Appunti di geometria A.s. 2014-2015
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Prof. Luigi Cai
APPUNTI
Angoli formati da due rette parallele tagliate da una trasversale (alterni interni ed
esterni, corrispondenti, coniugati).
In un triangolo l’angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni
non adiacenti ad esso.
Somma degli angoli interni ed esterni di un poligono di n lati:
Si = (n – 2)∙180°
Se = 360°
In un triangolo il segmento che congiunge i punti medi di due lati è parallelo al
terzo lato e congruente alla sua metà.
A
o
EF // BC
E
EF = ½ BC
F
o
B
C
Luoghi geometrici
Insiemi di punti che soddisfano tutti ad una stessa proprietà.
•
Asse di un segmento (retta perpendicolare al segmento e passante per il suo punto medio)
Luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi di un segmento.
o
P
o
PA = PB
A
•
B
Bisettrice di un angolo (semiretta uscente dal vertice che divide l’angolo in due parti
congruenti).
Luogo geometrico dei punti equidistante dai lati dell’angolo.
A
o P
O
o
B
AOˆ P ≅ POˆ B
AP = PB
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Punti notevoli dei triangoli
•
Circocentro
− Punto in cui si incontrano i tre assi di un triangolo
− È equidistante dai vertici del triangolo (luogo geometrico)
− È il centro della circonferenza circoscritta al triangolo
− Può essere interno o esterno al triangolo
A
B
C
•
Incentro
− Punto in cui si incontrano le tre bisettrici di un triangolo
− È equidistante dai lati del triangolo (luogo geometrico)
− È il centro della circonferenza inscritta al triangolo
− È sempre interno al triangolo.
A
B
C
•
Ortocentro
− Punto di incontro delle tre altezze del triangolo
− Può essere interno o esterno al triangolo
•
Baricentro
− Punto di incontro delle tre mediane di un triangolo
− Divide ciascuna mediana in due parti: quella che contiene il vertice è doppia della
altra.
Circonferenza
Luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro.
•
La perpendicolare condotta dal centro ad una corda divide sia la corda, sia l’arco, sia
l’angolo al centro in due parti congruenti.
A
o
O◦
o
B
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•
Corde congruenti equidistano dal centro e viceversa.
•
Retta tangente ad una circonferenza
− È una retta che tocca la circonferenza in due punti coincidenti
− La retta tangente è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza.
O◦
•
A
Angoli al centro
Angoli aventi il vertice nel centro di una circonferenza
A
O◦
B
•
Angoli alla circonferenza
Angoli aventi il vertice sulla circonferenza e i lati o entrambi secanti o uno secante e l’altro
tangente.
V
V
A
A
B
•
In una circonferenza l’angolo al centro è sempre il doppio del corrispondente angolo alla
circonferenza.
V
AOˆ B ≅ 2 ⋅ AVˆB
◦O
B
A
•
Angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco o su archi congruenti sono
congruenti
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•
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Angoli alla circonferenza che insistono su una semicirconferenza sono retti
C
◦
A
•
B
I segmenti di tangente condotti ad una circonferenza da un punto P esterno ad essa sono
congruenti.
A
P
O◦
B
Inoltre PO è bisettrice degli angoli AOˆ B e APˆ B .
Quadrilateri
•
Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza allora la somma di due lati opposti è
congruente alla somma degli altri due.
A
B
O◦
D
AB + DC = BC + AD
C
•
Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora gli angoli opposti sono
supplementari.
A
Aˆ + Cˆ ≅ 180 0
B
O◦
D
C
Bˆ + Dˆ ≅ 180 0
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•
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Teoremi di Euclide
A
H
B
C
1° Euclide:
AB2 = AH∙AC
BC2 = CH∙AC
2° Euclide:
BH2 = AH∙HC
I teoremi di Euclide possono anche essere enunciati nel modo seguente:
Un cateto è medio proporzionale tra
la sua proiezione sull’ipotenusa e
l’ipotenusa stessa:
L’altezza relativa all’ipotenusa è media
proporzionale tra le proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa:
AH : AB = AB : AC
oppure
CH : BC = BC : AC
AH : BH = BH : HC
Teorema di Talete
Un fascio di rette parallele determina su due trasversali due classi di segmenti direttamente
proporzionali, cioè il rapporto tra due segmenti sulla prima trasversale è uguale al rapporto dei
segmenti corrispondenti sull’altra trasversale.
t
t’
A
A’
Ad esempio : AB : CD = A’B’ : C’D’
B
B’
C
C’
D
D’
Il teorema di Talete trova applicazione nei triangoli :
Una retta parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due in parti direttamente proporzionali.
