MATEMATICA
a.a. 2014/15
3. DERIVATE:
Funzioni algebriche e trascendenti. Derivate di funzioni e
operazioni algebriche.
Funzioni composte.
Equazione retta tangente
Teorema di de l’Hopital
Definizione
Una funzione si dice derivabile in un punto x se esiste la derivata f’(x). Affinché una
funzione sia derivabile in x occorre quindi che siano verificate le seguenti condizioni:
1. La funzione è definita in un intorno del punto x
2. Esiste il limite del rapporto incrementale, relativo a x, per h che tende a 0, cioè esiste
il limite destro e il limite sinistro di tale rapporto e tali limiti coincidono
3. Questo limite è un numero finito.
Continuità e derivabilità
TEOREMA Se una funzione f(x) è derivabile nel punto x0, allora la funzione f(x) è
anche continua in x0
Ipotesi:
lim
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h →0
h
= f ′ ( x0 )
Tesi:
lim f ( x ) = f ( x0 )
x → x0
DIMOSTRAZIONE
Scriviamo la relazione:
f ( x0 + h ) = f ( x0 ) +
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h
⋅h
che, svolgendo i calcoli, risulta un’identità.
Calcoliamo il limite per h→0 di entrambi i membri, ricordando che il limite di una somma
è uguale alla somma dei limiti:
lim f ( x0 + h ) = lim f ( x0 ) + lim
h →0
h →0
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h
⋅h
Al secondo membro si ha: lim f ( x0 ) = f ( x0 ) poiché il limite di una costante è la costante
h →0
stessa.
Continuità e derivabilità
DIMOSTRAZIONE
Inoltre, essendo il limite di un prodotto uguale al prodotto dei limiti e ricordando l’ipotesi:
lim
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
h
⋅ h = f ′ ( x0 ) ⋅ 0 = 0
Quindi, sostituendo nel secondo membro, il limite iniziale diventa:
lim f ( x0 + h ) = f ( x0 ) + f ′ ( x0 ) ⋅ 0
h →0
lim f ( x0 + h ) = f ( x0 )
h →0
Posto x0+h=x, se h→0, si ha che x→x0. Sostituendo nella relazione precedente, si può
concludere che la funzione f(x) è continua in x0, in quanto:
lim f ( x ) = f ( x0 )
x → x0
Il teorema dimostrato non è invertibile: la continuità di una funzione è condizione necessaria ma non sufficiente per la sua derivabilità.
Calcolo di derivate: funzioni algebriche
Sia f: R → R la funzione lineare f(x)=mx+n. In questo caso il rapporto incrementale in
x ∈ R è dato da:
f ( x + h) − f ( x)
h
=
m ( x + h ) + n − ( mx + n )
h
=
mh
=m
h
In particolare, il rapporto incrementale non dipende da h (né da x) per cui chiaramente
ammette limite (finito uguale a m) per h →0. Quindi:
f ( x ) = mx + n ⇒ f ′ ( x ) ≡ m
Le funzioni lineari (sono derivabili e) hanno derivata costante, uguale al coefficiente
angolare.
f ( x ) = 3x + 2
f ( x ) = 5x
f ′( x) = 3
f ′( x) = 5
Calcolo di derivate: funzione potenza
Consideriamo ora la derivata di una funzione potenza del tipo:
f ( x ) = axk
∀k ∈ R,x>0
La derivata sarà ancora una funzione potenza con esponente diminuito di 1 e
coefficiente moltiplicato per l’esponente:
k −1
′
f ( x) = k ⋅ a ⋅ x
Nel caso particolare
f (x) =
1
k=
n
n
cioè
f ( x ) = 3x ⇒ f ′ ( x ) = 3 ⋅ 3 ⋅ x
3
f ( x) = x → f ( x) = n x
x ⇒ f ′( x) =
f ( x ) = 6 x4 ⇒ f ′ ( x ) = 6 ⋅ 4 ⋅ x3
2
1
n
1
n > 0, x > 0
n n x n −1
f ( x) =
:
5
x ⇒ f ′( x) =
1
5 5 x4
Calcolo di derivate: funzione esponenziale
La derivata della funzione esponenziale f ( x ) = a x
a x ′ = a x ⋅ ln a
Applicando la definizione di derivata alla funzione f(x)=ax, si ottiene:
f ′ ( x ) = lim
f ( x + h) − f ( x)
h →0
= lim
h →0
h
a x ( ah − 1)
h
ax+h − ax
= lim
=
h →0
h
ah − 1 x
= lim a ⋅ lim
= a ln a
h →0
h →0
h
x
La derivata della funzione esponenziale con base e sarà:
ex ′ = ex
La funzione esponenziale di base e coincide con la propria derivata.
