L’incertezza di misura - 1
L’incertezza di misura
1 - La norma internazionale
Introduzione
L’ISO (International Standard Organization) ha preparato una Guida per l’espressione delle
incertezza di misura (GUM, Guide to the expression of Uncertainty in Measurement).
Tale documento è stato recepito in Italia come Norma UNI-CEI 9 (revisione UNI CEI ENV
13005). Lo scopo della Guida è essenzialmente quello di:
• Promuovere una completa informazione sul come vengono dichiarate le incertezze.
• Fornire una base per il confronto internazionale dei risultati delle misurazioni.
Obiettivi
Nelle applicazioni industriali e commerciali, della sanità come della sicurezza, è necessario
fornire un intervallo intorno al risultato della misurazione entro il quale ci si possa aspettare
che cada gran parte dei valori che sono ragionevolmente ascrivibili a quella grandezza.
Sarebbe opportuno riuscire ad assegnare tale intervallo con una probabilità di copertura, o
livello di fiducia, che corrisponda realisticamente a quello richiesto.
Per avvicinarsi a tale obiettivo, la Guida stabilisce, piuttosto che istruzioni tecnologiche
specifiche, delle regole generali per esprimere l’incertezza di misura.
In tal modo si è voluto indirizzare il documento a contesti anche molto diversi fra loro.
Fra i campi di applicazione della Guida vengono segnalati:
• Mantenere il controllo e la garanzia della qualità nella produzione.
• Garantire la conformità a leggi e regolamenti o imporne il rispetto.
• Condurre la ricerca di base, applicata o di sviluppo, nella scienza e nell’ingegneria.
• Tarare campioni e strumenti, ed effettuare prove nell’ambito di un Sistema Nazionale di
Taratura, per conseguire la riferibilità ai campioni nazionali.
• Sviluppare, mantenere e confrontare campioni di riferimento internazionali e nazionali,
compresi i materiali di riferimento.
L’incertezza del risultato di una misurazione costituisce, in fondo, la mancanza di una
conoscenza esatta del misurando. Così il risultato di una misurazione, quand’anche
riuscissimo a correggere effetti sistematici identificati, costituisce sempre una stima del valore
del misurando. L’incertezza sperimentale è dovuta a numerosi fattori, fra i quali:
• Definizione incompleta del misurando.
• Imperfetta realizzazione del misurando.
• Non rappresentatività della campionatura.
• Inadeguata conoscenza delle condizioni ambientali, o dei loro effetti sulla misurazione.
• Distorsione personale dell’operatore nella lettura di strumenti analogici.
• Risoluzione finita degli strumenti.
• Valori non esatti dei campioni e dei materiali di riferimento.
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2 - L’incertezza di misura
• Valori non esatti delle costanti e dei parametri usati per gli algoritmi di valutazione.
• Approssimazioni o semplificazioni del metodo o del procedimento sperimentale.
• Variazioni del misurando in condizioni apparentemente identiche.
Tutti questi fattori, inoltre, non sempre sono indipendenti.
La Guida raggruppa le componenti di incertezza in due categorie, a seconda del metodo di
valutazione:
Componenti valutate con metodi statistici (tipo A).
Componenti valutate con altri metodi (tipo B).
2 - Richiami di statistica e probabilità
Osservazioni ripetute
Supponiamo di voler conoscere una grandezza fisica X, raccogliendo allo scopo una serie di
misure, ripetute nelle stesse condizioni sperimentali.
Siano N i valori misurati (x1, x2, ... xk ... xN), dove xk è il generico valore di una misurazione.
Questi valori non saranno tutti uguali, per numerosi motivi, come già detto.
Definiamo allora il valor medio per l’insieme dei valori misurati:
x=
1
N
N
∑ xk
(2.1)
k =1
È ragionevole ritenere che il valore medio di un insieme di N misure costituisca la stima
migliore del vero valore della grandezza in esame.
Per ciascuna misura xk, potremo considerare la deviazione dal valor medio:
δk = xk − x
(2.2)
Le deviazioni possono essere di valore sia positivo che negativo.
Appare interessante ricercare un indice complessivo dell’entità di tali scostamenti. Tale indice
non può essere il valore medio degli scostamenti, in quanto questo valore è ovviamente nullo,
come si evince facilmente facendo la media di entrambi i termini dell’espressione (2.2).
Risulta più idoneo un indice quadratico, come la varianza.
Definiamo varianza sperimentale dell’insieme di N misure, il valore medio del quadrato delle
deviazioni:
1
s ( xk ) =
N
2
N
∑
δ k2
k=1
1
=
N
N
∑ ( xk − x ) 2
(2.3)
k=1
Da questa varianza si deduce lo scarto tipo sperimentale:
s ( xk ) =
1
N
N
∑ δ2k =
k =1
1
N
N
∑ ( xk − x ) 2
(2.4)
k =1
Lo scarto tipo o deviazione standard rappresenta un indice appropriato della dispersione delle
misure attorno al valore medio. La sua definizione sarà tuttavia affinata in seguito,
considerando che le N misure non rappresentano l’insieme (popolazione) di tutte le misure ma
solo un campione limitato dell’infinità di misure eseguibili.
