Kangourou della Matematica 2007 finale

Kangourou della Matematica 2007
finale nazionale italiana
Mirabilandia, 7 maggio 2007
LIVELLO ÉCOLIER
E1. (5 punti ) Il mio orologio digitale segna le 20:07. Quanto tempo deve trascorrere come
minimo perché le stesse 4 cifre ricompaiano sull’orologio, non necessariamente nello stesso
ordine?
Soluzione: 4 ore e 20 minuti. Infatti le stesse cifre si ripresentano per la prima volta alle
00:27.
E2. (7 punti ) Nel mio soggiorno, quadrato e piastrellato con 9 grandi
piastrelle quadrate ho disposto, di sbieco come suggerito dal disegno,
un tappeto quadrato. Prendendo come unità di misura dell’area la
superficie di una piastrella, qual è l’area del tappeto?
Soluzione: 5. Infatti ogni lato del tappeto taglia esattamente a metà
un rettangolo formato dall’unione di due piastrelle, che viene così ad
essere ricoperto esattamente per metà dal tappeto. Quindi sotto il
tappeto c’è l’equivalente di 1 + 4 piastrelle.
1
unità
E3. (11 punti ) Anna ha un puzzle con gli otto pezzi che ti mostriamo in figura.
A
B
C
D
E
F
G
H
Accostandone tre, vuole costruire un quadrato formato da 9 quadratini. In quanti modi diversi
può operare la scelta dei tre pezzi? [Puoi usare la quadrettatura sottostante per riportare i
disegni che hai fatto per motivare la risposta a questo quesito.]
Soluzione: in 7 modi.
Osserviamo che ci sono quattro pezzi da 4 quadretti, due da 3, uno da 2 e uno da 1.
Per avere un quadrato di 9 quadretti si possono accostare o due pezzi da 4 e uno da 1 oppure
un pezzo da 4 uno da 3 e uno da 2.
Dei sei modi con cui si potrebbero scegliere due pezzi da 4, solo
tre consentono di realizzare un quadrato (negli altri casi si hanno
figure con un quadratino “sporgente” e uno “rientrante”).
Dei 2x4 modi in cui si potrebbero scegliere un pezzo da 3 e
uno da 4, solo quattro consentono di realizzare un quadrato
(negli altri casi si hanno figure con un quadratino
“sporgente” e uno “rientrante”).
E4. (14 punti ) In una classe in cui ci sono almeno due maschi e due femmine, ogni ragazzo
stringe una volta la mano a ogni ragazza. In totale sono state effettuate 65 strette di mano.
Quanti sono gli allievi (senza distinguere tra maschi e femmine) di quella classe?
Soluzione: 18.
Se indichiamo con N il numero di ragazze che ci sono in classe, ogni ragazzo effettua N
strette di mano: quindi il numero di strette di mano è il prodotto del numero dei ragazzi per
N. Ora, 65 può essere visto come prodotto di due numeri interi solo in due modi (a meno
dell’ordine dei fattori): 65x1 e 5x13. Dal momento che nella classe ci sono almeno due maschi
e due femmine, 5x13 è il solo caso che fa per noi: quindi gli allievi sono 5+13=18.
E5. (18 punti ) Hai 4 gettoni tondi, 2 triangolari e 5 quadrati. Ogni volta che mi dai
•
un tondo ed un triangolo io ti dò un quadrato
+
=
•
un quadrato ed un triangolo io ti dò un tondo
+
=
•
un tondo ed un quadrato io non ti dò alcun gettone
+
= nulla
e queste sono le sole possibilità che hai di alterare la situazione.
Rispondi alle seguenti domande.
1) Puoi rimanere con 5 quadrati? In che modo (o, in caso negativo, perché no)?
2) Puoi rimanere con un solo gettone? In che modo (o, in caso negativo, perché no)?
3) Puoi eliminare tutti i gettoni? In che modo (o, in caso negativo, perché no)?
Soluzione
1) Sì. È sufficiente che tu mi dia dapprima due tondi e i due triangoli: riceverai da me due
quadrati. A questo punto, se mi ridarai questi due quadrati unitamente ai due tondi che
ti restano, non avrai da me alcun gettone e quindi rimarrai esattamente con i cinque
quadrati di partenza.
2) Sì. Se mi dai dapprima due coppie, una quadrato - triangolo e una tondo – triangolo,
rimani con 3+1 tondi e 4+1 quadrati; se mi dai ora quattro coppie tondo - quadrato,
resti con un quadrato. Allo stesso risultato puoi arrivare se se mi dai dapprima quattro
coppie tondo - quadrato: infatti in questo caso resti con un quadrato e due triangoli e
se mi dai ora il quadrato e un triangolo ottieni un tondo che, unito all’altro triangolo, ti
fa ottenere un quadrato. È facile convincersi che, volendo restare con un solo gettone,
questo non potrà che essere un quadrato.
