Coefficienti_di_riflessione_e_di_trasmissione
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Onde piane locali Il campo è descrivibile in termini di onde piane TEM locali quando le sue componenti e i parametri costitutivi del mezzo variano “abbastanza lentamente” in funzione delle coordinate spaziali, lentamente spaziali nel senso che subiscono variazioni trascurabili su lunghezze dell’ordine di λ. Si ha: G G G G G G G G G G − jβ0S (r ) − jβ0S (r ) E ( r , ω ) = E0 ( r ) ⋅ e H (r ,ω ) = H 0 (r ) ⋅ e G S ( r ) Funzione Iconale ((*)) Le (*) rappresentano L t d dunque soluzioni l i i delle d ll equazioni i i di Maxwell M ll che h godono (localmente) delle stesse proprietà delle onde piane TEM uniformi. Si parla pertanto di Onde Piane TEM Locali. L’espressione del vettore di Poynting è identica a quella valida per onde piane uniformi: f G 2 G G G E × H * E0 ∇S ˆ ˆ = s con s = S= 2 2η ∇S ⇒ L’Energia si propaga lungo i raggi ottici Come per le onde piane, anche per le onde piane locali si ha che la densità di p potenza ((modulo del vettore di Poynting) y g) vale: 1 G G 2 I (r ) = E0 ( r ) Intensità del raggio 2η Ottica geometrica e disomogeneità concentrate -Le ipotesi su cui si basa l’ottica geometrica cadono in difetto in prossimità di superfici attraverso le quali i parametri costitutivi del mezzo, e quindi i di anche h alcune l d ll componenti delle ti del d l campo, subiscano bi discontinuità di prima specie (disomogeneità concentrate). -Per aggirare il problema si ricorre ancora al concetto di onda piana locale. Si ammette che ciascun raggio incidente sulla superficie di discontinuità abbia punto per punto un comportamento analogo a quello di un’onda piana TEM uniforme avente in tutto lo spazio i le l medesime d i condizioni di i i di incidenza i id che h valgono l l localmente l t per il raggio. i Si ha h quindi: G G G G G G G G G G G G 1 − si ⋅ r − si ⋅ r = sˆi × E i ( r ) Ei ( r ) = Ei 0 ⋅ e H i ( r ) = H i0 ⋅ e η G G G dove si = ai + jbi = (α + j β ) sˆi sˆi direzione di incidenza Allora ogni raggio incidente sulla superficie di discontinuità dà luogo ad un raggio riflesso e ad un raggio trasmesso, le cui direzioni iniziali (sulla superficie di gg di Snell della riflessione e della rifrazione. discontinuità)) sono definite dalle leggi Ottica geometrica e disomogeneità concentrate Il mezzo in cui si propaga l’onda incidente è caratterizzato dai parametri elettromagnetici μ, ε, σ. Inoltre, si possono introdurre σ jω με c L’indice di rifrazione: n = μ 0ε 0 μ L’impedenza L impedenza intrinseca del mezzo: η = εc Nel caso di mezzo privo di perdite e con μ = μ0, si ha: La permittività complessa: ε c = ε + n= ε = εr ε0 questo caso,, si ha: In q σ =0 η= η0 n con η0 = μ0 ε0 η0 impedenza di spazio libero G ⎧⎪α i = 0 ⎧⎪ai = α i sˆi = 0 G ⇒ ⎨ ⇒ ⎨ G ⎪⎩ jbi = jnβ 