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L’incertezza di misura - 3
Istogrammi delle osservazioni
I risultati di numerose misure ripetute sulla stessa grandezza possono essere graficamente
rappresentati su opportuni diagrammi, detti istogrammi.
Questi si costruiscono con alcune semplici operazioni:
si individuano i valori massimo (xmax) e minimo (xmin) tra le N misure della grandezza X;
si divide l’intervallo (xmax - xmin) in un numero M di intervallini di uguale ampiezza, ciascuno
dei quali può essere identificato col suo valore centrale xi (i = 1, ..., M);
si conta il numero ni delle misure che ricadono in ciascun intervallino;
si calcola la frequenza di osservazione dividendo questo numero per il numero totale delle
osservazioni N:
fi =
ni
N
(i = 1, 2, ... M ) ⇒
M
∑ fi = 1
(2.5)
i=1
si rappresenta su un grafico il valore del numero delle osservazioni relative a ciascun
intervallo, oppure la corrispondente frequenza.
Per comprendere il modo di operare, si consideri, come esempio, la misura ripetuta di una
tensione V, eseguita con uno strumento numerico che consente di rappresentare sul display
solo una cifra dopo il punto decimale.
Operando su portate di volt, la minima differenza fra due letture distinte è perciò 0,1 V.
La generica indicazione vk dello strumento di misura può aversi per qualsiasi valore di
tensione compreso entro l’intervallo vk ± 0,05 V. In tal modo tutti i valori compresi in questo
intervallo vengono automaticamente raggruppati dallo strumento in un unico valore vi,
rappresentativo dell’intervallo stesso.
Supponiamo, per fissare le idee, che i valori misurati siano tutti compresi nell’intervallo 99,5
V ÷ 100,5 V: il numero M dei valori distinti delle misure risulta pari a 11.
Poiché molte misurazioni porteranno allo stesso valore, indichiamo con ni il numero di volte
che si presenta il valore vi.
Il risultato delle prove può essere riassunto in un istogramma che, per ciascuno degli 11 valori
possibili, riporta il numero di osservazioni ni che cadono nella i-esima classe vi. In alternativa
(vedi Fig.2.1), se N è il numero totale di osservazioni, si può rappresentare direttamente la
frequenza con cui si ripete il valore della classe vi.
Fig.2.1 - Istogramma del numero di osservazioni.
La somma di tutte le frequenze di occorrenza fi deve risultare evidentemente pari a uno.
Con riferimento alle frequenze fi, il valor medio e la varianza possono riscriversi nella forma:
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4 - L’incertezza di misura
x=
1
N
N
M
k=1
i=1
∑ xk = ∑ xi
ni M
= ∑ xi f i
N i=1
(2.6)
1 N 2 M 2 ni M 2
= ∑ δi f i
s ( xi ) = ∑ δ k = ∑ δi
N k=1
N i=1
i=1
2
(2.7)
essendo δi = xi − x lo scostamento della i-esima classe rispetto al valore medio.
Il concetto di probabilità e i parametri statistici
Se fosse possibile effettuare sulla stessa grandezza fisica X un numero N di misure
infinitamente grande, le frequenze di occorrenza dei diversi valori rappresenterebbero le
probabilità della intera popolazione.
L’insieme delle misure può allora essere visto come una variabile aleatoria discreta X, dove
ciascuno dei possibili valori xi è caratterizzato dalla sua probabilità di occorrenza:
ni
N →∞ N
Prob( xi ) = P ( xi ) = Pi = lim f i = lim
N →∞
(2.8)
Se si infittisce il passo di osservazione (nell’esempio del voltmetro ciò equivarrebbe ad
aumentare la risoluzione dello strumento impiegato per le misure) la distribuzione delle
osservazioni mantiene lo stesso andamento e l’istogramma tende ad assumere un aspetto
continuo.
Molti fenomeni fisici, interessati solo da errori casuali, se osservati un numero di volte molto
grande, obbediscono a una legge di occorrenza degli eventi detta Gaussiana o Normale, il cui
comportamento è stato rappresentato nella Fig.2.2.
Il diagramma della curva Normale o di Gauss per una variabile aleatoria continua X riporta in
ascisse i possibili valori continui x della variabile aleatoria, mentre in ordinate si riporta la
densità di probabilità p(x) con cui si osservano tali valori e la probabilità cumulativa P(x).
Fig.2.2 - Densità di probabilità p(x) e probabilità cumulativa P(x).