3) No. Consegnando i due gettoni triangolari insieme a due gettoni
- dello stesso tipo (ad esempio quadrati) diminuisce di due il numero di gettoni di tale
tipo (nell’esempio: i quadrati) e aumenta di due il numero di gettoni dell’altro
(nell’esempio: i tondi),
- di tipo diverso resta inalterato il numero di gettoni tondi e quadrati.
In ogni caso non è possibile equilibrare i due insiemi, in modo da consentirne
l’eliminazione.
E6. (22 punti ) Alcuni fra i numeri interi che hanno 6 come cifra delle unità hanno anche
questa proprietà:
se sposti la cifra 6 delle unità davanti alla prima cifra del numero, ottieni un nuovo
numero che è il prodotto del numero di partenza per 4.
•
•
Trova il più piccolo numero intero con questa proprietà.
Trovane poi altri.
Soluzione: il più piccolo è 153846.
Il numero si presenta nella forma _ _ _ _ _ _ _ _ _ 6. Facciamone il prodotto in colonna per 4,
riportando di volta in volta la cifra delle unità del prodotto nel posto della cifra delle decine
del moltiplicando, la cifra delle decine del prodotto nel posto della cifra delle centinaia del
moltiplicando e così via finché non troviamo nel prodotto la cifra 6 (attenzione ai riporti!):
Riporti: 2 1 3 1 2
__153846x
4=
615384
Ovviamente il numero ottenuto è il più piccolo.
Ora è chiaro che anche il numero 153846153846, ottenuto “replicando di seguito” il numero
appena trovato, gode della stessa proprietà: infatti proseguendo nella nostra operazione, ci
troviamo a riscrivere nella cifra dei milioni del moltiplicando la cifra 6 (con riporto 0) e quindi
iniziamo un nuovo ciclo analogo al precedente. Il procedimento può essere iterato a piacere
quindi tutti numeri
153846153846, 153846153846153846, 153846153846153846153846,… godono della stessa
proprietà.
Kangourou della Matematica 2007
finale nazionale italiana
Mirabilandia, 7 maggio 2007
LIVELLO BENJAMIN
B1. (5 punti ) Se il parallelogramma ABCD ha area 7 cm2, e
il triangolo EBC ha area 2 cm2, quanto misura l’area del
triangolo ADE in figura?
D
A
Soluzione: 1,5 cm2. Infatti l’area del triangolo AEB misura
metà dell’area del parallelogramma, avendo la sua stessa base ed altezza.
E
C
B
B2. (7 punti ) Puoi appoggiare 15 monete uguali su un tavolo in modo che
“formino un triangolo equilatero” (vedi figura), ma non puoi farlo in modo
che “formino un quadrato” (manca una moneta). Qual è il minimo numero di
monete con cui puoi formare sia un triangolo sia un quadrato?
Soluzione: 36.
Ad ogni fila di monete che si aggiunge nella configurazione a triangolo, il numero di monete
aggiunte viene incrementato di 1: quindi il numero di monete che compare in una configurazione
a triangolo, lungo i cui lati ci siano n monete, è la somma dei primi n numeri interi positivi (1, 3, 6,
10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …). Tra queste somme, la prima che sia un quadrato perfetto è 36.
B3. (11 punti ) In una classe in cui ci sono almeno due maschi e due femmine, ogni ragazzo
stringe una volta la mano a ogni ragazza. In totale sono state effettuate 91 strette di mano.
Se i maschi sono meno delle femmine, quanti sono gli allievi maschi di quella classe?
Soluzione: 7.
Se indichiamo con N il numero di ragazze che ci sono in classe, ogni ragazzo effettua N
strette di mano: quindi il numero di strette di mano è il prodotto del numero dei ragazzi per
N. Ora, 91 può essere visto come prodotto di due numeri interi solo in due modi (a meno
dell’ordine dei fattori): 91x1 e 7x13. Dal momento che nella classe ci sono almeno due maschi e
due femmine, 7x13 è il solo caso che fa per noi: quindi gli allievi maschi sono 7.
B4. (14 punti ) Reagendo tra loro, tre tipi di molecole X, Y e Anti-X si comportano in questo modo:
• se una molecola di X incontra una di Y, si forma una molecola di Anti-X che le sostituisce;
• se una molecola di Anti-X incontra una di Y, si forma una molecola di X che le sostituisce;
• se una molecola di X e una di Anti-X si incontrano, esse esplodono, spariscono e
liberano energia.
Naturalmente, nessuna molecola reagisce con molecole dello stesso tipo!
Quattro molecole di X, due di Y e cinque di Anti-X reagiscono tra loro in modo tale che alla
fine rimane una molecola sola. Possiamo indovinare di quale tipo è?
