q - UNISA

STRUTTURA DELLE RETI SOCIALI
A.A. 2014/15
GAME THEORY
Docente: Vincenzo Auletta
GAME THEORY
Network Science si occupa della connettività dei
sistemi sociali, naturali e tecnologici
— 
— 
Struttura dei collegamenti (teoria dei grafi)
Interdipendenza tra i comportamenti dei singoli
componenti (teoria dei giochi)
¢  La
Teoria dei Giochi fornisce modelli e strumenti
matematici per descrivere il comportamento di
agenti che devono prendere decisioni in situazioni
in cui le loro azioni si influenzano vicendevolmente
¢  La
Teoria dei Giochi è nata negli anni 30 e si è
sviluppata negli anni 40-50
— 
— 
Sviluppata soprattutto in ambito economico
Recentemente sta trovando applicazione in tantissimi
campi
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
¢  La
1
PERCHÈ UTILIZZARE LA TEORIA DEI GIOCHI?
Teoria dei Giochi ci permette di modellare
diverse situazioni
— 
— 
— 
— 
— 
Definire i prezzi di un nuovo prodotto
Decidere quali relazioni sociali mantenere
Scegliere il percorso da seguire in una rete di trasporto
Decidere l’offerta da fare in un’asta
Decidere se utilizzare sostanze dopanti
¢  Alcune
idee della Teoria dei Giochi trovano
applicazione anche in situazioni in cui non ci sono
individui che prendono decisioni
— 
— 
Es. Biologia evolutiva
Quali comportamenti tendono a autosostenersi quando
utilizzati nell’ambito di una popolazione più numerosa?
v 
Ne parleremo nelle prossime lezioni
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
¢  La
2
IPOTESI OPERATIVE
¢  gli
— 
Ogni agente ha il proprio obiettivo e cerca di
raggiungerlo
¢  Gli
— 
agenti sono razionali
Sono in grado di discernere cosa e meglio per loro
¢  Gli
— 
agenti sono egoisti
agenti ragionano strategicamente
tengono conto della loro conoscenza o aspettativa sul
comportamento degli altri agenti
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
La Teoria dei Giochi assume che i giocatori sono
egoisti e razionali e ragionano strategicamente
3
COS’È UN GIOCO?
— 
— 
gioco è una situazione in cui
Singoli giocatori devono prendere decisioni
Il payoff ottenuto da un giocatore dipende anche dalle decisioni
degli altri giocatori
¢  Molti
degli esempi utilizzati sono effettivamente dei
giochi ...
— 
¢  ...
Tick-tack-toe, scacchi, morra cinese, penalty game
Ma il modello si applica a contesti molto più ampi
¢  Un
— 
— 
— 
gioco è costituito da
insieme dei giocatori
insieme delle alternative tra cui può scegliere ciascun giocatore
Una funzione che fornisce il payoff ricevuto da ciascun giocatore
in base alle scelte di tutti i giocatori
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
¢  Un
4
CLASSIFICAZIONE DEI GIOCHI
5
— 
— 
¢ 
non-cooperative games: ogni agente decide senza interagire con gli altri giocatori
cooperative games: gli agenti cooperano per decidere il loro comportamento per
massimizzare l’utilita globale
informazione
— 
perfect (full) information games: gli agenti hanno una conoscenza completa del
gioco
v 
— 
¢ 
conoscono le mosse degli altri, sanno che anche gli altri le conoscono e sanno che gli altri
sanno di sapere e così via
imperfect (partial) information games: i giocatori hanno una conoscenza parziale
del gioco
tempo
— 
strategic (normal) games: i giocatori decidono la strategia prima di iniziare a
giocare e non la possono più modificare
v 
— 
La strategia puo consistere di varie mosse
extensive games: gioco in fasi, dove ad ogni fase un giocatore decide in base alla
sua conoscenza dello stato attuale del gioco e alla storia passata
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