Limite notevole
ax −1
= ln a a ∈ R+
x →0
x
lim
Calcolo di derivate: funzioni logaritmiche
La derivata della funzione
loga x :
1
′
[loga x] = ⋅ loga e
x
In particolare per a=e si ha che la derivata del logaritmo naturale (base e)
corrisponde a:
1
′
[ln x] =
x
Calcolo di derivate: derivata di somma di funzioni
La funzione lineare f(x)=mx+n è un esempio di somma di due funzioni: la funzione mx e
la funzione costante n. Anche i polinomi possono essere visti come somma di funzioni
potenza. E’ possibile calcolare la derivata della somma di due funzioni partendo
dalla derivata degli addendi.
TEOREMA. La derivata della somma algebrica di due o più funzioni derivabili è uguale
alla somma algebrica delle derivate delle singole funzioni:
f ( x ) + g ( x ) ′ = f ′ ( x ) + g ′ ( x )
Calcolo di derivate: derivata di somma di funzioni
TEOREMA
f ( x ) + g ( x ) ′ = f ′ ( x ) + g ′ ( x )
DIMOSTRAZIONE. Scriviamo innanzitutto il rapporto incrementale della funzione
relativo ad un generico punto x del suo insieme di definizione:
∆y f ( x + h ) + g ( x + h ) − f ( x ) + g ( x ) f ( x + h ) + g ( x + h ) − ( f ( x ) + g ( x ) )
=
=
=
∆x
h
h
f ( x + h) − f ( x) g ( x + h) − g ( x)
=
+
h
h
Se f e g sono derivabili nel punto x, passando al limite per h →0 e ricordando che il
limite della somma è uguale alla somma dei limiti otteniamo:
f ( x + h) − f ( x )
g ( x + h) − g ( x )
∆y
= lim
+ lim
∆x →0 ∆x
h →0
h →0
h
h
y′ = lim
per definizione di derivata delle funzioni f(x) e g(x) che, per ipotesi, sappiamo essere
derivabili. Pertanto:
f ( x ) + g ( x ) ′ = f ′ ( x ) + g ′ ( x )
Calcolo di derivate: derivata di somma di funzioni
In particolare se g(x)=c, con c costante, derivando la funzione:
y = f ( x) + c
si otterrà:
y′ = f ′ ( x ) + 0 = f ′ ( x )
potendo così affermare che una costante additiva viene eliminata nella derivazione.
y=x +x
3
2
2
′
y = 3x + 2 x
Calcolo di derivate: funzioni algebriche
f ( x ) = ax + bx + c . Una
Si consideri ora una funzione quadratica del tipo:
funzione quadratica può essere vista come somma di una funzione potenza (ax2)
e di una funzione lineare (bx+c). Siccome la derivata della somma è uguale alla
somma delle derivate e ricordando come si calcola la derivata di funzioni lineari, per
trovare la derivata di una funzione quadratica ci basta saper calcolare la derivata
della funzione ax2. Scriviamo il rapporto incrementale:
2
a ( x + h ) − ax2
2
h
=
a ( x2 + 2hx + h2 ) − ax2
h
2ahx + ah2
=
= 2ax + ah
h
Anche in questo caso abbiamo semplificato il rapporto incrementale in modo da
poter calcolare il limite per h→0. Infatti:
lim ( 2ax + ah ) = 2ax
h →0
d
ax2 ) = 2ax
(
dx
Si è ottenuta la seguente formula per la derivazione delle funzioni quadratiche:
f ( x) = ax2 + bx + c ⇒
f ′ ( x ) = 2ax + b
Calcolo di derivate: funzioni algebriche
Per una qualsiasi funzione polinomiale si avrà:
f ′ ( an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ) = nan xn−1 + ( n − 1) an−1 xn−2 + ... + a1
f ( x) = x4 + 3x3 + 8x2 + x + 2
f ′( x) = ?
f ( x) = x 3 − 3 x 2 + x − 1
f ′(x) = ?