[Attenzione: se rispondi positivamente, devi mostrare che non si può attenere un altro
risultato; in caso contrario, devi indicare due procedimenti ciascuno dei quali permetta di
produrre una sola molecola e le due molecole prodotte siano diverse].
Soluzione: Sì, è Anti-X.
Vediamo innanzi tutto che è possibile rimanere con una sola molecola. Infatti, se le 4 molecole
di X reagiscono ciascuna con una molecola di Anti-X, restano una molecola di Anti-X e due di
Y: quindi si forma una molecola di X che, con quella restante di Y, dà una molecola di Anti-X.
Non è possibile rimanere solo con una molecola di Y: infatti la reazione dell’altra con X o Anti–
X non permetterebbe l’eliminazione di tutte le molecole di X e Anti–X.
Non è possibile rimanere solo con una molecola di X. Infatti il risultato della reazione di una
molecola di Y con una delle altre molecole è di far diminuire di 1 il numero di molecole di una
delle due famiglie (X o Anti-X) e contemporaneamente aumentare di 1 il numero di molecole
dell’altra: quindi, dopo la reazione con due molecole di Y, o rimangono inalterati entrambi i
numeri o aumenta di due il numero di elementi di una famiglia e diminuisce di due quello
dell’altra.
N.B. Non è importante l’ordine in cui le reazioni avvengono!
B5. (18 punti ) Il professore di educazione tecnica ha chiesto di costruire un triangolo di
perimetro 27 cm, con questi requisiti:
• i lati devono misurare un numero intero di centimetri,
• le misure dei lati devono essere tre numeri tutti diversi tra loro.
Quanti differenti triangoli possono consegnargli i suoi alunni, se consideri uguali due triangoli
quando per ogni lato di uno dei due c’è un lato dell’altro che ha la stessa misura?
Soluzione: 12.
Tra le partizioni del numero 27 in numeri interi distinti (e positivi), sono accettabili solo quelle
in cui ogni numero è minore della somma degli altri due (quindi si escludono terne contenenti
numeri maggiori di 13) e maggiore della loro differenza. Conviene elencare le terne a partire
dal numero più piccolo, controllando che la differenza degli altri due non ne sia maggiore:
[2,12,13], [3,11,13], [4,11,12], [4,10,13], [5,10,12], [5,9,13], [6,10,11], [6,9,12], [6,8,13], [7,9,11],
[7,8,12], [8,9,10].
Si escludono invece le terne [1,13,13], [3,12,12], [5,11,11], [7,10,10],
[7,7,13], [8,8,11], [9,9,9] in quanto contenenti coppie o terne di numeri uguali.
B6. (22 punti ) Ho in tasca delle caramelle tutte diverse tra loro e il numero dei modi in cui
posso sceglierne tre è il doppio del numero dei modi in cui posso sceglierne due. Quante
caramelle ho in tasca?
Soluzione: 8.
Proponiamo una motivazione accessibile al livello Benjamin.
Si può procedere così. Incominciamo ad esaminare il caso in cui ho tre caramelle A, B, C: posso
sceglierne 2 in tre modi diversi (AB, AC, BC) e 3 in un solo modo (ABC).
Se ho quattro caramelle A, B, C, D posso sceglierne 2 in 6 modi diversi (AB, AC, AD, BC, BD,
CD) e 3 in 4 modi diversi: uno come in precedenza (ABC) e gli altri 3 associando D a ciascuna
delle coppie AB, AC, BC che posso formare con le altre tre caramelle.
Nel passaggio da 3 a 4 caramelle,
• il numero di modi di sceglierne due è aumentato esattamente di 3, cioè del numero di
caramelle che avevo inizialmente
• il numero di modi di sceglierne tre è aumentato di 3, cioè del numero di modi che avevo
di scegliere 2 caramelle tra tre.
La motivazione di questo fatto è visualizzata dallo schema seguente
Due scelte
AB
Tre caramelle
Totale
modi
AC
BC
Tre scelte
ABC
3
AB
Quattro caramelle
AC
BC
Totale
modi
AD
BD
1
ABC
ABD
ACD
BCD
CD
3+3
Iterando questo ragionamento,
• con cinque caramelle avrò 6+4=10 coppie e 4+6=10 terne
• con sei caramelle avrò 10+5=15 coppie e 10+10=20 terne
e così via fino a otto caramelle per le quali avrò 28 coppie e 56 terne.
1+3
Kangourou della Matematica 2007
finale nazionale italiana
Mirabilandia, 7 maggio 2007
LIVELLO CADET
C1. (5 punti ) In una classe in cui ci sono almeno due maschi e due femmine, ogni ragazzo
stringe una volta la mano a ogni ragazza. In totale sono state effettuate 77 strette di mano.
Quanti sono gli allievi (senza distinguere tra maschi e femmine) di quella classe?