In questo corso distingueremo i giochi rispetto a tre criteri
¢  cooperazione
UN GIOCO IN FORMA STRATEGICA
gioco in forma strategica è una tripla (N,
(Ai)i, (ui)i)
— 
— 
— 
N = insieme dei giocatori
Ai = insieme delle alternative tra cui può scegliere il
giocatore i
ui è la funzione che fornisce il payoff ricevuto dal
giocatore in base alle scelte di tutti i giocatori
¢  I
profili del gioco sono l’insieme delle scelte che
possono fare i giocatori
¢  Una
— 
soluzione è un profilo del gioco
La soluzione definisce il payoff di ogni giocatore
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
¢  Un
6
UN ESEMPIO
7
e Bob devono preparare un esame ed una
presentazione (comune)
— 
— 
Entrambi vogliono massimizzare il proprio punteggio
complessivo
Entrambi hanno tempo per lavorare solo su una delle due
attività e non possono coordinarsi
¢  Esame
—  Se lo studente fa l’ultima ripetizione può prendere 28, altrimenti
prende 20
¢  Presentazione
—  Se entrambi gli studenti lavorano sulla presentazione prendono
— 
— 
entrambi 28
Se solo uno studente lavora sulla presentazione prendono
entrambi 24
Se nessuno dei due lavora alla presentazione prendono entrambi
22
¢  Cosa
deve scegliere ciascuno studente?
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¢  Alice
FORMALIZZAZIONE DEL GIOCO
— 
giocatori
Alice e Bob
¢  Ogni
— 
giocatore ha due alternative
Esame, Presentazione
Esame
Present
Esame
25, 25 26, 22
Present
22, 26 24, 24
Se il collega lavora alla presentazione conviene
studiare l’esame
Cosa deciderà il collega?
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
¢  Due
8
COME SI DEVONO COMPORTARE I GIOCATORI?
il comportamento dei due studenti
¢  Ogni studente ha una strictly dominant strategy
— 
¢  È
— 
Indipendentemente da cosa fa il collega gli conviene
studiare per l’esame
possibile prevedere l’esito del gioco
Ogni giocatore otterrà una media di 25
¢  Ogni
giocatore potrebbe ottenere di più a
discapito del collega
— 
Non è un comportamento razionale
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
¢  Analizziamo
9
IL DILEMMA DEL PRIGIONIERO
10
persone sospettate per un reato grave sono
fermate per un reato minore
¢  Ogni sospetto è interrogato separatamente
—  Se nessuno dei due confessa vengono condannati
— 
— 
ad 1 anno
ciascuno
Se entrambi confessano prendono 4 anni a testa
Se uno solo confessa, lui viene liberato e l’altro prende 10
anni
¢  A
ciascun sospetto conviene
confessare
— 
— 
Strategia dominante
Ad ogni giocatore converrebbe
non confessare ma non è
razionale
C
NC
C
-4, -4
0, -10
NC
-10, 0
-1, -1
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¢  Due
BEST RESPONSE
giocatore razionale sceglie la migliore
alternativa possibile sulla base della sua
convinzione su cosa faranno gli altri giocatori
¢  Formalizziamo
— 
— 
— 
il giocatore 1 sceglie la strategia S
Il giocatore 2 sceglie la strategia T
Payoff per il giocatore i è Pi(S,T)
¢  Def:
S è una best response rispetto a T se
P1(S,T) ≥ P1(S’,T) per tutte le altre strategie S‘ del
giocatore 1.
—  S è una strict best response se P1(S,T) > P1(S‘,T)
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¢  Un
11
DOMINANT STRATEGY
Una dominant strategy è una strategia che
è best response rispetto a tutte le strategie
dell’altro giocatore
— 
Analogamente per strictly dominant strategy.
¢  Nel
Dilemma del Prigioniero entrambi i
giocatori hanno una strictly dominant strategy
— 
Possiamo facilmente prevedere l’esito del gioco
¢  Non
tutti i giochi hanno dominant strategies
¢  Cosa
possiamo dire sui giochi che non hanno
dominant strategies per tutti i giocatori?