Calcolo di derivate: funzioni algebriche
In maniera analoga alla somma, si ricava che:
f ( x ) − g ( x ) ′ = f ′ ( x ) − g ′ ( x )
cioè: se f(x) e g(x) sono derivabili in x, anche la funzione y= [f(x)-g(x)] è derivabile
in x, e la derivata della differenza è uguale alla differenza delle derivate.
y = 3x − 2 x
4
2
3
′
y = 12 x − 4 x
Derivata del prodotto di due funzioni
TEOREMA: Se f(x) e g(x) sono derivabili in x allora la funzione y=[f(x)g(x)] è derivabile
in x e la derivata del prodotto delle due funzioni sarà:
f ( x ) ⋅ g ( x ) ′ = f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ′ ( x )
In particolare se g≡c è una funzione costante si ha:
c ⋅ f ( x ) ′ = c ⋅ f ′ ( x )
cioè la derivata del prodotto di una costante è uguale al prodotto della costante per la
derivata della funzione, poiché le funzioni costante hanno derivata identicamente nulla.
y = ( 2 + x2 ) ( 3x + 5) → y′ = 2 x ( 3x + 5) + ( 2 + x2 ) ⋅ 3 = 9x2 + 10 x + 6
2
2
′
y = x = x ⋅ x , ⇒ y = 1 ⋅ x + x ⋅ 2 x = 3x
3
2
Derivata del quoziente di due funzioni
TEOREMA. La derivata del quoziente di due funzioni derivabili f(x) e g(x), con funzione
divisore g(x) non nulla, è uguale a una frazione che ha:
• per numeratore la differenza fra la derivata del dividendo moltiplicata per il divisore
non derivato e il dividendo non derivato moltiplicato per la derivata del divisore;
• per denominatore il quadrato del divisore.
Si avrà:
f ( x ) ′ f ′ ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x )
con g ( x ) ≠ 0
=
2
g ( x)
g ( x)
DIMOSTRAZIONE
Consideriamo la funzione quoziente come prodotto di due funzioni:
1
y = f ( x) ⋅
g ( x)
Derivata del quoziente di due funzioni
DIMOSTRAZIONE
Applichiamo la regola della derivata di un prodotto:
f ( x)
1
1
1
D
+ f ( x) ⋅ D
= D f ( x) ⋅
= f ′( x) ⋅
g ( x )
g ( x)
g ( x )
g ( x )
Applicando quindi la regola della derivata del reciproco di una funzione:
1
g′ ( x)
D
con g ( x ) ≠ 0
=− 2
g ( x)
g ( x )
Si ottiene:
f ( x)
−g ′ ( x)
1
D
+ f ( x) ⋅ 2
= f ′( x) ⋅
g ( x)
g ( x )
g ( x )
Derivata del quoziente di due funzioni
DIMOSTRAZIONE
Riduciamo allo stesso denominatore e concludiamo:
f ( x) f ′ ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g′( x)
D
=
2
g
x
g
( x)
( )
Esempi:
2
2
3x2 − 1 6 x ( x + x ) − ( 2 x + 1) ⋅ ( 3x − 1) 6 x3 + 6x2 − 6x3 + 2 x − 3x2 + 1 3x2 + 2 x + 1
y=
= 2
=
=
=
2
2
2
2
2
2
g ( x) x + x
( x + x)
( x + x)
( x + x)
f ( x)
6x ( 2x − 2) − ( 3x2 + 1) 2 12x2 −12x − 6 x2 − 2 2 ( 3x2 − 6 x − 1) ( 3x2 − 6 x − 1)
3x2 + 1 3x2 + 1
y=
=
=
⇒ y′ =
=
=
=
2
2
2
2
g ( x ) 2x − 2 2 ( x −1)
4 ( x − 1)
4 ( x − 1)
4 ( x −1)
2 ( x −1)
f ( x)
Calcolo di derivate
f ( x) = x p / q
Derivata di funzioni della forma:
p [ p q −1]
f ( x) = x
q
'
3
f ( x) = x3/2
1
3 2 −1 3 2 3
= x =
f ′( x) = x
x
2
2
2
Calcolo di derivate – FUNZIONI COMPOSTE
Definiamo z=g(x) una funzione della variabile x, dal dominio A al codominio B e sia
y=f(z) una funzione della variabile z, dal dominio B al codominio C.
