Capitolo 3
Derivate
3.1
Definizione
**Definizione 3.1 (Punto di derivabilità). Sia f : [a, b] ! R una funzione e sia x0 2 [a, b]. Allora f
si dice derivabile in x0 se esiste finito il
lim
x!x0
f (x)
x
f (x0 )
.
x0
(3.1)
In questo caso x0 si dice punto di derivabilità per la funzione f .
Fissato un certo x0 la funzione
f (x) f (x0 )
x x0
prende il nome di rapporto incrementale della funzione f nel punto x0 .
Inoltre una scrittura equivalente per (3.1) è la seguente
x0 (x)
:=
(3.2)
f (x0 + h) f (x0 )
.
(3.3)
h!0
h
**Definizione 3.2 (Derivata destra e sinistra). Sia f : [a, b] ! R una funzione e sia x0 un punto di
continuità per la funzione f . Allora si definisce derivata destra di f in x0 il limite
lim
f+0 (x0 ) = lim+
x!x0
f (x)
x
f (x0 )
.
x0
(3.4)
f (x)
x
f (x0 )
.
x0
(3.5)
Si definisce derivata sinistra di f in x0 il limite
f 0 (x0 ) = lim
x!x0
19
Teorema 3.3. Sia f : [a, b] ! R una funzione e sia x0 un punto di continuità per la funzione f . Allora
f è derivabile in x0 se e solo se la derivata destra è uguale alla derivata sinistra in x0 ed i valori sono
entrambi finiti.
Definizione 3.4 (Funzione derivabile). Sia f : [a, b] ! R una funzione. Allora f si dice derivabile in
[a, b] se per ogni x0 2 [a, b] la funzione f risulta derivabile.
**Teorema 3.5. Sia f : [a, b] ! R una funzione e sia x0 2 [a, b] un punto di derivabilità per la funzione
f . Allora la funzione f è continua in x0 .
Dimostrazione. Poiché la f è derivabile in x0 allora esiste finito
lim
x!x0
f (x)
x
Allora
lim (x
x!x0
x0 )
f (x0 )
.
x0
f (x)
x
in quanto prodotto di una quantità che va a 0 (cioè (x
lim f (x)
f (x0 )
= 0,
x0
x0 )) e di una limitata. Dunque
f (x0 ) = 0
x!x0
e la funzione è continua in x0 .
3.2
Alcune funzioni derivabili
La Tabella 3.1 riassume le derivate di alcune funzioni elementari.
3.3
Regole di derivazione
Il calcolo di una derivata si basa sostanzialmente sul calcolo di un limite; è naturale dunque aspettarsi
che le proprietà di linearità dell’operazione di limite valgano anche per quella di derivazione. Vale infatti
il seguente teorema.
Teorema 3.6. Siano f (x), g(x) : [a, b] ! R due funzioni derivabili in un punto x0 2 [a, b] e ↵,
Allora
(↵f + g)0 (x0 ) = ↵f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ).
Valgono inoltre le seguenti regole di derivazione.
20
2 R.
(3.6)
Tabella 3.1: Derivata di alcune funzioni elementari
Funzione
Derivata
k
0
↵
x
↵x↵ 1
sin x
cos x
cos x
sin x
tan x
1/ cos2 x
x
a
ax ln a
loga x
1/(x
p ln a)
arcsin x
1/ p1 x2
arccos x
1/ 1 x2
arctan x
1/(1 + x2 )
Teorema 3.7. Siano f, g : [a, b] ! R due funzioni derivabili in un punto x0 2 [a, b]. Allora
Se inoltre g 0 (x0 ) 6= 0, allora
(f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ).
(3.7)
✓ ◆0
f
f 0 (x0 )g(x0 ) f (x0 )g 0 (x0 )
(x0 ) =
.
g
[g(x0 )]2
(3.8)
Teorema 3.8. Siano f : [a, b] ! R e g : [c, d] ! R con f ([a, b]) ⇢ [c, d]. Sia inoltre f derivabile in
x0 2 [a, b] e g derivabile in y0 = f (x0 ) 2 [c, d]. Allora g f è derivabile in x0 e si ha
(g f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 ))f 0 (x0 ).
3.4
(3.9)
Teoremi sulle funzioni derivabili
**Definizione 3.9 (Punto di minimo relativo). Sia f : [a, b] ! R una funzione. x0 2 [a, b] si dice
punto di minimo relativo per f se esiste un intorno U di x0 tale che
f (x)
f (x0 )
8x 2 U \ [a, b].
**Definizione 3.10 (Punto di massimo relativo). Sia f : [a, b] ! R una funzione. x0 2 [a, b] si dice
punto di massimo relativo per f se esiste un intorno U di x0 tale che
f (x) f (x0 )
8x 2 U \ [a, b].
