NOTA

Avvertenza Iniziale
1.
Questi appunti potrebbero contenere errori, per favore se trovate affermazioni,
formule o conti errati avvisate il docente.
2.
Questi appunti NON sostituiscono il libro di testo, che deve essere studiato.
3.
L’ordine degli argomenti discussi in questi appunti spesso è differente da quello
seguito dal libro di testo.
4.
Non limitatevi a fare solo gli esercizi consigliati e proposti in questi appunti,
fatene anche altri. Prendete spunto dalle esperienze che farete e dai temi di
esame che trovate sul sito web del corso.
5.
L’impostazione di questa prima parte di lezione è empirica, non saranno date
dimostrazioni. Nella seconda parte del corso molti argomenti saranno svolti con
un approccio più formale e rigoroso.
6.
La complessità e la densità degli argomenti trattati a lezione crescerà con il
progredire del corso
Il corso consisterà nella 1 e 2 parte (capitoli 1-12) del libro di testo. Alcuni concetti o
approfondimenti sono stati presi da altri libri di testo.
Misura:
“Insieme di operazioni sperimentali e/o numeriche che assegnano un numero ad una
osservabile fisica attraverso confronto di questa con un'altra grandezza a lei omogenea
detta unità di misura “
Si definisce grandezza fisica di un sistema fisico una sua caratteristica (i.e. lunghezza,
massa, velocità) sulla quale possa essere eseguita una operazione di misura mediante
una definita procedura sperimentale .
La grandezza fisica implica anche una definizione operativa che descrive la procedura
sperimentale necessaria per ottenere il valore numerico della misura della grandezza
stessa (il profumo non è una grandezza fisica a meno di non avere una accurata
definizione operativa sulla procedura sperimentale per la sua misura).
L’operazione di misura non deve (per quanto possibile) perturbare il sistema fisico e
deve dare un valore (entro una incertezza che deve essere accuratamente valutata)
riproducibile e indipendente dallo sperimentatore.
 Se uno di voi effettua la misura della lunghezza della cattedra con un metro a nastro,
deve dare un valore numerico e una incertezza tale per cui chiunque altro di voi
che effettui la stessa misura ottenga un valore ‘uguale’ (diremo in seguito
‘compatibile’)
Esempio:
Definisco la lunghezza del tavolo come:
1) Si appronta un’asta sulla quale siano tracciate due tacche la cui distanza è assunta,
arbitrariamente, come unità di lunghezza.
2) Si mette a confronto la lunghezza del tavolo con il campione di unità di lunghezza
rilevando quante volte la dimensione del tavolo è più grande (o più piccola) del
campione.
3) Il numero cosi dedotto rappresenta la misura della grandezza “lunghezza” del tavolo
- ricordate la necessità di avere una misura riproducibile e indipendente dall’osservatore
3a) se si vuole eseguire una misura più precisa è possibile suddividere la distanza tra le
tacche in sottomultipli.
Il risultato di questa operazione è un numero con tante cifre significative (a breve
discuteremo la definizione in dettaglio) quanti sono i sottomultipli (decimi, centesimi e
millesimi) dell’unità di misura riportati sullo strumento usato (in questo caso l’asta).
Il numero dovrà essere sempre seguito dal simbolo dell’unità di misura adottata.
Tutte le grandezze che possono essere misurate con la medesima procedura (descritta dalla
definizione operativa) sono dette grandezze fisiche omogenee.
Operazione di Misura:
1)
2)
3)
4)
Sia stata definita una unità di misura (con eventuali multipli o sottomultipli)
Ad ogni misura della grandezza fisica possa essere attribuito un valore numerico
Tra due grandezze omogenee sia possibile stabilire quale è la maggiore o la minore
Tra grandezze omogenee possa essere eseguita l’operazione di somma o differenza
Nota: Ricordatevi che è necessario avere una definizione operativa della grandezza fisica
Nota:
•
•
•
•
Supponete di misurare un tavolo con un metro a nastro con tacche da 1 mm.
Supponete che il risultato della misura sia L = 2.452 ± 0.001 m.
Questo significa che avete stimato che la lunghezza del tavolo sia compresa tra i
valori di 2.451 e 2.453 m e che chiunque altro facesse la stessa misura otterrebbe lo
stesso risultato.
Non ha senso fornire ulteriori cifre significative poiché inferiori all’incertezza.
La valutazione corretta dell’incertezza ed il significato statistico da dare all’incertezza
stessa è l’obiettivo di questo corso
Nota:
A volte può capitare che non venga riportata una incertezza, in questo caso è
convenzione che essa sia una unità o mezza unità dell’ultima cifra significativa
MISURE DIRETTE
La misura di una grandezza fisica è diretta se può essere eseguita per confronto con l’unità di
misura. L’esempio nel lucido precedente tratta di una misura diretta.
MISURE INDIRETTE
Talvolta non e’ possibile misurare direttamente una grandezza fisica ( Velocità, Pressione,
Forza….) ma e’ possibile misurare direttamente grandezze ad esso collegate mediante una
formula definita ( v= Dl/Dt).
In questo caso l’operazione di misura e’ un’operazione algebrica:
si sostituisce nella formula alle grandezze fondamentali la loro misura e si calcola il numero
reale che costituisce una misura indiretta della grandezza fisica in osservazione detta anche
grandezza derivata.
L’unità di misura della grandezza derivata si ottiene allo stesso modo della misura diretta
sostituendo, nella formula, alle grandezze fondamentali le rispettive unita’ di misura e definendo
cosi’, algebricamente, l’unita’ di misura della grandezza derivata.
Grandezze Derivate
Fissato un determinato sistema di unità di misura e quindi delle grandezze che diremo
fondamentali (ad esempio il sistema MKS o SI, vedi dopo) allora è possibile definire le
grandezze derivate.
Nota che la scelta delle grandezze fondamentali è arbitrario e per convenzione si segue la scelta fatta dalla metrologia
per la meccanica (lunghezza, tempo, massa)
Esempio:
Velocità = DL / DT
[v] = [L][t-1]
Nella relazione algebrica che definisce la grandezza fisica in esame si pongono, per
convenzione, i simboli delle grandezze fondamentali, misurate direttamente, tra parentesi
quadra [ ] e si ignorano eventuali coefficienti numerici.
La relazione cosi ottenuta si chiama equazione dimensionale
Più in generale, nel sistema MKS (dove la misura di lunghezza, massa e tempo sono le
grandezze fondamentali) una grandezza fisica derivata può essere espressa come :
[G] = [La][Mb][tg]
Grandezze adimensionali e numeri puri
E’ possibile che una grandezza derivata risulti non avere unità di misura. Queste grandezze sono in
generale definite come rapporti tra grandezze omogenee (i.e. la densità relativa) .
Questo tipo di grandezze sono dette grandezze adimensionali o numeri puri.
Nota:
• Il p è un numero puro in quanto definito come il rapporto tra la lunghezza della semicirconferenza ed
il raggio del cerchio.
• Alcune grandezze fisiche possono essere adimensionali solo in certi sistemi di unità di misura.
• Ad esempio la costante di accoppiamento della forza elettrostatica nel sistema CGS è un numero
puro, nel sistema SI assume che abbia le dimensioni di [F][Q-2]L2}
• Le funzioni sen(a),cos(a), tg(a), ea, senh(a), … ed i loro argomenti sono , per definizione, numeri puri.
• Il seno o la tangente sono un rapporto di lunghezze  devono essere numeri puri.
• Se sviluppo in serie una esponenziale ottengo una serie di potenze  l’esponenziale ed il suo
argomento devono essere numeri puri.
1
1
2
3
e  1  t  t   t   .....
2
6
t
Angoli
Gli angoli misurati in gradi non sono un numero puro e non devono essere usati
Gli angoli misurati in radianti sono numeri puri, infatti sono definiti come il rapporto tra due
lunghezze. In questo corso e in generale sono da usare solamente gli angoli misurati in
radianti
 l/r
l  lunghezza dell' arco di circonfere nza sotteso dall' angolo
r  raggio della circonfere nza
Sistemi di unità di misura
Misura ed errori:
•
A priori non si conosce il valore di ciò che si misura, sicuramente si dovrà avere una idea del suo
ordine di grandezza o si avrà una stima ‘teorica’ dell’osservabile.
•
Il valore vero di una grandezza non potrà mai essere conosciuto (in fisica classica) e quindi anche il
valore dell’errore non potrà essere noto.
•
•
•
L’incertezza di una misura, che possiamo chiamare “s”, può essere considerata una buona
stima dell’errore (in generale è una sovrastima).
Se la misura è fatta correttamente, il valore vero deve della grandezza fisica deve essere con
altissima probabilità nell’intervallo xmis-s < xvero < xmis+s
D’ora in avanti i termini incertezza ed errore (anche se in italiano con significati differenti)
saranno considerati sinonimi
•
Nessuna misura, per quanto fatta con cura, può essere completamente libera da incertezze o errori.
•
E’ di importanza fondamentale essere capaci di calcolare/estrarre/ricavare queste incertezze e di
pianificare un esperimento in grado di ridurle al minimo.
•
Ogni qualvolta si effettua una misura è quindi necessario/obbligatorio fornire un errore o una
incertezza.
•
•
•
Errore non vuol dire uno sbaglio o un comportamento/procedura non corretta
Gli errori non si possono eliminare
Il concetto di errore è insito nel concetto di misura
Il risultato di una misura NON consiste SOLO nel valore fornito dallo strumento, ma anche di
un errore e di una unità di misura (la mancanza di uno di questi termini rende gli altri inutili).
Una misura DEVE dare una informazione COMPLETA.
Esempio:
Massa = (0.23 ± 0.01) 10-5 kg
E’ una notazione compatta che esprime il risultato della misura, cioè
0.22  105 kg  Massa  0.24  105 kg
Vedremo successivamente quale è il significato in termini probabilistici
di una tale notazione
In altre parole:
L’incertezza o errore deve avere la stessa precisione della misura (ne minore ne
maggiore) a cui è associata. In generale dovrà avere uno o (meglio) due cifre
significative. Le altre cifre si tagliano arrotondando
X = 12.345689 ± 0.190865  X = 12.35 ± 0.19
E’ necessario definire cosa sono le cifre significative
Cifre Significative:
Il numero di cifre significative si calcola contando le cifre, a partire dalla prima cifra non nulla,
da sinistra verso destra.
Lo zero non è significativo se è l’ultima cifra alla sinistra (p.es. 0.0012)
Lo zero è significativo se è in mezzo a due cifre non zero oppure se si trova a destra.
2.30 104
 3 cifre significative
0.23 104
 2 cifre significative
0.02 104
 1 cifre significative
2.301 104
 4 cifre significative
Inevitabilità dell’incertezza
Immaginiamo di misurare la larghezza dell’aula:
•
Contiamo le piastrelle, sapendo le dimensioni delle piastrelle, otteniamo una misura
della larghezza dell’aula
•
•
Sorgenti di errore che possono influenzare la misura (non sono tutte):
1.
2.
3.
Le distanza tra le piastrelle non sarà sempre la stessa
Le piastrelle non saranno sempre di dimensioni esattamente uguali
L’ultima piastrella sarà certamente tagliata
•
Errore: probabilmente qualche centimetro
• una certa frazione delle dimensioni della piastrella
Usiamo un metro a nastro
•
Sorgenti di Errore che possono influenzare la misura (non sono tutte):
1.
2.
la sensibilità del metro (legata alla minima suddivisione apprezzabile sullo strumento)
Il metro a nastro è steso perpendicolarmente alle pareti ?
•
Errore: probabilmente qualche millimetro
• una certa percentuale della sensibilità strumentale
• Usiamo un sistema laser
• Sorgenti di Errore che possono influenzare la misura (non sono tutte):
1.
La rugosità delle pareti fa cambiare la larghezza dell’aula
• Errore: al massimo un mm
Altre sorgenti di errore:
• Anche se fossero risolti tutti i precedenti problemi la larghezza potrebbe dipende dalle
