1 Le successioni

1
Le successioni
A parole una successione é un insieme infinito di numeri disposti in un particolare ordine. Piú rigorosamente, una successione é una legge che associa
ad ogni numero naturale un altro numero (anche non naturale):
N −→ R
n −→ an
Comunemente le successioni vengono indicate con la lettera a e la variabile
(il numero naturale) viene indicata con n: quindi si scrive an oppure a(n)
per l’elemento n−simo della successione. Per indicare tutti gli elementi della
successione, si usano le parentesi graffe: {an }.
Il comportamento della successione é interessante soprattutto quando n
tende a ∞ (n −→ ∞), ma spesso é utile calcolare la successione per i primi
valori di N. La rappresentazione grafica della successione aiuta a capire il
suo comportamento iniziale: nell’asse delle ascisse vengono rappresentati i
numeri naturali, mentre nell’asse delle ordinate si riportano i valori della
successione an .
Esempio 1.1 .
1. an = n − 1
a1 = 0, a2 = 1, a3 = 2, a4 = 3, ......
Questa successione cresce sempre piú al crescere di n e vedremo che
{an } diverge.
2. an =
1
n
a1 = 1, a2 = 12 , a3 = 31 , a4 = 14 , ......
Questa successione si avvicina a 0 quando n é grande e vedremo che
{an } converge a 0.
3. an =
n−1
n
a1 = 0, a2 = 12 , a3 = 32 , a4 = 34 , ......
Questa successione si avvicina a 1 quando n é grande e vedremo che
{an } converge a 1.
4. an = (−1)(n+1) n1
a1 = 1, a2 = − 12 , a3 = 13 , a4 = − 14 , ......
Questa successione si avvicina a 0 alternativamente dall’alto e dal basso
quando n é grande e vedremo che {an } converge a 0.
1
5. an = (−1)(n+1) n−1
n
a1 = 0, a2 = − 12 , a3 = 23 , a4 = − 34 , ......
Questa successione si avvicina a 1 e −1 alternativamente quando n é
grande e vedremo che {an } non converge.
6. an = 3
a1 = 3, a2 = 3, a3 = 3, a4 = 3, ......
Questa successione assume sempre il valore 3 e quindi converge a 3.
Introduciamo ora il concetto piú importante per quanto riguarda le successioni: il limite. Abbiamo giá detto che siamo interessati al caso in cui n sia
molto grande, e quindi quando n −→ ∞. In questo caso guardiamo come si
comporta la successione e quindi se gli elementi an si avvicinano sempre di
piú a qualche numero fissato L, se diventano sempre piú grandi, se diventano
sempre piú piccoli, o se si avvicinano alternativamente a costanti diverse. Nel
primo caso diremo che la successione converge a L, nel secondo e terzo caso
la successione diverge e nell’ultimo caso la successione non converge.
La successione {an } é convergente a L ({an } −→ L) se:
∀² > 0, ∃N ∈ N tale che |an − L| < ² ∀n > N.
La successione {an } é divergente a +∞ ({an } −→ +∞) se:
∀M > 0, ∃N ∈ N tale che an > M ∀n > N.
La successione {an } é divergente a −∞ ({an } −→ −∞) se:
∀M > 0, ∃N ∈ N tale che an < −M ∀n > N.
Esempio 1.2 .
1. an = n − 1
|an − L| = |n − 1 − L| −→ ∞, quindi questa quantitá non puó essere
minore di un ² comunque fissato. Quindi {an } diverge.
2. an =
1
n
Fisso ² > 0. Voglio trovare N ∈ N per cui, se n > N , allora |an − L| <
². Noto dai primi valori di n che la successione {an } si avvicina a 0,
quindi vedo se la disuguaglianza é vera per L = 0.
|an − L| = | n1 | =
1
n
< ² quando n > 1² .
Quindi scelgo un qualsiasi intero N > 1² .
2
3. an =
n−1
n
Fisso ² > 0. Voglio trovare N ∈ N per cui, se n > N , allora |an − L| <
². Noto dai primi valori di n che la successione {an } si avvicina a 1,
quindi vedo se la disuguaglianza é vera per L = 1.
|an − L| = | n−1
− 1| = | − n1 | =
n
1
n
< ² quando n > 1² .