A
E
B
Hp:
Th:
F
C
EF // BC
AE : EB = AF : FC
oppure
AE : AB = AF : AC
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TEOREMA DELLA BISETTRICE DELL’ANGOLO INTERNO
In un triangolo la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in due parti direttamente
proporzionali agli altri due lati.
A
AD : DC = AB : BC
D
B
C
FIGURE PARTICOLARI
Triangolo isoscele inscritto in una circonferenza
Si prolunga l’altezza CH fino ad incontrare la
circonferenza in D. Si ottiene il triangolo rettangolo CBD
al quale si possono applicare i teoremi di Euclide.
Trapezio circoscritto ad una circonferenza
A
Si hanno le seguenti proprietà:
• I segmenti di tangenza sono congruenti
• AB+DC = AD+BC (proprietà dei quadrilateri
circoscritti ad una circonferenza)
• COB e AOD sono triangoli rettangoli, ai quali si
possono applicare i teoremi di Euclide
Trapezio circoscritto ad una semicirconferenza
I triangoli ADK e AHO sono congruenti
AD = AO
I triangoli CMB e LBO sono congruenti
CB = BO
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Trapezio o rettangolo inscritto in una semicirconferenza
semicirconferenza
oppure un punto preso sulla
Si congiunge un punto che si trova sulla
semicirconferenza con gli estremi del diametro ,
ottenendo così un triangolo rettangolo, al quale
applicare i teoremi di Euclide.
Triangolo isoscele circoscritto ad una semicirconferenza
Al triangolo COB si possono applicare i teoremi di
Euclide
Triangolo isoscele circoscritto ad una circonferenza
I triangoli CHB e COD sono simili, pertanto
si possono applicare le proprietà della
similitudine.
TRIANGOLI RETTANGOLI CON GLI ANGOLI PARTICOLARI DI 30° , 60° , 45°
A
F
60
G
o
45
30o
B
0
450
C
1
⋅ AC
2
3
BC = cateto opposto all’angolo di 60° è :
⋅ AC
2
2
DE = cateto opposto all’angolo di 45° è :
⋅ EF
2
quindi : EF = lato ⋅ 2
D
E
AB = cateto opposto all’angolo di 30° è :
oppure EF diagonale del quadrato DEGF e
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RELAZIONI TRA I LATI E I RAGGI DEI POLIGONI REGOLARI INSCRITTI IN UNA
CIRCONFERENZA
Quadrato inscritto
ABC è un triangolo rettangolo con gli angoli di 45° ,
pertanto:
2
2
l4 =
⋅ AC =
⋅ 2r = r 2
l4 = r 2
2
2
Triangolo equilatero inscritto
Si prolunga l’altezza CH, ottenendo il triangolo
rettangolo CBD con gli angoli particolari di 30° e
60° :
3
3
l3 =
⋅ DC =
⋅ 2r = r 3
l3 = r 3
2
2
Esagono inscritto
A
r
l6
60°
60°
O
Il triangolo AOB è equilatero, pertanto
ha i lati congruenti:
l6 = r
60°
r
B
OSSERVAZIONI
Le tre proprietà appena descritte si ritrovano nei problemi sotto la seguente forma:
In una circonferenza di raggio r si chiede di tracciare una corda congruente al lato del
triangolo equilatero inscritto.
B
30°
A
C
Si hanno due informazioni:
AB = r 3
La corda AB forma con il diametro AC
un angolo di 30°
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In una circonferenza di raggio r si chiede di tracciare una corda congruente al lato
dell’esagono inscritto.