La densità di probabilità p(x) è, in generale, quella funzione continua che, moltiplicata per una
variazione infinitesima dx dell’ascissa, fornisce la probabilità che la variabile aleatoria X cada
entro l’intervallo di ampiezza dx, contiguo al valore corrente x:
Prob[x ≤ X < ( x + dx)] = p( x)dx
(2.9)
La probabilità cumulativa P(x) è la probabilità che la variabile aleatoria X sia minore del
valore corrente x:
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L’incertezza di misura - 5
Prob[X < x] = P( x) = ∫
x
-∞
p( z )dz
⇒
+∞
∫ -∞ p( x)dx = 1
(2.10)
La probabilità che la variabile aleatoria X assuma un valore qualsiasi, compreso entro tutto il
campo di definizione, è pari a uno.
Le funzioni introdotte con le relazioni precedenti rappresentano le distribuzioni di probabilità
della variabile casuale X.
Nota la densità di probabilità p(x) di una variabile aleatoria continua X si definiscono il valore
medio e la varianza, rispettivamente:
μ=∫
+∞
-∞
x p( x)dx
σ2 = ∫
+∞
-∞
( x − μ )2 p( x)dx
(2.11)
Si noti la sostanziale analogia delle diverse relazioni, nel caso delle variabili aleatorie discrete
(relazioni 2.6 e 2.7) e continue (relazioni 2.11).
La radice quadrata della varianza è ancora definita come scarto tipo o deviazione standard σ.
Talvolta la densità di probabilità p(x) è riferita, anziché ai valori x delle misure, alle loro
deviazioni δ = (x − μ) , tramite una semplice traslazione pari al valor medio (vedi Fig.2.3).
In tal modo, nota la densità di probabilità delle deviazioni p(δ), può essere valutata la
probabilità che la variabile aleatoria Δ sia compresa entro un assegnato intervallo di valori.
Fig.2.3 - Densità di probabilità delle deviazioni.
Valori caratteristici
Gli intervalli usuali sono riferiti allo scarto tipo σ o a suoi multipli.
Per la curva Normale si ottiene:
Prob[-σ ≤ Δ < + σ] = 68,27 %
(2.12)
Prob[-2σ ≤ Δ < +2σ] = 95,45 %
Prob[-3σ ≤ Δ < +3σ] = 99,73 %
Ciò significa che assumendo, per esempio, un intervallo di riferimento pari a 3σ, la
probabilità che tutti gli scarti possibili cadano entro l’intervallo ± 3σ è del 99,73%.
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6 - L’incertezza di misura
3 - Valutazione delle incertezze
Stime di parametri da campioni
Parlando di variabili aleatorie si è detto che la valutazione delle probabilità presuppone
un’indagine su un numero teoricamente infinito di elementi, costituenti l’intera popolazione.
In pratica sarà possibile raccogliere solo un numero limitato di dati, costituenti un campione
dell’intera popolazione.
Con riferimento a un campione di N elementi, si dimostra che il valor medio sperimentale,
definito nell’espressione (2.1), costituisce la stima migliore del valore atteso μ della
popolazione e pertanto viene assunto come risultato della misura. Per quanto riguarda invece
lo scarto tipo σ, una stima più corretta si ottiene dividendo per (N-1), anziché per N
nell’espressione dello scarto tipo sperimentale:
s ( xk ) =
1 N
∑ ( x k − x )2
N − 1 k=1
(3.1)
Questa precisazione assume scarso rilievo quando N sia abbastanza grande.
In ogni caso, la deviazione standard sperimentale s(xk) rappresenta il grado di attendibilità
della generica misura xk fra le N del campione, o, in altri termini, quantifica la dispersione
degli N valori misurati attorno al loro valore medio x .
Ma, dal momento che il valore assegnato alla grandezza è il valore medio sperimentale x , è
importante valutare quale sia il grado di attendibilità di questo risultato.
A tale scopo, se considerassimo diverse serie di misure, ciascuna formata da N osservazioni,
potremmo calcolare evidentemente, per ciascuna serie, il valore medio e la varianza.
Vista la dimensione finita N di ciascun campione, il valore medio e la varianza sperimentali
saranno in generale diversi per ogni campione di N misure e costituiranno perciò delle
variabili aleatorie a loro volta.
Si dimostra che la varianza del valor medio, fra i vari gruppi di N misure, è esprimibile nel
seguente modo:
s 2 ( xk )
s (x ) =
N
2
⇒
s(x ) =
s ( xk )
N
(3.2)
dove s(xk ) è lo scarto tipo per il campione delle N misure considerate.
Tale scarto tipo costituisce una stima della deviazione standard σ di tutta la popolazione.
Valutazione dell’incertezza di tipo A
La varianza sperimentale della media s 2 (x ) e lo scarto tipo sperimentale della media s( x ) ,
indicano quanto bene x stimi il valore medio μ della popolazione (valore atteso) e pertanto
verranno adottati come valutazioni quantitative della incertezza di x .