0 sˆi ⎪⎩ β i = bi = ω με = n β 0 il campo incidente associato all’onda TEM uniforme si può riscrivere come: G G G G G G G − jbi ⋅r − jn β 0 sˆi ⋅r ⎧ Ei ( r ) = Ei 0 ⋅ e = Ei 0 ⋅ e ⎪ G G G G G G ⎨G G n − jbi ⋅r − jn β 0 sˆi ⋅r = H i0 ⋅ e = sˆi × Ei ⎪ H i ( r ) = H i0 ⋅ e η0 ⎩ Esempio 1: riflessione sul terreno ¾In un radiocollegamento, ¾I di ll t in i assenza di ostacoli t li ((naturali t li e non)) edd in i assenza di particolari fenomeni che si generano nell’atmosfera (effetto condotto, inversione termica, ecc…) si hanno due contributi principali: il raggio diretto e quello riflesso dal terreno. terreno 1 d 2 ¾Nel caso di un radiocollegamento siamo sempre in condizioni di campo l t lontano, essendo d soddisfatta ddi f tt la l più iù stringente ti t delle: d ll d>>λ d>>D d>>2D2/ λ p ad un’onda ppiana e ¾In qqueste condizioni ciascun cammino corrisponde uniforme (in realtà un’antenna emette un’onda sferica, che si può però supporre localmente piana) I raggi seguono delle traiettorie rettilinee. ¾Supponendo pp che anche la superficie p del suolo sia localmente ppiana,, il raggio riflesso sul terreno soddisfa la legge della riflessione speculare. Esempio 2: propagazione in presenza di ostacoli In ambienti complessi come quello urbano, l’onda elettromagnetica subisce diverse interazioni con l’ambiente reale di propagazione prima di giungere al ricevitore. ricevitore I meccanismi di propagazione più importanti sono: 1) Riflessione; 2) Trasmissione T i i (Rif i (Rifrazione); ) 3) Diffrazione; 4) [ Diffusione (Diffuse Scattering) ] V Vertex Diff Diffraction i Edge Diffraction Transmission Scattering Reflection Riflessione e trasmissione (caso ideale) ¾ Si consideri un’onda (localmente) piana uniforme che incide sulla superficie di separazione fra 2 mezzi omogenei. Si supponga di che tale superficie sia approssimabile come un piano illimitato. illimitato ¾ Nei casi pratici in cui la superficie di separazione non sia assimilabile ad un piano si tratterà di considerare di volta in volta una porzione abbastanza piccola della superficie da poter essere considerata piana (principio del campo locale). locale) ¾ Si vogliono determinare i coefficienti di riflessione e trasmissione nel caso in cui i 2 mezzi siano caratterizzati da proprietà elettromagnetiche generiche. Si impone la continuità delle componenti tangenti dei campi (elettrico e magnetico) g ) incidente,, riflesso e trasmesso sulla superficie p di separazione, p , supponendo che su questa non vi siano correnti superficiali né impresse né indotte (o siano talmente piccole da poter essere trascurate). [ Si ricordi i di che h nell mezzo 1 vii sono il campo incidente i id t e il campo riflesso, ifl mentre t nell mezzo 2 vi è solo campo trasmesso ] Riflessione/Trasmissione ŝ i Mezzo 1 (μ0 , ε1) X ŝ r θ i : angolo di