Serie 8: Meccanica I

FAM
Serie 8: Meccanica I
C. Ferrari
Esercizio 1 Moto accelerato
1. Per un MRUA (problema 1D) generale l’evoluzione temporale è data da
x(t) = x(t0 ) + v(t0 )(t − t0 ) + 21 a0 (t − t0 )2 .
Determina la velocità e l’accelerazione e confronta con quanto fatto nel primo
biennio.
2. Un PM si muove di moto rettilineo e la sua evoluzione temporale è
x(t) = 3 m − 2 m/s t + 4,905 m/s2 t2 .
Che tipo di moto è? Quanto valgono l’accelerazione e la velocità agli istanti
t = 0 s e t = 30 s?
3. Un PM si muove di moto rettilineo e la sua evoluzione temporale è
x(t) = 3 m − 2 m/s t + 9,81 m/s3 (t/3 − 4 s)3 .
Quanto valgono l’accelerazione e la velocità agli istanti t = 0 s e t = 30 s?
L’accelerazione è costante?
Esercizio 2 Soccorso aereo
Un villaggio a quota 1400 m è isolato. Viene fornito del necessario da un aereo che vola orizzontalmente a 250 km/h ad una quota di 1700 m. Da quale distanza orizzontale
dal villaggio il pilota deve sganciare il carico? (Trascura la forza di attrito).
Esercizio 3 Moto armonico
Un oscillatore armonico 1D è caratterizzato dal fatto che la forza è data da
Fx = −kx. L’evoluzione temporale è descritta dall’equazione
x(t) = A cos(ωt + δ) .
(1)
A è chiamata l’ampiezza, ω la pulsazione e δ lo sfasamento del moto armonico.
1. Determina la velocità e l’accelerazione e verifica che
ẍ = −ω 2 x
d2 f
dove f¨ = 2 .
dt
1
2. Disegna le funzioni x(t), v(t) a(t).
3. Che relazione c’è tra k, ω e la massa m del PM?
4. Verifica che la funzione seguente
v
x(t) = x0 cos ωt + ω0 sin ωt
(2)
con x0 = x(0) e v0 = v(0) soddisfa l’equazione ẍ = −ω 2 x.
5. Verifica che è possibile esprimere l’evoluzione temporale (1) nella forma (2) se
r
A=
x20 +
v02
ω2
e
v
tan δ = − ω1 x00 .
6. Utilizzando ẍ = −ω 2 x, verifica che la grandezza
G(x, v) = 12 v 2 + 21 ω 2 x2
è costante durante l’evoluzione temporale.
7. Disegna in modo qualitativo ma accurato un’orbita nello spazio delle fasi (x, v).
8. Determina la velocità utilizzando (2) e determina la matrice A(t) ∈ M2 (R)
per la quale si ha
x0
x(t)
.
= A(t)
v0
v(t)
Quanto vale il determinante di A(t)?
Esercizio 4 Attrito radente
Un corpo A (di massa 0,5 kg) risale un piano inclinato (angolo α = π/6) con velocità
iniziale ~v0 di valore v0 = 2,8 m/s. Il coefficiente di attrito cinetico del piano vale
µc = 0,45.
1. Determina il tempo impiegato per fermarsi e la lunghezza dello spostamento.
2. Una volta fermo il corpo si rimetterà in moto (µs = 0,89)?
Esercizio 5 Molecola di HCl
La frequenza di vibrazione di una molecola di HCl è ν = 8,5 · 1013 s−1 . Ammettendo
che l’atomo di cloro è immobile e che il moto dell’atomo di idrogeno è oscillatorio
armonico di ampiezza 0,1 Å, quel è il valore della velocità massima e qual è il valore
dell’accelerazione massima?
2
H
θ
h
L
θ
Esercizio 6 Salto con gli sci
Uno sciatore si lancia sulla pista di salto illustrata qui sopra.
Assimilando lo sciatore ad un PM, determina la lunghezza L del salto.
Dati numerici: H = 30 m, h = 2 m, θ = 30◦ .
Esercizio 7 Tragico destino
Un arcere mira uno scoiattolo su un ramo a 10 m dal suolo e a 75 m di distanza.
All’istante in cui parte la freccia lo scoiattolo si lascia cadere. Dimostra che lo scoiattolo non può sfuggire al suo tragico destino se la velocità v0 della freccia è superiore
ad una velocità minima da determinare.
Esercizio 8 News
Ultime novità: “Il 12 novembre 2007, la navicella Andromeda, che si trovava in attesa
su un’orbita geostazionaria, è partita in direzione di Andromeda che si trova ad una
distanza di 2 · 106 al (1 al = 0,95 · 1016 m), e segue una traiettoria rettilinea. I motori
rivoluzionari assicurano una spinta costante di F0 = M · 9,81 N (M è la massa della
navicella che è considerata costante) ciò che permette al giovane pilota, che compiva
quel giorno i suoi 20 anni, di sentirsi come sulla Terra.
A bordo si trova un orologio Ω di altissima qualità. I fisici teorici di tutto il mondo
seguono il moto della navicella con il più grande interesse. Essi parametrizzano
l’evoluzione con il tempo τ indicato dall’orologio Ω che si trova a bordo e osservano
che:

