica. Teorema di Jacobi*. Prodotti
hermitiani. Matrici hermitiane. Norma e disuguaglianza di Cauchy--Schwartz. Basi ortonormali. Matrici
unitarie. Matrici ortogonali e matrici ortogonali speciali. Endomorfismi normali e autoaggiunti. Teorema
spettrale per endomorfismi normali e per endomorfismi autoaggiunti. Diagonalizzabilità delle matrici reali
simmetriche per mezzo di matrici ortogonali speciali.
Geometria
I) -- I vettori geometrici dello spazio ordinario. Somma di vettori. Prodotto di un numero per un vettore.
Prodotto scalare. Componenti dei vettori e operazioni mediante componenti.
II) -- Sistemi di coordinate nel piano e nello spazio. Coordinate omogenee e punti impropri.
Rette reali del piano e loro equazioni. Mutua posizione tra rette. Ortogonalità e parallelismo tra rette. Il
coefficiente angolare di una retta. Fasci di rette. Distanze. I piani dello spazio ordinario. Le rette dello
spazio e vari modi di rappresentarle. Ortogonalità e parallelismo tra piani. Rette complanari e rette
sghembe. Angoli fra rette e piani. Fasci di piani. Distanze.\par\vskip6pt
III) -- Cambiamenti di coordinate nel piano e nello spazio. Rotazioni e traslazioni. Coniche nel piano e
matrici ad esse associate. Invarianti ortogonali. Riduzione di una conica a forma canonica. Coniche
riducibili e irriducibili. Significato geometrico del rango della matrice associata ad una conica.
Classificazione delle coniche irriducibili.
Studio delle coniche in forma canonica. Fuochi, direttrici ed eccentricità. Polarità rispetto ad una conica.
Iperboli equilatere. Centro ed assi di simmetria. Circonferenze.
Tangenti. Fasci di coniche.
IV) -- Le quadriche e matrici ad esse associate. Quadriche riducibili e irriducibili. Vertici delle quadriche e
quadriche degeneri. Riduzione di una quadrica a forma canonica*. Classificazione affine delle quadriche.
Coni e cilindri. Sfere e circonferenze nello spazio. Cerchio assoluto. Rette e piani tangenti. Punti
parabolici, iperbolici ed ellittici. Ulteriore classificazione delle quadriche. Famiglie di quadriche. Luoghi
geometrici.
TESTI DI RIFERIMENTO
1) Salvatore Giuffrida, Alfio Ragusa
Corso di Algebra Lineare
Ed. Il Cigno G. Galilei, Roma 1998
2) Giuseppe Paxia
Lezioni di Geometria
Spazio Libri, Catania 2000
PROGRAMMAZIONE DEL CORSO
* Argomenti
Riferimenti testi
1
* Prodotto cartesiano. Relazioni. Funzioni. Immagine e controimmagine.
Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Restrizioni ed estensioni.
Composizione di funzioni.
1 - Pagine 1-17
2
* Proprietà della composizione. Funzioni invertibili. Relazioni di
equivalenza. Partizioni. Classi di equivalenza. Insieme quoziente.
1 - Pagine 14-17
3
* Strutture algebriche. Semigruppi. Elemento neutro. Monoidi. Elementi
invertibili in un monoide. Gruppi. Gruppi abeliani. Esempi di gruppi.
Gruppi di permutazioni. Operazioni con le classi di resto.
1 - Pagine 17-26
4
* Anelli. Anelli con unità. Anello dei numeri interi. Anello delle classi di
resto. Divisori dello zero. Corpi. Campi. Anelli commutativi con unità.
Domini di integrità. Anello dei polinomi. Anelli delle classi di resto. Grado
di un polinomio.
1 - Pagine 36-51
5
* Equazioni algebriche. Algoritmo di divisione. Teorema di Ruffini. Regola di 1 - Pagine 36-51
Ruffini. Molteplicità delle radici.
6
* Matrici. Somma tra matrici. Prodotto di uno scalare per una matrice.
Prodotto tra matrici. Matrici triangolari, diagonali. Anello delle matrici
quadrate. Matrice identica. Campo delle metrici scalari. Matrici trasposte.