condizioni di temperatura, umidità, …
 Errore casuale (fenomeni fuori dal controllo dello sperimentatore)
Se le pareti della stanza non fossero parallele tra loro o perpendicolari al pavimento ?
- ondulate
- inclinate
 Errore sistematico (errato procedimento di misura)
Errore Casuale
In fisica classica nessuna quantità può essere misurata con una infinita precisione.
Indipendentemente dallo strumento che usiamo per effettuare la misura di una osservabile
fisica, esistono sempre una vasta gamma di fenomeni (detti fenomeni casuali perche al di
fuori del controllo dello sperimentatore) che ne possono modificare il valore.
L’errore casuale determina una distribuzione delle misure attorno al valore ‘vero’ della
grandezza fisica. Si vedrà che, aumentando il numero di misure, si riduce l’incertezza nella
determinazione del valore vero.
La presenza di un errore casuale, una volta sicuri che il protocollo di misura sia corretto, è
indice del fatto che si stanno usando degli strumenti di sensibilità appropriata.
Se si adoperasse uno strumento di scarsa sensibilità i valori numerici delle misure ripetute
sarebbero tutti coincidenti. Questo non è indice di assenza di errore ma del fatto che la
precisione della misura non è sufficiente a misurare la grandezza fisica e che quindi lo
strumento usato è probabilmente inadeguato per tale misura. In questo caso tuttavia si
prende come incertezza l’ultima cifra del display dello strumento.
Esiste un altro tipo di errore, molto piu difficile da riconoscere e da correggere, esso è
definito come Errore Sistematico.
E’ difficile dare una definizione generale di “errore sistematico”.
In generale, questo deriva da uno strumento difettoso o mal calibrato, oppure da
un’ipotesi errata, o da un’approssimazione eccessiva nel nostro modello di lavoro.
La sua caratteristica principale è quella di influenzare tutte le misure allo stesso modo (per
esempio sempre in eccesso, o sempre in difetto, ma non `e detto che si sappia in che
verso).
Al contrario degli errori casuali, gli errori sistematici non si riducono aumentando
il numero di misure.
In presenza di errori sistematici non è possibile misurare il valore ‘vero’ di una osservabile
indipendentemente dal numero di misure effettuate.
La presenza di errori sistematici (non corretti) sostanzialmente invalida la teoria statistica
che presenteremo a lezione. E’ quindi necessario identificare/stimare la presenza di errori
sistematici e correggere di conseguenza il valore misurato.
Esempio:
1. Supponiamo di dover pesare un determinato corpo, ma di avere una bilancia mal calibrata, in cui
cioè il risultato è sempre il 10% maggiore di quello reale.
• Se non pesiamo il corpo con una strumentazione differente non saremo mai in grado
riconoscere questo tipo di errore nella misura
di
• Se ricalibriamo lo strumento potremmo correggere anche le misure già effettuate
2. Supponiamo di dover confrontare la velocità del suono nota dalla pressione e temperatura dell’aria
v=(g po/ro) 0.5 con quella ottenuta con la misura delle frequenze delle onde stazionarie in un
tubo di Kundt (v=ln.
• Per estrarre questo valore leggerò la pressione e la temperatura da un sensore.
• Tuttavia l’aria all’interno del mio strumento non necessariamente ha la stessa
temperatura presente in prossimità del sensore e sicuramente il valore della temperatura nel tubo e
nel laboratorio non rimarrà costante nel tempo (come potrà cambiare la pressione atmosferica).
• La velocità cosi estratta sarà sempre leggermente differente da quella reale poichè la
temperatura/pressione usata nelle formule non è quella misurata all’interno del tubo
3. Eccessiva semplificazione del modello adottato: una molla ad esempio è supposta lineare su un
ampio intervallo di allungamenti, ma in realtà lo è sicuramente solo sull’intervallo nel quale si è
misurata k; se per esempio, per pesi elevati la molla subisce allungamenti minori di quelli previsti
dalla legge di Hooke, le misure di peso vengono sistematicamente sottostimate.
Esempio:
4. Si misura g attraverso la misura del periodo del pendolo T, si fa oscillare il pendolo con un angolo
massimo di 30◦ e si calcola g con la formula T2 = 2π (ℓ/g), valida solo per “piccole
oscillazioni”; l’approssimazione è eccessiva, perché l’angolo di oscillazione scelto può
essere grande e quindi la formula non corretta
5. La misura è affetta da condizioni sperimentali sfavorevoli. Per esempio, vogliamo misurare
l’allungamento di una molla mediante una scala graduata in millimetri, che per motivi di
montaggio dell’esperimento si trova ad una certa distanza dalla molla stessa.
In tal caso, come mostrato l’incertezza della lettura è affetta dalla posizione dell’occhio,
cosicché l’errore di misura `e ben più di 1 mm (distanza fra le tacche). Essa andrà quindi
valutata dallo sperimentatore
Morale:
L'errore sistematico e` per sua natura molto difficile da individuare, perché ha cause
in linea di principio ignote:
• lo strumento e` calibrato bene?
• il nostro modello descrive bene la realtà?
• es: le pareti sono davvero lisce, parallele etc.
Quand'anche si riescano a considerare tutte le possibili fonti di incertezza, la
valutazione quantitativa del loro impatto spesso implica una qualche discrezionalità
dello sperimentatore - anche per questo non possiamo attribuirgli un significato di
deviazione standard o di intervallo di confidenza.
Spesso aiuta ripetere la stessa misura con due tecniche sperimentali
completamente diverse ed indipendenti, per esempio misurare la k della molla con
un metodo statico (allungamenti) e uno dinamico (periodi):
la presenza di discrepanze significative suggerisce che ci siano degli effetti
sistematici non valutati
In presenza di un errore sistematico accertato
Valore dell’osservabile = xbest ± scasuale ± ssistematico (unità di misura)
g = 9.70 ± 0.02 ± 0.08 m/s2
Esistono quindi due espressioni per l’incertezza, quella casuale e quella sistematica (se
presente e quantificata)
Nota: la formulazione sopra scritta è solo simbolica, non indica una convoluzione o una
azione di somma tra gli errori. Infatti:
Errore
Casuale
In presenza di un errore sistematico accertato
Valore dell’osservabile = xbest ± scasuale ± ssistematico (unità di misura)
g = 9.70 ± 0.02 ± 0.08 m/s2
Esistono quindi due espressioni per l’incertezza, quella casuale e quella sistematica (se
presente e quantificata)
Nota: la formulazione sopra scritta è solo simbolica, non indica una convoluzione o una
azione di somma tra gli errori. Infatti:
Errore
Casual
Errore
Sistematico
Cosa fare in presenza sia di errore sistematico che di casuale ?
- Se l’errore sistematico è maggiore dell’errore casuale è assolutamente inutile fare più
misure, infatti l’incertezza nella misura è caratterizzata dall’errore sistematico che
non si riduce con il numero di misure
- Se devo confrontare una misura sperimentale (con errore sistematico e casuale) con una
previsione teorica o con una altra misura allora sarebbe possibile sommare in
quadratura i due errori (deviazioni standard o della media) anche se il risultato non
ha le proprietà statistiche della deviazione standard o di quelle della media
(che saranno definite nelle prossime lezioni)
- Non è vero ad esempio che esiste il 68% di probabilità che la misura vera sia
entro una deviazioni standard o della media
- invece che un punto e una barra di errore è meglio mettere semplicemente
una barra
L’errore sistematico e l’errore casuale sono legati dal concetto di accuratezza e precisione:
Accuratezza:
• Stima di quanto il risultato di una misura è vicino al valore reale della quantità
misurata
Precisione:
• Stima della ripetibilità della misura indipendentemente dal fatto che la misura
sia accurata
Una misura molto accurata sarà senza errore sistematico. Una misura molto precisa potrà
essere affetta anche da un grande errore sistematico
Bassa Accuratezza
Alta Precisione
(errore piccolo,
valor medio
lontano dal valore
vero, errore
sistematico)
Bassa Accuratezza
Bassa Precisione
Alta Accuratezza
Bassa Precisione
(errore grande)
Alta Accuratezza
Alta Precisione
In questa serie di figure è molto semplice identificare l’errore casuale e 26
quello sistematico,
questo perché sappiamo a priori il valore ‘vero’ dell’osservabile, cioè il centro della figura.
Cosa succede quando (in quasi tutte le situazioni reali) non è noto il valore vero
dell’osservabile da misurare ?
Esiste un terzo tipo di errore, è chiamato Errore grossolano
Come si può dedurre dal nome è un errore unicamente dovuto allo sperimentatore e
facilmente riconoscibile ripetendo i conti e/o una misura. Esso puo essere generato da:
• Una lettura non corretta dello strumento
• Una sbagliata unità di misura
• Una non corretta procedura di misura
• ………….
Ovviamente in queste lezioni considereremo sempre assenti gli errori grossolani
E’ tutto Chiaro ?
• Definizione di misura
• Unità di misura (MKS, SI, angoli, numeri puri)
• Definizione operativa
• Riproducibilità e indipendenza della misura
• Cifre Significative
• Misure dirette e misure indirette
• Errore  Incertezza
• Tipologia di errore e sua origine
• Errore Casuale, Sistematico, Grossolano
• Rappresentazione dell’errore sistematico.
Fino ad ora, tuttavia, sono stati dati concetti generali .
Bisogna ora trovare il metodo per estrarre il valore ‘vero’ di una grandezza fisica (o
quantomeno qualcosa che si avvicini il più possibile a questo valore) e soprattutto
trovare il valore dell’incertezza della misura stessa.
Misure Ripetute ed Indipendenti
Una delle metodologie più semplici per valutare l’affidabilità di una misura consiste nel
ripeterla diverse volte, nelle medesime condizioni, ed esaminare i diversi valori ottenuti.
Ovviamente, una volta stimato in qualche modo l’errore, mi aspetto di ottenere misure
sempre diverse numericamente ma ‘identiche’ entro l’incertezza della misura stessa.
Esempio:
Se la prima misura ha dato come risultato L = 1.234 m con incertezza 0.001 m mi aspetto che
la grande maggioranza delle misure cada nell’intervallo 1.233-1.235 .
Perché solo la grande maggioranza e non tutte ?
Perché al momento non so stimare la probabilità che una misura di una grandezza fisica
cada al di fuori della incertezza (saranno i concetti di deviazione standard in una gaussiana o
di limite di confidenza per le altre distribuzioni statistiche a darmi questo valore)
• Dalla dispersione delle misure è possibile però avere un’idea dell’entità dell’errore casuale.
• Non si avrà tuttavia pero’ alcuna informazione sulla presenza o meno di errore
sistematico.
Attenzione:
E’ necessario essere assolutamente sicuri che la grandezza da misurare sia esattamente la
medesima (questo significa misure ripetute nelle stesse condizioni) ogni volta che si effettua
la misura. Inoltre il risultato di una misura non deve influenzare la misura successiva (questo
significa Indipendenti):
• Possono cambiare le condizioni al contorno (lo vedremo con il pendolo)
• Il sistema può evolvere
• Se pesiamo un bicchiere d’acqua in ebollizione ogni misura sarà differente
(minore) della precedente poichè un po’ di acqua sarà evaporata.
Le misure non sono indipendenti.
In questa prima parte supporremo vere le seguenti ipotesi
Ipotesi-1: Le condizioni sperimentali non devono variare lungo l’arco di
tempo in cui si effettuano le misure (Indipendenza e Ripetibilità)
Ipotesi-2: Non sono presenti errori sistematici
Date N misure di una data osservabile fisica (x1, x2, ... xN) e supposte valide le
ipotesi 1 e 2 allora la migliore stima del valore dell’osservabile da misurare
potrebbe essere data dalla media aritmetica delle singole misure:
N
x
xbest
x1  x2  ...  xN i 1
 x  x 