B
Si hanno due informazioni:
AB = r
La corda AB forma con il diametro AC
un angolo di 60°
60°
A
C
In una circonferenza di raggio r si chiede di tracciare una corda congruente al lato del
quadrato inscritto.
B
Si hanno due informazioni:
AB = r 2
La corda AB forma con il diametro
AC un angolo di 45°
45°
A
C
O
SEZIONE AUREA DI UN SEGMENTO
E’ la parte di segmento che è media proporzionale tra l’intero segmento e la sua parte restante.
a
A
B
x
C a-x
AC = x è la sezione aurea di AB
AB : AC = AC : CB
Sostituendo nella proporzione i valori in figura: a : x = x : (a-x)
Risolvendo l’equazione si trova che la sezione aurea è:
x=
x2=a(a-x)
x2 + ax –a2 = 0
5 −1
⋅ a = 0,61803... ⋅ a
2
RAPPORTO AUREO
E’ il rapporto tra la misura del segmento e la sua sezione aurea (si indica con la lettera ϕ ):
5 +1
= 1,61803...
2
Osservazione: il rapporto aureo è un numero puro.
ϕ=
LATO DEL DECAGONO REGOLARE INSCRITTO AD UNA CIRCONFERENZA
Il lato di un decagono regolare è la sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta
5 −1
l10 =
⋅r
2
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RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA INSCRITTA IN UN TRIANGOLO
di cui si conoscono le misure dei lati
Dati:
AB = c
BC = a
Verificare che r =
Dove
AC = b
A
p
p = semiperimetro
A = area del triangolo da calcolare con la
formula di Erone
RAGGIO DELLA CIRCONFERENZA CIRCOSCRITTA AD UN TRIANGOLO
di cui si conoscono le misure dei lati
Dati:
AB = c
BC = a
Verificare che r =
AC = b
a ⋅b⋅c
4⋅ A
Dove
A = area del triangolo da calcolare con la
formula di Erone
SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI
Definizione: Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati,
opposti agli angoli congruenti, in proporzione.
C
C’
A
ABC
B
A’B’C’
⇔
A’
Aˆ ≅ Aˆ ' , Bˆ ≅ Bˆ ' , Cˆ ≅ Cˆ '
B’
AB : A' B ' ≅ BC : B ' C ' ≅ AC : A' C '
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• In due triangoli simili si dicono corrispondenti o omologhi i lati opposti agli angoli
congruenti
• Si chiama rapporto di similitudine il rapporto tra due lati omologhi.
Criteri di similitudine
Permettono di stabilire se due triangoli sono simili.
1° criterio: Due triangoli sono simili se hanno due angoli rispettivamente congruenti.
2° criterio: Due triangoli sono simili se hanno un angolo rispettivamente congruente compreso tra
lati proporzionali (ad esempio: Aˆ ≅ Aˆ ' e AB : A' B ' ≅ AC : A' C ' ).
3° criterio: Due triangoli sono simili se hanno i tre lati rispettivamente proporzionali
AB : A' B ' ≅ BC : B ' C ' ≅ AC : A' C '
.
Proprietà dei triangoli simili
1) In due triangoli simili le basi stanno fra loro come le rispettive altezze
C
C’
Hp:
ABC
A’B’C’
Th: AB : A’B’ = CH : C’H’
A
B
A’
H
B’
H’
2) In due triangoli simili i perimetri stanno fra loro come due lati omologhi.
C
C’
Hp: ABC
Th:
A
B
A’
A’B’C’
2p : 2p’ = AB : A’B’
B’
3) In due triangoli simili le aree stanno fra loro come i quadrati di due lati omologhi.
C
C’
Hp: ABC
Th:
A
B
A’
B’
A’B’C’
A : A’ = AB2 : A’B’2
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4) Teorema delle corde
Se due corde di una circonferenza si intersecano, i segmenti che si formano su una di esse
sono i medi di una proporzione e i segmenti sull’altra sono gli estremi della stessa
proporzione.
