CALCOLO DELLE PROBABILITA' I (laurea triennale)
a. a. 2007/2008 (prof. A. Negro) PROGRAMMA D'ESAME
1) Eventi e probabilità. (Cap.1,Ma non configurazioni in meccanica statistica e non il paragrafo 1.9)
Eventi e proposizioni che li descrivono. Sigma-algebre e misure di probabilità. Probabilità classica (casi
favorevoli e casi possibili). Probabilità e frequenza. Regole elementari di calcolo. Probabilità condizionale.
Indipendenza di eventi. Mutua indipendenza. Indipendenza condizionale. Probabilità totale e teorema di Bayes.
2) Variabili aleatorie reali: discrete, di tipo generale e continue. (Cap.2 , Ma non per. 2.4 e non metodo analitico per
binomiale negativa a pag.41; Cap.3, Ma non complementi alle pagg. 49-52)
V. a. discrete: densità, distribuzione, densità congiunta, indipendenza. Distribuzione binomiale. Distribuzioni
geometrica e binomiale negativa. Distribuzione ipergeometrica (punto di vista delle estrazioni in blocco e delle
estrazioni successive), scambiabilità, limite al crescere della popolazione. Distribuzione di Poisson, come limite di
binomiali. Valor medio, varianza, funzione generatrice dei momenti. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev.
Variabili aleatorie generali: distribuzione, indipendenza, valor medio, varianza, momenti, funzione generatrice
dei momenti. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev.
V. a. continue, densità e loro uso per il calcolo delle medie. Distribuzione uniforme, normale, di Cauchy,
gamma, esponenziale. Relazione tra la distribuzione di Poisson e quella esponenziale
3) Distribuzione congiunta. V.a. normali indipendenti e distribuzioni connesse. (Cap. 4, ma non correlazione, non par.
4.4, 4.8, 4.9,4.10)
Distribuzione e densità congiunta. Calcolo della probabilità di un evento mediante integrazione della densità
congiunta. Covarianza.
Variabili normali indipendenti e loro somme. Distribuzioni chi-quadro. Cenni sulla stima della media o della
varianza di una distribuzione normale.
4) La legge dei grandi numeri. (Cap. 6, ma non complementi a pagg. 104-105, non dimostrazione del teorema di
Kinchin; del par 4.6 solo definizione di legge forte ed enunciato del teorema di Kolmogorov)
Convergenza in distribuzione, in probabilità e convergenza quasi certa.
Legge debole dei grandi numeri: teoremi di Markov, Chebyshev. Il caso particolare di DeMoivre-Laplace.
Enunciato del teorema di Kolmogorov sulla legge forte.
5) Funzioni caratteristiche e teoremi centrali del limite. (Cap. 5, Ma non contro esempi a pagg. 101-102)
Definizione e proprietà elementari delle funzioni caratteristiche. Enunciato del teorema di Lévy-Cramér.
Teorema del limite centrale per v. a. indipendenti equidistribuite. Enunciato del teorema di Liapounov.
Testoni riferimento: A.Negro, Elementi di Calcolo delle Probabilità, Quaderno Didattico del Dipartimento di
Matematica N. 33, Aprile 2005.
L'esame consiste in una prova scritta nella quale compariranno sia domande sulla teoria, richieste di dimostrazioni e
presentazione articolata di risultati secondo il programma d’esame, sia esercizi del tipo di quelli presentati nelle
esercitazioni del corso. Inoltre è prevista una prova orale, generalmente molto breve, ma più impegnativa per chi aspira
a votazioni eccellenti o ha svolto uno scritto ai limiti della sufficienza.
Il professore ufficiale del corso
Angelo Negro