Quindi scelgo un qualsiasi intero N > 1² .
4. an = (−1)(n+1) n1
Fisso ² > 0. Voglio trovare N ∈ N per cui, se n > N , allora |an − L| <
². Noto dai primi valori di n che la successione {an } si avvicina a 0,
quindi vedo se la disuguaglianza é vera per L = 0.
|an − L| = |(−1)(n+1) n1 | =
1
n
< ² quando n > 1² .
Quindi scelgo un qualsiasi intero N > 1² .
5. an = (−1)(n+1) n−1
n
Dai primi valori di n noto che questa successione si avvicina a 1 e −1
alternativamente.
Fisso ² < 1. Chiamo A un intorno di 1 di raggio ², quindi A = {x ∈
R|1 − ² < x < 1 + ²}. Analogamente chiamo B un intorno di −1 di
raggio ², quindi B = {x ∈ R| − 1 − ² < x < −1 + ²}.
Se an ∈ A ⇒ an+1 ∈ B ⇒ an+2 ∈ A. Quindi non puó succedere che
gli elementi della successione, da un certo punto in poi, appartengano
tutti ad A o a B.
Quindi la successione non converge.
6. an = 3
Fisso ² > 0. Voglio trovare N ∈ N per cui, se n > N , allora |an − L| <
². Noto dai primi valori di n che la successione {an } assume sempre il
valore 3, quindi vedo se la disuguaglianza é vera per L = 3.
|an − L| = |3 − 3| = 0 < ² sempre.
Quindi posso scegliere qualsiasi N , visto che la disuguaglianza é sempre
verificata.
Vediamo adesso un teorema che generalizza l’esempio 5, in cui abbiamo
notato che non é possibile che la successione converga contemporaneamente
a 1 e −1, cioé che il limite di una successione é univocamente determinato.
Teorema 1.3 Se {an } −→ L allora L é unico.
3
Dimostrazione
Per provare questo teorema usiamo la dimostrazione per assurdo.
Supponiamo che esistano due limiti diversi: {an } −→ L {an } −→ L0 con
L 6= L0 .
0|
Scelgo ² = |L−L
.
2
Visto che {an } −→ L, allora ∃N tale che |an − L| < ² ∀n > N .
Visto che {an } −→ L0 , allora ∃N 0 tale che |an − L0 | < ² ∀n > N 0 . Scelgo
N 00 = max{N, N 0 }. Allora ∀n > N 00 si ha:
|L − L0 | = |L − an + an − L0 | ≤ |L − an | + |an − L0 | < 2² = |L − L0 |
che é impossibile.
Quindi il limite deve essere unico.
2
Negli esempi precedenti abbiamo analizzato successioni che erano state
definite elemento per elemento. Un’altro modo per definire una successione é
quello di definire il primo termine e dare una relazione ricorsiva del termine
(n + 1)−esimo in funzione di quello n−esimo. Questa definizione si chiama
per ricorrenza.
Successioni per ricorrenza:
1. si definisce il primo elemento a1
2. si definisce l’(n + 1)−esimo termine in funzione dell’ n−esimo.
Con le successioni definite per ricorrenza, se il limite L esiste (cioé se la
successione é convergente), per trovare il valore di L basta sostituire L al
posto di an+1 e an nella definizione ricorsiva, ottenendo cosı́ un’equazione in
L.
Esempio 1.4 .
1. a1 = 1, an+1 = an + 1.
Con questa definizione si ottengono tutti i numeri naturali, cioé la successione an = n.
2. a1 = 1, an+1 = an + (2n + 1).
Con questa definizione si ottengono tutti i quadrati, cioé la successione
a n = n2 .
4
3. a1 = 1, an+1 = an (n + 1).
Con questa definizione si ottiene il fattoriale, cioé la successione an =
n! = n(n − 1)(n − 2)(n − 3)...1.
Si puó notare quanto sia importante la definizione del primo termine.
Infatti se in questo caso si definisse a1 = 0, allora si otterrebbe la
successione costantemente nulla, invece del fattoriale.
