Matematica Corso Base
Questo primo insegnamento di matematica ha come scopo principale
fornire logica e strumenti per la comprensione dei corsi successivi,
soprattutto a carattere quantitativo, quali ad esempio statistica,
economia, finanza e matematica attuariale.
Obiettivi formativi
This first mathematics teaching has the main purpose to provide logic
and tools to understand the following quantitative courses, such as
statistics, economics, finance and actuarial mathematics.
Prerequisiti: Algebra elementare - Equazioni e disequazioni - Potenze
ad esponente reale - Logaritmi - Geometria analitica del piano - Cenni
di teoria degli insiemi.
Argomenti introduttivi: Sistemi di numerazione e insiemi numerici Metodo di dimostrazione per induzione - Dimostrazione indiretta o per
assurdo - Insiemi di numeri reali - Intorno di un punto.
Successioni: Definizioni. Rappresentazione grafica - Limite di una
successione (tutti i casi) - Teorema di unicità del limite - Teorema della
permanenza del segno (diretto e inverso) - Teorema del confronto Teoremi sulle successioni monotòne - Criterio di convergenza di
Cauchy - Operazioni sui limiti delle successioni.
Serie: Definizioni e generalità - Serie convergente, divergente,
indeterminata - Serie geometrica - Condizione di Cauchy.
Programma
Funzioni reali di variabile reale: Limite di una funzione, definizione Caso del limite e del punto limite finiti. Estensione della definizione ed
altri casi di limite - Limite destro e sinistro - Teoremi sui limiti delle
funzioni: unicità, permanenza del segno (diretto e inverso), del
confronto - Operazioni sui limiti. Operazioni con i simboli di infinito Funzione continua - Continuità a sinistra e a destra - Continuità in un
intervallo - Punti singolari - Teoremi sulle funzioni continue: della
permanenza del segno, del massimo e del minimo (di Weierstrass), di
esistenza degli zeri, del punto fisso - Infinitesimi ed infiniti.
Calcolo differenziale: Definizione di derivata. Relazione con la
continuità - Interpretazione geometrica della derivata - Regole di
derivazione: teoremi relativi. Derivata di funzioni potenza,
esponenziale e logaritmica - Crescenza e decrescenza puntuale e
teoremi relativi - Teoremi della media: Rolle, Cauchy, Lagrange Crescenza e decrescenza in grande e teoremi relativi - Forme
indeterminate. Teorema di de L'Hôpital - Differenziale - Derivata della
funzione composta - Derivata seconda e derivata di ordine successivo Funzione concava e convessa in un punto - Punti di flesso. Teoremi
relativi - Convessità e concavità in grande. Teoremi relativi - Formula
di Taylor. Resto, forma di Lagrange - Metodo delle derivate successive
per lo studio dei punti stazionari e di flesso. Teoremi relativi - Asintoti
- Studio di funzione.
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Calcolo integrale: Somme integrali, definizione di integrale e teoremi
relativi - Integrale: significato geometrico. Proprietà - Teorema del
valore medio - Integrale definito. Teoremi relativi - Funzione integrale
- Teorema fondamentale del calcolo integrale - Calcolo dell'integrale
definito mediante la primitiva - Integrali indefiniti - Metodi di
integrazione indefinita: per scomposizione, per trasformazione, per
sostituzione, per parti - Regola per il calcolo degli integrali definiti Integrazione per scomposizione, per sostituzione e per parti.
Funzioni reali di due e più variabili reali (cenni): limiti, continuità,
derivate parziali e teorema di Schwarz, funzioni omogenee e teorema di
Eulero, massimi e minimi liberi, massimi e minimi vincolati con il
metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Algebra lineare: Vettori - Operazioni con i vettori - Combinazione
lineare di vettori - Combinazione lineare convessa di vettori - Spazi e
sottospazi vettoriali - Dipendenza ed indipendenza lineare. Teoremi
relativi - Rango di un insieme di vettori - Teorema fondamentale degli
spazi lineari - Matrici - Operazioni con matrici e proprietà Determinante di una matrice - Calcolo dei determinanti. Regola di
Sarrus. Primo teorema di Laplace - Minori di una matrice Caratteristica di una matrice - Proprietà dei determinanti - Sistemi di
equazioni lineari - Risoluzione di un sistema di equazioni lineari.
Teorema di Rouché-Capelli. Teorema di Cramer - Sistemi lineari
omogenei - Sistemi lineari parametrici.
Prerequisites: basic algebra - equations and inequations exponentiation with real exponent – logarithms - analytic geometry set theory.
Outline: numeration systems and numerical sets - induction-proof
method - indirect proof (argument's sake) - sets of real numbers neighborhood of a point.
