Termologia.

Prof. Michele Giugliano (Dicembre 2001)
Complementi di
Termologia.
II parte
2.2. - Trasformazione a tre variabili (Equazione di stato dei gas perfetti).
Il riferimento è ancora ai gas ideali o perfetti (quelli che verificano sempre la legge di Boyle Mariotte e le due leggi di Volta e Gay – Lussac).
A) Premesse: Misure delle quantità di gas.
La quantità di gas, che subisce la trasformazione, puòessere valutata sia in kg che in kmole.
In pratica si adoperano ancora, il grammo (g) come unità di misura della massa e la mole (mol)
come unità di misura della quantità di materia; quest’ultima, ossia la mole, spesso viene identificata
con la grammo-molecola (che è invece unità di massa): dal punto di vista pratico ciònon comporta inconvenienti.
Conviene, per chiarire i termini adoperati, ricordare le definizioni di alcune unità di misura
di uso comune.
• La massa molecolare di una sostanza è la massa di una molecola di quella sostanza
1
quando si assume, per unità di massa,
della massa dell'isotopo C12 del carbonio
12
(questa unità è indicata con il simbolo u oppure con amu (atomic mass unit)).
• La grammo-molecola di una sostanza è una quantità di tale sostanza la cui massa, in
grammi, è espressa dallo stesso numero che esprime la sua massa molecolare.
Si dice, brevemente, che la grammo-molecola di una sostanza è la sua massa molecolare espressa in g.
• La mole è la quantità di sostanza di un sistema che contiene tante entità elementari (atomi, molecole,… ) quante sono le molecole contenute in 0,012 kg di carbonio 12 (12C).
Quindi la mole di una qualunque sostanza contiene lo stesso numero di molecole (tante
quante sono contenute in 0,012 kg di carbonio 12).
Tale numero si indica con la lettera N e si chiama numero di Avogadro.
molecole
Si è calcolato che N = 6,023•1023 mole
• Dall’ipotesi di Avogadro (volumi uguali di gas nelle stesse condizioni di temperatura e
pressione contengono lo stesso numero di molecole) segue che moli di gas diversi, nelle
stesse condizioni di temperatura e pressione, occupano lo stesso volume (poiché contengono lo stesso numero di molecole).
In particolare se il gas si trova in condizioni normali (ossia alla temperatura di 0 ° C e alla pressione di un’atmosfera), tale volume è circa di litri 22,421 (volume molare).
• Si dimostra, inoltre, che grammomolecole di gas diversi contengono lo stesso numero N
(N = numero di Avogadro) di molecole e che, di conseguenza, in condizioni normali,
occupano lo stesso volume V = 22,421 litri (volume molare).
1
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
In altre parole: la grammo-molecola è la massa di una mole di sostanza.
•
Come conseguenza possiamo anche affermare che mole e grammomolecola di un
gas, pur essendo grandezze di natura diversa (la mole è una quantità di materia, mentre la grammomolecola è la massa della stessa quantità ), rappresentano la stessa
quantità di materia, e perciò nei nostri ragionamenti potranno essere utilizzate indifferentemente.
B) Equazione di stato dei gas perfetti.
Se indichiamo con V0, p0, rispettivamente, volume e pressione di una certa quantità di gas perfetto alla temperatura di 0 ° C (stato iniziale del gas), con Vt e pt i corrispondenti valori alla temperatura
t, a termine della trasformazione (stato finale), si dimostra che la legge che governa il fenomeno è data
dalla seguente formula:
ptVt = p0V0(1+ αt)
Infatti, immaginiamo che la trasformazione passi attraverso uno stato intermedio ottenuto mediante una trasformazione isobarica che porti il gas alla temperatura finale t, lasciando la pressione costante p0.
In tale caso, questa trasformazione, isobarica, è rappresentata dalla relazione:
V’t = V0(1 + αt),
avendo indicato con V’t il volume finale di questa prima trasformazione (che ovviamente non coincide
con Vt, essendo quest’ultimo il volume finale corrispondente alla pressione finale pt del gas).