4. a1 = 1, an+1 =
an
2
+
1
.
an
Per calcolare il limite della successione basta andare a sostituire il limite
L al posto di an+1 e an , ottenendo: L = L2 + L1 che ha come soluzioni
√
L = ± 2. Visto√che a1 = 1, an > 0 ∀n e quindi l’unica soluzione
accettabile é L = 2.
5. a1 = 1, an+1 = 2 +
1
.
an
Facendo √
lo stesso ragionamento dell’esempio precedente, si ottiene che
L = 1 + 2.
Adesso vediamo alcuni teoremi sulle successioni che sono molto utili per
calcolare i limiti di successioni complicate, facendo riferimento a casi piú
semplici.
Teorema 1.5 Siano {an } e {bn } due successioni convergenti: {an } −→ A,
{bn } −→ B, dove A e B sono finiti. Allora:
1. {an + bn } −→ A + B
2. {kan } −→ kA ∀k ∈ R
3. {an bn } −→ AB
4. { abnn } −→
A
B
dove B 6= 0, bn 6= 0 ∀n ∈ N
Dimostrazione
La dimostrazione dei 4 casi é molto simile e quindi discutiamo solo il
primo caso.
Sappiamo che la successione {an } é convergente e quindi:
∀² > 0, ∃N ∈ N tale che |an − A| < ² ∀n > N.
Inoltre la successione {bn } é convergente e quindi:
∀²0 > 0, ∃N 0 ∈ N tale che |bn − B| < ²0 ∀n > N 0 .
5
00
Fisso ²00 > 0 e scelgo ² = ²0 = ²2 e N 00 = max{N, N 0 }.
00
Allora |an + bn − A − B| ≤ |an − A| + |bn − B| < ²2 +
successione somma {an + bn } converge ad A + B.
²00
2
= ²00 e quindi la
2
Teorema 1.6 Sia {an } una successione divergente e sia c 6= 0,
allora {can } diverge.
Dimostrazione
Per provare questo teorema usiamo la dimostrazione per assurdo.
Supponiamo che la successione {can } converga, allora posso usare la proprietá 2 del teorema precedente, ottenendo che { 1c can } = {an } converge, il
che contraddice l’ipotesi.
2
Teorema 1.7 (dei carabinieri) Siano {an }, {bn } e {cn } tre successioni
tale che an ≤ bn ≤ cn ∀n ∈ N e {an } −→ L, {cn } −→ L.
Allora {bn } −→ L
Corollario 1.8 Siano {an } e {bn } due successioni tale che |bn | ≤ cn ∀n ∈ N
e {cn } −→ 0.
Allora {bn } −→ 0.
Dimostrazione
Si puó applicare il teorema dei carabinieri con an = −cn .
Infatti |bn | ≤ cn implica −cn ≤ bn ≤ cn .
2
Esempio 1.9 .
1. {− n1 } −→ 0 (usando la proprietá 2 del teorema ??)
2. { n−1
} = {1 − n1 } −→ 1 (usando la proprietá 1 del teorema ??)
n
3. { n52 } −→ 0 (usando le proprietá 2 e 3 del teorema ??)
¯
¯
4. { cosn n } −→ 0 (usando il corollario, visto che ¯ cosn n ¯ = | cosn n | ≤ n1 )
5. { 21n } −→ 0 (usando il teorema dei carabinieri, visto che 0 ≤
6
1
2n
≤ n1 )
Fino a questo punto abbiamo visto due procedimenti per la dimostrazione
di un teorema: direttamente o per assurdo. In realtá se si vuole dimostrare
una proposizione riguardante i numeri naturali, é molto utile usare un altro
metodo che si basa sul principio di induzione.
Principio di induzione: Siano Pn le proposizioni che si vogliono dimostrare
dipendenti da n.
1. se P1 é vera e
2. se Pn é vera allora P(n+1) é vera
allora Pn é vera ∀n ∈ N.
Il principio di induzione é semplice da utilizzare ma vale solo per i numeri
naturali e bisogna sapere in anticipo quello che si vuole dimostrare.
Esempio 1.10 .
1. Si vuole dimostrare che la somma di tutti i numeri naturali fino a n é
uguale a n(n+1)
: S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + ...n = n(n+1)
.
2
2
S(1) = 1 =
1(1+1)
2
= 1 ovvio
S(n+1) = 1+2+3+4+...n+(n+1) =
(n+1)(n+2)
.
