Matrici e sistemi - Dipartimento di Matematica

Matrici e
Sistemi
Lineari
G. Settanni
Matrici
Matrici e Sistemi Lineari
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Corso di Calcolo Numerico
Informatica e Comunicazione
Digitale - Taranto
A.A. 2015/2016
Sistema
lineare
Cramer
Giuseppina Settanni
Autovalori
Dipartimento di Matematica
Università degli Studi di Bari Aldo Moro
1 / 40
Matrici e
Sistemi
Lineari
Indice
G. Settanni
Matrici
1 Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
2 Operazioni
3 Trasposta
4 Sottomatrici
5 Inversa
6 Determinante
7 Sistema lineare
8 Cramer
9 Autovalori
2 / 40
Matrici e
Sistemi
Lineari
Matrice
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
Definizione
Dati due interi positivi m ed n, una matrice A reale m × n è un
array bidimensionale avente m righe ed n colonne cosı̀ definito


a11 a12 · · · · · · a1n
 a21 a22 · · · · · · a2n 


A= .
..
.. 
.
 .
.
. 
am1 am2 · · ·
···
amn
Formalmente si dice che una matrice è un’applicazione
A : {1, 2, . . . , m} × {1, 2, . . . , n} −→ R
tale che A(i, j) = aij ∈ R.
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Matrici e
Sistemi
Lineari
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Notazioni
Una matrice è solitamente denotata con le lettere maiuscole
dell’alfabeto, mentre gli elementi di una matrice con le lettere
minuscole.
• A = {aij } i=1,...m
j=1,...n
• A = {aij }, i = 1, . . . m, j = 1, . . . n,
denotano una matrice ad m righe ed n colonne il cui generico
elemento è aij .
Cramer
Osservazione
Autovalori
Rm×n denota l’insieme delle matrici con m righe ed n colonne.
Esempio (A ∈ R3×4 )
√ 
2
0
−1
3

A=
π log(3)
−1/3
1 ,
2/3
0
sin(π/7) 4/3

è una matrice 3 × 4, ovvero a 3 righe e 4 colonne.
4 / 40
Matrici e
Sistemi
Lineari
Matrici particolari
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
• Se m = n, (num. di righe= num. di colonne), la matrice è
detta quadrata di dimensione n (se m 6= n, la matrice è
detta rettangolare);
• se m = n = 1, la matrice si riduce ad un unico elemento e
dunque coincide con uno scalare: A = (a11 );
• se m = 1, la matrice possiede un’unica riga, pertanto si
riduce ad un vettore riga: A =
a11 a12 · · ·
a1n
• se n = 1, la matrice possiede un’unica colonna, pertanto si
riduce ad un vettore colonna:


a11
 a21 


A =  .  ≡ a11 a21 · · ·
 .. 
am1
T
.
am1
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Matrici e
Sistemi
Lineari
Matrici particolari
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
• La matrice m × n i cui elementi sono tutti nulli si chiama
matrice nulla e si denota con 0m×n o più semplicemente
con 0.
• Si chiama diagonale principale di una matrice quadrata di
dim. n, il vettore:
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
diag(A) =
a11 a22 · · ·
ann
T
.
• Si chiama matrice identica, ogni matrice quadrata aventi
elementi diagonali uguali ad 1 ed elementi extra-diagonali
nulli:


1 0 ··· ··· 0
 0 1 ··· ··· 0 


I = . .
.. 
.
.
 . .
. 
0 0 ··· ··· 1
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Matrici e
Sistemi
Lineari
Matrici quadrate particolari
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
Una matrice quadrata A è detta:
• diagonale se tutti i suoi elementi extra-diagonali sono nulli:
aij = 0, ∀i, j = 1, . . . n, i 6= j;
• triangolare inferiore se tutti i suoi elementi al di sopra della
diagonale principale sono nulli: aij = 0, ∀i < j;
• triangolare superiore se tutti i suoi elementi al di sotto
della diagonale principale sono nulli: aij = 0, ∀i > j;
Esempio