La funzione y=f(g(x)) è una funzione composta (o funzione di funzione) perché y è
funzione di t, che a sua volta è funzione di x.
x
z=g(x)
y=f(z)
y=f(g(x))
TEOREMA. Se la funzione g è derivabile nel punto x e la funzione f è derivabile nel
punto z=g(x), allora la funzione composta y=f(g(x)) è derivabile in x e la sua derivata è il
prodotto delle derivate di f rispetto a z e di g rispetto a x:
D [ f ( g ( x))] = f ′ ( z ) ⋅ g ′ ( x ) , con z = g ( x)
Calcolo di derivate – FUNZIONI COMPOSTE
ESEMPIO
y = ( 2 x − 3x + x − 1)
3
2
4
in cui consideriamo:
z=g(x)=2 x3 − 3x2 + x − 1 e y = f ( z) = z 4
Per la formula di derivazione della funzione composta, otteniamo:
y′ = 4 z 3 ⋅ z ′, dove z ′ = 6 x2 − 6 x + 1
Sostituendo:
y′ = 4 ⋅ ( 2 x − 3x + x − 1) ⋅ ( 6 x2 − 6 x + 1)
3
2
3
Calcolo di derivate – FUNZIONI COMPOSTE
Generalizzando:
α
α −1
y = f ( x) = α ⋅ f ( x)
y = ( 8x − 6 x
3
⋅ f ′( x)
)
2 10
z = g ( x) = ( 8x3 − 6 x2 ) f ( z) = z10
f ′( z) = 10 z9 ⋅ z′ dove z′ = ( 24 x2 − 12 x )
y′ = f ′( z) ⋅ g ′( x) = 10 ( 8x − 6 x
3
)
2 9
⋅ ( 24 x2 − 12 x )
Calcolo di derivate – FUNZIONI COMPOSTE
y=e
y=e
x3 + 2 x
:
f ( x)
= f ′( x) ⋅ e
f ( z) = e
z = g ( x) = x + 2 x
z
f ′( z) = e
3
z
( x + 2 x)
y′ = f ′( z) ⋅ g ′( x) = e
3
f ( x)
z ′ = g ′ ( x ) = ( 3x + 2 )
2
⋅ ( 3x + 2 )
2
Calcolo di derivate: funzioni trascendenti
Se f è una funzione derivabile sempre positiva, allora log f(x) è derivabile, e la formula
di derivazione di una funzione composta ci dice che:
D loga f ( x ) =
f ′( x)
f ( x)
⋅ loga e
Nel caso del logaritmo naturale (base e):
D ln f ( x ) =
f ( x) = ln ( x + 3)
2
f ′ ( x)
f ( x)
2x
→ f ′ ( x) = 2
x +3
Calcolo di derivate: funzioni trascendenti
Per calcolare la derivata di funzioni esponenziali con base qualsiasi si procederà come:
a f ( x ) ′ = f ′( x) ⋅ a f ( x ) ⋅ ln a
x2 + 7 x
f ( x) = 5
f ′ ( x ) = ( 2x + 7) ⋅ 5
x2 + 7 x
⋅ ln 5
Usando la formula di derivazione composta possiamo calcolare la derivata di funzioni
della forma exp(f), con f derivabile, ottenendo:
e f ( x ) ′ = f ′ ( x ) ⋅ e f ( x)
3 x2 + 2
f ( x) = e
3 x2 + 2
= 6x ⋅ e
Esercizi:
Calcolare la derivata delle seguenti funzioni:
1. y = 8x + 5
4. y = e
x −2
7. y = e ⋅ ln x
x
10. y = x + 1
4
4
3x + 4
2. y =
2x −1
5. y = ( 3 − 4 x ) ( x − 3x + 1)
2
8. y =
2ln (1 − x2 )
x
11. y = 3 x3 − 3x
1 3 2
3. y = x − x + x
3
6. y = e
x2 + 3
2x
9. y =
3− x
La retta tangente al grafico di una funzione