incidenza θ r : angolo l di riflessi ifl ione θ t : angolo di trasmissione θi θr sˆi : versore onda incident incidentee sˆt : versore onda trasmessa sˆr : versore onda riflessa Mezzo 2 (μ0 , ε2) θt sŝ t Ipotesi: - Mezzi 1 e 2 omogenei [e privi di perdite] - Interfaccia di separazione piana e infinitamente estesa - Onda incidente piana TEM uniforme (nel mezzo 1): G G G G n1 G G 1 − jn1 β 0 sˆi ⋅r Ei = Ei 0 ⋅ e ; H i = sˆi × Ei = sˆi × Ei η1 η0 Nel mezzo 2, si generano due onde piane (riflessa e rifratta) G G G G − sr ⋅r Er = Er 0 ⋅ e G G G G G G G s × Et − st ⋅r Et = Et 0 ⋅ e , Ht = t jωμ 2 G G G sr × Er , Hr = jωμ1 Supponendo S d che h anche h lle onde d riflessa ifl e rifratta if tt siano i piane i TEM uniformi, if i avremo: G G G G G 1 − jn1 β 0 sˆr ⋅r Er = Er 0 ⋅ e , H r = sˆr × Er η G G G 1 G G − jn2 β 0 sˆt ⋅r Et = Et 0 ⋅ e , H t = sˆt × Et η Aq questo p punto, imponiamo p la continuità delle componenti p tangenti g ((τ)) del campo elettrico e magnetico totale attraverso la superficie di discontinuità. A tal fine, è comodo adottare un sistema di riferimento ortogonale Oxyz con ll’asse asse x ortogonale all all’interfaccia interfaccia di separazione fra i 2 mezzi (figura). Si ha: G G G Etτ = Eiτ + Erτ G τ − jn2 β 0 ( sty y + stz z ) G τ − jn1 β 0 ( siy y + siz z ) G τ − jn1 β 0 ( s ry y + s rz z ) Et 0 ⋅ e = Ei 0 ⋅ e + Er 0 ⋅ e ∀ y , z (1) Una espressione analoga vale per il campo magnetico se si trascurano le correnti superficiali: Gτ Gτ Gτ Gτ Gτ Gτ G [ In generale, sarebbe H i + H r − H t = J S × iˆn ] Ht ≅ Hi + H r G τ − jnj 2 β 0 ( sty y + stz z ) G τ − jnj 1 β 0 ( siy y + siz z ) G τ − jnj 1 β 0 ( sry y + srz z ) Ht0 ⋅ e ≅ H i0 ⋅ e + H r0 ⋅ e ∀y , z [ Nota: a rigore, la teoria che si svilupperà nel seguito sarebbe valida solo per mezzi puramente dielettrici. Tuttavia, la si può estendere anche a mezzi “debolmente conduttori” (supponendo che le correnti superficiali siano abbastanza piccole da poter essere trascurate), e in tal caso si può tener conto delle perdite neii mezzii attraverso tt l permittività la itti ità complessa l o l’indice l’i di di rifrazione if i complesso. l ] 1) Leggi della riflessione e della rifrazione Affinché l’espressione (1) sia soddisfatta per ogni y,z deve essere: n1siy = n1sry = n2 sty (2) n1siz = n1srz = n2 stz (3) Dividendo membro a membro si ottiene: siz srz stz = = = k (4) ⇒ sˆi , sˆr , sˆt siy sry sty complanari l i e appartenenti t ti all piano i di equazione z = ky (passante per x e ⊥ alla superficie di separazione) piano di incidenza Aq questo p punto,, è conveniente adottare un riferimento cartesiano ortogonale g tale che il piano di incidenza coincida con il piano xz (figura). Scomponendo i 3 versori di propagazione delle onde incidente, riflessa e trasmessa rispetto agli assi x e z di tale riferimento, si ottiene: ŝ i Allora:⎧ sˆi = − cos θ i ⋅ iˆx + sin θ i ⋅ iˆz ⎪⎪ ⎨ sˆr = cos θ r ⋅ iˆx + sin θ r ⋅ iˆz ⎪ ⎪⎩ sˆt = − cos θ t ⋅ iˆx + sin θ t ⋅ iˆz Mezzo 1 (μ0 , ε1) X ŝ r θi θr Z Mezzo 2 (μ0 , ε2) θt ŝ t Sostituendo le espressioni dei versori nella (3) si ottiene: n1 sin θi = n1 ssin in θ r ⇒ θi = θ r LEGGE DELLA RIFLESSIONE (5) n1 sin θi = n2 sin θt LEGGE DI SNELL (6) Supponiamo che n1,n2 ∈ℜ (mezzi privi di perdite) e n1>n2, dalla legge di Snell della rifrazione si ha: θi < θt. Se si aumenta θi si arriva ad un angolo di trasmissione θt = π/2 p per cui si ha riflessione totale (θi = θc angolo g critico). ) ⎛ n2 ⎞ n1 sin θC = n2 ⇒ θC = arcsin ⎜ ⎟ ⎝ n1 ⎠ Dalla (6), aumentando θi fino a superare θc, si avrebbe: sin θ t > 1 ⇒ cos θ t = 1 − sin 2 θ t = ± j sin 2 θ t − 1 In realtà, anche se per angoli di incidenza maggiori di θc l’onda trasmessa si propaga lungo l’asse z, nel mezzo 2 c’è comunque campo. Infatti: G G G G − jn β − cos θ t x + sin θ t z ) − jn 2 β 0 sˆt ⋅ r Et = Et 0 ⋅ e =Et 0 ⋅ e 2 0 ( e infine: G G −n β Et = Et 0 ⋅ e 2 0 sin i 2 θ t −1 x ⋅ e − jn2 β0 sinθt z Quindi, Quindi: quando si verifica la riflessione totale, nel mezzo 2 si ha un’onda trasmessa che si propaga (con andamento sinusoidale) lungo la superficie di separazione (asse z), mentre essa si attenua in modo esponenziale nella direzione normale alla superficie stessa (asse x). Tale onda è detta onda evanescente. 2) Calcolo dei coefficienti di riflessione e di trasmissione Oltre alla (2) e alla (3) bisogna imporre: Gτ Gτ Gτ ⎪⎧ Ei 0 + Er 0 = Et 0 Gτ G τ (7) ⎨ Gτ ⎪⎩ H i 0 + H r 0 = H t 0 i iˆy (ξˆ , iˆ , sˆ ) , (ξˆ , iˆ , sˆ ) , (ξˆ , iˆ , sˆ ) y i r y r t y sˆi θΙ ξˆr sˆr iˆy θR z Per risolvere questo sistema scomponiamo i campi rispetto ai riferimenti locali rappresentati in figura: i x ξˆ t θΤ iˆy terne ortogonali destrorse ξˆt sˆt Per un’onda piana incidente con polarizzazione generica, si avrà: Allora: G ⎧ Ei 0 = Ei 0ξ ξˆi + Ei 0 y iˆy ⎪⎪ G ⎨ Er 0 = Er 0ξ ξˆr + Er 0 y iˆy (8) ⎪ G ˆ ⎪⎩ Et 0 = Et 0ξ ξt + Et 0 y iˆy G η0 G e ricordando H = sˆ × E : n n1 ⎡ ⎧G ˆy − Ei 0 yξˆi ⎤ = H E i i i ξ 0 0 ⎪ ⎦ η0 ⎣ ⎪ (9) ⎨ ... ⎪ ⎪⎩ ... i iˆy sˆi θΙ ξˆr sŝr iˆy θR z θΤ iˆy Esplicitando ξˆi , ξˆr , ξˆt in funzione di x e z si ha: ⎧ξˆi = sin θ i iˆx + cos θ i iˆz ⎪⎪ ⎨ξˆr = sin θ r iˆx − cos θ r iˆz = sin θ i iˆx − cos θ i iˆz ⎪ˆ ⎪⎩ξt = sin θ t iˆx + cos θ t iˆz x ξˆ (10) ξˆt sˆt G G I campi E e H si possono sempre scomporre nelle due componenti lungo ξˆ e iˆy , descrivendo due soluzioni indipendenti tra loro e mutuamente esclusive, esclusive ma sufficienti, una volta composte, a rappresentare un campo qualsiasi! Si tratta, in pratica, di una scomposizione del campo in 2 polarizzazioni (lineari) ortogonali. Per Per G E // iˆy G E // ξˆ G ⎡e quindi H / / −ξˆ ⎤ si parla di Polarizzazione perpendicolare (TE) ⎣ ⎦ [ rispetto