1
D= 0
0
0
−2
0


0
1
0  , T =  −1
3
2


1
0 0
−2 0  , S =  0
−4 3
0
1
0
0

0
−2  .
3
7 / 40
Matrici e
Sistemi
Lineari
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Addizione tra matrici
Definizione
Se A = {aij } e B = {bij } sono matrici m × n si definisce
somma tra A e B la matrice
Trasposta
A + B = {aij + bij } ∈ Rm×n
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Si osservi che + : Rm×n × Rm×n −→ Rm×n è una legge di
composizione interna (o legge binaria).
Esempio
Autovalori




1 2
3
1
0 1
1  , B =  −1 −2 0 
A =  −1 0
2/3 1 −2
1/3 −4 3


2
2 4
A + B =  −2 −2 1  .
1 −3 1
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Matrici e
Sistemi
Lineari
G. Settanni
Proprietà dell addizione
• Commutatività: ∀A, B ∈ Rm×n :
Matrici
A + B = B + A;
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
• Associatività: ∀A, B, C ∈ Rm×n :
Inversa
(A + B) + C = A + (B + C );
Determinante
Sistema
lineare
• Esistenza dell’elemento neutro: ∀A ∈ Rm×n :
Cramer
A + 0 = 0 + A = A;
Autovalori
• Esistenza del simmetrico (opposto):
∀A ∈ Rm×n , ∃B ∈ Rm×n tale che A + B = 0.
L’opposto di A si denota con −A.
Osservazione
(Rm×n , +) è un gruppo abeliano.
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Matrici e
Sistemi
Lineari
Moltiplicazione di uno scalare per una matrice
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
Definizione
Se A = {aij } ∈ Rm×n e λ ∈ R, si definisce prodotto di λ per A
la matrice
λ · A = {λaij } ∈ Rm×n
L’applicazione
· : R × Rm×n −→ Rm×n
è una legge di composizione esterna.
Esempio


1 2
3
1 ,
A =  −1 0
2/3 1 −2


2 4
6
2 .
2 · A =  −2 0
4/3 2 −4
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Matrici e
Sistemi
Lineari
Proprietà della moltiplicazione per uno scalare
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Per ogni λ, µ ∈ R e per ogni A, B ∈ Rm×n risulta:
• λ · (µ · A) = (λ µ) · A;
Inversa
Determinante
• (λ + µ) · A = λ · A + µ · A;
Sistema
lineare
Cramer
• λ · (A + B) = λ · A + λ · B;
Autovalori
• 1 · A = A.
Per semplicità si scriverà λ A in luogo di λ · A.
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Matrici e
Sistemi
Lineari
Trasposta di una matrice
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Se A ∈ Rm×n , la trasposta di A, denotata con AT , è la matrice
ottenuta da A scambiando le righe con le colonne (o viceversa),
ovvero
Sottomatrici
AT = {aji },
Inversa
i = 1, . . . m, j = 1, . . . n.
Determinante
Sistema
lineare
Pertanto AT ∈ Rn×m .
Cramer
Autovalori
Esempio
A=
1 2 3
−1 0 1


1 −1
0 .
=⇒ AT =  2
3
1
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Matrici e
Sistemi
Lineari
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici ( o matrici estratte)
Se A = {aij } ∈ Rm×n , una sottomatrice di A (o matrice
estratta da A) è una matrice ottenuta sopprimendo in A un
certo numero di righe e di colonne.
Esempio
Sottomatrici
Inversa
Considerata
Determinante


1 2
3
0
1
1 −1 −2  ,
A =  −1 0
2/3 1 −2
2 −1
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
sono sottomatrici di A:
1 2
1
3
1
B = −2 , C =
, D=
,
−1 0
2/3 −2 −1


3
E =  1 , F =
−2
2/3 1 −2 2 −1
, G = A, H = () .
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Matrici e
Sistemi
Lineari
Sottomatrici principali
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Si chiama sottomatrice principale di una matrice A una
sottomatrice di A i cui elementi diagonali sono anche elementi
diagonali di A.
Esempio
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori

1
2
3
0
 −1
0
1
−1
A=
 2/3
1 −2
2
−1 −1/4 1/2
0

1
3 0
B =  2/3 −2 2
−1 1/2 0

1
−2 
,
−1 
−1


B è ottenuta da A considerando 1a , 3a e 4a riga e 1a , 3a e 4a
colonna di A.
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Matrici e
Sistemi
Lineari
Sottomatrici principali di testa
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
Si chiama sottomatrice principale di testa di A di ordine k
una sottomatrice (principale) di A ottenuta considerando le
prime k righe e colonne di A
Esempio