Diremo quindi che una grandezza fisica X determinata con N osservazioni ripetute, avrà una
incertezza (uncertainty) sulla sua stima x pari a:
u 2 ( x ) = s 2 ( x ) in termini di varianza ; u ( x ) = s( x ) in termini di scarto tipo
Valutazione dell’incertezza di tipo B
Quando una grandezza X non viene determinata da osservazioni ripetute, bensì con una
misura singola, la varianza stimata u 2 ( x ) o l’incertezza u(x) sono valutate per mezzo di un
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L’incertezza di misura - 7
giudizio scientifico basato su tutte le altre informazioni disponibili:
• dati di misurazioni precedenti,
• conoscenza del comportamento e delle proprietà dei materiali e degli strumenti,
• specifiche tecniche del costruttore,
• dati forniti in certificati di taratura,
• incertezze assegnate a valori di riferimento presi da manuali.
L’uso di tali informazioni per una valutazione di incertezza di tipo B richiede conoscenza,
esperienza e perizia che possono acquisirsi solo con la pratica e quindi col tempo.
L’analisi statistica sulle misure è un’indagine che viene fatta usualmente durante le procedure
di taratura di uno strumento, quando ne vengono determinate le caratteristiche metrologiche.
Il certificato di taratura accompagna il singolo strumento nel suo impiego e chi lo utilizza sa
che le indicazioni fornite possono avere un’incertezza compresa entro l’intervallo dichiarato
sul certificato di taratura, con un assegnato livello di confidenza.
Più spesso, i costruttori di strumentazione assegnano le specifiche di accuratezza con valori
numerici validi per tutti gli esemplari di un dato modello e per essi dichiarano semplicemente
un intervallo di ampiezza (-a, +a), centrato sul valore letto, entro il quale si ritiene che cada il
valore del misurando. In tal caso, per poter calcolare il valore dell’incertezza in termini di
varianza o di deviazione standard, in modo da avere a disposizione un’informazione
confrontabile con quella ottenuta con la valutazione di tipo A, è necessario ipotizzare la
distribuzione di probabilità da considerare all’interno dell’intervallo (-a, +a).
Nella maggior parte dei casi è prassi comune assumere all’interno di questo intervallo una
probabilità uniforme. Pertanto, detto z il generico scostamento in tale intervallo, si ha p(z) =
1/2a e la varianza della misura x è:
u 2 (x ) = ∫
a
−a
z 2 p ( z ) dz =
a
∫ −a z
2
1
1
dz = a 2
2a
3
(3.3)
L’incertezza associata alla quantità x risulta quindi: u ( x ) =
a
.
3
L’ipotesi di distribuzione uniforme è piuttosto pessimistica, ma è anche quella suggerita dalla
GUM in mancanza di ulteriori informazioni.
Se invece fosse possibile ipotizzare che non tutti i valori dell’intervallo (-a, +a) sono
ugualmente probabili, ma al contrario quelli più centrali hanno maggiori probabilità di
verificarsi, si potrebbe assumere una distribuzione di tipo gaussiano.
In questo caso di dovrebbe considerare il valore a come quello per il quale l’intervallo (-a,
+a) contiene la quasi totalità dei valori possibili e quindi, sulla base delle relazioni (2.12),
l’indicazione a sarebbe pari a tre volte la deviazione standard della distribuzione ipotizzata.
a
Conseguentemente, l’incertezza associata alla quantità x risulterebbe: u ( x ) = .
3
Un caso intermedio tra i due esaminati è quello di assumere una distribuzione di probabilità
triangolare, con valore massimo pari a 1/a in corrispondenza del valore centrale
dell’intervallo. Ciò porterebbe ad un’incertezza, espressa ancora in termini di deviazione
a
standard, pari a u ( x ) =
.
6
Combinazione delle incertezze
La definizione dello scarto tipo o della varianza si rivela particolarmente utile nell’analisi
della combinazione delle incertezze di più fenomeni aleatori, cioè nella valutazione della
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8 - L’incertezza di misura
incertezza di quantità determinate in modo indiretto: y = f ( x1 , x2 ,.., xm ) .
In tal caso ciascuna delle grandezze indipendenti xi (i=1, .., m) viene considerata una variabile
aleatoria, pertanto caratterizzata con la sua densità di probabilità (calcolata oppure ipotizzata a
priori) ed i suoi parametri statistici. Le varianze delle variabili aleatorie rappresentano, come
detto, le loro incertezze u 2 (xi ) , che possono essere valutate indifferentemente con metodi di
tipo A o B. Si dimostra che, se le variabili aleatorie sono tutte fra loro statisticamente
indipendenti, l’incertezza stimata sulla determinazione indiretta della quantità y, risulta:
⎛ ∂f
u c ( y ) = ∑ ⎜⎜
i =1 ⎝ ∂xi
m
2
⎞ 2
⎟⎟ u ( xi )
⎠
(3.4)
Il valore uc(y) viene detto incertezza tipo composta associata alla grandezza y.
La legge di propagazione (3.4) è di grande utilità nella valutazione di incertezze su grandezze
misurate per via indiretta. Tuttavia la sua applicazione pratica risulta in molti casi difficoltosa
a causa della difficile valutazione delle derivate parziali della funzione f (i cosiddetti
∂f
coefficienti di sensibilità
). Questo si verifica quando la funzione non è definita in forma
∂ xi
chiusa o quando è costituita da un algoritmo di elaborazione del segnale complesso.
