- Direzione Didattica Mirandola

PROPOSTA ATTIVITA’ VERTICALE MATEMATICA :
Dati e Previsioni→ La PROBABILITA’
( Infanzia – Primaria 1^/2^ - Primaria 3^/4^ - Primaria 5^ - Secondaria di 1^ grado) GRUPPO 4
Premessa
Insieme a settori della matematica molto battuti e consolidati come l’aritmetica, geometria, misura, ce ne sono altri (probabilità, statistica,
combinatoria) che, solo negli ultimi anni, sono entrati a far parte della didattica quotidiana di tutti gli ordini di scuola.
In maniera semplicistica potrebbero essere così descritti:
La PROBABILITA’ si occupa di eventi dovuti al caso, quindi sembra sfuggire alla consueta matematica della certezza e della logica degli enunciati;
essa indica la misura in cui può avvenire una data possibilità (calcolo della probabilità).
La STATISTICA studia come raccogliere i dati e come analizzarli per ottenere l'informazione che permetta di rispondere alle domande che ci
poniamo.
Si divide in due grandi branche:
statistica descrittiva ha come scopo quello di sintetizzare i dati attraverso i suoi strumenti grafici (diagrammi a barre, a torta, istogrammi) e indici
(indicatori statistici, indicatori di posizione come la media, di variazione come la varianza e la concentrazione, di correlazione, ecc.) che descrivono
gli aspetti salienti dei dati osservati, formando così il contenuto statistico.
statistica inferenziale ha come obiettivo, invece, quello di stabilire delle caratteristiche dei dati e dei comportamenti delle misure rilevate (variabili
statistiche) con una possibilità di errore predeterminata.
La statistica inferenziale è fortemente legata alla teoria della probabilità.
La COMBINATORIA si occupa di tutte quelle attività che servono a conteggiare i possibili accostamenti, le possibili disposizioni, le possibili
combinazioni.
I tre settori entrano spesso in forte relazione;
INFANZIA
Per introdurre gli alunni al pensiero probabilistico e statistico, possibili attività potrebbero essere quelle del lancio dei
dadi, gioco della pesca o delle carte o di estrazione.
In una sezione dei 5 anni l’insegnante potrebbe presentare agli alunni un dado con le facce colorate:
tre rosse e tre verdi.
Superata la fase in cui i bambini puntano sul colore che a loro piace di più, si tenta di dimostrare dopo una serie di tiri
che non si può mai essere certi del colore che uscirà, anche quando per tante volte di seguito è uscito lo stesso colore.
1° lancio = bianco
4° lancio = verde
2° lancio = verde
5° lancio =
3°lancio = verde
Si potrebbe verificare una situazione simile a quella ipotizzata; ci si potrebbe trovare dinanzi ad uno dei più noti
misconcetti probabilistici “l’effetto negativo dello stato recente” o il cosiddetto “errore del giocatore d’azzardo” ossia
tanti bimbi compresi alcuni adulti sarebbero portati a puntare per il 5° lancio sul colore bianco, ma l’insegnante deve
riuscire a far comprendere agli alunni che anche per il 5° lancio la possibilità di uscita del colore verde è la stessa del
colore bianco.
PRIMARIA 1^ / 2^
In una classe 2^ l’attività inizierà con la stessa proposta della scuola dell’infanzia e si cercherà di arrivare alle
conclusioni sopra descritte.
1° lancio = bianco
2° lancio = verde
3°lancio = verde
4° lancio = verde
5° lancio =
Successivamente verranno presentati altri due dadi:
dado 1 = 3 facce verdi, 3 facce bianche
dado 2 = 4 facce verdi, 2 facce bianche
dado 3 = 5 facce verdi, 1 faccia bianca
Si chiederà agli alunni di esprimere la preferenza del dado con cui tirare, sapendo che il colore vincente è il verde; si
chiederà ad ognuno di loro di spiegare la scelta.
Dalle osservazioni, gli alunni insieme all’insegnante, giungeranno alla conclusione che le possibilità di uscita del colore
verde rispetto a quello bianco nei dadi 2 e 3 sono maggiori, ma non è certo che esca perché in probabilità si parla di
casualità non di certezza o verità.