2
F
M
c

0
x(τ ) =
cosh
τ −1
F0
Mc

t(τ ) = M c sinh F0 τ
(= tempo di Greenwich)
F0
Mc
sembra che non vi sia niente di paradossale”.
3
(τ = 0 s è l’istante di partenza e c = 3 · 108 m/s).
1. Trova l’evoluzione temporale x(t) e disegna in modo qualitativo ma accurato
la linea d’universo.
2. Trova la velocità e calcola limt→∞ v(t). Commenta!
3. Disegna in modo qualitativo ma accurato l’orbita nello spazio delle fasi (x, v).
Indicazione: Trova v(x).
4. In quale anno la navicella raggiunge Andromeda? Quale sarà l’età del pilota?
(Ammetteremo che l’evoluzione biologica è la stessa di quella dell’orologio Ω).
Esercizio 9 Moto rettilineo
Una particella ha un moto rettilineo di equazione t = αx3 + βx, dove α, β > 0.
1. Determina la velocità e l’accelerazione della particella in funzione della posizione x.
2. Disegna in modo qualitativo ma accurato la linea d’universo e l’orbita nello
spazio delle fasi (x, v).
Esercizio 10 Moto circolare uniforme
Un PM si muove nel piano xy e la sua posizione è data da
(
x(t) = R cos(θ0 + ω(t − t0 ))
.
y(t) = R sin(θ0 + ω(t − t0 ))
1. Disegna la traiettoria del PM nel piano xy.
2. Determina la velocità del PM e verifica che per ogni t essa è tangente alla
traiettoria.
3. Verifica che la norma del vettore velocità è k~vk = ωR.
4. Determina l’accelerazione del PM e verifica che per ogni t essa è normale alla
traiettoria e ha verso opposto al vettore posizione: ~a = −λ~x, λ > 0.
5. Verifica che la norma del vettore accelerazione è k~ak = ω 2R =
k~
v k2
.
R
~ dove C
~ è un vettore costante.
6. Verifica che ~x ∧ ~v = C
7. Determina il vettore forza responsabile del moto del PM.
8. Che tipo di moto si ottiene osservando la proiezione del moto circolare uniforme
sugli assi x e y?
4
Esercizio 11 Moto in caduta libera con attrito viscoso
Considera un PM sferico di raggio R di massa m che subisce la forza peso e la forza
d’attrito viscosa dovuta all’aria. Il PM parte da fermo.
1. Verifica che la forza di Archimede è trascurabile se R = 1 cm e m = 33 g (si
tratta di una sferetta di acciaio). Aria: ρaria = 1,29 kg/m3 .
2. Dopo un certo tempo t si raggiunge una velocità limite. Quale ragionamento
è possibile fare per ottenere questa velocità?
La soluzione dell’evoluzione temporale della posizione con le condizioni iniziali date
è (sistema di coordinate verticale orientato verso il basso e origine nel punto di
partenza):
• nel caso n = 1 (basse velocità)
dove vL =
Fp
,
λ
i
h
m
λ
1 − e− m t
x(t) = vL t −
λ
• nel caso n = 2 (velocità più elevate)
2
αt
x(t) = vL
ln(e + 1) − t
α
q
λ
.
dove vL = Fλp e α = 2vL m
3. Determina la funzione v(t) e discuti l’esistenza di una velocità limite.
4. Verifica che la forza ottenuta con la II lex di Newton è quella data dalle leggi
dell’attrito viscoso.
5