In questi casi occorre utilizzare metodi alternativi, come quelli sperimentali o simulazioni.
Inoltre, in presenza di correlazione fra le variabili di ingresso, la relazione (3.4) deve essere
modificata con la presenza di opportuni termini aggiuntivi:
uc ( y ) =
2
m −1 m
⎛ ∂f ⎞ 2
∂f ∂f
⎜⎜
⎟⎟ u ( xi ) + 2
u(xi , x j )
∂
∂
∂
x
x
x
i
i
j
⎝
⎠
i =1
i =1 j = i +1
m
∑
∑∑
(3.5)
In (3.5) il termine u(xi, xj) rappresenta la covarianza tra le variabili aleatorie xi e xj, ed è
un’indicazione della loro mutua dipendenza. Se le due grandezze sono state ottenute sulla
base di N misure, la covarianza tra le loro medie può essere stimata come:
N
1
(xi − xi )(x jk − x j )
(3.6)
u (xi , x j ) =
N (N − 1) k=1 k
Spesso, le dipendenza tra due variabili aleatorie è espressa in termini di coefficiente di
correlazione:
∑
(
) u(ux(x)i⋅,ux(jx) )
i
j
r xi , x j =
(3.7)
Questo coefficiente è sempre compreso tra -1 e 1, ed è nullo se le due grandezze non sono tra
loro correlate, mentre è unitario se sono totalmente correlate, cioè se ad ogni variazione di una
di esse corrisponde una determinata variazione dell’altra.
E’ importante osservare che, mentre nella sommatoria della relazione (3.4) tutti i termini sono
quadratici e quindi positivi, nella seconda sommatoria della (3.5) possono esistere termini sia
positivi che negativi. Quindi la presenza di eventuali correlazioni tra le variabili di ingresso
può comportare sia incrementi che riduzioni dell’incertezza composta.
La correlazione tra due grandezze può essere insita nel modello matematico utilizzato oppure
può essere causata dalle condizioni ambientali. Spesso la sua determinazione quantitativa
risulta difficile, soprattutto per misure non ripetute, per le quali non si può applicare la (3.6).
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Talvolta queste difficoltà inducono a trascurare questi contributi, introducendo però nella
valutazione dell’incertezza approssimazioni non sempre accettabili.
Incertezza estesa
L’incertezza composta uc(y) viene universalmente accettata per esprimere l’incertezza di una
misurazione. Normalmente, tuttavia, si richiede che la valutazione quantitativa dell’incertezza
venga data come un intervallo U intorno al risultato della misurazione che comprenda
"ragionevoli" valori del misurando. Tale intervallo è denominato incertezza estesa, e si ottiene
moltiplicando l’incertezza composta uc(y) per un fattore di copertura k:
U = k ⋅ uc (y)
(3.6)
Perciò diremo che il misurando Y sarà stimato nel modo migliore dal risultato y della
misurazione, scrivendo: Y = y ±U . Il fattore di copertura k viene scelto in base al livello di
fiducia p che viene richiesto all’intervallo [( y −U ) ÷ ( y +U )] , vedi Fig.3.1.
Il livello di fiducia p rappresenta la probabilità di copertura di questo intervallo, cioè la
probabilità che il risultato dichiarato cada entro l’intervallo [( y −U ) ÷ ( y +U )] .
Fig.3.1 - Incertezza composta uc(y) ed estesa U; k = 2.
Il legame fra k e p può essere stabilito se sono note le distribuzioni di probabilità che
caratterizzano i risultati della misurazione. In pratica quindi non è facile determinare un
legame rigoroso. Un metodo semplice, adeguato a molte situazioni sperimentali, ipotizza la
distribuzione delle probabilità di tipo normale o gaussiano e considera un numero di gradi di
libertà sufficientemente elevato. Il numero di gradi di libertà è costituito dal numero di
termini di una somma (per esempio medie o varianze) meno il numero di vincoli su tali
termini. Con queste ipotesi, frequenti nella pratica, si può ritenere che:
k = 2 corrisponda a un livello di fiducia di circa il 95%
k = 3 corrisponda a un livello di fiducia di circa il 99%
Dichiarazione dell’incertezza
Si consideri infine il modo formale di dichiarare l’incertezza.
Supponiamo di avere, per esempio, una massa per la quale si abbia un valore di 100,021 47
grammi e ipotizziamo una deviazione standard di 0,35 milligrammi.
Potremo scrivere il risultato della sua misurazione in uno dei modi seguenti:
Utilizzando l’incertezza composta uc(y), scriveremo:
m = 100,021 47 (0,000 35) g.
Utilizzando l’incertezza estesa U con fattore di copertura k = 2, scriveremo:
m = (100,021 47 ± 0,000 70) g.