N
N
i
Media Campionaria
N
  lim N 
x
i 1
N
i
Media della popolazione
Notate la notazione differente ( e xbest o <x>)
In seguito, una volta definite le distribuzioni e sotto opportune ipotesi (ecco il
perche del condizionale nella definizione), sarà possibile dimostrare queste
affermazioni in maniera più rigorosa.
Esempio
Misuriamo ad esempio la massa di un oggetto
• Eseguo 21 misure della stessa quantità.
• Ottengo 21 numeri differenti.
• Media = 0.904 mg
• Max = 2.01 mg
• Min = 0.60 mg
Posso costruire un grafico che ha come ascissa il valore della
misura (in intervalli) e sull’ordinata la frequenza assoluta o il
numero di volte in cui ho ottenuto tale misura.
Per costruire un istogramma bisogna:
1. Trovare la misura con valore massimo xmax e la misura con valore minimo xmin e
l’intervallo D tra questi due valori detto ‘range’ della distribuzione
•
Nel nostro caso: xmax = 2.01 mg, xmin = 0.6 g  D = 1.41 mg
2. Dividere l’intervallo D in un numero conveniente di sottointervalli (classi) di ampiezza d
•
•
•
•
•
Nella maggioranza delle classi dovrebbero cadere almeno 3-5 misure
Non necessariamente tutte le classi devono avere la stessa ampiezza d
anche se sarebbe meglio che lo fosse
Per evitare che una misura coincida con il confine tra due classi esprimente i
confini della classe con una cifra significative in più rispetto a quello delle misure
Non tutte queste condizioni potrebbero essere soddisfatte contemporaneamente
A volte ci sono troppo poche misure per fare un istogramma
•
•
Nel caso d = 0.5 mg - vedi plot successivo
Nel caso d = 0.025 mg - vedi plot tra due pagine
3. Costruire una Tabella/Grafico con il numero di misure che cadono in ciascun
sottointervallo
Classe troppo larga (0.5 mg)
Classe troppo stretta (0.025 mg)
Notate la notazione con cui scrivo l’asse delle Y in cui si scrive esplicitamente la classe usata
Con un passo troppo largo quasi tutte le misure cadranno in uno o due intervalli, con un
Passo troppo stretto ogni intervallo conterrà al più una sola misura
Esempio di istogramma
Esempio di istogramma
Esempio di plot di dati
Notare che l’unità di misura
è sull’asse delle Y
Esempio di istogramma
Notare che l’unità di misura
è sull’asse delle X
I due plot rappresentano la stessa cosa ma sono totalmente diversi e hanno
un significato totalmente differente
Attenzione
Misure Sperimentali
E’ una lista di N misure della stessa quantità
Ogni valore ha un’unità di misura
Media
xbest
x1  x2  ...  xN
x
N
Media = 0.90381 g  0.904 mg
Attenzione
E’ una lista del numero di misure della lista precedente che cadono all’interno di un
determinato intervallo o classe (p.es. 0.65-0.75 g)
Ogni Classe ha una unità di misura
Media
M
xbest  x 
 x n
i 1
M
i
i
n
i 1
i
M = Numero Classi
N = numero di misure  S ni = N
Media = 0.903571 g  0.904 mg
Attenzione
Misure Sperimentali
Distribuzione Associata
Media
Mediana
xbest
x1  x2  ...  xN
x
N
Data una serie di N misure, ciascuna con risultato xi allora la Mediana è definita
come quel valore di x che divide l’istogramma dei dati in due parti tali che il 50%
delle misure siano superiori ad esso ed il 50% inferiori. Esistono definizioni più
accurate di mediana. Noi useremo quella che usa la ‘classe’ dell’istogramma
per calcolare la mediana è utile calcolare la somma percentuale degli eventi
k
Sk % 
n
i 1
N tot
i
ni è il numero di conteggi in una classe
La media corrisponderebbe al 50% ma quasi sempre non si
trova un valore Sk% = 50%. In questo caso se d è il passo
dell’istogramma devo:
1) Prendere la classe con Sk% più vicina al 50%. Sia xk la
ascissa della classe (in questo caso xk = 0.9 e d = 0.05)
Mediana  xk 1 
d 50%  S k 1 %