PRIMARIA 3^ / 4^
In una classe 4^ si proporrà il lancio di due dadi ed i colori saranno sostituiti dai numeri; si chiederà agli alunni di
calcolare le possibili combinazioni.
Successivamente si chiederà ad ogni alunno di scegliere il numero che ha più possibilità di uscire e di giustificarne la
scelta.
Dopo aver raccolto le risposte, l’insegnante insieme agli alunni , costruirà uno schema che metterà in evidenza il
numero con più possibilità di uscita
Dopo le osservazioni l’ insegnante cercherà di indirizzare gli alunni verso le conclusioni: il numero 7 ha più probabilità
di uscire, ma non è detto che questo succeda perché in probabilità si parla di casualità e non di certezza o verità.
A tal proposito si osserveranno alcune parole dal punto di vista del linguaggio naturale e del linguaggio matematico
per capirne a fondo il significato ed usarle propriamente:
VERO
Si usa per enunciati:
E’ vero che “ 2+ 3 = 5”
E’ vero che “Roma è la capitale d’ Italia”
FALSO
Si usa per gli enunciati:
E’ falso che “ 3 + 4 = 12”
E’ falso che “Atene è la capitale della Spagna”
PROBABILE
Si usa per indicare la misura precisa di una possibilità ed
è espressa con:
-una frazione ( è sempre propria)
-numero decimale
-percentuale
-linea degli eventi
da 0 ( evento impossibile) a 1 (evento certo),
sulla linea si segneranno i punti della misura della
probabilità.
CERTO
Si usa per eventi casuali:
E’ certo che lanciando un dado avrò un numero con una
sola cifra.
E’ certo che estraendo una pallina da un sacchetto opaco
che contiene solo palline rosse, estrarrò una pallina rossa.
IMPOSSIBILE
Si usa per eventi casuali:
E’ impossibile che lanciando un dado esca 7.
E’ impossibile che pescando in un in un sacchetto dove ci
sono solo palline rosse esca una pallina gialla.
POSSIBILE
Si usa per gli eventi casuali:
Con il lancio di un dado è possibile che esca 3.
Con il lancio di un dado è possibile che esca un numero
pari.
La probabilità di un evento è qualcosa che si può misurare e
questa misura si può rappresentare sulla……
LINEA DEGLI EVENTI
0
1
È sempre una frazione propria compresa fra
ZERO( evento impossibile) ed UNO (evento certo)
PRIMARIA 5^
In una classe 5^ potrà essere presentata la stessa attività della classe 4^ e si potrà approfondire l’argomento
procedendo con semplici calcoli di probabilità di eventi rappresentandoli nei tre modi sopracitati
POSSIBILITA’
-Con il lancio di un dado è possibile che esca 3.
-Con il lancio di un dado è possibile che esca un numero
pari
PROBABILITA’
-la probabilità che esca il 3 è di 1 cioè dello 0,16
6
circa e del 16,6℅ circa
-la probabilità che esca un numero pari è di 3 perché i
6
numeri pari in un dado sono tre: 2; 4; 6 ossia di 1
2
cioè di 0,5
Presentando la stessa attività della classe quarta con il lancio dei due dadi si potrà approfondire l’argomento con il
calcolo delle probabilità d’uscita dei diversi numeri.
Calcoliamo le probabilità
La probabilità di un evento è qualcosa che si può misurare e
questa si può rappresentare con la……
LINEA DEGLI EVENTI
0
1
È sempre una frazione propria compresa fra
ZERO( evento impossibile) ed UNO (evento certo)
SECONDARIA 1° g
Prima lezione: un po’ di storia…e un po’ di attualità
Per introdurre i ragazzi alla studio della probabilità si propone un lavoro di gruppo. Si dividerà la classe in 45 gruppi che dovranno trovare su internet notizie riguardanti: come è nata la probabilità , di che cosa si
occupa , gli studi sulla teoria della probabilità nel tempo e le molteplici applicazioni odierne nei diversi
campi scientifici. Questa ricerca potrà essere fatta anche in classe utilizzando i pc in dotazione alla scuola.
Al termine ogni gruppo dovrà esporre al resto della classe i risultati della propria ricerca.