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
¢  Def:
12
MARKETING GAME
— 
Due aziende stanno valutando se lanciare un nuovo
prodotto sul mercato
Il mercato è formato da
60% di persone interessate a prodotti a basso costo
v  40% di persone interessate a prodotti di alto livello
v 
— 
Se le aziende competono per lo stesso settore di mercato
v 
— 
L’azienda R ottiene l’80% delle vendite
Altrimenti ognuno ottiene tutte le vendite del suo
segmento
¢  Per
l’azienda R low è una
dominant strategy
low
¢  All’azienda C conviene
prendere atto della scelta di R
high
e scegliere high
low
high
.48, .12 .60, .40
.40, .60 .32, .08
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— 
13
GIOCHI SENZA DOMINANT STRATEGIES
14
possiamo dire sul gioco se nessun giocatore ha
una dominant strategy?
— 
— 
Come dovremmo ragionare per questi giochi?
Sappiamo per certo che ogni giocatore utilizzerà una
strategia che è una best response a quella degli avversari
non è in grado di prevedere con certezza cosa giocheranno gli altri
v  ma può immedesimarsi e ragionare strategicamente
v 
¢ 
Ad R conviene giocare
— 
— 
— 
¢ 
A se C gioca A
B se C gioca B
C se C gioca C
A C conviene giocare
— 
— 
— 
A se R gioca A
B se R gioca C
C se R gioca B
A
B
C
A
4, 4
0, 2
0, 2
B
0, 0
1, 1
0, 2
C
0, 0
0, 2
1, 1
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
¢  Cosa
EQUILIBRIO NASH
15
Equilibrio Nash è un profilo di strategie in
cui ogni giocatore sta giocando una best
response alle strategie degli avversari
— 
ad ogni giocatore non conviene cambiare la sua scelta
se gli altri non cambiano
¢  John
Nash (1952) ha dimostrato che ogni gioco
finito ha almeno un Equilibrio Nash
¢  Ogni
giocatore può immedesimarsi
nell’avversario e immaginare come reagirebbe
alle proprie mosse e ragionare di conseguenza
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
¢  Un
EQUILIBRI NASH
16
¢  (A,
— 
— 
¢  È
B
C
A
4, 4
0, 2
0, 2
B
0, 0
1, 1
0, 2
C
0, 0
0, 2
1, 1
A) è un Equilibrio Nash
Se R gioca A a C conviene giocare A
Se C gioca A a R conviene giocare A
l’unico Equilibrio Nash
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
A
COORDINATION GAMES
B
A
1, 1
0, 0
B
0, 0
1, 1
¢  I
due giocatori preferiscono coordinarsi e fare la
stessa scelta piuttosto che fare scelte differenti
¢  Quali
— 
— 
sono gli Equilibri Nash di questo gioco?
(A, A) e (B, B)
Quali scelte faranno i giocatori?
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
A
17
BATTLE OF SEX
18
¢ 
— 
— 
1, 2
0, 0
S
0, 0
2, 1
Possono scegliere tra una partita di basket e fare shopping
La ragazza preferisce lo shopping, il ragazzo il basket
Entrambi preferiscono stare insieme
Quali sono gli Equilibri Nash di questo gioco?
— 
¢ 
B
Un ragazzo ed una ragazza devono decidere cosa fare per la
serata
— 
¢ 
S
(B, B) e (S, S)
E’ possibile prevedere l’esito del gioco?
— 
— 
Le convenzioni sociali possono farci preferire un equilibrio all’altro
Es. Per cavalleria il ragazzo accetta di far scegliere alla ragazza
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
B
STAG HUNT
— 
— 
— 
Cervo
4, 4
0, 3
Lepre
3, 0
3, 3
al cervo
sono gli Equilibri Nash di questo gioco?
