Classe 4 C – anno scolastico 2011 - 2012
Risolvi le equazioni
1)
3
9
0
[x= ]
2) 4x+1 – 8 ⋅ 2x+2 = 2x – 8
[x = - 2 ∨ x = 3 ]
Risolvi le disequazioni
1
3)
4)
[0<x<5]
[x < - 3 ∨ x > 0 ]
>0
Calcola il dominio della funzione
3·5
5) y = √5
2
[x≥0]
6) log9(1 – x2) < log3(- x )
[-1<x<
7) 2Log2x – Log10x ≥ 0
[0 < x ≤
8) log
9)
/
/
log
| |
0
/
> log
/
1
| |
√
]
√
∨ x ≥ 10 ]
[
√
]
√
[x<-1∨ x>1]
10) log2(1 + x2) + log1/2(6 – 6x2) > - 1
[- 1 < x <
√
∨
√
1]
Funzioni
11) Rappresenta le funzioni a) y = 1+ log2
b) y = 1 log
c) y = 1 + log
( non riportare solo i grafici ma indica anche i passaggi intermedi)
12) È assegnata la funzione di equazione y =
a) Ricava il dominio della funzione
/
b) Dimostra che ha segno costante nel suo dominio e stabilisci che segno ha.
[ a) x ≠ - 3 ∧ x ≠ -2 ∧ x ≠ - 1; segno negativo ]
13) Sono assegnate le funzioni di equazione y = loga(x + k), determinare per quali valori di
a, k
a) Passano per O(0; 0)
b) Sono monotone decrescenti e hanno asintoto di equazione 4x + 3 = 0
c) Sono positive per x < 1
[ a) k = 1 ∧ a >0 ∧ a ≠ 1; b) 0 < a < 1 ∧ k = ; k = 0 ∧ 0 < a < 1 ]
Problemi
1) È assegnato un triangolo rettangolo isoscele ABC di ipotenusa BC = √2 . Tracciare internamente
al triangolo una semiretta s di origine A e indicare con H la proiezione di B su s. Esprimere, al
variare di s, la differenza HC2 – HB2; rappresentare in [ - π, π] la funzione ottenuta e mettere in
evidenza il tratto di grafico relativo al problema. [ BAH = x , y = (cos2x – 2senx cosx + 1 – sen2x
]
2) È assegnato un settore circolare di raggio OA = OB = r e angolo al centro O
; prolungare il
raggio AO, dalla parte di A, di un segmento AC = r.
a) Indicato con P un punto dell’arco AB esprimere, al variare di P, la differenza tra l’area
del triangolo POC e il doppio dell’area del triangolo POB. Rappresentare in [ 0, 2π ] la
funzione ottenuta e mettere in evidenza il tratto di grafico relativo al problema.
b) Se C è il punto dell’arco AB tale che l’arco BC è doppio dell’arco AC, calcolare il
rapporto tra la corda BC e la corda AC.
√
[ a) AOP = x, y =
b) 2cos
]
3) Due semirette a, b hanno origine in un punto O e formano un angolo α = . Indicato con
A il punto di a tale che OA = c, tracciare per A la retta s parallela alla semiretta b e
indicare con P il punto in cui s interseca una generica retta t interna all’angolo α.
Proiettare P sul lato b in K. Posto O
= x, determinare per quali posizioni di t si ha
AP·OK ≥
.
Equazioni e disequazioni
1) cosx + 1 - 2cos2x > 4sen2
2
[
2) 4sen2x – 2cos2x + 2√3 senx cosx ≥ 1
3) cosx – 2senx +2 < 0
5 5
6 3
4)
2
1
2
∧ x ≠ 2kπ ]
0
Ricavare il dominio delle seguenti funzioni
5)
6)
3
8
[ - artg3 + kπ ≤ x < kπ ∨ artg
+ kπ ≤ x < + kπ ]
1
7) Ricavare in [0, 2π ] il dominio di ciascuna delle funzioni che seguono:
a)
ln √
b)
ln
[ a) 0 < x < π ; b) x =
]
Geometria dello spazio
1) Una piramide ha per base un rettangolo ABCD di dimensioni AB = 8 , BC = 6 . L’altezza
della piramide ha misura 4 e cade nel centro del rettangolo. Calcolare:
a) l’angolo che ciascuna faccia di base forma con il piano della piramide
b) L’angolo che gli spigoli laterali della piramide formano con il piano di base
c) L’altezza del parallelepipedo di superficie laterale massima tra quelli inscritti nella
piramide.
2) Se un parallelepipedo ha due diagonali congruenti allora è un cubo
Se una parallelepipedo ha tre diagonali congruenti allora è un cubo
Le diagonali di un parallelepipedo formano angoli congruenti con il piano di base
Giustifica le risposte che hai dato.
V F
V F
V F
3) È assegnato un triangolo equilatero ABC di lato a
a) Disegnare la piramide retta che ha base ABC e vertice V a distanza 2 dal piano del
triangolo. La piramide ottenuta è un tetraedro regolare? Perché? Calcolare le altezze dei
prismi di superficie laterale
inscritti nella piramide. Calcolare il rapporto dei loro
volumi.
b) Individua una relazione tra le altezze di coppie di prismi che sono inscritti nella piramide
a) e hanno la stessa superficie laterale.
c) Disegnare la piramide che ha base ABC e vertice V’ situato sulla perpendicolare in A al
piano del triangolo e distante 2 dal piano del triangolo. La piramide ottenuta è una
piramide retta? Perché? Calcolare la superficie totale della piramide.
d) Calcolare il rapporto tra la superficie totale della piramide costruita al punto a) e quello
della piramide costruita al punto c).
4) Un parallelepipedo ha una dimensione 2 e la somma delle altre due dimensioni uguale a 6 .
Verificare che tutti i parallelepipedi così costruiti hanno la stessa superficie laterale e calcolarne
il valore. Determinare per quali valori delle dimensioni si ottiene il parallelepipedo che ha
superficie totale massima. Riferendosi al parallelepipedo ottenuto:
a) considerare la piramide che ha i vertici di base nei centri di quattro facce a due a due
opposte e il vertice nel centro di una delle restanti facce, descrivere le sue caratteristiche
b) calcolare l’angolo che il piano formato da due diagonali a scelta del parallelepipedo
forma con il piano di base.