La discussione in classe , guidata dall’ insegnante, avrà lo scopo di sensibilizzare-incuriosire i ragazzi e fare
scaturire alcuni concetti chiave riguardanti l’argomento, come:
1) Significato di evento nel linguaggio comune e in matematica: si chiama evento un fatto, un avvenimento, una
circostanza; si chiama evento casuale o aleatorio un evento che dipende dal caso.
2) Che cosa si intende per evento casuale, certo, possibile ( oggi il sole tramonterà , farò le vacanze su Giove,
oggi incontrerò un amico)
3) Solitamente si pensa che la matematica tratti sempre cose “ certe”( 2 +2 = 4; il triangolo ha tre lati). Eppure la
matematica, e in particolare questo ramo, che prende il nome di teoria della probabilità, può occuparsi anche
di eventi che non sono certi.
Seconda lezione: laboratorio di matematica “ probabilità e frequenza di un evento casuale”
Proviamo a lanciare un dado a 6 facce; tanti sono i giochi in cui si usano i dadi e i valori che forniscono non
sono prevedibili, possiamo però calcolare la probabilità che esca un certo valore :
Qual è la probabilità che lanciando in aria un dado cada , mostrando un certo numero, ad esempio il 4 ?
-
Quante facce ha un dado?  i casi possibili sono dunque: …………….
-
Quante facce di un dado recano il 4?  i casi favorevoli sono dunque ……………
La probabilità che esca 4 sarà dunque data da un rapporto; quale?
La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi a esso favorevoli e il numero dei casi
possibili
ESERCIZIO: esprimi in termini frazionari questi eventi
Qual è la probabilità di avere un numero pari?
Qual è la probabilità che esca il numero 5?
Qual è la probabilità di avere un numero minore uguale a 4?
Qual è la probabilità che esca il numero 9?
Qual è la probabilità che esca un numero primo?
Qual è la probabilità che esca un numero dispari?
Qual è la probabilità che esca un numero compreso /uguale tra 1 e6?
L’ esercizio viene coretto discutendone in classe le diverse soluzioni e soffermandosi soprattutto su due quesiti : il quarto
e l’ ultimo ( evento impossibile = 0 ed evento certo = ad uno) per arrivare insieme a dire che:
La probabilità è sempre un numero compreso tra 0 e 1
Proviamo a lanciare due dadi a sei facce. Se si lanciano contemporaneamente due dadi e si somma il
punteggio ottenuto, quali sono le somme possibili? ( tutti i numeri compresi tra due e dodici) Secondo voi
tutte le somme hanno la stessa probabilità di uscita? Quale pensate che sia il punteggio più probabile?
Potete spiegarlo con le vostre parole? Segue una discussione guidata .. i ragazzi hanno dei dadi e fanno congetture, l’
insegnante può aiutarli facendo delle domande… Quanti sono i casi possibili ? Quanti casi danno somma 2? Quanti tre?
Per risolvere i quesiti facciamo ricorso a una tabella a doppia entrata con tutte le combinazioni possibili.
Così apparirà chiaro che il punteggio più probabile è il 7 (6/36=1/6); possiamo rappresentare la situazione
anche con un istogramma.
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
E se utilizziamo un dado a quattro facce e uno a 8 facce, che
cosa succede?...è sempre 7 il punteggio più probabile? La
costruzione di una tabella ci può aiutare a rispondere.
Terza lezione : laboratorio di matematica “ eventi incompatibili, compatibili e loro probabilità “
Abbiamo già scoperto alcune regole matematiche che riguardano la probabilità:
-
La probabilità dell’evento E , indicata con il simbolo P (E), viene misurata da un numero compreso
tra 0 e 1.
La probabilità semplice di un evento A e uguale al rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili
𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑖
𝑐𝑎𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖
P(A)=
Cerchiamo di scoprire altre regole matematiche , partendo da esperimenti.
Primo esperimento : lanciamo un dado 20 volte e scriviamo i numeri che escono alla lavagna, facciamo
notare ai ragazzi che abbiamo ottenuto numeri primi o numeri composti
𝐸1 = 2;3;5
“ esce un numero primo”
𝐸2 = 4;6
“ esce un numero composto”
I due eventi possono accadere contemporaneamente?