2
n(n+1)
+(n+1)
2
=
n(n+1)+2(n+1)
2
=
Allora S(n) é vera ∀n ∈ N.
2. Si vuole dimostrare che la somma di tutti i quadrati dei numeri naturali
fino a n é uguale a n(n+1)(2n+1)
: S2 (n) = 1 + 4 + 9... + n2 = n(n+1)(2n+1)
.
6
6
S2 (1) = 1 =
1(1+1)(2+1)
6
= 1 ovvio
S2 (n + 1) = 1 + 4 + ...n2 + (n + 1)2 =
n(n+1)(2n+1)+6(n+1)2
= (n+1)(n+2)(2n+3)
.
6
6
n(n+1)(2n+1)
6
Allora S2 (n) é vera ∀n ∈ N.
3. Vogliamo dimostrare che 10n > n ∀n ∈ N
n = 1 : 10 > 1 ovvio
10(n+1) = 10n ∗ 10 > 10n > 3n = n + n + n > n + 1
4. Vogliamo dimostrare che n ≥ 1 ∀n ∈ N
n = 1 : 1 ≥ 1 ovvio
n+1≥n≥1
7
+ (n + 1)2 =
Con il principio di induzione si puó provare la seguente disuguaglianza
che utilizzeremo per confrontare successioni diverse.
Teorema 1.11 (Disuguaglianza di Bernoulli, 1689) .
Sia h ∈ R h ≥ −1.
Allora (1 + h)n ≥ 1 + nh ∀n ∈ N
Dimostrazione
Usiamo il principio di induzione.
Sia P(n): (1 + h)n ≥ 1 + nh.
P (1) : (1 + h) ≥ 1 + h ovvio
P (n) é vera allora P (n + 1) é vera
(1 + h)(n+1) = (1 + h)(1 + h)n ≥ (1 + nh)(1 + h) =
= 1 + nh + h + nh2 ≥ 1 + (n + 1)h.
Adesso vediamo i limiti delle successioni piú frequentemente usati.
Teorema 1.12 (Limiti notevoli) .
1. {an } = {n} −→ ∞
2. {an } = { n1 } −→ 0
3. {an } = {αn }

0 se − 1 < α < 1



1 se α = 1
lim an =
∞ se α > 1



non esiste se α ≤ −1
4. {an } = {k} −→ k
√
5. {an } = { n k} −→ 1 con k > 0
m
+.....b1 n+b0
}
6. {an } = { bcmk nnk +.....c
1 n+c0

0 se m < k


 +∞ se m > k e b ∗ c > 0
m
k
lim an =
−∞
se
m
>
k
e
b
∗
c

m
k < 0

 bm
se
m
=
k
ck
8
2
¡
¢n
7. {an } = { 1 + n1 } −→ e
Dimostrazione
1. Giá vista precedentemente
2. Giá vista precedentemente
3. Sia 0 < α < 1.
Allora α =
1
1+h
dove h > 0. Quindi, usando Bernoulli,
0 < αn = (1 + h)−n ≤ (1 + nh)−1 =
1
1
<
−→ 0
1 + nh
nh
quindi per il teorema dei carabinieri, {an } = {αn } −→ 0.
Sia −1 < α < 0.
Allora {|α|n } −→ 0 e quindi {(α)n } −→ 0.
Sia α > 1.
Allora α = 1 + h dove h > 0. Quindi, usando Bernoulli,
αn = (1 + h)n ≥ (1 + nh) −→ ∞
quindi per il teorema dei carabinieri, la successione diverge.
Sia α < −1.
Banalmente la successione alterna valori positivi e negativi con il modulo crescente, e quindi la successione non converge.
Sia α = −1.
Abbiamo giá visto percedentemente che la successione (−1)n non converge.
4. Giá vista precedentemente
5. Sia k > 1.
√
√
Allora n k > 1, e quindi n k = 1 + hn dove hn > 0.
Dunque k = (1 + hn )n ≥ 1 + nhn e quindi 0 < hn ≤
√
Infine hn −→ 0 implica n k = 1 + hn −→ 1.
Sia k < 1.