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10 - L’incertezza di misura
4 - L’incertezza nelle valutazioni di conformità
Le misurazioni vengono spesso effettuate per verificare che il risultato ricada entro un
intervallo di valori considerato accettabile. È questo il caso della metrologia industriale,
quando sia necessario verificare la conformità a specifiche di prodotti, sia nella fase di
produzione che in quella di accettazione, e della metrologia legale, quando si debba verificare
il rispetto di limiti imposti dalla normativa (p. es. il livello di inquinamento elettromagnetico).
Se fosse possibile effettuare misure prive di incertezze le regole decisionali per l’accettazione
o il rifiuto di un prodotto o per la verifica del rispetto di limiti sarebbero molto semplici: se la
misura ricade entro l’intervallo considerato accettabile, l’esito è positivo, se cade al di fuori di
tale intervallo l’esito è negativo.
L’inevitabile presenza di incertezza associata al risultato della misura introduce però una
situazione di indeterminazione in alcuni casi critici.
Se infatti il risultato della misurazione y si trova vicino a uno dei limiti imposti, è possibile
che l’intervallo individuato dall’incertezza estesa (y ± U) sia contenuto in parte in zona di
accettazione e in parte in zona di reiezione.
Dal momento che, per la definizione stessa di incertezza, tutti i valori contenuti in questo
intervallo rappresentano possibili valori veri della misura, non è possibile stabilire con
certezza la conformità o meno del risultato.
Si definiscono pertanto tre fasce di valori, illustrate in Fig.4.1 con riferimento alla verifica di
conformità dimensionale di un prodotto.
Fig.4.1 - Definizione delle zone di conformità, non conformità e incertezza.
La grandezza sotto verifica deve essere nominalmente compresa nella Zona di Specifica,
individuata tra il Limite Inferiore LI e il Limite Superiore LS. Di fatto si hanno:
Zona di conformità: è la zona di specifica ridotta dell’incertezza estesa (se la misura ricade in
questa zona, l’esito del confronto è da considerarsi positivo);
Zona di non conformità: è la zona al di fuori delle specifiche, comprensiva dell’incertezza
estesa di misura (se la misura ricade in questa zona, l’esito del confronto è da considerarsi
negativo);
Zona di incertezza: è la zona attorno ai limiti delle specifiche, con ampiezza pari al doppio
dell’incertezza estesa (se la misura ricade in questa zona, non è possibile stabilire con certezza
la conformità o la non conformità).
Soltanto opportune indicazioni normative (come quelle previste nella ISO 14253, che riguarda
le specifiche dimensionali dei prodotti) oppure accordi preventivi tra le parti possono definire
le azione da intraprendere quando il risultato di una misura cada all’interno della zona di
incertezza.
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L’incertezza di misura - 11
Il “punto di vista”
Consideriamo la valutazione di conformità su una particolare proprietà di un prodotto o di
servizio. Supponiamo, per esempio, che si tratti di un prodotto o di un servizio in commercio
e che la proprietà in oggetto sia disciplinata per legge. Supponiamo inoltre che la legge
preveda, per la proprietà in oggetto, un valore limite massimo (VL) che non deve essere
superato. Normalmente i limiti di legge vengono stabiliti senza incertezza, mentre l’incertezza
deve essere considerata in sede di verifica di conformità.
Poiché il prodotto o servizio viene venduto, la verifica di conformità deve essere fatta
innanzitutto dal produttore, in sede di fabbricazione del bene o servizio che viene posto in
vendita. Inoltre, la verifica di conformità può anche essere richiesta dai consumatori, che si
rivolgono alla magistratura per la tutela dei loro diritti.
1) Nel caso in cui dalla verifica di conformità scaturisce una sanzione o un’azione restrittiva
(ritiro del prodotto dal mercato), chi compie tale verifica, tipicamente il magistrato tramite i
suoi consulenti, ha necessità che il rischio di emettere un giudizio sbagliato sia
particolarmente limitato. Pertanto, prima di procedere con le sanzioni o le azioni restrittive, il
magistrato vorrà che la misura di quel parametro abbia un’elevata probabilità di essere oltre il
limite VL ammesso dalla legge. Le conclusioni saranno prese in base alle misure e a
ragionevoli ipotesi sul loro uso.
Supponiamo che le misure fatte abbiano una distribuzione di tipo normale con scarto tipo σ.
Supponiamo inoltre di stabilire un’incertezza U = 2σ: ciò significa avere una probabilità di
oltre il 95% che il paramento misurato sia entro questo intervallo. Le code della gaussiana
racchiudono dunque una probabilità di 2,5% ciascuna.
Un modo di procedere potrebbe essere quello di accettare tutti i risultati di misura che
arrivano fino al valore (VL + U), prima di applicare sanzioni o azioni restrittive (vedi la
Fig.4.2B).
Fig.4.2 - Il punto di vista nella verifica di conformità:
A) per immettere nel mercato, B) per sanzionare.