1
2
3
0
1
 −1
0
1 −1 −2 
,
A=
 2/3
1 −2
2 −1 
−1 −1/4 1/2
0 −1


1 2
3
1 
A3 =  −1 0
2/3 1 −2
A3 è la sottomatrice principale di testa di A di ordine 3.
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Matrici e
Sistemi
Lineari
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Partizionamento di matrici
Una matrice A si dice partizionata se è riguardata in termini di
sue sottomatrici (dette blocchi di A).
Esempio
Trasposta
Sottomatrici

a11 a12 a13
A =  a21 a22 a23 
a31 a32 a33

Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Considerati
Autovalori
A11 =
A21 =
a11 a12
a21 a22
a31 a32
possiamo allora scrivere A =
a13
a23
, A12 =
, A22 =
a33
A11 A12
A21 A22
,
.
.
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Matrici e
Sistemi
Lineari
Partizionamenti per righe e per colonne
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
• Partizionamento per righe. Se A ∈ Rm×n e denotiamo con
T
T
aT
1 , a2 , am , le righe di A, potremo scrivere:
 T 
a1
 aT 
 2 
A =  . .
 .. 
aT
m
Autovalori
• Partizionamento per colonne. Se B ∈ Rm×n e denotiamo
con a1 , a2 , an , le colonne di A, potremo scrivere:
A = a1 , a2 , . . . an .
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Matrici e
Sistemi
Lineari
Prodotto di matrici (righe per colonne)
G. Settanni
• Ricordiamo che se a e b sono due vettori (colonna) di
Matrici
Operazioni
lunghezza n, il prodotto scalare di a e b denotato con
aT b è cosı̀ definito:
Trasposta
Sottomatrici
T
a b≡
Inversa
Cramer
Autovalori
ak b k .
k=1
Determinante
Sistema
lineare
n
X
• Siano A ∈ Rm×p e B ∈ Rp×n . Si definisce prodotto
(righe per colonne) tra A e B la matrice
C = A · B ∈ Rm×n il cui elemento generico cij è il prodotto
scalare tra la riga i-esima di A e la colonna j-esima di B:
cij =
aiT
bj =
p
X
aik bkj ,
i = 1, . . . m, j = 1, . . . , n.
k=1
aiT : i-esima riga di A;
bj : j-esima colonna di B.
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Matrici e
Sistemi
Lineari
ESEMPIO
G. Settanni
Osservazione
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Il prodotto tra due matrici è possibile solo se il numero di
colonne del primo fattore coincide con il numero di righe del
secondo fattore.
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
A=
1
−1
2
0
3
1
4
2
=
aT1
aT2
,


1 −1
3
 −1
0
1 
 = b1 , b2 , b3
B=
 0
2 −1 
1 −2
2
T
a1 b1 a1T b2 a1T b3
7 9 −6
A·B =
=
3 5 −8
a2T b1 a2T b2 a2T b3
B · A non è possibile.
19 / 40
Matrici e
Sistemi
Lineari
Ulteriori esempi (1/2)
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Esempio
Trasposta
 
 

1 2 3
−1
−5
 4 5 6  ·  1  =  −11 
−2
−17
7 8 9


1 2 3
−1 1 −2 ·  4 5 6  = −11 −13 −15
7 8 9


!2
!

Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
1
4
7
2
5
8
3
6
9
1
= 4
7
2
5
8
3
6 ·
9
1
4
7
2
5
8
3
6
9
=
30
66
102
36
81
126
42
96
150
!
20 / 40
Matrici e
Sistemi
Lineari
Ulteriori esempi (2/2)
G. Settanni
Matrici
Esempio
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
0 −1
−4 1
=
−2
1
−8 1
0 −1
1 2
−3 −4
·
=
−2
1
3 4
1
0
1 2
3 4
·
Cramer
Autovalori
Osservazione
Dunque, se A e B sono quadrate dello stesso ordine, A · B e
B · A sono ben definite, tuttavia, in generale A e B non sono
permutabili cioè, in generale, A · B 6= B · A.
Ne segue che la moltiplicazione tra matrici non è commutativa.
21 / 40
Matrici e
Sistemi
Lineari
Proprietà della moltiplicazione di matrici quadrate
G. Settanni
· : Rn×n × Rn×n −→ Rn×n
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
è una legge di composizione interna su Rn×n che verifica le
seguenti proprietà:
• Associatività: (A · B) · C = A · (B · C );
• Esistenza dell’elemento neutro: A · I = I · A = A;
• A · 0 = 0 · A = 0;
Cramer
Autovalori
• Distributività a sinistra: A · (B + C ) = A · B + A · C ;
• Distributività a destra: (A + B) · C = A · C + B · C ;
• λ(A · B) = (λA)B = A(λB);
• (A · B)T = B T · AT .
Osservazione
La terna (Rn×n , +, ·) è un anello unitario (non commutativo).
22 / 40
Matrici e
Sistemi
Lineari
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Inversa di una matrice quadrata
Una matrice quadrata A ∈ Rn×n si dice invertibile se esiste
B ∈ Rn×n tale che
AB = I = B A
l’inversa di A, se esiste, è denotata con A−1 .
Osservazione
Determinante
Sistema
lineare
• L’inversa di una matrice, se esiste, è unica. Infatti, se
AB = I = B A
Cramer
e
Autovalori
A C = I = C A,
segue che
B = I B = (C A)B = C (A B) = C I = C .
• Se A è invertibile, (A−1 )−1 = A.
23 / 40
Matrici e
Sistemi
Lineari
Esempi e controesempi
G. Settanni
Matrici
Esempio
Operazioni
I −1 = I
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
1 0
1 0
=⇒ A−1 =
1 1
−1 1
1 2
−2
1
−1
B=
=⇒ B =
3 4
3/2 −1/2
A=
Autovalori
Controesempio
. Non sono invertibili: 0 ∈ Rn×n (matrice nulla)
1/2 −1
A=
−1
2
24 / 40
Matrici e
Sistemi
Lineari
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
Determinante di una matrice quadrata
Se A = {aij } ∈ Rn×n , denotiamo con Aij la sottomatrice
quadrata di A di dimensione n − 1 ottenuta da A
sopprimendone la i-esima riga e la j-esima colonna.
Definizione
Si definisce determinante di A e lo si denota con det(A) il
seguente scalare:

,
se n = 1,

 a11
n
X
det(A) =
(−1)j+1 a1j det(A1j ), se n > 1.


Osservazione
j=1
La definizione appena data va sotto il nome di REGOLA DI
LAPLACE per il calcolo del determinante. In letteratura
esistono diverse altre definizioni equivalenti. Il vantaggio di
quella da noi adottata è che essa induce in maniera naturale un
semplice algoritmo ricorsivo.
25 / 40
Determinante di matrici 2 × 2 e 3 × 3
Matrici e
Sistemi
Lineari
G. Settanni
Matrici
• A=
Operazioni
a11 a12
a21 a22
=⇒ det(A) = a11 a22 − a12 a21 .
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante


a11 a12 a13
• A =  a21 a22 a23  =⇒ det(A) =
a31 a32 a33
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
a11
a13
a23
a21 a23
− a12 det
+
a33
a31 a33
a22
a32
a22
det
a32
a21
det
a31
=
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
−a13 a22 a31 − a12 a21 a33 + a11 a23 a32 .
26 / 40
Matrici e
Sistemi
Lineari
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Generalizzazione della regola di Laplace
Il determinante di una matrice quadrata A = {aij } ∈ Rn×n , può
essere equivalentemente calcolato mediante una delle seguenti
formule che generalizzano quella precedentemente data:
Trasposta
Sottomatrici
• Sviluppo lungo la riga i-esima:
Inversa
Determinante
det(A) =
Sistema
lineare
Cramer
n
X
(−1)i+j aij det(Aij ),
(n > 1).
j=1
• Sviluppo lungo la colonna j-esima:
Autovalori
det(A) =
n
X
(−1)i+j aij det(Aij ),
(n > 1).
i=1
Definizione
La quantità (−1)i+j det(Aij ) prende il nome di complemento
algebrico dell’elemento aij .
27 / 40
Matrici e
Sistemi
Lineari
Secondo teorema di Laplace
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
La somma dei prodotti degli elementi di una riga (colonna) per
i complementi algebrici di un’altra riga (colonna) è nulla, cioè:
Inversa
Determinante
n
X
(−1)k+j aij det(Akj ) = 0,
Sistema
lineare
j=1
Cramer
Autovalori
∀i 6= k
ovvero:
n
X
(−1)i+k aij det(Aik ) = 0,
∀j 6= k.
i=1
28 / 40
Matrici e
Sistemi
Lineari
Proprietà del determinante (1/3)
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
• det(AT ) = det(A).
• det(A) = 0 se:
• gli elementi di una riga sono tutti nulli;
• esistono due righe di A che sono uguali (proporzionali);
• esiste una riga di A che è combinazione lineare di altre
righe (vale anche il viceversa).
• det(B) = det(A) se B è ottenuta da A aggiungendo ad
una riga (o colonna) un’altra riga (o colonna) moltiplicata
per un numero.
29 / 40
Matrici e
Sistemi
Lineari
Proprietà del determinante (2/3)
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
• Se per la i-esima riga di A risulta aij = bij + cij , dette B e
C le matrici che si ottengono sostituendo in A la i-esima
riga con [bi1 , . . . , bin ] e [ci1 , . . . , cin ], risulta:
Sottomatrici
Inversa
det(A) = det(B) + det(C )
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
• Se B è ottenuta da A scambiando due sue righe, risulta
det(B) = − det(A).
• Se B è ottenuta da A moltiplicandone gli elementi di una
riga per uno scalare α, risulta det(B) = α det(A).
• Se A e B sono quadrate dello stesso ordine,
det(A B) = det(A) det(B).
In particolare, se A è invertibile, det(A−1 ) =
1
.
det(A)
30 / 40
Matrici e
Sistemi
Lineari
Proprietà del determinante (3/3)
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
• Poiché det(AT ) = det(A), le precedenti proprietà
continuano a valere se riferite alle colonne piuttosto che
alle righe di A.
• det(α A) = αn det(A)
• Se A è una matrice triangolare, allora
Cramer
Autovalori
det(A) =
n
Y
aii
i=1
cioè il determinante di A è il prodotto dei suoi elementi
diagonali. In particolare se I è la matrice identica, risulta
det(I ) = 1.
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Matrici e
Sistemi
Lineari
Esistenza dell’inversa
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Una matrice quadrata A si dice non singolare se det(A) 6= 0.
Si definisce matrice aggiunta di A e si denota con agg(A), la
trasposta della matrice dei complementi algebrici di A:
Inversa
Determinante
[agg(A)]ij = {(−1)i+j det(Aij )}T = {(−1)i+j det(Aji )}
Sistema
lineare
Cramer
Teorema
Autovalori
A è invertibile (∃A−1 ) ⇐⇒ A è non singolare (det(A) 6= 0).
Inoltre risulta:
A−1 =
1
agg(A)
det(A)
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Matrici e
Sistemi
Lineari
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Dimostrazione del teorema di esistenza
1
agg(A), sarà sufficiente provare che
det(A)
C ≡ A B = I . Gli elementi di C sono:
Posto B =
cij =
1
det(A)
(
ai1 (−1)j+1 det(Aj1 ) + ai2 (−1)j+2 det(Aj2 ) + . . .
. . . + ain (−1)j+n det(Ajn )
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Distinguiamo due casi:
• per i = j, per la regola di Laplace,
Autovalori
cii =
1
det(A)
det(A)
• per i 6= j, per il secondo teorema di Laplace segue che
cij = 0.
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Matrici e
Sistemi
Lineari
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
Sistemi lineari di n equazioni in n incognite
Un sistema lineare di n equazioni in n incognite ha la
seguente forma:

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn




..


.

ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn


..


.