√
√
Allora n k < 1, e quindi n k =
Dunque k =
1
(1+hn )n
≤
Infine hn −→ 0 implica
1
1+nhn
√
n
1
1+hn
9
−→ 0.
dove hn > 0.
e quindi 0 < hn ≤
k −→ 1.
k−1
n
1
−1
k
n
−→ 0.
m
+.....b1 n+b0
}, bisogna dividere il
6. Per trovare il limite di {an } = { bcmk nnk +.....c
1 n+c0
numeratore e il denominatore per la potenza massima di n, cioé per nm
se m > k, oppure per nk se m ≤ k. Poi si calcola il limite usando le
operazione tra limiti e notando che n1q −→ 0 se q > 0.
¡
¡
¢n
¢n+1
}.
7. Sia {an } = { 1 + n1 } e {bn } = { 1 + n1
Voglio innanzitutto dimostrare che {an } é una successione monotona
crescente (an ≤ an+1 ).
¡
¢n
¡
¢n+1
1
{an } é crescente se { 1 + n1 } ≤ { 1 + n+1
}, cioé se
µ
cioé se
n+1
n
n
≤
n+1
¶n
µ
≤
µ
n+2
n+1
¶n+1
1
1−
(n + 1)2
,
¶n+1
.
1
Basta applicare Bernoulli: sia h = − (n+1)
2 > −1, quindi
µ
1
1−
(n + 1)2
¶n+1
≥1−
n+1
1
n
=1−
=
.
2
(n + 1)
n+1
n+1
Quindi {an } é crescente.
Voglio dimostrare che {bn } é una successione monotona decrescente
(bn+1 ≤ bn ).
¡
¢n+2
¡
¢n+1
1
{bn } é decrescente se { 1 + n+1
} ≤ { 1 + n1
}, cioé se
µ
cioé se
n+2
n+1
µ
1+
¶n+2
µ
≤
1
n(n + 2)
Basta applicare Bernoulli: sia h =
µ
1+
1
n(n + 2)
¶n+2
≥1+
Quindi {bn } é decrescente.
10
n+1
n
¶n+2
≥
1
,
n(n+2)
¶n+1
,
n+1
.
n
quindi
n+2
1
n+1
=1+ =
.
n(n + 2)
n
n
Inoltre an < bn , ∀n ∈ N
¡
infatti bn =
n+1
an
n
¢
> an .
Poi {an } é limitata superiormente (an < bn ≤ b(1) = 4).
Poi {bn } é limitata inferiormente (2 = a(1) ≤ an < bn ).
Allora esiste il limite di {an } e {bn } e lo chiamo e.
Devo ancora dimostrare che {an } e {bn } hanno lo stesso limite:
µ
¶n µ
¶
1
1
4
|bn − an | = 1 +
1 + − 1 ≤ −→ 0
n
n
n
2
Per concludere il capitolo, vediamo un esempio in cui le successioni sono viste
come somme infinite, cioé le serie.
Abbiamo giá visto che la successione somma dei numeri naturali fino a n
é divergente:
S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + ...n =
n(n + 1)
−→ ∞.
2
Inoltre anche la somma di tutti i quadrati fino a n2 é divergente:
S2 (n) = 1 + 4 + ...n2 =
n(n + 1)(2n + 1)
−→ ∞.
6
P
Indichiamo con
P∞ la somma (finita o infinita) di numeri.
Per esempio k=1 1 = ∞.
é quindi naturale chiedersi se tutte le somme infinite siano divergenti.
Come esempio di serie convergente consideriamo la serie geometrica:
∞
X
qk .
k=1
Teorema 1.13
∞
X
qk =
k=1
1
1−q
quando −1 < q < 1 ed in particolare converge.
11
Dimostrazione
P
Sia −1 < q < 1 P
e sia sn = nk=1 q k = 1 + q + q 2 + ...q n .
Allora q ∗ sn = nk=1 q k+1 = q + q 2 + q 3 ...q n + q n+1 .
Sottraendo le ultime due uguaglianze, otteniamo: (1 − q)sn = 1 − q n+1 e
quindi
1 − q n+1
1
q n+1
1
sn =
=
−
−→
.
1−q
1−q 1−q
1−q
2
12