*d
2 S k %  S k 1 %
Mediana  0.8  0.05 
50  38
* 0.1  0.85  0.0632  0.913
57  38
Media
xbest
x1  x2  ...  xN
x
N
Mediana
Data una serie di N misure, ciascuna con risultato xi allora la Mediana è definita
come quel valore di x che divide l’istogramma dei dati in due parti tali che il 50%
delle misure siano superiori ad esso ed il 50% inferiori.
Moda
Data una serie di N misure, ciascuna con risultato xi allora la Moda è definita
come il valore per cui la probabilità è massima.
Media = 0.90 g
Mediana = 0.913 g
Moda = 0.65 g
Peso [mg]
Possono essere estimatori del valore vero migliori della media aritmetica ?
E’ tutto Chiaro ?
• Misure Ripetute ed Indipendenti
• Valore medio campionario o di popolazione
• Istogrammi
• Valore medio da un istogramma
• Moda e Mediana
Fino ad ora, tuttavia, non è stato dato alcun criterio per definire l’incertezza.
Bisogna ora trovare il metodo per estrarre l’incertezza dai dati sperimentali in
maniera che le misure siano ripetibili da chiunque faccia la medesima misura.
Stima dell’incertezza casuale
Immaginate tre casi generali:
1) Si usa uno strumento inadatto, cioè uno strumento con una sensibilità
bassa rispetto all’errore casuale
E’ inutile fare tante misure (darebbero tutte lo stesso risultato)
Si ha un errore di sensibilità pari alla sensibilità dello strumento
definito come la più piccola frazione di unità misura che lo strumento è
in grado di misurare (un righello ad esempio avrà una sensibilità
compresa tra 0.5 e 0.25 mm)
Stima dell’incertezza casuale
2) Si usa uno strumento adatto, cioè uno strumento con una sensibilità buona
rispetto a quella richiesta dalla misura ma è possibile fare solo poche misure
- La statistica fornisce strumenti per dare una stima dell’incertezza (ad
esempio la ‘t di student’)
- Una sovrastima grossolana per l’incertezza è quella di usare la
semidispersione massima definita come la meta tra la
differenza tra il valore massimo e minimo della misura
X max  X min
Dx 
2
Stima dell’incertezza casuale
3) Si usa uno strumento adatto, cioè uno strumento con una sensibilità buona
rispetto a quella richiesta dalla misura ed è possibile fare un buon numero
di misure (N> 10-30)
- la semidispersione massima non può essere usata come stima
dell’incertezza poiché è una sua sovrastima.
- E’ necessario trovare una osservabile in grado di quantificare in
maniera corretta questa incertezza.
- La differenza dal caso precedente è che, in questo caso, si ha a
disposizione un elevato numero di misure e quindi questo
permette una più accurata valutazione (magari con delle
ipotesi) della incertezza delle misure.
Caso 3 – Ipotizziamo vere queste ipotesi
Ipotesi-1: Le condizioni sperimentali non devono variare lungo l’arco di
tempo in cui si effettuano le misure (Indipendenza e Ripetibilità)
Ipotesi-2: Non sono presenti errori sistematici
Date N misure di una data osservabile fisica (x1, x2, ... xN) e supposte valide le
ipotesi 1 e 2 allora la migliore stima del valore dell’osservabile da misurare
potrebbe essere data dalla media aritmetica delle singole misure:
N
x
xbest
x  x  ...  xN i 1
x 1 2