A
Hp : AB e CD corde
D
Th:
AE : DE = EC : BE
E
C
B
5) Teorema delle secanti
Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti, la parte esterna e
l’intera secante di una secante sono i medi di una proporzione e la parte esterna e l’intera
secante dell’altra secante sono gli estremi della stessa proporzione.
A
Hp: PC e PA secanti
B
P
Th:
PB : PD = PC : PA
D
C
6) Teorema della secante e della tangente
Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono una tangente e una secante, il
segmento di tangenza è medio proporzionale tra l’intera secante e la sua parte esterna.
T
Hp: PA secante e PT tangente
P
B
A
Th:
PB : PT = PT : PA
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LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA
Circonferenza rettificata: il segmento ad essa equivalente.
Postulato
C
A
Data una corda minore del diametro, sottesa da un arco di circonferenza,
l’arco AB è compreso tra la corda e la somma di AC + CB, cioè:
B
AB < arco AB < AC+CB
Teorema 1
La circonferenza rettificata è minore del perimetro di un poligono circoscritto e maggiore del
perimetro di un poligono inscritto.
2p inscritto < circonferenza < 2p circoscritto
All’aumentare del numero dei lati, i perimetri dei due poligoni tendono a diventare uguali alla
lunghezza della circonferenza.
Pertanto la circonferenza è l’elemento di separazione delle due classi contigue dei perimetri dei
poligoni inscritti e circoscritti alla circonferenza stessa(analogo al discorso sui numeri reali).
Teorema 2
Il rapporto tra ogni circonferenza rettificata e il suo diametro è costante; il rapporto misura π .
Indicando con C la lunghezza della circonferenza e d il suo diametro si ha:
Pertanto la lunghezza della circonferenza risulta:
C
=π
d
C = 2πr
AREA DEL CERCHIO
Teorema 3
L’area di un cerchio è minore dell’area di un poligono circoscritto e maggiore dell’area di un
poligono inscritto.
Area poligono inscritto < Area del cerchio < Area del poligono circoscritto
All’aumentare del numero dei lati, le aree dei due poligoni tendono a diventare uguali all’area del
cerchio.
Pertanto l’area del cerchio è l’elemento di separazione delle due classi contigue delle aree dei
due poligoni inscritti e circoscritti al cerchio stesso (analogo al discorso sui numeri reali).
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Teorema 4
Un cerchio è equivalente ad un triangolo avente per base la circonferenza rettificata del cerchio e
per altezza il suo raggio.
Area =
2π ⋅ r ⋅ r
= π ⋅r2
2
Acerchio = π ⋅ r 2
LUNGHEZZA DI UN ARCO DI CIRCONFERENZA
Per calcolare la misura l di un arco corrispondente ad un dato angolo al centro di misura α, si
utilizza la proprietà che gli archi di una circonferenza sono direttamente proporzionali ai
corrispondenti angoli al centro, cioè: l : l’ = α : α’. Quindi considerando la circonferenza come un
particolare arco di lunghezza 2πr al quale corrisponde un angolo al centro di 360° , si ha:
l : 2πr = α 0 : 360 0
da cui si può ricavare:
α0 =
l ⋅ 180 o
π ⋅r
oppure
l=
π ⋅ rα o
180 0
Teorema
In due circonferenze disuguali, gli archi rettificati che sottendono angoli al centro congruenti sono
direttamente proporzionali ai rispettivi raggi.
A’
Hp: AOˆ B = A' Oˆ B' = α
l’
O
r
α
A
l
r
α
O’
B’
Th: l : l ' = r : r '
B
Dimostrazione
Da quanto ottenuto dal calcolo della lunghezza di un arco, si ha: l =
facendo il rapporto tra le due uguaglianze si ottiene:
π ⋅r
180
o
α e l' =
π ⋅ r'
180 o
α e quindi
l r
=
l' r'
La proporzione del teorema precedente può essere riscritta nel modo seguente l : r = l ': r ' , cioè:
il rapporto tra l’arco l e il raggio r, a parità di angolo al centro α, è costante al variare della
l l'
circonferenza, cioè:
= = costante .
r r'
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AREA DI UN SETTORE CIRCOLARE
Si definisce settore circolare la parte di cerchio compresa tra due raggi; l’angolo al centro si dice
ampiezza del settore.