Con questo criterio, la probabilità di sanzionare avendo valori della variabile sotto il limite VL
è minore del 2,5%:
Prob[ X < VL] = ∫
VL
−∞
p( x )dx < 2,5%
(4.1)
2) L’altro punto di vista (Fig.4.2A) è quello del produttore del bene o servizio. Il produttore
deve immettere nel mercato beni o servizi che abbiamo una elevata probabilità di rispettare i
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12 - L’incertezza di misura
limiti di legge. Se assumiamo le stesse ipotesi di prima (distribuzione normale delle misure e
incertezza U = 2σ) si deduce che, in sede di produzione, si dovranno accettare solo i risultati
di misura che arrivano fino al valore (VL - U), prima di prendere provvedimenti sul controllo
di produzione. In tal modo avremo una probabilità non più grande del 2,5% di superare i
limiti di legge (Fig.4.2A):
Prob[ X > VL] = ∫
∞
VL
p( x )dx < 2,5%
(4.2)
5 - Esempi di calcolo delle incertezze
Propagazione dell’incertezza
Valutare, secondo la Guida GUM, l’incertezza assoluta della grandezza y, definita per via
indiretta attraverso la funzione y = xa(xb - xc), conoscendo:
• i valori delle grandezze direttamente misurate (xa = 3,49 ; xb = 2,00 ; xc = 0,75) e
• le rispettive incertezze assolute (ua = 0,05; ub = 0,02; uc = 0,01).
Si supponga che le tre grandezze xa, xb e xc siano indipendenti tra loro.
Soluzione
I pesi delle incertezze parziali sono:
∂y
= xb − xc = 2,00 − 0,75 = 1,25
∂xa
∂y
= xa = 3,49
∂xb
∂y
= − xa = −3,49
∂xc
L’incertezza composta risulta:
2
u 2y
2
2
⎛ ∂y ⎞ 2 ⎛ ∂y ⎞ 2 ⎛ ∂y ⎞ 2
⎟⎟ ua + ⎜⎜
⎟⎟ ub + ⎜⎜
⎟⎟ uc =
= ⎜⎜
⎝ ∂xa ⎠
⎝ ∂xb ⎠
⎝ ∂xc ⎠
= (1,25 ⋅ 0,05)2 + (3,49 ⋅ 0,02 )2 + (− 3,49 ⋅ 0,01)2 =
= 0,00390 + 0,00487 + 0,00122 = 0,010 ⇒ u y = 0,010 = 0,10
Incertezze di prodotti e rapporti
Si consideri un carico resistivo R alimentato da una tensione continua V e attraversato da una
corrente continua I.
Si supponga di misurare separatamente le due grandezze V e I, ottenendo i seguenti risultati,
con le incertezze (espresse in termini di deviazione standard) ad essi associate:
• Tensione V = 220,6 V;
deviazione standard: 0,6 V
• Corrente I = 13,5 A;
deviazione standard: 0,1 A
Determinare:
• i valori della potenza P e della resistenza R;
• la loro incertezza composta (deviazione standard) ed incertezza estesa (utilizzando un
fattore di copertura k = 3);
• i valori relativi delle incertezze estese rispetto ai valori di potenza e di resistenza misurati.
• Commentare il risultato.
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L’incertezza di misura - 13
Soluzione
1) La potenza e la resistenza sono:
P = V ⋅ I = 220,6 ⋅ 13,5 = 2,978 ⋅ 103 W
R=
V 220,6
=
= 16,34 Ω
13,5
I
2) L’incertezza sulla potenza P è:
2
2
⎛ ∂P ⎞ 2 ⎛ ∂P ⎞ 2
2
2
2
2
uP = ⎜
⎟ uV + ⎜ ⎟ u I = I ⋅ uV + V ⋅ u I =
⎝ ∂V ⎠
⎝ ∂I ⎠
= 13,52 ⋅ 0,62 + 220,62 ⋅ 0,12 = 65,61 + 486,64 = 23,5 W
u P ,3 = 3 ⋅ u P = 70,5 W
L’incertezza sulla resistenza R è:
2
2
2
2
⎛1⎞ 2 ⎛ V ⎞ 2
⎛ ∂R ⎞ 2 ⎛ ∂R ⎞ 2
uR = ⎜
⎟ uV + ⎜ ⎟ u I = ⎜ ⎟ uV + ⎜ − 2 ⎟ u I =
⎝ I ⎠
⎝ ∂I ⎠
⎝I⎠
⎝ ∂V ⎠
2
2
⎛ 1 ⎞
2 ⎛ 220,6 ⎞
⎟ ⋅ (0,1) 2 = 1,98 ⋅ 10− 3 + 14,66 ⋅ 10− 3 = 0,129 Ω
= ⎜
⎟ ⋅ 0,6 + ⎜⎜
2⎟
⎝ 13,5 ⎠
⎝ (13,5) ⎠
uR ,3 = 3 ⋅ uR = 0,387 Ω
3) Le incertezze relative sono invece:
70,5
= 2,37%
2,978 ⋅103
0,387
= 100
= 2,37%
16,34
uP,3,% = 100
uR,3,%
Si osserva che l’incertezza relativa sulla potenza e sulla resistenza è la stessa.