21
**Teorema 3.11 (Teorema di Fermat). Sia f : [a, b] ! R una funzione. Sia x0 2]a, b[ punto di
massimo o minimo relativo e di derivabilità per f . Allora
f 0 (x0 ) = 0.
Dimostrazione. Supponiamo x0 punti di massimo relativo e consideriamo l’intorno U di x0 in cui f (x0 )
f (x).
Sia h > 0 e x0 + h 2 U . Consideriamo il rapporto incrementale destro
+
x0 (h)
=
f (x0 + h)
h
Dato che f (x0 + h) f (x0 ) 0 e h > 0, la quantità
permanenza del segno (Teorema 2.28), si ha che
f+0 (x0 ) = lim+
h!0
f (x0 )
+
x0 (h)
.
è maggiore o uguale a 0. Per il Teorema di
+
x0 (h)
0.
Sia ora h < 0 e x0 + h 2 U . Consideriamo il rapporto incrementale sinistro
x0 (h)
=
f (x0 + h)
h
Dato che f (x0 + h) f (x0 ) 0 e h < 0, la quantità
permanenza del segno (Teorema 2.28), si ha che
f 0 (x0 ) = lim
h!0
f (x0 )
x0 (h)
x0 (h)
.
è minore o uguale a 0. Per il Teorema di
0.
Siccome per ipotesi la funzione f è derivabile nel punto x0 , si ha che dal Teorema 3.3
0
f 0 (x0 ) = f+0 (x0 )
0.
Quindi f 0 (x0 ) = 0.
**Teorema 3.12 (Teorema di Rolle). Sia f : [a, b] ! R una funzione continua in [a, b], derivabile in
]a, b[ e tale che f (a) = f (b). Allora esiste un punto c 2]a, b[ tale che
f 0 (c) = 0.
Dimostrazione. Poiché la funzione f è continua nell’intervallo [a, b], per il Teorema di Weierstrass
(Teorema 2.37) esistono punti di massimo e di minimo xm e xM .
22
• Se {xm , xM } ⇢ {a, b}, allora la funzione è una funzione costante, in quanto
f (a) = f (xm ) f (x) f (xM ) = f (b).
Pertanto un qualsiasi punti interno all’intervallo [a, b] ha derivata pari a 0.
• Se almeno uno dei due punti è interno all’intervallo [a, b], allora è possibile applicare il Teorema
di Fermat (Teorema 3.11). Dunque almeno in questo punto la derivata prima è pari a 0.
**Teorema 3.13 (Teorema di Lagrange). Sia f : [a, b] ! R una funzione continua in [a, b], derivabile
in ]a, b[. Allora esiste un punto c 2]a, b[ tale che
f 0 (c) =
f (b)
b
f (a)
.
a
Dimostrazione. Si consideri la seguente funzione g : [a, b] ! R definita da
g(x) = f (x)
f (b)
b
f (a)
(x
a
a).
Tale funzione è continua in [a, b] perché somma di funzioni continue; è derivabile in ]a, b[ perché somma
di funzioni derivabili. La sua derivata è la funzione
f (b)
b
g 0 (x) = f 0 (x)
f (a)
.
a
Inoltre si ha che
f (b) f (a)
(b a) = g(b).
b a
Allora possiamo applicare il Teorema di Rolle (Teorema 3.12): esiste un punto c 2]a, b[ tale che
g(a) = f (a) = f (b)
g 0 (c) = f 0 (c)
f (b)
b
f (a)
= 0,
a
e dunque la tesi.
Teorema 3.14 (Teorema di Cauchy). Siano f, g : [a, b] ! R due funzioni continue in [a, b], derivabili
in ]a, b[ e sia g 0 (x) 6= 0 per ogni x 2]a, b[. Allora esiste un punto c 2]a, b[ tale che
f 0 (c)
f (b)
=
0
g (c)
g(b)
23
f (a)
.
g(a)
3.5
Esercizi
Derivare le seguenti funzioni
p
x
1+x
1)
f (x) =
2x
1 x2
[]
2)
f (x) =
3)
f (x) =
cos x
2x2 +3
[]
4)
f (x) = 3x4 + 5x + x3/2
5)
f (x) = e
[]
6)
f (x) = x ln x
7)
f (x) = e2x (2 sin 3x
[]
8)
f (x) = cos 2x
9)
f (x) =
[]
p
10) f (x) = x 1 + x2
11)
f (x) = e x
[]
12) f (x) = e
13)
f (x) =
[]
14) f (x) = arctan 4 3xx2
3x
p
(x2 + 2x
1 + x2
x+2
3
x3 1
x2 +5
1)
4 cos 3x)
24
p
[]
2x
3
[]
[]
sin x
x
[]
[]
[]
[]