al piano G ⎡e H / / iˆy ⎤ si parla di Polarizzazione parallela (TM) di incidenza ] ⎣ ⎦ ( ) [ TE e TM stanno per “Trasversale Elettrica e “Trasversale Magnetica”, rispettivamente] Nel caso TE e nel caso TM, rispettivamente, il campo incidente viene espresso dalle: Polarizzazione TE: Polarizzazione TM: G TE G − jnβ0 sˆi ⋅r ˆ ⎧ E = Ei 0 y ⋅ e ⋅ iy ⎪ G TE G ⎨ G TE n1 n1 − jnβ0 sˆi ⋅r ⋅ ξˆi = H i 0ξ ξˆi ⎪ H = − η sˆi × E = − η Ei 0 y ⋅ e 0 0 ⎩ G TM G − jnβ 0 sˆi ⋅r ˆ ⎧H = Hi0 y ⋅ e ⋅ iy ⎪ G ⎨ G TM η0 G TE η0 − jnβ0 sˆi ⋅r ⋅ ξˆi = Ei 0ξ ξˆi ⎪ E = n H × sˆi = n H i 0 y ⋅ e ⎩ 1 1 D’altra parte, le componenti dei campi tangenti alla superficie di interfaccia sono rispettivamente, p nel caso di p polarizzazione TE e TM: G TE τ G TE ˆ ˆ E = ix × E × iˆx = E TE y ⋅ iy G TE τ G TE H = iˆx × H × iˆx = H zTE ⋅ iˆz ( ) ( ) ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ( ( ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ G TM E G TM H G TM ˆ = ix × E × iˆx = EzTM ⋅ iˆz G TM τ ˆ = iˆx × H ×iˆx = H TM y ⋅ iy ) ) τ IImponendo d l’uguaglianza l’ li d ll componenti delle ti tangenziali t i li dei d i campii elettrici l tt i i e magnetici che si propagano nei 2 mezzi e sfruttando le (10), si ottiene quindi: 1) Polarizzazione TE: ⎧ Ei 0 y + Er 0 y = Et 0 y ⎨ ⎩Hi0z + H r 0z = Ht 0z 2) Polarizzazione TM: ⎧⎪ H i 0 y + H r 0 y = H t 0 y ⎨ ⎪⎩ Ei 0 z + Er 0 z = Et 0 z ⎧ Ei 0 y + Er 0 y = Et 0 y ⎪ ⎨ n1 n1 n2 ⎪− η Ei 0 y cosθi + η Er 0 y cosθi = − η Et 0 y cosθt 0 0 ⎩ 0 ⎧Hi0 y + H r 0 y = Ht 0 y ⎪ ⎨η0 η0 η0 H cos θ − H cos θ = H t 0 y cos θ t i r0 y i ⎪ n i0 y n1 n2 ⎩ 1 1) POLARIZZAZIONE TE: n1 ( − Ei 0 y cos θ i ) + n1 ( Er 0 y cos θ r ) = n2 ( − Et 0 y cos θ t ) Sostituendo allora la prima eq eq. del sistema nella seconda seconda… −n1 Ei 0 y cosθ i + n1 Er 0 y cos θ r = −n2 ( Ei 0 y + Er 0 y ) cos θ t ⇒ Ei 0 y ( n1 cos θ i − n2 cos θ t ) = Er 0 y ( n1 cos θ i + n2 cos θ t ) Analogamente: Ei 0 y ( n1 cos θ i − n2 cos θ t ) = ( Et 0 y − Ei 0 y ) ( n1 cos θ i + n2 cos θ t ) ⇒ 2 Ei 0 y n1 cos θ i = Et 0 y ( n1 cos θ i + n2 cos θ t ) I coefficienti di riflessione e trasmissione per la polarizzazione TE valgono quindi: ΓTE = Er 0 y Ei 0 y n cosθ i − n2 cos θ t = 1 n1 cos θ i + n2 cos θ t Si noti che risulta: τ TE = 1 + ΓTE τ TE = Et 0 y Ei 0 y = 2n1 cos θ i n1 cos θ i + n2 cos θ t Coefficienti di Fresnel I coeff. di Fresnel si possono esprimere in funzione del solo angolo θi applicando la legge di Snell… 2 2 ⎛n ⎞ n n ⎛n ⎞ sin θt = 1 sin θi ⇒ cos θt = 1 − ⎜ 1 sin θi ⎟ = 1 ⎜ 2 ⎟ − sin 2 θi n2 n2 ⎝ n1 ⎠ ⎝ n2 ⎠ Allora… Allora 2 ΓTE = ⎛n ⎞ n/ 1 cosθ i − n/ 1 ⎜ 2 ⎟ − sin 2 θ i ⎝ n1 ⎠ 2 ⎛n ⎞ n/ 1 cos θ i + n/ 1 ⎜ 2 ⎟ − sin 2 θ i ⎝ n1 ⎠ 2 = ⎛n ⎞ cos θ i − ⎜ 2 ⎟ − sin 2 θ i ⎝ n1 ⎠ 2 ⎛n ⎞ cos θ i + ⎜ 2 ⎟ − sin 2 θ i ⎝ n1 ⎠ Utilizzando l’angolo di elevazione o di radenza θ = π 2 τ TE = 1 + ΓTE − θ i (usato spesso in radiotecnica) 2 ΓTE = ⎛n ⎞ sin θ − ⎜ 2 ⎟ − cos 2 θ ⎝ n1 ⎠ 2 ⎛n ⎞ sin θ + ⎜ 2 ⎟ − cos 2 θ ⎝ n1 ⎠ Analogamente: τ TE = 2sin θ 2 ⎛ n2 ⎞ sin θ + ⎜ ⎟ − cos 2 θ ⎝ n1 ⎠ 2) POLARIZZAZIONE TM: ⎧Hi0 y + H r 0 y = Ht 0 y ⎪ ⎨η0 η0 η0 H cos θ − H cos θ = H t 0 y cos θ t i r0y i ⎪ n i0 y n1 n2 ⎩ 1 ⎧Ht 0 y = Hi0 y + H r 0 y ⎪ η0 η0 ⎨η0 H cos H cos cos θ t ( H i 0 y + H r 0 y ) θ θ − = i r0 y i ⎪ n i0 y n1 n2 ⎩ 1 Dalla seconda, riordinando … ⎛ η0 ⎞ ⎛ η0 ⎞ η0 η0 H i 0 y ⎜ cos θ i − cos θ t ⎟ = H r 0 y ⎜ cos θ i + cos θ t ⎟ n2 n2 ⎝ n1 ⎠ ⎝ n1 ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ n n H i 0 y ⎜ cosθ i − 1 cos θ t ⎟ = H r 0 y ⎜ cos θ i + 1 cos θ t ⎟ n2 n2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 quindi … ΓTM = Hr0 y Hi0 y = Er 0ξ Ei 0ξ 2 = 2 n1 n1 ⎛ n2 ⎞ ⎛ n2 ⎞ n1 2 − ⋅ − cos θ sin θ cos θi − cos θt ⎜ ⎟ i i ⎜ ⎟ n2 n2 ⎝ n1 ⎠ n n2 = = ⋅ ⎝ 1 ⎠2 = 2 n1 ⎛ n2 ⎞ cos θi + cos θt n1 n1 ⎛ n2 ⎞ 2 cos θi + ⋅ n2 ⎜ ⎟ − sin θi ⎜ n ⎟ n2 n2 ⎝ n1 ⎠ ⎝ 1⎠ 2 ⎛ n2 ⎞ ⎛ n2 ⎞ 2 cos θ − − sin θi ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ i ⎝ n1 ⎠ ⎝ n1 ⎠ 2 2 ⎛ n2 ⎞ ⎛ n2 ⎞ 2 cos θ + − sin θi ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ i n n ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠ τ TM = Ht0 y Hi0 y = Er 0ξ Ei 0ξ = 1 + ΓTM Infine, considerando l’angolo di radenza: 2 Γ TM = ⎛ n2 ⎞ ⎛ n2 ⎞ 2 sin θ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − cos θ ⎝ n1 ⎠ ⎝ n1 ⎠ 2 2 ⎛n ⎞ 2 ⎜ 2 ⎟ sin θ ⎝ n1 ⎠ 2 2 ⎛ n2 ⎞ ⎛ n2 ⎞ 2 sin θ + − cos θ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n n ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠ τ TM = 2 2 ⎛ n2 ⎞ ⎛ n2 ⎞ 2 sin θ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − cos θ ⎝ n1 ⎠ ⎝ n1 ⎠ Ponendo n = n2 n1 si possono riscrivere i coefficienti di riflessione come: ΓTE = cos θ i − n 2 − sin 2 θ i ΓTM = cos θ i + n 2 − sin 2 θ i S il mezzo 1 è l’l’aria, Se i risulta i lt n = n2 = 1 0.9 0.8 0.7 06 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 00 ΓTM = cos θ i + ε r − sin θ i 2 εr=81 εr=25 εr=16 εr=9 εr=4 εr=2.56 15 30 45 60 75 Incidence angle θi (°) TE Polarization n 2 cos θ i + n 2 − sin 2 θ i e quindi: i di Reflecttion coeffficient |Γ ΓΤΜ | Reflecttion coeffficient |Γ ΓΤΕ | ΓTE = cos θ i − ε r − sin 2 θ i εr n 2 cos θ i − n 2 − sin 2 θ i 90 1 0.9 0.8 0.7 06 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 00 ε r cos θ i − ε r − sin 2 θ i ε r cos θ i + ε r − sin 2 θ i εr=81 εr=25 εr=16 εr=9 εr=4 εr=2.56 2.56 Brewster’s Angle 15 30 45 60 75 Incidence angle θi (°) TM Polarization 90 Angolo di Brewster • Il coefficiente di riflessione p per la p polarizzazione TM si annulla q quando è soddisfatta la seguente condizione: Γ TM = 0 ⇒ n2 cos θ i = n1 cos θ t • D’altra D’ l parte, dovendo d d essere verificata ifi anche h la l (6), (6) cioè i è la l legge l di