Sequences: Definitions - Graphic representation – Limit of a sequence
(all cases) - uniqueness of the limit - sign-persistence Theorem (direct
and inverse) - comparison theorem - theorems on monotone sequences
- Cauchy's convergence criterion (demonstration of necessary condition
only) - operations on limits of sequences.
Series: General definitions - Convergent, divergent, indeterminate
series - Geometric series and harmonic series - Cauchy's condition.
Real valued function of a real variable: Limit of a function - Case of
finite limit and finite limit-point - Generalization of the definition and
other limit cases - Right and left limit - Theorems on limits of
functions: uniqueness - Sign-persistence Theorem (direct and inverse),
of comparison - Operations on limits - Operations with infinitives
symbols - Continuous functions - Continuity on right and on left Continuity on an interval - Singular points - Theorems on continuous
functions: sign-persistence, of the maximum and the minimum
(Weierstrass's theorem), of existence of zeros, of fixed point Compound function and inverse function - Infinitesimals and
infinitives - Remarkable limits.
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Differential calculus: Definition of derivative - Relation with the
continuity - Geometric interpretation of derivative - Rules of
derivation: related theorems - Derivative of power, exponential and
logarithmic functions - Locally increasingly and decreasingly function
and related theorems - Theorem of mean: Rolle, Cauchy, Lagrange Globally increasingly and decreasingly function and related theorems Indeterminate forms - de l'Hôpital's theorem - Differential of a function
- Derivative of compound function - Second derivative and higher
order of derivatives - Locally concave and convex function - Points of
inflection and related theorems - Concave and convex function in an
interval and related theorems - Taylor’s formula - Lagrange form for
the remainder in Taylor’s formula - Derivatives method to study
stationary and points of inflections and related theorems – Asymptotes
- Graphical representation of a function.
Integral calculus: Integral sums, definition of integral and associated
theorems - Integrals as an area - Proprieties of the integral - The mean
value theorem for integrals - Definite integral and related theorems Integral function - Fundamental theorem of integral calculus (Torricelli
and Barrow’s theorem) - Use of the primitive function for evaluation of
the definite integral - Indefinite integral - Indefinite integration
methods: by decomposition, by substitution and by parts - Rules for
evaluation of definite integrals - Definite integration methods:
integration by decomposition, by substitution and by parts.
Real valued function of two and more real variable (signs): limits –
continuity – partial derivative and Sshwarz theorem – homogeneous
functions and Eulero’s theorem – free maxima and minima - Hint on
constrained maximization and minimization with Lagrange multipliers.
Linear algebra: Vectors - Algebra with vectors - Linear combination
of vectors - Convex linear combination of vectors - Linear spaces and
subspaces - Linear dependence and independence and related theorems
- Rank of a vector set - Theorem of unique representation Fundamental theorem of linear spaces – Matrices - Algebra with
matrices – Determinants - Evaluation of determinants - Sarrus’s rule First Laplace’s theorem - Minors of a matrix - Rank of a matrix Properties of determinants - Systems of linear equations - Solution of a
system of linear equations - Rouché-Capelli’s theorem - Cramer’s
theorem - Homogeneous systems of linear equations - Parametric
systems of linear equations.
Conoscenze acquisite
Gli studenti che abbiano superato l’esame potranno iniziare a pensare
ai concetti fondamentali della matematica di base come strumenti
essenziali per una comprensione logico/quantitativa della realtà, in
particolare di quella economica, base fondante del loro corso di laurea.
Risultati di
apprendimento previsti
Competenze acquisite
Gli studenti che abbiano superato l’esame saranno in grado di risolvere
esercizi di media difficoltà di analisi matematica e di algebra lineare,
nell’ottica di una competenza quantitativa non astratta ma di tipo
applicativo, ovviamente in linea con il loro corso di studi.
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Foreground
Students who have passed the examination will be able to think about
the fundamental concepts of basic mathematics as essential tool for a
logic/quantitative uptake of reality, especially the economic one,
fundamental basis of their degree course.
Acquired skills
Students who have passed the examination will be able to solve
medium difficulty exercises concerning mathematical analysis and
linear algebra in a view of a quantitative skills, which should be
applicative and not abstract, and this obviously in line with their couse
of study.
M. Angrisani, Introduzione alla attività matematica, CISU
Edizioni, Roma, 2011;
A. Attias - P. Ferroni, Introduzione alla attività matematica. 700
esercizi svolti, CISU Edizioni, Roma, 2012;
S. Bianchi, Appunti di Algebra lineare, Dispense
distribuite durante il corso.
Testi adottati
M. Angrisani, Introduzione alla attività matematica, CISU
Edizioni, Roma, 2011;
A. Attias - P. Ferroni, Introduzione alla attività matematica. 700
esercizi svolti, CISU Edizioni, Roma, 2012;
S. Bianchi, Appunti di Algebra lineare, Lecture notes available
during the lessons.
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