N
N
i
Rimostriamo la definizione di deviazione standard
Date N misure di una data osservabile fisica (x1, x2, ... xN) e supposte valide le ipotesi 1 e 2
allora la migliore stima della incertezza media delle misure è data dalla deviazione
standard definita come:
N
( x1   )  ( x2   )  ...  ( xN   )

N
N 
2
s
2
2
 (x  )
i 1
2
Deviazione standard
di popolazione
i
N
Come nel caso del valore vero  che si stima con il valore medio, può essere utile definire
la deviazione standard di un campione e quella di popolazione.
N
s
( x1  x)  ( x2  x)  ...  ( xN  x)

N 1
2
2
2
2
(
x

x
)
 i
i 1
Deviazione standard
del campione
N 1
Se si hanno a disposizione poche misure e se si usasse la formula della deviazione
standard di popolazione (usando il valore medio) in generale si ha una sottostima del
valore vero di s.
Notate come in un caso si usa il simbolo s e nell’altro il simbolo s
Moda
Conteggi / 0.05g
Mediana
Media
s
s
FWHM
La deviazione standard è un indicatore della larghezza della distribuzione
s
s
s
s
Distribuzione Verde → s = 1.3
Distribuzione Viola → s = 2
Distribuzione Blu → s = 3
s
s
Moda
Conteggi / 0.05g
Mediana
Media
s
s
FWHM
Da notare che nel caso di dati distribuiti secondo una distribuzione la relazione da
usare come deviazione standard non è quella del lucido precedente
Esempio di plot di dati
Notare che l’unità di misura
è sull’asse delle Y
Esempio di istogramma
Notare che l’unità di misura
è sull’asse delle X
I due plot rappresentano la stessa cosa ma sono totalmente diversi e hanno
un significato totalmente differente
Attenzione
Misure Sperimentali
E’ una lista di N misure della stessa quantità
Ogni valore ha un’unità di misura
Media
xbest
x1  x2  ...  xN
x
N
N
s
( x1  x)  ( x2  x)  ...  ( xN  x)

N 1
2
2
Media = 0.90381 mg  0.90 mg
s = 0.308261 mg  0.31 mg
Xbest = 0.90 ± 0.31 mg
2
 ( x  x)
i 1
i
N 1
2
Attenzione
E’ una lista del numero di misure della lista precedente che cadono all’interno di un
determinato intervallo o classe (p.es. 0.65-0.75 g)
Ogni Classe ha una unità di misura
Media
M
xbest  x 
 x n
i 1
M
i
i
n
i 1
i
M
s
2
n
(
x

x
)
 i i
i 1
N 1
M = numero classi
N = numero misure
Media = 0.90381 mg  0.90 mg
s = 0.308261 mg  0.31 mg
Xbest = 0.90 ± 0.31 mg
Date N misure di una data osservabile fisica (x1, x2, ... xN) e supposte valide le ipotesi 1 e 2
allora la migliore stima della incertezza media delle misure è data dalla deviazione
standard:
Come nel caso del valore medio può essere utile distinguere tra la deviazione standard di
un campione e quella di popolazione.
N
( x1  x)  ( x2  x)  ...  ( x N  x)
s

N 1
2
2
2
 ( x  x)
i 1
2
i
N 1
Deviazione standard
del campione
N
( x1  x) 2  ( x2  x) 2  ...  ( xN  x) 2
s

N
N 
2
(
x

x
)
 i
i 1
N
Deviazione standard
di popolazione
Notate come in un caso si usa il simbolo s e nell’altro il simbolo s per valori di N elevati
(N > 10-30) allora s  s
Teorema
La varianza (il quadrato della deviazione standard della popolazione) può essere
scritta anche come la media dei quadrati meno il quadrato della media
s  x x
2
2
2
s  1 / N  ( xi  x)  1 / N  xi
N
N
2
2
i 1
2
i 1
2
s  x  x  2x  x  x
2
2
2

2
N

 1 /N  x
i 1
2
N
 1 / N  2 xi x
i 1
2
Notate che il teorema vale per la deviazione standard di popolazione (c’e’ N al
denominatore)
Si può dimostrare che:
La media aritmetica rende minima la somma dei quadrati degli scarti (definiti come
xi-) e quindi è un estimatore del valore vero (migliore di altre possibili formule:
moda e mediana ad esempio).
L’errore associato alla media aritmetica (nel caso di molte misure e di una
distribuzione di misure simmetrica attorno al valor medio) tende a zero
all’aumentare del numero di misure
Nell’ipotesi di una distribuzione di Gauss, il valore vero e la deviazione standard
della popolazione corrispondono ai parametri  e s della distribuzione stessa

x   2

Gaussiana  G( x) 
1
2ps
2
2s 2
e
Nell’ipotesi di una distribuzione di Gauss, l’integrale tra s e s è SEMPRE il
68% dell’area della gaussiana

0.68 

dx
2ps 2

x   2

e
2s 2
 s


 s

dx
2ps 2

x   2

e
2s 2
Nota:
• Perché la deviazione standard è sotto radice ?
In questo modo la deviazione standard ha esattamente le stesse unità di misura
della osservabile di cui rappresenta la dispersione. Così la misura e la sua
deviazione standard sono grandezze omogenee
N
Varianza  s 2 
 ( xi   )
N
2
i 1
N

2
(
x

x
)
 i
i 1
N 1
• Perche la differenza tra la misura ed il valor medio è al quadrato ?
Perché è facile dimostrare che è sempre vera la seguente relazione
N
Somma degli scarti   ( xi  x)  0
i 1
Quindi se non elevo al quadrato non ho nessuna informazione utile (ho sempre
zero)
Nota:
Perché nella deviazione standard del campione al denominatore c’e’ N-1 ?
Se ho una sola osservazione x1
x  x1
s

1
x  xi

N 1

2


1
0
x  x1 
1 1
0

Infatti con una sola osservazione non sono in grado di valutare la dispersione e quindi l’incertezza delle mie
misure. Ho una sola misura per determinare il valor medio e non posso calcolare la deviazione standard.
Se avessi usato la relazione dividendo per N
x  x1
s
1
N
 x  x 
2
i



1
x  x1  0
1
Cioè avrei una misura con deviazione standard nulla cioè con incertezza nulla
! Inconsistente !
Nota:
• Perché al denominatore nella deviazione standard del campione c’e’ N-1 ?
Supponiamo di avere N misure indipendenti
Supponiamo di estrarre il valore medio a partire dalle N misure
Allora usando il valor medio e N-1 misure sono in grado di ricavare la misura
‘ennesima’. Infatti
x1  x2  ...  xN
x
N
xN  N x  x1  x2  ...  xN 1 
Quindi l’ennesima misura non è più indipendente
Quindi, se estraggo il valor medio dai dati, ho solo N-1 misure indipendenti
Nota:
• Perché al denominatore nella deviazione standard del campione c’e’ N-1 ?
• Attraverso una trattazione matematicamente più rigorosa è possibile dimostrare che:
• Se dalle N misure si è estratto il valor medio allora la deviazione standard deve
essere estratta dividendo per N-1, si è ‘bruciato’ un grado di libertà*
• Se il valor vero è noto attraverso un’altra via allora la deviazione standard deve
essere calcolata dividendo per N
• Ovviamente tanto più N è grande tanto piu piccola sarà la differenza tra i due valori di
deviazione standard
*Grado di Libertà : Numero di misure indipendenti meno il numero di parametri estratti da
queste misure
Osservazione Importante (Hp di Indipendenza e Ripetibilità Vere)
La deviazione standard è una stima dell’incertezza della singola misura, in altre parole è
una valutazione quantitativa di come si disperdono le singole misure attorno al valore
medio.
Domanda: La deviazione standard è in grado di valutare quanto è vicina al valore vero la
mia misura sperimentale, cioè il valor medio estratto dai dati ?
• La deviazione standard non cambia sostanzialmente con l’aumentare di N
N
s
2
(
x