Traccia.
1 - Pagine 51-59
7
* Classe di una permutazione. Determinante di una matrice quadrata.
Proprietà dei determinanti. Multilinearità ed alternanza.
1 - Pagine 141-153
8
* Teorema di Binet. Cofattori. Teoremi di Laplace. Calcolo di determinanti.
Matrice dei cofattori. Matrice aggiunta. Formula della matrice inversa.
1 - Pagine 153-158
9
* Sistemi lineari. Sistemi di Cramer. Regola di Cramer.
1 - Pagine 167-171
10 * Polinomi riducibili. Campi algebricamente chiusi. Campo dei numeri
complessi. Parte reale e parte immaginaria. Coniugato. Modulo. Formula
di De Moivre.
1 - Pagine 26-35
11 * Teorema fondamentale dell'algebra. Formula di Eulero. Identità di Eulero.
Fattorizzazione di polinomi sul campo reale e complesso. Riducibilità sul
campo dei numeri reali. Radici n-esime di un numero complesso.
1 - Pagine 36-50
12 * Definizione di spazio vettoriale. Legge di annullamento del prodotto.
Sottospazi. Esempi di sottospazi. Intersezione e somma di sottospazi.
Somma diretta.
1 - Pagine 87-103
13 * Generatori. Vettori linearmente dipendenti. Criterio di indipendenza
lineare. Basi. Metodo degli scarti successivi. Estensione ad una base.
1 - Pagine 103-113
14 * Lemma di Steinitz. Dimensione di uno spazio vettoriale. Calcolo di
dimensioni. Dimensione di sottospazi. Componenti.
1 - Pagine 113-119
15 * Sottomatrici. Minori. Rango di una matrice. Matrici ridotte. Metodo di
riduzione. Teorema di Kronecker. Sistemi lineari. Teorema di RouchéCapelli. Risoluzione di un sistema lineare.
1 - Pagine 141-153
16 * Sottomatrici. Minori. Rango di una matrice. Matrici ridotte. Metodo di
riduzione. Teorema di Kronecker. Sistemi lineari. Teorema di RouchéCapelli. Risoluzione di un sistema lineare.
1 - Pagine 158-182
17 * Teorema degli orlati. Sistemi lineari omogenei. Sistemi omogenei di n
equazioni in n+1 incognite.
1 - Pagine 182-187
18 * Applicazioni lineari. Immagine e controimmagine di sottospazi. Nucleo e
iniettività. Dimensione dell'immagine di un sottospazio. Teorema sulle
dimensioni del nucleo e dell'immagine. Isomorfismi ed endomorfismi.
Spazi vettoriali isomorfi.
1 - Pagine 201-219
19 * Composizione di applicazioni lineari. Isomorfismi. Prodotto cartesiano di
spazi vettoriali. Formula di Grassmann. Composizione di applicazioni
lineari. Matrici associate alle applicazioni lineari.
1 - Pagine 219-235
20 * Rango della matrice associata. Matrici del cambio di base. Relazione tra
matrici associate alla stessa applicazione. Matrici simili.
1 - Pagine 235-239
21 * Endomorfismi diagonalizzabili. Autovalori ed autovettori. Polinomio
caratteristico. Coefficienti del polinomio caratteristico.
1 - Pagine 263-265;
271-279
22 * Autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori. Somma
diretta di sottospazi. Indipendenza degli autospazi. Endomorfismi
diagonalizzabili e loro caratterizzazione.
1 - Pagine 279-293
23 * Forme bilineari e matrici ad esse associate. Congruenza tra matrici.
Prodotti scalari. Ortogonalità. Basi ortogonali. Procedimento di
ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Prodotti scalari definiti positivi. Basi
ortonormali. Vettori isotropi. Radicale.
1 - Pagine 348-351
24 * Forme quadratiche. Teorema di Sylvester. Segnatura. Prodotti hermitiani.
Matrici hermitiane. Basi ortonormali. Matrici unitarie e ortogonali. Matrici
ortogonali speciali.