Gli eventi 𝐸1 ed 𝐸2 non possono accadere contemporaneamente: il verificarsi dell’ uno esclude il
verificarsi dell’ altro. I due eventi sono incompatibili :
Per calcolare la probabilità di un evento totale incompatibile come possiamo fare?
Partendo da quanto ottenuto lanciando per 20 volte i dadi insieme ai ragazzi , calcoliamo insieme a loro, aiutandoci anche con i
grafici di Eulero-Venn , la probabilità totale dei due eventi incompatibili …. E così insieme arriviamo a dire che:
p(𝐸1 ) + p(𝐸2 ) = p( 𝐸1 u 𝐸2 )
LA PROBABILITA’ CHE SI VERIFICHI L’EVENTO TOTALE, DATO DALL’UNIONE DI DUE EVENTI PARZIALI
INCOMPATIBILI, E’ UGUALE ALLA SOMMA DELLE PROBABILITA’ DI CIASCUN EVENTO PARZIALE
Secondo esperimento: lanciamo un dado 20 volte e annotiamo i numeri che escono alla lavagna. Sono
usciti numeri dispari e numeri maggiori di due?
𝐸1 = { 1;3;5}
𝐸2 ={ 3;4;5;6}
I due eventi possono accadere contemporaneamente?
Gli eventi 𝐸1 𝑒𝑑 𝐸2 non si escludono a vicenda : tra i numeri dispari 1;3;5 ci sono 3 e 5 che sono maggiori di
due. I due eventi si dicono compatibili :
Per calcolare la probabilità di un evento totale compatibile come possiamo fare?
Partendo da quanto ottenuto lanciando per 20 volte i dadi insieme ai ragazzi , calcoliamo insieme a loro, aiutandoci anche con i
grafici di Eulero-Venn , la probabilità totale dei due eventi compatibili …. E così insieme arriviamo a dire che
p(𝐸1 ) + p (𝐸2 )- p (𝐸1 ∩ 𝐸2 )= p( 𝐸1 U 𝐸2 )
LA PROBABILITA’ CHE SI VERIFICHI L’EVENTO TOTALE , CORRISPONDENTE ALL’UNIONE DI DUE EVENTI
PARZIALI COMPATIBILI, E’ UGUALE ALLA SOMMA DELLE PROBABILITA’ DI CIASCUN EVENTO PARZIALE
DIMINUITA DELLA PROBABILITA’ DELLE LORO INTERSEZIONE
quando i due eventi sono compatibili alla loro somma (𝐸 1 + 𝐸2 ) devi togliere il valore p(“
accadono entrambi” cioè la loro intersezione ), altrimenti questo viene calcolato due volte !
NB: ATTENZIONE
ESEMPIO: in una certa località le previsioni del tempo prevedono per domani:
ci sarà sole con probabilità 60% ( cioè 0,6)
ci sarà nuvoloso con probabilità 50% (cioè 0,5)
ci sarà sole con nuvole a tratti con probabilità 30% ( cioè 0,3)
Si tratta di eventi compatibili: la probabilità che ci sia sole un po’ coperto da nubi sarà
p( sole) + p( nubi) - ( sole coperto da nubi)= 0,6+0,5- 0,3=0,8 attenzione se tu avessi sommato 0,5 e 0,6
avresti ottenuto un numero > di 1, che non può essere una probabilità
Quarta lezione : laboratorio di matematica “ giochiamo con i numeri e la probabilità “
Continuando ad utilizzare i dadi oppure utilizzando una roulette , che si può portare “ fisicamente” a scuola(
esistono dei giochi da tavolo con roulette) si può chiedere agli alunni di inventare esercizi da poi sottoporre
ai compagni. La roulette è un gioco d’ azzardo che consiste di gettare una pallina su una ruota , dove
compaiono 18 numeri rossi , 18 numeri neri e lo zero verde. La pallina, fermandosi in un scomparto indica il
numero e il colore vincente. Gli esercizi inventati da loro saranno del tipo:
-
Se hai puntato su un numero dispari, qual è la probabilità di vincere?
Qual è la probabilità che esca un numero rosso e dispari?
Se hai puntato su un numero rosso , qual è la probabilità di vincere?
Qual è la probabilità che la pallina si fermi nello scomparto dello zero?
Qual è la probabilità che esca un numero minore di 15?