x
)
 i
i 1
N 1
Se raddoppio il numero di misure in prima approssimazione
raddoppia il numeratore
Se raddoppio il numero di misure raddoppia N
Quindi il valore della deviazione standard non cambia significativamente con il numero di
misure.
Aumentando il numero di misure, tuttavia, sarò in grado di avere una stima più precisa
della dispersione dei dati, cioè della deviazione standard ‘vera’ s
Con l’esperienza dei dadi vedrete direttamente questa fenomenologia.
Moda
Conteggi / 0.05g
Mediana
Media
s
s
FWHM
La deviazione standard è un indicatore della larghezza della distribuzione
100 Misure
250 Misure
1000 Misure
4000 Misure
Aumentando il numero di misure può cambiare l’istogramma ma non cambia il profilo della
distribuzione ne le sue caratteristiche intrinseche. E’ possibile però determinare con piu’ precisione la
forma della distribuzione
Nell’ipotesi di fare un numero infinito di misure ed in assenza di errore sistematico la distribuzione
finale è detta distribuzione limite e il valor medio della distribuzione statistica coincide con il valore
vero della osservabile
Osservazione Importante (Hp di Indipendenza e Ripetibilità Vere)
La deviazione standard è una stima dell’incertezza della singola misura,
A noi interessa trovare una valutazione quantitativa di come si disperdono le singole misure
attorno al valore medio. Posso usare la deviazione standard ?
Nota:
• La deviazione standard è una misura della qualità dell’esperimento (strumentazione +
sperimentatore)
• La deviazione standard può cambiare solo se si cambia strumentazione e/o
sperimentatore
• Se la deviazione standard cambiasse con il numero di misure significherebbe che le misure
non sarebbero più indipendenti tra loro.
In altre parole ci sarebbe memoria del passato
La deviazione standard del campione non necessariamente coincide con quella della
popolazione se le misure sono poche
Osservazione Importante (Hp di Indipendenza e Ripetibilità Vere)
• Allora s o s non possono rappresentare l’errore della misura, infatti mi aspetto che
l’errore diminuisca con l’aumentare del numero di misure N.
• Al più la deviazione standard può rappresentare una sovrastima dell’errore in quanto
non tiene conto del fatto che all’aumentare del numero delle misure il valore
medio si avvicina sempre di più al valore medio
Morale:
La deviazione standard rappresenta la dispersione dei dati attorno al valore medio. Noto il tipo di
distribuzione statistica (ne parleremo in una lezione successiva) è in grado dare una stima
probabilistica del risultato di una singola misura futura.
La deviazione standard NON da una stima dell’errore con cui è stata valutata una osservabile
(solo un estremo superiore). In altre parole, la deviazione standard non è in grado di dare una
valutazione (se non sovrastimata) di quanto il valore medio può distare dal valore vero.
Abbiamo bisogno di una osservabile statistica che mi stimi questa differenza per valutare l’errore
di una misura.
Deviazione Standard della Media
E possibile dimostrare che l’incertezza a cui è soggetto il valore medio è data dal rapporto della
deviazione standard con la radice quadrata del numero di misure effettuate.
Deviazione standard della media  s m  s x 
s
N
Altri nomi della Deviazione Standard della media (SDOM) sono:
• Errore Standard
• Errore Standard della Media
• La Deviazione Standard della media decresce con l’aumentare del numero di misure
• Notate che nelle formule c’e’ la deviazione standard di popolazione s
Nell’ipotesi di:
• Aver effettuato N>10-30 misure della medesima quantità (misure ripetute ed indipendenti).
• NON siano presenti errori sistematici.
C’e’ il 68% di probabilità che il valore xvero sia all’interno dell’intervallo (<x> – sm; <x> + sm).
Il valore <x> è estratto atrraverso il processo di media.
Analogamente per il 95% ed il 99.7% di probabilità con 1.96sm e 3sm
Questo argomento lo riprenderemo con lo studio delle proprietà di una gaussiana
Per comprendere in maniera intuitiva l’origine della deviazione standard della media
• Immaginate di avere un numero infinito di dataset composti ciascuno da N misure di
una osservabile fisica (indipendentemente da come sono distribuiti)
• I dati in ciascun dataset si distribuiranno secondo una distribuzione qualsiasi dalla
quale su potrà estrarre un valor medio ed una deviazione standard
Media
Dev. Std
Media
Dev. Std
Media
Dev. Std
Media
Dev. Std
Media
Dev. Std
• Posso ottenere un numero infinito di valori medi (uno per dataset).
• Costruiamo la distribuzione dei valori medi ottenuti in ciascun dataset.
• Questa distribuzione è sempre una Gaussiana
• Questa distribuzione avrà come valore medio xvero
• Questa distribuzione avrà come deviazione standard la deviazione standard della
media di un singolo dataset
Questo argomento lo riprenderemo con lo studio delle proprietà di una gaussiana
Nota importante
La deviazione dalla media è uno strumento molto utile per valutare il numero
di misure necessarie per ottenere un certo errore. P.es.
Devo misurare una osservabile, una stima a priori mi dice che dovrei ottenere
come valor medio <x> ed una deviazione standard s
Se volessi una incertezza nel valore medio pari all’1% quante misure dovrei
fare ?
sm
x
sm
x
 1%

s
1

 0.01
N x
1 
 s
N 


  x  0.01 
2
Definizioni
Deviazione Standard s
La deviazione standard è una stima dell’incertezza sulla singola misura, in altre
parole è una valutazione quantitativa delle fluttuazioni casuali e quindi di come si
disperdono le singole misure attorno al valore medio.
L’errore sistematico in generale non è una deviazione standard
Deviazione Standard della Media sm
La deviazione standard della media è una stima dell’incertezza sul valor medio,
in altre parole è una valutazione quantitativa di quanto (in assenza di errore
sistematico) <x> è lontano da xvero .
In particolare, esiste il 68% di probabilità che xvero sia all’interno dell’intervallo
<x> – sm; <x> + sm
Questo argomento lo riprenderemo con lo studio delle proprietà di una gaussiana
Nota Importante
Voglio conoscere il valore di una osservabile  attraverso una operazione di misura diretta
Ipotizzo di avere un elevato numero di misure (N> 10-30) indipendenti e ripetibili dell’osservabile.
• Estraggo il valore medio <x> (la migliore stima del valore vero , che non conosco)
• Estraggo la deviazione standard s del campione (la migliore stima di s, che non conosco)
• Estraggo la deviazione dalla media (la migliore stima del mio errore che non conosco non conoscendo s)
• Posso quindi in prima approssimazione affermare che ho il 68% di probabilità che il valore vero sia
nell’intervallo (xmedio ± sm) o il 99.7% che il valore vero sia nell’intervallo (xmedio ± 3sm)
Tuttavia:
• per estrarre la deviazione dalla media devo usare s la deviazione standard di popolazione, che
tuttavia non conosco ma di cui ho una stima (la deviazione standard del campione, s) stima che non
necessariamente è corretta.
• Come posso stimare l’errore della misura se non conosco il valore vero della deviazione standard ?
• Se il numero di misure N è ‘piccolo’ posso aspettarmi che il valore della deviazione standard
del campione possa essere molto differente dal valore vero della deviazione standard
Questo è un problema importante che può essere affrontato introducendo un nuovo concetto chiamato ‘t di
Student’. Vedrete di cosa si tratta nelle prossime lezioni
Questo argomento lo riprenderemo con lo studio delle proprietà di una gaussiana
E’ tutto Chiaro ?
Dovreste aver chiari i seguenti argomenti:
• Indipendenza e Ripetibilità
• Concetto di deviazione standard del campione o di popolazione
• Deviazione standard estratta dai dati e da un istogramma
• Significato statistico della deviazione standard.
• Deviazione standard della media
Istogramma o Distribuzione in frequenza
Se si vuole misurare una osservabile, quindi, è opportuno effettuare più misure. Ciascuna
di queste misure ha, il più delle volte, un risultato differente.
• Il valor medio è la miglior stima del valore vero
• La deviazione standard è la miglior stima dell’incertezza della singola misura
Posso estrarre altre informazioni dalle mie N misure ? E’ molto utile istogrammare i dati !
Misuriamo ad esempio la massa di un oggetto
• Eseguo 21 misure della stessa quantità.
• Ottengo 21 numeri differenti.
• Media = 0.90 g
• s = 0.31 g
N misure  i celle1 yi
n
In questo caso ho tuttavia prodotto un istogramma non del
tutto corretto. Infatti l’area dell’istogramma non porta alcuna
informazione
Esempio di istogramma a passo ‘d’ costante
Nota:
L’asse y ha come unità di
misura ‘Conteggi/0.1 mg ‘
Cioè il numero di misure
che cadono all’interno di
un intervallo pari a 0.1 mg
Nel caso il passo delle celle sia costante in tutto l’istogramma, sull’asse delle y è meglio mettere la
didascalia ‘conteggi / d ‘ dove d è il passo della cella. Nel plot mostrato “conteggi / 0.1 mg”.
Questa dicitura permette di calcolare il numero di conteggi come integrale dell’istogramma e allo
stesso tempo di conoscere il numero di conteggi acquisiti.

