CALCOLO DELLE PROBABILITA' I (laurea triennale) / CALCOLO
MODULO
a. a. 2002/2003 (prof. A. Negro) PROGRAMMA D'ESAME
DELLE PROBABILITA'
1°
1) Eventi e probabilità.
Eventi e proposizioni che li descrivono. Sigma-algebre e misure di probabilità. Probabilità classica. Probabilità
e frequenza. Regole elementari di calcolo. Probabilità condizionale. Indipendenza di eventi. Probabilità totale e teorema
di Bayes.
2) Variabili aleatorie reali: discrete, di tipo generale e continue.
V. a. discrete: densità, distribuzione, densità congiunta, indipendenza. Distribuzione binomiale. Enunciato del
teorema del limite integrale di Laplace-De Moivre. Distribuzioni geometrica e binomiale negativa. Distribuzione
ipergeometrica, scambiabilità, limite al crescere della popolazione. Distribuzione di Poisson, come limite di binomiali.
Valor medio, varianza, funzione generatrice dei momenti. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev.
Variabili aleatorie generali: distribuzione, indipendenza, valor medio, varianza, momenti. Disuguaglianze di
Markov e Chebyshev.
V. a. continue, densità e loro uso per il calcolo delle medie. Funzione generatrice dei momenti. Distribuzione
uniforme, normale, di Cauchy, gamma.
3) Densità congiunta. V.a. normali indipendenti e distribuzioni connesse.
Distribuzione e densità congiunta. Calcolo della probabilità di un evento mediante integrazione della densità
congiunta. Covarianza.
Variabili normali indipendenti e loro somme. Somma di v.a. normali indipendenti. Distribuzioni chi-quadro.
Definizione della distribuzione t di Student.
4) La legge dei grandi numeri.
Legge debole dei grandi numeri: teoremi di Markov, Chebyshev, Bernouilli.
Convergenza in probabilità e convergenza quasi certa. Legge forte dei grandi numeri: enunciato del teorema di
Kolmogorov.
5) Funzioni caratteristiche e teoremi centrali del limite.
Definizione e proprietà elementari delle funzioni caratteristiche. Enunciato del teorema di Lévy-Cramér.
Teorema del limite centrale per v. a. indipendenti equidistribuite e teorema del limite integrale di De MoivreLaplace quale corollario. Enunciato del teorema di Liapunov.
Appunti. So di seguito indicate le parti degli appunti dove sono trattati gli argomenti del programma d'esame.
Eventi e probabilità.
Par 1, 3, 3 , 4; par 5 ma non configurazioni in meccanica statistica. Par 6, 7 ; par 8 ma non osservazioni a pag 14 e 15.
Variabili aleatorie discrete.
Par 1, 2, 3; non par 4, tranne enunciato del teorema del limite integrale. Par 5 (solo risultati), par 6, 7, 8, 9, 10 (senza
dimostrazioni). Par 11 (senza metodi analitici di calcolo delle medie e varianze, tranne che per la geometrica), 12.
Variabili aleatorie reali di tipo generale e variabili continue.
Par 1 (senza la dimostrazione a pag 2 e le considerazioni sulla generazione di sigma-algebre da pag 3 a pag 6). Par 2
(solo cenni alla dimostrazione che E(XY)=E(X)E(Y) in caso di indipendenza), 3 (senza dimostrazioni e considerazioni
sulle sigma-algebre) , 5, 6; par 7 (senza dimostrazioni di convergenza), 8, 9, 10. Non par 11 e 12.
Densità congiunta e funzioni di più v.a. reali.
Par 1,2 (senza cambiamento di variabili); par 3 (solo definizione di covarianza, non correlazione e regressione). Non par
4. Par 5, 6, 7 (non stima varianza). Non par 8 e per par 9 solo definizione delle t di Student.
La legge dei grandi numeri.
Par 1, senza dimostrazione, né teorema di Skorohod, par 2, senza teorema di Khinchin, par 3: solo definizione ed
enunciato del teorema di Komogorov a pag 14.
Funzioni caratteristiche e teoremi del limite centrale.
Par 1 , 2, la parte di 4 precedente il teorema di Liapunov.
L'esame consiste in una prova scritta con un giudizio qualitativo e in una prova orale. Si è ammessi all'orale solo se la
prova scritta è sufficiente. Una prova scritta sufficiente non ammette all'orale di appelli successivi.
Il professore ufficiale del corso
A. Negro