(Cervo, Cervo) e (Lepre, Lepre)
¢  Un
— 
Lepre
Se due cacciatori collaborano possono catturare un cervo
Ognuno da solo può catturare soltanto una lepre
¢  Quali
— 
Cervo
equilibrio è più rischioso dell’altro
Se caccio il cervo e il mio collega non mi segue non becco nulla
Se caccio la lepre ho un payoff assicurato
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¢  Caccia
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FALCO O COLOMBA
— 
— 
— 
Colomba
3, 3
1, 5
Falco
5, 1
0, 0
Due animali devono dividersi una preda
Ogni animale può decidere se essere aggressivo (falco) o remissivo (colomba)
Se entrambi sono remissivi si dividono la preda
Se uno è aggressivo e l’latro remissivo, l’aggressivo prende quasi tutto
Se entrambi sono aggressivi si distruggono a vicenda
Quali sono gli Equilibri Nash di questo gioco?
— 
¢ 
Falco
Falco o colomba (o Chicken game)
— 
— 
¢ 
Colomba
(Falco, Colomba) e (Colomba, Falco)
Può servire a modellare i rapporti tra le persone o le relazioni
politiche
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¢ 
20
MATCHING PENNIES
Testa
21
Croce
1, -1
-1, 1
Croce
-1, 1
1, -1
¢  Matching Pennies
—  Ogni giocatore mette una moneta sul tavolo
—  Il giocatore R vince se le due monete hanno la stessa faccia
—  Il giocatore C vince se le due monete hanno facce diverse
¢  Esempio di gioco a somma
—  La somma dei payoff è 0
—  Se un giocatore vince, l’altro
¢  Il
— 
zero
perde
gioco non ha Equilibri Nash
Come giochereste questo gioco?
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Testa
STRATEGIE MISTE
22
strategia mista è una distribuzione di
probabilità (lotteria) sulle azioni possibili
— 
Invece di scegliere un’azione (strategia pura) scegliamo di
utilizzare una particolare lotteria per scegliere l’azione da
eseguire
¢  Per
— 
— 
il gioco del Matching Pennies
Il giocatore R sceglie di giocare Testa con probabilità p
Il giocatore C sceglie di giocare Testa con probabilità q
¢  Come
— 
si calcolano i payoff?
Valore atteso su tutte le possibili combinazioni di strategie
pure giocate dai giocatori
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¢  Una
CALCOLO DEI PAYOFF
giocatore R valuta le sue strategie pure
assumendo che il giocatore C gioca la strategia
mista (q, 1-q)
— 
— 
Se sceglie Testa, il payoff atteso è q + (1-q)(-1) = 2q-1
Se sceglie Croce, il payoff atteso è (-1)q + (1-q) = 1-2q
¢  Qual
— 
— 
— 
— 
è la sua best move?
Dipende da q
Se q < ½ gli conviene giocare Croce
Se q > ½ gli conviene giocare Testa
Se q = ½ le due strategie pure sono equivalenti
v 
Possiamo randomizzare tra le due
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
¢  Il
23
CALCOLO DEI PAYOFF
giocatore C valuta le sue strategie miste
sapendo il suo avversario risponderà giocando la
sua best move
— 
Se sceglie q < ½ il suo avversario giocherà Croce
v 
— 
Se sceglie q > ½ il suo avversario giocherà Testa
v 
— 
Il suo payoff atteso è 2q-1 < 0
Il suo payoff atteso è 1-2q < 0
Se sceglie q = ½ il suo avversario dovrà scegliere tra
due alternative equivalenti
v 
Se l’avversario gioca (p, 1-p) il suo payoff atteso è
1/2 (-p + (1-p) + p - (1-p)) = 0
¢  Qualunque
scelta di q ≠ ½ non è razionale
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
¢  Il
24
STRATEGIE MISTE IN EQUILIBRIO NASH
25
strategie miste sono in Equilibrio Nash se ognuna è
una best move rispetto all’altra
— 
L’avversario non ha nessun incentivo a cambiare la sua strategia
¢  Nash
ha dimostrato che ogni gioco finito ha almeno un