Data la funzione y=f(x), l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (x0; y0),
quando esiste e non è parallela all’asse y, è nella forma:
y − f ( x0 ) = f ′ ( x0 )( x − x0 )
La retta tangente al grafico di una funzione
ESERCIZIO: Determinare l’equazione della retta tangente alla curva f(x)
f ( x) = log ( x + 1)
nel punto x0=9
Svolgimento:
Avendo la retta tangente equazione:
y − f ( x0 ) = f ′ ( x0 )( x − x0 )
1. Determino il valore della funzione in x0:
2. Calcolo la derivata prima di f(x):
f ( x0 ) = log ( x0 + 1) = log10 = 1
f ′( x) =
1
⋅ log e
x +1
3. Determino il valore della derivata prima in x0
1
log e
f ′( x0 ) = ⋅ log e =
10
10
4. Ottengo a questo punto l’equazione della retta tangente:
log e
y −1 =
⋅ ( x − 9)
10
y − f ( x0 ) = f ′ ( x0 )( x − x0 )
y=
log e 9log10 e
+ 1
x −
10
10
Esercizi:
Determinare l’equazione della retta tangente alla curva nel punto x0:
1. y = 4 x3 ; x0 = −1
3. y = x − 2 x0 = 6
x+2
2. y =
x0 = −1
x
4. y = ex
y = f ′ ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 )
x0 = 0
Derivate e teorema di de l’Hopital
Teorema di de l’Hopital. Siano date due funzioni f(x) e g(x) che supponiamo definite e
derivabili in tutti i punti di un intorno I del punto c (finito o infinito), escluso al più c
stesso. Supponiamo inoltre che il limite del rapporto delle due funzioni ossia: f, g due
funzioni derivabili nell’intervallo aperto (a,b), escluso al più il punto x0, tali che:
f ( x)
lim
x →c g ( x)
0
∞
si presenti in una forma indeterminata del tipo oppure e infine sia g‘(x)≠0
∞
0
in tutti i punti di I, escluso al più x=c.
In tali ipotesi, se esiste il limite per x→c del rapporto delle derivate, ossia:
f ′( x)
lim
x →c g ′ ( x )
allora esiste anche il limite del rapporto delle funzioni ed è:
f ′( x)
f ( x)
lim
= lim
x →c g ( x)
x →c g ′ ( x )
Derivate e teorema di de l’Hopital
lim
ln (1 + x )
x →0
x
=1
e −1
lim
=1
x →0
x
lim
x →0
(1 + x )
x
δ ( x)
δ
g ( x) = x
δ ( x)
f ′ ( x)
f ( x)
=
1
(1 + x )
lim
=1
x →0
α −1
f ( x) = (1 + x ) − 1 f ′ ( x ) = α (1 + x )
=α
g ( x) = x g ′ ( x ) = 1
1
(1 + x )
1
=1
ex
lim = 1
x →0 1
g ( x) = x g ′ ( x ) = 1
α
−1
=
f ( x) = e x − 1 f ′ ( x ) = e x
x
α
δ
f ( x) = ln (1 + x )
⋅1
α −1
lim
x →0
α (1 + x )
1
=α
Derivate e teorema di de l’Hopital
ln x
lim 5 = 0
x →+∞ x
f ( x) = ln x
g ( x) = x 5
f ′( x) =
1
x
g ′ ( x ) = 5x4
ex
ex
ex
lim 2 = lim
= lim = +∞
x →+∞ x
x →+∞ 2 x
2
1x
1
lim 4 = 5 = 0
x →+∞ 5 x
5x
Per fissare le idee:
1.
2.
3.
4.
Per fissare le idee:
