DISTRIBUZIONE DI
BERNOULLI
Italo Nofroni
Statistica medica - Facoltà di Medicina
Sapienza - Roma
Abbiamo perciò 8 eventi possibili ed
equiprobabili e solo 3 eventi (TCC, CTC,
CCT) che soddisfano la condizione
richieste
Quindi, ricorrendo al metodo classico
otterremo
P(1Testa su 3 lanci) = 3/8 = 0.375
Si voglia calcolare la probabilità che lanciando 3
monete si abbia solo 1 testa
A questo quesito si può rispondere in due modi.
Definiamo lo spazio degli eventi
CCC, CCT, CTC, TCC, TTC, TCT, CTT, TTT
Gli 8 eventi trovati sono equiprobabili, infatti
ognuno ha una probabilità pari a
(½)(½)(½) = 1/8 = 0.125
Un altro modo di procedere consiste nel
calcolare analiticamente la probabilità
dell’evento richiesto
Soddisfano la nostra richiesta i 3
eventi CCT, CTC, TCC con probabilità
P(CCT) = 0.125
P(CTC) = 0.125
P(TCC) = 0.125
Poiché ciascuno dei tre eventi soddisfa
la richiesta iniziale, per il teorema delle
probabilità totali, la probabilità che si
verifichi uno dei 3 sarà data dalla somma
delle probabilità, ovvero
Entrambi queste procedure, che
portano ovviamente allo stesso
risultato, sono facili da utilizzare
quando le prove (lanci) sono poco
numerose
P(1T su 3 lanci) = 0.125 + 0.125 + 0.125 =
= 0.375
Ma già definire tutte le
permutazioni, ad esempio, di 5 Teste
su 8 lanci diventa molto complicato e
prolisso
1
Il teorema di Bernouilli
A questo problema ha
dato una risposta il
matematico svizzero
Bernoulli (1654 – 1705)
con la formulazione del
suo Teorema che, a sua
volta definisce la
distribuzione detta
appunto di Bernoulli o
binomiale
La probabilità di ottenere K successi
su N prove indipendenti è data da
( NK ) p
K
q(N – K)
La formula si può dividere in 2 parti…
La seconda parte
pK q (N – K)
fornisce la probabilità di una singola
composizioni di eventi formata dalla
disposizione di N elementi (i lanci) a
gruppi di K (i successi)
Siano:
N numero delle prove indipendenti
K numero dei successi nelle N prove
p probabilità di successo in una prova
q probabilità di insuccesso in una prova
p+q=1
La formula si può dividere in 2 parti
La prima individua il coefficiente
binomiale (corrispondente allo sviluppo
del binomio di Newton), che si risolve
nel modo seguente
N!
( KN ) = --------------------K! (N – K)!
(0! = 1)
Il prodotto delle due parti della
formula risulta quindi come
applicazione del Teorema delle
probabilità totali in quanto
fornisce la probabilità di ogni
singola composizione per il numero
delle possibili composizioni
2
Risolviamo ora con il Teorema di
Bernouilli il problema proposto
all’inizio
N=3
K= 1
p = q = 1/2
Avremo quindi
( 31 ) (½)
P(1Testa su 3 lanci) = ?
1
(½)2
=
3x2x1
= ----------- (½)3 = 3(1/8)= 3/8 = 0.375
1x2x1
0,30
0,25
N=8
La distribuzione di Bernoulli assume
diversa forma al variare di p e q
0,20
0,15
0,10
0≤K≤N
0,05
0,00
0
1
2
Se p = q = 1/2 è simmetrica
Se p > q è asimmetrica con coda a
sinistra
Se p < q è asimmetrica con coda a
destra
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
p=q
0,30
0,30
0,25
0,25
0,20
0,20
0,15
0,15
0,10
0,10
0,05
0,05
0,00
0,00
0
1
2
3
4
5
p>q
6
7
8
9
0
1
2
3
8
9
p<q
La distribuzione binoniale presenta
Media = Np
Varianza = Npq
Nel caso si faccia riferimento a
proporzioni, si avrà
Media =
Varianza = pq
3