Equilibrio Nash con strategie miste
¢  Nel
Matching Pennies non esiste nessun Nash
Equilibrium che utilizza strategie pure
— 
In ogni profilo c’è un giocatore che è incentivato a cambiare
strategia
¢  (½, ½) è un Equilibrio Nash
—  Ogni giocatore ha un payoff atteso = 0 e non ci sono alternative
che garantiscono un payoff migliore
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
¢  Due
INTERPRETAZIONI DI EQUILIBRI NASH
strategia mista viene utilizzata per rendere più
difficile all’avversario prevedere come si giocherà
— 
scegliendo q=1/2, il giocatore C rende le due strategie
dell’avversario indifferenti
¢  Possibili
miste
— 
Negli sport o nei giochi
v 
— 
intepretazioni di Equilibri Nash con strategie
I giocatori randomizzano le loro azioni per renderle meno prevedibili
La competizione per il cibo tra varie specie
Gli individui sono predisposti per giocare certe strategie e non possono
cambiarle
v  In una popolazione ci sono individui diversi
v  Strategie miste definiscono le proporzioni tra i diversi tipi all’interno di
una popolazione
v  La popolazione nel suo complesso è un equilibrio misto
v 
— 
Un Equilibrio Nash è un equilibrio tra convinzioni
v 
Se un giocatore pensa che l’avversario giocherà una strategia in
Equilibrio Nash allora gli conviene giocare una strategia in Equilibrio
Nash
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¢  Una
26
CALCI DI RIGORE
0, 0
5, -5
Pass
10, -10
0, 0
I difensori devono decidere su quale tipo di attacco predisporre la difesa
La difesa decide di difendere sulla corsa con probabilità q
— 
— 
Per l’attaccante le due alternative sono equivalenti se
5(1-q) = 10q
q =1/3
L’attacco decide di correte con probabilità p
— 
— 
¢ 
Run
Gli attaccanti devono decidere se fare un azione di corsa o lanciare
v 
¢ 
Pass
La squadra riga attacca, la squadra colonna difende
— 
¢ 
Run
Per il difensore le due alternative sono equivalenti se
-10(1-p) = -5p
p=2/3
(1/3, 2/3) è un Equilibrio Nash misto
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
¢ 
27
FOOTBALL AMERICANO
Destra
— 
— 
— 
Destra
0,58, -0,58 0,95, -0,95
Sinistra
0,93, -0,93 0,70, -0,70
giocatore riga tira il rigore ed il giocatore colonna para
Il portiere si butta a sinistra con probabilità q
Per l’attaccante le due alternative sono equivalenti se
(0.58)(q) + (0.95) (1-q) = (0.93)(q) + (0.70) (1-q)
q =0.42
Analogamente, possiamo calcolare la probabilità dell’attaccante
di calciare a simistra
p=0.39
¢  (0,39,
— 
Sinistra
0,42) è un Equilibrio Nash misto
Dati reali molto vicini a quelli previsti dalla teoria
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
¢  Il
28
PARETO OTTIMALITÀ
29
se i giocatori giocano le loro best move non
sempre la soluzione prodotta è l’esito migliore come
gruppo
— 
Es. Il Dilemma del Prigioniero
¢  Vogliamo
buono
definire un outcome che sia socialmente
¢  Un
profilo di strategie è Pareto Ottimale se non
esiste un altro profilo tale che:
— 
— 
Ogni giocatore ottiene almeno lo stesso payoff
C’è almeno un giocatore che ottiene un payoff strettamente
maggiore
Struttura delle Reti Sociali – Primavera 2015
¢  Anche
OTTIMALITÀ SOCIALE
30
profilo di strategie è socialmente ottimo se
massimizza la somma dei payoff dei giocatori
¢ 
massimizzatore del social welfare
Esame
¢  In
Present
Esame
25, 25 26, 22
Present
22, 26 24, 24
questo gioco l’unico Equilibrio Nash è anche
socialmente ottimo
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¢  Un