ncelle
i 1
yi * di  i 1
ncelle
conteggi (i)
ncelle
* 0.1 g  i 1 conteggi (i)  N misure
0.1 g
Esempio di istogramma con d = 0.15 g
Anche in questo caso

ncelle
i 1
yi * di  i 1
ncelle
conteggi (i)
ncelle
* 0.15 g  i 1 conteggi (i)  N misure  21
0.15 g
Notate che pur essendo i dati gli stessi ho un istogramma differente rispetto a prima
Esempio di istogramma a passo variabile
Nel caso il passo delle celle sia diverso da cella a cella (o perché l’istogramma è stato cosi costruito
oppure perche sono state riuniti i conteggi di più celle per ridurre le fluttuazioni statistiche) allora
bisogna costruire un rettangolo tale per cui l’area (x*y) sia uguale al numero di conteggi
N misure  i celle1 yi * d i  y1 * d1  i celle2 yi * d1  Yn * d n
n
n
N misure  i celle1 yi * d i  1.25
n
1
conteggi
conteggi
n
1
* 0.6  i celle2 yi  1.33
* 0.45
0.15 g
0.15 g
N misure  1.25 * 4  i celle2 yi  1.33 * 3  5  28  4  37
n
1
Definizione Frequenzistica di probabilità
La frequenza relativa tende al crescere del numero di misure alla sua probabilità
Istogramma Normalizzato
Normalizzare un istogramma è fare in modo che il suo integrale abbia valore 1. Per
normalizzare un istogramma devo mettere sull’asse delle y il numero di misure che cadono
nell’intervallo della cella diviso per il numero totale di misure fatte
Il valore ottenuto da una stima della probabilità di ottenere una misura nella cella data (per
esempio ho il 14% che una misura cada tra 0.575 mg e 0.725 mg)