Per calcolare l’area di un settore si utilizza la proprietà che i settori di una stesso cerchio sono
direttamente proporzionali agli angoli al centro. Quindi considerando il cerchio un particolare
settore di ampiezza 360° , si ha:
π ⋅ r 2 ⋅α 0
Asettore =
Asettore : πr 2 = α 0 : 360 0
360 0
MISURA DEGLI ANGOLI
La misura di un angolo si può esprimere in diversi modi, a seconda dell’unità di misura che si
sceglie.
Sistema sessagesimale
Si assume come unità di misura degli angoli il grado (cioè u = 10), che è la 90-esima parte
dell’angolo retto.
I suoi sottomultipli sono il primo (1/60 di grado) e il secondo (1/60 di primo).
In tale unità si ha, ad esempio, che l’angolo piatto misura 180o e l’angolo retto 90o.
Dire che un angolo ha ampiezza 300 , significa dire che l’angolo è 30 volte l’angolo grado, cioè
α 0 = 30 ⋅ 10 = 30 0
Sistema radiale o circolare
Dato un angolo α e più circonferenze aventi il centro nel vertice dell’angolo, risulta che il rapporto
l l'
tra l’arco l e il raggio r è costante al variare della circonferenza, cioè: = = costante.
r r'
l
l’
O α
r
r’
Proprio questa proprietà consente di assumere come misura dell’angolo α tale rapporto costante,
cioè:
l
misura di α = α r =
r
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e prendere come unità di misura l’angolo radiante (u = 1 rad) , cioè l’ampiezza di un angolo al
centro di una circonferenza il cui arco rettificato è uguale al raggio.
, cioè α r è la misura
AOˆ B
dell’angolo AOˆ B rispetto all’unità di misura u (= 1 rad) e si può anche scrivere: α r =
1rad
Pertanto un angolo AOˆ B espresso in radianti è :
AOˆ B = α r ⋅ 1rad
Esempio 1
Dire che un angolo α misura 3 rad, significa: α = 3 ⋅ 1rad = 3 rad oppure α r =
Esempio 2
- misura dell’angolo giro : α r =
α
1rad
=3
l circonferenza 2π ⋅ r
=
=
= 2π
r
r
r
- l’angolo piatto misura π .
Osservazioni
Come unità di misura conviene usare il sistema radiale, per i seguenti motivi:
• I radianti sono numeri reali (per esempio: π = 3,14.. , 2π = 6,28..), quindi possono essere messi
in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri reali, cioè ad ogni angolo espresso in
radianti corrisponde un numero reale (o un punto sulla retta) e viceversa.
Invece la misura in gradi esprime un valore che non è assimilabile ad alcun numero reale, ma a
“qualcosa” che è utile usare fino a quando non si parla di misura; infatti α° = 57° 17’ 44”
non è un numero reale e quindi non può essere messo in corrispondenza biunivoca con R, e
quindi non può essere rappresentato sugli assi cartesiani.
• Le formule dove intervengono misure in radianti, sono assai più semplici delle corrispondenti
formule in cui intervengono misure in gradi .
• Se α è espresso in radianti, la misura di un arco si calcola: l = α ⋅ r
Passaggio dai gradi ai radianti
Dato l’angolo  , sia α o la sua misura in gradi e α r la sua misura in radianti, prendendo come
riferimento l’angolo piatto P̂ , le cui misure sono 180° in gradi e π in radianti, risulta:
Aˆ : Pˆ = α o : 180 o
e
Aˆ : Pˆ = α r : π
α o : 180 o = α r : π
tale proporzione permette di passare dal sistema radiale al sistema sessagesimale e viceversa.
Per esempio, l’angolo di 1 radiante misura circa 57,32° ( = 57° 17’ 44” ), infatti:
α : 180 = 1 : π
0
0
α =
o
180 o ⋅ 1
π
= 57,32 0