Sottoponiamo, ora, il gas ad una trasformazione isotermica, alla temperatura costante t che porti
volume e pressione ai valori finali Vt e pt . Applicando la legge di Boyle, avremo:
Vtpt = V’t p0
Sostituendo, nella precedente, il valore già ricavato prima di V’t , segue infine:
ptVt = p0V0(1+ αt)
Le suddette trasformazioni si possono rappresentare sul piano di Clapeyron (p,V):
p
V
2
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
C) Equazione di Clapeyron dei gas ideali.
Sostituendo nell’equazione di stato, espressa mediante la temperatura t in gradi centigradi, il valore noto di α si ha:
ptVt = p0V0 ( 1 +
pV
1
273,16 + t
t ) = p0V0 (
) = 0 0 ( 273,16 + t ) = RT
273,16
273,16
273,16
avendo posto
p0V0
=R
273,16
o osservando che
273,16 + t = T
Togliendo gli indici a p e V, la formula si puòscrivere:
pV = RT
In parole:
In una generica trasformazione di una determinata quantità di gas ideale, il prodotto pV è direttamente proporzionale alla temperatura assoluta T del gas stesso.
In questa formula R è una costante che dipende dalla natura dei gas e dalle unità di misura adottate
per le grandezze.
I suoi valori, per i diversi gas, sono contenuti in una tabella.
C1) Equazione di Clapeyron dei gas ideali (quantità di gas: una mole).
Se si considera, per il gas in esame, una quantità pari ad una mole (o una grammo-molecola),
allora la costante
pV
R= 0 0
273,16
non dipende più dalla natura del gas, ma solo dalle unità di misura prescelte.
Infatti, per quanto premesso più sopra, i valori assunti da po e V0 sono indipendenti dalla natura
del gas in esame; in altre parole: R è una costante universale (detta appunto costante universale dei
gas perfetti), che assume lo stesso valore per tutti i gas perfetti.
La legge è espressa ancora dalla stessa formula
pV = RT
3
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
In questa formula:
•
R = costante universale dei gas perfetti, indipendente dalla natura del gas .
Il suo valore, nel sistema SI, è : R = 8,315
J
mole ⋅ K
•
T = temperatura assoluta, espressa in gradi kelvin (K).
•
p = pressione del gas, espressa in pascal (Pa);
•
V = volume, espresso in m3.
C2) Equazione di Clapeyron dei gas ideali (quantità : n moli).
E’ evidente che se si considera una quantità di gas pari a n moli (o grammo-molecole), allora il volume V del primo membro diventa n volte maggiore, e quindi anche il secondo membro deve essere
moltiplicato per n.
In definitiva, la formula precedente va sostituita con la seguente:
pV = nRT
(Equazione di Clapeyron dei gas ideali)
2.3. - Trasformazione adiabatica.
Conviene ricordare anche questo tipo di trasformazione (di un gas ideale), molto importante per lo
studio delle macchine termiche.
Si tratta di una trasformazione nella quale non c'è scambio di calore tra un sistema termodinamico
(nel quale avviene la trasformazione) e l'ambiente esterno, ossia Q = 0.
Equazione della trasformazione (detta equazione di Poisson):
pV γ = costante
nella quale γ =
cp
è il rapporto fra calore specifico a pressione costante e quello a volume cocv
stante. Ricordiamo che γ > 1 (perché, come sappiamo, cp > cv).
Il grafico della trasformazione assomiglia alquanto a quello della trasformazione isotermica, ma risulta più inclinato (più ripido) di quello.
4
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com
Per maggior chiarezza rappresentiamo il grafico di una trasformazione adiabatica (è una curva adiabatica), insieme con quello di una trasformazione isotermica (curva isotermica o isoterma).
p
adiabatica
isoterma
P1
O
V
In figura, la curva di sinistra è un'isoterma, quella di destra è un'adiabatica.
Entrambe passano per lo stesso punto P1 (che può essere la stato iniziale di entrambe le
trasformazioni).
5
PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com