Snell S ll della rifrazione, si ha che: n2 cos θ t sin θ i = = (11) n1 cos θ i sin θ t • L’ultima uguaglianza è verificata se e solo se risulta: π θi + θt = (12) 2 Dalla (12) si ricava immediatamente: ⎛π ⎞ cos θ t = cos ⎜ − θ i ⎟ =sin θ i ⎝2 ⎠ E infine, sostituendo l’ultima uguaglianza nella (11) si ottiene: n2 tan θ i = n1 • Angolo di Brewster (rifrazione totale) Per incidenza pari all’angolo di Brewster non si ha riflessione e tutta la potenza dell dell’onda onda incidente passa quindi dal mezzo 1 al mezzo 2. 2 Questa proprietà trova qualche applicazione quando si voglia limitare l’effetto delle riflessioni. Riepilogo Imponendo le condizioni di continuità delle componenti tangenziali all’interfaccia (Eiτ + Erτ = Etτ e Hiτ + Hrτ = Htτ ) si ottengono i noti risultati: ⇒ sˆi , sˆr , sˆt complanari (piano di incidenza) ⇒ Onda riflessa piana uniforme e θi = θr (legge della Riflessione) ⇒ Onda rifratta: - piana evanescente (dissociata) se n1 n2 ⋅ sin θ i ≤ 1 - piana uniforme se n1 n2 ⋅ sin θ i > 1 (n1sinθi = n2sinθt - legge di Snell della Rifrazione ) ⇒ Er= Γ Ei ; Et =τ Ei (Γ : coefficiente ffi i t di riflessione ifl i - τ : coefficiente ffi i t di ttrasmissione) i i ) Coefficienti di riflessione: riepilogo G E y G H G E θR θΙ G E z G H G H y θΙ θR z G E G H x x θΤ θΤ ¾ Polarizzazione TE = campo elettrico polarizzato linearmente in direzione perpendicolare al piano di incidenza 2 ΓTE = ⎛n ⎞ cos θi − ⎜ 2 ⎟ − sin 2 θi ⎝ n1 ⎠ 2 ⎛n ⎞ cos θi + ⎜ 2 ⎟ − sin 2 θi ⎝ n1 ⎠ τ TE = 1 + Γ TE ¾ Polarizzazione TM = campo magnetico polarizzato linearmente in direzione perpendicolare al piano di incidenza ⇒ campo elettrico a polarizzazione lineare nel piano di incidenza ΓTM = 2 2 2 2 ⎛ n2 ⎞ ⎛ n2 ⎞ 2 cos θ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − sin θ i i ⎝ n1 ⎠ ⎝ n1 ⎠ ⎛ n2 ⎞ ⎛ n2 ⎞ 2 ⎜ ⎟ cos θ i + ⎜ ⎟ − sin θ i ⎝ n1 ⎠ ⎝ n1 ⎠ τTM = 1 + Γ TM Campo Elettrico Riflesso/Trasmesso ¾ Onde incidente, riflessa e rifratta piane uniformi ⇒ i raggi seguono delle traiettorie rettilinee. Le onde riflessa e trasmessa hanno le seguenti caratteristiche: ¾ Raggio Riflesso G Er (s ) z s’ ⇒ Direzione di propagazione: legge della riflessione speculare (o principio di Fermat) θΙ θR s QR QR: Punto di riflessione x ⇒ Rappresentazione vettoriale (informazioni su intensità, polarizzazione e fase dell’onda riflessa): G G TE G TM ⎡ΓTE E r ( s ) =E r ( s ) +E r ( s ) = ⎢ ⎣ 0 G TE 0 ⎤ ⎡ Ei ( QR ) ⎤ s′ -jβs ⋅ ⎢ G TM ⋅e ⎥⋅ ⎥ Γ TM ⎦ ⎢⎣ Ei ( QR ) ⎥⎦ s′+s ¾ Raggio Rifratto (Trasmesso) z ⇒ Direzione di propagazione: legge di Snell θΙ s’ QR x θΤ s G Et (s ) ⇒ Rappresentazione vettoriale (informazioni su intensità intensità, polarizzazione e fase dell’onda trasmessa): G G TE G TM ⎡τ E t ( s ) =E t ( s ) +E t ( s ) = ⎢ TE ⎣ 0 G TE ⎡ 0 ⎤ E i ( QR ) ⎤ s′ -jβs jβ G ⋅ ⋅ ⋅ e ⎢ ⎥ τ TM ⎥⎦ ⎢⎣ E iTM ( QR ) ⎥⎦ s′+s