an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn
=
b1
..
.
=
bi
..
.
=
bn
(1)
• La matrice A = {aij } prende il nome di matrice dei coefficienti;
• il vettore x = [x1 , x2 , . . . , xn ]T prende il nome di vettore delle
incognite;
• il vettore b = [b1 , b2 , . . . , bn ]T prende il nome di vettore dei
termini noti.
Il sistema lineare (1) in forma compatta si può scrivere come
Ax = b
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Soluzione Sistema Lineare n × n
Matrici e
Sistemi
Lineari
G. Settanni
Matrici
Consideriamo il sistema lineare
Operazioni
Ax = b.
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Se supponiamo che la matrice dei coefficienti A è non singolare
(det(A) 6= 0), allora A sarà invertibile: moltiplicando ambo i
membri a sinistra per A−1 otteniamo:
x = A−1 b
Cramer
Autovalori
dunque possiamo concludere che:
Teorema
Se la matrice dei coefficienti di un sistema lineare di n equazioni
in n incognite è non singolare, il sistema lineare è consistente e
ammette una ed una sola soluzione (vale anche il viceversa).
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Matrici e
Sistemi
Lineari
Metodo di Cramer
G. Settanni
Matrici
Da
x = A−1 b =
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
eguagliando le i-esime componenti dei due vettori ad ambo i
membri si ha:
Determinante
Sistema
lineare
1
agg(A)b,
det(A)
xi =
1
(−1)i+1 b1 det(A1i ) + . . . (−1)i+n bn det(Ani )
det(A)
Cramer
Autovalori
Detta Ai la matrice che si ottiene sostituendo in A la i-esima
colonna con il vettore dei termini noti, si riconosce
immediatamente che
xi =
det(Ai )
,
det(A)
i = 1, . . . , n.
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Matrici e
Sistemi
Lineari
Sistemi lineari
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
• Se b = 0, A non singolare e m = n, il sistema si dice
omogeneo e ammette la sola soluzione nulla x = 0.
• Se m < n ci sono più incognite che equazioni, il sistema se
è consistente ha infinite soluzioni.
• se n < m ci sono più equazioni che incognite, il sistema
può essere consistente solo se vi sono almeno m − n
equazioni che sono combinazione lineare delle altre.
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Matrici e
Sistemi
Lineari
G. Settanni
Matrici
Problema agli autovalori
Definizione
Il problema algebrico
Operazioni
Trasposta
Ax = λx
x 6= 0
(2)
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
prende il nome di problema agli autovalori, lo scalare λ
prende il nome di autovalore e il vettore x si chiama
autovettore associato all’autovalore λ.
Riscriviamo il problema (2) come sistema lineare omogeneo
(A − λI)x = 0.
Poichè siamo interessati a calcolare una soluzione non banale
x 6= 0, sarà dunque la matrice A − λI singolare. I valori di λ
sono pertanto ottenuti andando a calcolare gli zeri del
polinomio caratteristico che è cosı̀ definito
det(A − λI) = 0.
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Matrici e
Sistemi
Lineari
G. Settanni
Matrici
Operazioni
Trasposta
Sottomatrici
Inversa
Determinante
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
Esempio problema agli autovalori
Sia
A=
a11 a12
a21 a22
a11 − λ
a12 =0
det(A − λI ) = a21
a22 − λ
(a11 − λ)(a22 − λ) − a21 a12 = 0
λ2 − (a11 + a22 )λ − a21 a12 + a11 a22 = 0
Si ottiene un’equazione di II grado con
∆ = (a11 + a22 )2 + 4 ∗ (a21 a12 − a11 a22 ), da cui segue che
• ∆ > 0 esistono 2 autovalori reali e distinti (λ1 , λ2 ∈ R,
λ1 6= λ2 );
• ∆ = 0 esistono 2 autovalori λ1 , λ2 reali e coincidenti
(λ1 , λ2 ∈ R, λ1 = λ2 );
• ∆ < 0 esistono 2 autovalori λ1 , λ2 complessi e coniugati,
(λ1 , λ2 ∈ C, λ1 = λ̄2 );
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Matrici e
Sistemi
Lineari
G. Settanni
Esempio problema agli autovalori
Sia
Matrici
A=
Operazioni
Trasposta
Inversa
Sistema
lineare
Cramer
Autovalori
1 − λ
2
=0
det(A − λI ) = 2
4 − λ
Sottomatrici
Determinante
1 2
2 4
(1 − λ)(4 − λ) − 4 = 0 ⇒ λ2 − 5λ = 0
Essendo ∆ > 0, segue che λ1 = 0, λ2 = 5.
Osservazione
Il grado del polinomio caratteristico è uguale a quello della
matrice. Dunque se A è una matrice quadrata di dimensione n,
allora anche il polinomio caratteristico dato da
det(A − λI ) = (λ − λ1 )(λ − λ2 ) . . . (λ − λn ) = 0 ha grado n.
Se k autovalori sono uguali all’autovalore λj , allora diremo che
l’autovalore λj ha molteplicità k.
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