ncelle
i 1
yi
N misure
* di  1
 nk 
lim N     pk
N
Confronto tra un istogramma ed una distribuzione
I dati sperimentali possono solo essere plottati con un istogramma, una previsione teorica o
una distribuzione possono essere una funzione continua (curva) o discreta (istogramma)
Moltissime volte è necessario confrontare i dati sperimentali ottenuti con una previsione
teorica o con una distribuzione statistica (vedi ad esempio i temi d’esame)
E’ ovviamente possibile sovrapporre ad un istogramma normalizzato I(xo) una distribuzione di
probabilità continua (p.es. Gaussiana G(x)) o discreta.
Nel caso di una distribuzione discreta basta usare il medesimo passo d .
Nel caso di una curva o di una distribuzione continua bisogna usare ovviamente le stesse unità
di misura, la difficoltà sta nel trovare la ‘normalizzazione‘ corretta:
1) in prima approssimazione si moltiplica il valore della distribuzione per l’intervallo
associato alla cella (vedi foglio excel nella pagina successiva)
•
Vale solo in certe e ben definite condizioni, in prima approssimazione quando d << s
2) Per un confronto esatto bisogna istogrammare la curva continua eseguendo l’integrale
classe per classe (è quindi necessario usare delle tabelle)
Caso 1  I ( xo ) cfr . G ( xo , s , x) * d
Caso 2  I ( xo ) cfr . P( x0  d / 2  x  x0  d / 2)
P( x0  d / 2  x  x0  d / 2) 
x0  d / 2
 G( x
x0  d / 2
m
, s , x) dx
Lo vedrete in dettaglio nelle lezioni future
La differenza è circa del 2% tra l’integrale e il prodotto G(xo)*d
BOX Plot
E’ una tipologia di plot scarsamente usata un fisica ma usata in molti altri contesti
statistici.
Per fare un BOX plot bisogna dividere i dati in quartili
1 Quartile – intervallo tra la misura minima e quella associata al 25% delle misure
2 Quartile – Intervallo tra la misura associata al 25% dei dati e la Mediana
3 Quartile – Intervallo tra la mediana e la misura associata al 75% dei dati
4 Quartile – Intervallo tra la misura associata al 75% dei dati e la massima
Misure
921
800
774
654
500
482
470
465
451
430
424
410
403
390
376
355
340
300
250
170
151
MAX
1 quartile
2 quartile
Mediana
3 quartile
4 quartile
MIN
Whiskers
E’ tutto Chiaro ?
Dovreste aver chiari i seguenti argomenti:
• Istogramma.
• Costruzione di un istogramma, istogramma normalizzato e distribuzione di probabilità.
• Integrale, normalizzazione e confronto di un istogramma
• Box plot e whiskers
Stima dell’incertezza casuale
Lo strumento usato è la prima sorgente di incertezza
Lo strumento tuttavia non è la sola sorgente di incertezza. Di questo parleremo
diffusamente nelle lezioni successive
Per convenzione si prende come incertezza strumentale di una misura la metà della
sensibilità dello strumento usato per fare la misura stessa. Ricordate che non
necessariamente la sensibilità coincide con la minima suddivisione (anche se in generale
è così)
p.es.
Caso 1
Migliore stima = 36 mm
Incertezza = 0.5 mm
Caso 2
Migliore Stima = 5.3 Volt
Incertezza = 0.3 Volt
Nota:
Poiché è una convenzione potrebbe capitare che in campi specifici o in particolari
protocolli di misura questa regola venga modificata.
Rappresentazione dell’incertezza
Da un punto di vista sperimentale/statistico, è molto differente scrivere:
12. mm
120000 mm
12.0 mm
1.2 105 mm
12.00 mm
12 104 mm
12.000 mm
120 103 mm
Non scrivere una cifra o un decimale nel riportare il valore di una data misura indica
implicitamente l’impossibilità di conoscere il valore della cifra non scritta, e viceversa.
La scrittura 12.0 indica: 12.0
indica un valore non noto
ma non per questo nullo
Il numero di decimali usati per una misura fornisce di per se stesso una stima dell’incertezza
presente.
E’ un errore GRAVE mettere un numero errato di decimali nelle relazioni/schede/scritti
Attenzione:
Quando viene fatto un conto, utilizzando un calcolatore, NON bisogna mai copiare senza
riflettere sul risultato:
Esempio:
Pesiamo insieme tre masse uguali e otteniamo 4.0 grammi. Vogliamo sapere quanto pesa
una massa. Effettuando la divisione 4:3 con la calcolatrice si ottiene 1.333333.
E’ un grave errore copiare senza riflettere il risultato di 1.333333 grammi, un lettore sarà
autorizzato ad assumere che la precisione della vostra misura è del milionesimo di
grammo, cosa non vera.
Il numero di decimali usati per una misura fornisce di per se stesso una stima
dell’incertezza presente, tuttavia non è una rappresentazione soddisfacente della
incertezza di una misura
Attenzione:
Quando viene fatto un conto, utilizzando delle costanti (come ad esempio p, bisogna
sempre usare un numero ‘sufficiente’ di decimali.
Esempio:
Misuriamo il diametro di un tavolo e vogliamo calcolare la sua superficie. Il tavolo ha un
diametro di 123 .31 cm, la sensibilità della misura è pari a 0.30 cm.
S = R2 p
L’uso di un numero troppo basso di decimali nell’uso
di costanti note, puo’ distruggere la precisione della
misura.
Quando usate delle costanti nei vostri conti usate
quanti piu decimali possibile.
Vedremo in seguito come si puo’ estrarre l’errore e
l’incertezza di una misura e quindi scegliere il numero
di decimali corretto (s , sm)
Il risultato di una qualsiasi misura di una osservabile fisica si scrive come:
Valore dell’osservabile = xbest ± s (unità di misura)
Massa = (0.23 ± 0.01) 10-5 Kg
L’incertezza è stata
indicata con s
poichè
successivamene
sarà chiamata
deviazione
standard
Nota: Non ha senso scrivere
X = 12.345689 ± 0.1
X = 12.3 ± 0.137845
X = 12.345689 ± 0.190865
Attenzione ai decimali ogni cifra scritta in una misura ha un preciso significato, le misure
precedenti si scriveranno come:
X = 12.3 ± 0.1
X = 12.3 ± 0.1
X = 12.35 ± 0.19
L’ultima cifra significativa, in qualunque risultato, dovrebbe di solito essere dello stesso
ordine di grandezza (nella stessa posizione decimale) dell’incertezza.
Esercizio:
Scrivete correttamente i risultati delle seguenti misure
123.456789 ± 0.17
11123.456789 ± 345.17
123.456789 ± 0.17908
123.456789 ± 1.17
123.456789 ± 1.1
123.456789 ± 1
123.456789 ± 0.00017
123.456789 ± 0.0017
123.456789 ± 0.017
123.456789 ± 0.170
123.46 ± 0.17
1.112 ± 0.035 104
123.46 ± 0.18
123.5 ± 1.2
123.5 ± 1.1
123 ± 1
123.45679 ± 0.00017
123.4568 ± 0.0017
123.457 ± 0.017
123.46 ± 0.17
Cifre Significative:
Il numero di cifre significative si calcola contando le cifre, a partire dalla prima cifra non nulla,
da sinistra verso destra.
Lo zero non è significativo se è l’ultima cifra alla sinistra (p.es. 0.0012)
Lo zero è significativo se è in mezzo a due cifre non zero oppure se si trova a destra.
2.30 104
 3 cifre significative
0.23 104
 2 cifre significative
0.02 104
 1 cifre significative
2.301 104
 4 cifre significative
• Quando si moltiplicano o si dividono due numeri il risultato non può avere più cifre significative
del fattore meno preciso
• Nelle addizioni e sottrazioni l’ultima cifra significativa del risultato occupa la stessa posizione
relativa dell’ultima cifra significativa degli addendi.
Non e’ quindi importante il numero di cifre significative ma la loro posizione decimale
Esempio:
a = 187.3  4 cifre significative
b = 1234.584  7 cifre significative
a+b = 1421.884  1421.9  5 cifre significative
ATTENZIONE
Le regole sul calcolo delle cifre significative ora viste valgono solo quanto si sommano,
sottraggono, moltiplicano o dividono due numeri. Non valgono nel caso di altre operazioni:
Esempio:
Sen (85°) = 0.996194698
Se dicessi: 85° ha 2 cifre significative: allora
Sen(85°) = 0.99
ma
Arsen (0.99) = 81.9 °
Arsen (0.9961) = 84.9 °
Per riottenere l’angolo di partenza devo utilizzare 4 cifre significative
Il medesimo ragionamento vale per tutte le funzioni trigonometriche, per i logaritmi, per gli
esponenziali .....
NOTA
La regola delle cifre significativa è una rozza approssimazione (limitata alle quattro
operazioni fondamentali) di come è possibile valutare un errore e propagarlo nelle
operazioni matematiche
Nel corso vi verrà spiegata una metodologia piu accurata e rigorosa che DEVE
essere sempre usata
Le regole con le cifre significative è utilissima per una stima veloce, senza l’uso di
matematica sofisticata, di quale possa essere l’incertezza di una misura o di come si
propaga
Esercizi:
Fare le seguenti operazioni usando le cifre significative corrette
Esercizi:
Fare le seguenti operazioni usando le cifre significative corrette
Esercizio:
Uno studente misura l’accelerazione di gravità, g, cinque volte con i seguenti risultati
9.90 m/s2
9.60 m/s2
9.50 m/s2
9.70 m/s2
9.80 m/s2
Trovare il valor medio e la deviazione standard
L’esercizio è molto semplice, i conti anche. L’importante è non sbagliare a digitare i
numeri sulla calcolatrice o fare un errore grossolano nei conti.
Un buon metodo è usare questa tabella, è leggermente più lungo da fare, ma minimizza
gli errori e se presenti permette di identificarli facilmente.
Notate il fatto che la somma degli scarti è zero e il numero di decimali con cui sono stati
espressi valor medio e deviazione standard.
Esercizio:
Calcolare la media e la deviazione standard delle seguenti 30 misure (valori in secondi)
8.16 8.14 8.12 8.16 8.18 8.10 8.18 8.18 8.18 8.24
8.16 8.14 8.17 8.18 8.21 8.12 8.12 8.17 8.06 8.10
8.12 8.10 8.14 8.09 8.16 8.16 8.21 8.14 8.16 8.13
Trovare la percentuale di misure comprese in una deviazione standard dal valor
medio, in due e in tre deviazioni standard
Esercizio:
Calcolare la media e la deviazione standard dei seguenti 30 intervalli temporali (in
secondi)
8.16 8.14 8.12 8.16 8.18 8.10 8.18 8.18 8.18 8.24
8.16 8.14 8.17 8.18 8.21 8.12 8.12 8.17 8.06 8.10
8.12 8.10 8.14 8.09 8.16 8.16 8.21 8.14 8.16 8.13
Fare l’istogramma dei seguenti dati ed estrarre il valor medio e la deviazione standard
usando la relazione per le distribuzioni. Estrarre poi anche la moda e la mediana.
Fare poi la Curva di Probabilità
Calcolo valor medio e deviazione standard al solito modo
Moda = 8.18 s
Mediana = 8.16 s
Nell’istogramma l’area di ciascuna
barra deve corrispondere al
numero di misure presenti in quel
determinato intervallo.
Spesso però sull’asse delle ordinate
dell’istogramma si mette solo il
numero di misure presenti nella classe
Si
NO
SI
Attenzione se devo unire delle classi
Per far questo sull’asse delle ordinate devo rappresentare un rettangolo con la base pari alle
classi che ho sommato e l’altezza pari alla media dei conteggi presenti.
Perche il valor medio e la deviazione standard sono differenti rispetto a quelli
Estratti con le formule classiche ?
Media = 8.149
Sigma = 0.039
La differenza è significativa ?
Media = 8.151
Sigma = 0.041
Esercizi
Calcolare la media e la deviazione standard dei seguenti 3 dataset di 20 misure ciascuno.
Fare l’istogramma e la curva di probabilità dei dati ed estrarre il valor medio e la
deviazione standard usando la relazione per le distribuzioni. Estrarre poi anche la moda e
la mediana
1
2
3
6
5
3
6
9
3
4
2
1
4
9
1
5
3
10
8
6
4
3
4
5
9
2
2
4
10
5
5
3
9
6
7
7
7
4
3
5
4
3
1
2
0
7
8
4
4
5
5
5
5
1
2
2
6
7
7
5
2
4
10