Ciò è dovuto al fatto che la potenza P e la resistenza R sono ottenute dalle stesse grandezze V
ed I, in un caso a prodotto e nell’altro a rapporto: questo fatto comporta l’uguaglianza degli
errori relativi.
Medie statistiche
Per misurare una corrente continua I si applica la legge di Ohm, misurando la tensione V ai
terminali di una resistenza di shunt R di valore noto, in cui la corrente I viene fatta passare.
Il valore della resistenza è R = 100 mΩ, con incertezza uR = 250 μΩ, assegnata dal costruttore
in termini di scarto tipo.
Per misurare la tensione V si effettuano cinque osservazioni, ottenendo i seguenti valori vk:
2,026 V; 2,034 V; 2,030 V; 2,022 V; 2,035 V.
Si determini:
• La media delle misure di tensione e l’incertezza uV ad essa associata.
• Il valore della stima della corrente, e l’incertezza tipo composta uI di tale risultato.
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14 - L’incertezza di misura
Soluzione
1) Il valore medio della tensione:
v=
1 5
∑ uk = 2,029 V
5 k =1
La deviazione standard:
1 5
( vk − v ) 2 = 5,459 ⋅ 10− 3 V
∑
5 − 1 k =1
s ( vk ) =
Lo scarto tipo sperimentale della media:
s(v ) =
s ( vk )
= 2,441 ⋅ 10− 3 V ⇒ uV = s( v ) = 2,441 ⋅ 10 − 3 V
5
2) La stima della corrente:
I =
2,029
V
=
= 20,29 A
R 100 ⋅ 10 − 3
L’incertezza sulla corrente:
2
2
2
2
⎛1⎞ 2 ⎛ V ⎞ 2
⎛ ∂I ⎞ 2 ⎛ ∂I ⎞ 2
uI = ⎜
⎟ uV + ⎜ ⎟ uR = ⎜ ⎟ uV + ⎜ − 2 ⎟ uR =
⎝ R ⎠
⎝R⎠
⎝ ∂R ⎠
⎝ ∂V ⎠
2
⎛ 2,029
1
⎞
⎛
−3 2 ⎜
⋅
⋅
+
= ⎜
(
2
,441
10
)
⎟
−3
⎜ 100 ⋅10− 3
⎝ 100 ⋅10 ⎠
⎝
(
2
⎞
⎟ ⋅ (250 ⋅10− 6 ) 2 =
2⎟
⎠
)
= 5,958 ⋅ 10− 4 + 2,573 ⋅10− 3 = 5,63 ⋅ 10− 2 A
Misure per differenza
Si vuole misurare la potenza perduta in un dispositivo di conversione dell’energia eseguendo
la differenza tra la potenza in ingresso P1 e quella in uscita P2: Pp = P1 - P2.
Per misurare le due potenze si impiegano due wattmetri digitali dello stesso tipo, aventi le
seguenti specifiche di accuratezza:
• incertezza percentuale riferita al fondo scala FS: i1% = 0,1 %;
• incertezza percentuale riferita al valore letto: i2% = 0,2 %.
I wattmetri sono predisposti sulla portata FS = 2 kW e le letture risultano:
P1 = 1540 W e P2 = 1512 W.
Determinare:
• l’incertezza assoluta e relativa nelle misure di P1 e P2;
• la stima della potenza perduta, e l’incertezza composta di tale risultato (considerate le
misure delle potenze P1 e P2 tra loro indipendenti);
• la quota di potenza persa sulla potenza in transito;
• l’incertezza relativa di Pp.
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L’incertezza di misura - 15
Soluzione
1) L’incertezza assoluta sulle potenze P1 e P2:
1
(i1 % ⋅ PFS + i2 % ⋅ P1 ) = 1 (0,1⋅ 2000 + 0,2 ⋅1540) = 5,08 W
100
100
1
(i1 % ⋅ PFS + i2 % ⋅ P2 ) = 1 (0,1⋅ 2000 + 0,2 ⋅1512) = 5,02 W
=
100
100
u P1 =
uP2
L’incertezza relativa sulle potenze P1 e P2:
u P1 % = 100
u P1
5,08
= 100
= 0,33%
P1
1540
u P 2 % = 100
uP2
5,02
= 100
= 0,33%
P2
1512
2) La potenza persa:
Pp = P1 − P2 = 1540 − 1512 = 28 W
3) La quota di potenza persa sulla potenza in transito:
Pp
P1
=
Pp
28
28
≅
=
= 1,8%
1540 P2 1512
4) L’incertezza sulla potenza persa:
u Pp
⎛ ∂Pp
= ⎜⎜
⎝ ∂P1
2
⎞ 2 ⎛ ∂Pp
⎟⎟ u P1 + ⎜⎜
⎠
⎝ ∂P2
2
⎞ 2
⎟⎟ u P 2 =
⎠
(1)2 ⋅ u P2 1 + (− 1)2 u P2 2
=
= 25,8 + 25,2 = 7,14 W
u Pp % = 100
u Pp
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Pp
= 100
7,14
= 25,5%
28
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