1 - Pagine 351-362;
317-330
25 * Norma. Complemento ortogonale. Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz.
Disuguaglianza triangolare. Angolo tra due vettori. Endomorfismi aggiunti
e loro proprietà. Endomorfismi normali. Matrici normali. Endomorfismi
autoaggiunti.
1 - Pagine 330-333;
321-323
26 * Autospazi degli endomorfismi normali. Teorema spettrale nel caso
complesso, nel caso reale e sue applicazioni. Segnatura delle forme
quadratiche. Teorema di Jacobi.
1 - Pagine 339-347
27 * Spazi affini. Vettori geometrici. Angolo tra due vettori. Spazi proiettivi.
Punti impropri. Omogeneizzazione di polinomi.
2 - Pagine 1-21
28 * Curve algebriche. Rette nel piano proiettivo. Retta per due punti.
Superfici algebriche. Piani e rette nello spazio proiettivo. Rette
complanari, incidenti e sghembe.
2 - Pagine 31-45;
51-62
29 * Fasci di piani. Equazione della retta in forma vettoriale e parametrica.
Distanze. Punto medio e asse di un segmento. Luoghi geometrici.
Bisettrici. Circonferenze. Sfere. Simmetrie.
2 - Pagine 62-72
30 * Cambiamenti del sistema di riferimento. Trasformazioni ortogonali.
Matrice associata ad una conica. Coniche spezzate. Punti singolari.
2 - Pagine 73-79
31 * Punti impropri di una conica. Classificazione delle coniche irriducibili.
Equazioni ridotte. Trasformazione di una conica in forma ridotta.
2 - Pagine 79-81
32 * Invarianti ortogonali. Rette tangenti ad una conica. Polarità. Teorema di
reciprocità. Equazioni canoniche. Ellisse reale ed ellisse immaginaria.
Iperbole. Parabola. Assi e centro di simmetria. Fuochi e direttrici.
2 - Pagine 81-87
33 * Centro di una conica. Circonferenze. Punti ciclici. Iperboli equilatere.
Fasci di coniche. Luogo base. Coniche spezzate di un fascio. Coniche
bitangenti. Coniche per 5 punti.
2 - Pagine 87-113
34 * Quadriche. Matrice associata. Vertici. Quadriche riducibili. Coni e cilindri.
Classificazione dei cilindri. Conica all'infinito.
2 - Pagine 115-123
35 * Classificazione delle quadriche non degeneri. Iperboloidi, paraboloidi ed
ellissoidi. Rette e piani tangenti. Natura dei punti di una quadrica. Forme
canoniche.
2 - Pagine 124-133
36 * Sfere. Cerchio assoluto. Punti ciclici. Circonferenze nello spazio.
2 - Pagine 140-142
* Conoscenze minime irrinunciabili per il superamento dell'esame.
N.B. La conoscenza degli argomenti contrassegnati con l'asterisco è condizione necessaria ma non
sufficiente per il superamento dell'esame. Rispondere in maniera sufficiente o anche più che sufficiente
alle domande su tali argomenti non assicura, pertanto, il superamento dell'esame.
MATERIALE DIDATTICO
http://www.dmi.unict.it/~zappalag/DidatticaWeb/Didattica.htm
PROVA D'ESAME
MODALITÀ D'ESAME
L'esame di Algebra Lineare e Geometria consiste di una prova scritta e di una prova orale.
La prova scritta precede la prova orale.
La prova scritta è superata conseguendo un punteggio maggiore o uguale a 12/30.
Nel caso di una prova scritta insufficiente lo studente viene sconsigliato dal presentarsi alla prova orale.
DATE D'ESAME
http://www.dmi.unict.it/~zappalag/DidatticaWeb/WebDidFiles/DiarioEsami.htm
PROVE IN ITINERE
Non sono previste prove in itinere.
PROVE DI FINE CORSO
Non sono previste prove di fine corso.
ESEMPI DI DOMANDE E/O ESERCIZI FREQUENTI
Definizione di applicazione lineare.
Autovalori ed autovettori.
Spazi proiettivi.
Fasci di coniche.
Classificazione delle quadriche.