Soluzione: 18.
Se indichiamo con N il numero di ragazze che ci sono in classe, ogni ragazzo effettua N
strette di mano: quindi il numero di strette di mano è il prodotto del numero dei ragazzi per
N. Ora, 77 può essere visto come prodotto di due numeri interi solo in due modi (a meno
dell’ordine dei fattori): 77x1 e 7x11. Dal momento che nella classe ci sono almeno due maschi e
due femmine, 7x11 è il solo caso che fa per noi: quindi gli allievi sono 7+11=18.
C2. (7 punti ) Le diagonali dividono il quadrilatero in figura in
quattro triangoli; di tre di essi sono indicate le aree. Qual è l’area
del quarto triangolo (rispetto alla stessa unità di misura)?
2
3
1
Soluzione: 1,5
Assumendo come basi dei triangoli i lati che stanno sulle diagonali del quadrilatero, le basi dei
triangoli di area 1 e 2 sono in proporzione 1:2 come le loro aree (poiché hanno la stessa altezza
rispetto a tali basi); similmente le aree dei restanti due triangoli sono proporzionali alle loro
basi e quindi l’area incognita è la metà di 3.
C3. (11 punti ) Considera i numeri interi da 1 a 25 compresi. Vuoi sceglierne alcuni in modo che
la somma di due qualunque tra quelli che scegli non sia un multiplo di 3. Quanti numeri puoi
scegliere al massimo?
Soluzione: 10.
Nell’insieme dei numeri scelti non possono comparire due multipli di 3 e neppure un numero che
diviso per 3 dia resto 1 insieme ad uno che diviso per 3 dia resto 2. Ora, i numeri che divisi
per 3 danno resto 1 sono 9 e quelli che danno resto 2 sono 8. Dunque, perché il numero di
elementi che scegli sia massimo, devi scegliere tutti i numeri che danno resto 1 e uno qualsiasi
dei multipli di 3.
C4. (14 punti ) È possibile porre 21 piastrelle rettangolari, i cui lati misurano 1 cm e 3 cm,
sopra una scacchiera 8x8 formata da quadrati di lato 1 cm in modo che non ci siano piastrelle
sporgenti dalla griglia, né parzialmente sovrapposte? In caso di risposta affermativa mostra
con un disegno come disporresti le piastrelle, in caso di risposta negativa spiega i motivi per
cui non è possibile. [Puoi usare la quadrettatura sottostante per riportare i disegni che hai
fatto per motivare la risposta a questo quesito.]
Soluzione: Sì.
Si può operare nel modo indicato a lato.
Una volta ritagliato un orlo di 3 cm su due bordi
consecutivi della griglia, resta una griglia 5x5 che può
essere riempita al meglio solo evitando di accostare 3
piastrelle a formare un quadrato.
C5. (18 punti ) Una megalopoli ha la forma di un rettangolo di 20 km per 13 km; essa è divisa
in zone quadrate di un chilometro di lato. La città è attraversata diagonalmente (quindi da un
vertice al vertice opposto) da un fiume che immaginiamo rettilineo e filiforme; esso non può
essere guadato, per cui sono necessari dei ponti. Il Consiglio Comunale ha deliberato di
costruire un ponte in ogni zona attraversata dal fiume. Quanti ponti è necessario costruire?
Cambierebbe qualcosa se le misure della città fossero 21 km e 12 km? Motiva le tue
affermazioni.
Soluzione: 32 se le misure sono 20 km e 13 km; 30 se le misure sono 21 km e 12 km.
Possiamo schematizzare la megalopoli con una griglia 20x13: pensiamo a 20 caselle in
orizzontale e a 13 in verticale. Il fiume attraversa una e una sola volta ognuna delle 19 “linee
interne” verticali e ognuna delle 12 “linee interne” orizzontali, ma non attraversa alcun nodo
interno alla griglia, poiché 20 e 13 sono interi primi tra loro. Allora gli attraversamenti di linee
interne avvengono in punti tutti diversi tra loro e ad ogni attraversamento corrisponde un
cambio di casella (ovviamente nessuna casella viene attraversata più di una volta).
Complessivamente il fiume tocca allora 1+19+12=32 caselle e 32 è il numero di ponti richiesti.
Se le misure fossero 21 km e 12 km i ponti necessari sarebbero 30: infatti 21 e 12 hanno in
comune il fattore 3: allora si può suddividere la mappa in 3x3 rettangoli di misura 7 e 4 km
rispettivamente. Il fiume (cioè la diagonale del rettangolo grande) passa per i vertici di
ciascuno dei tre rettangoli 7x4 che contengono la diagonale e per nessun altro vertice: in
ciascuno di questi, ripetendo il ragionamento, si trovano 10 ponti.
C6. (22 punti ) Quanto vale la somma delle prime sei cifre dopo la virgola della divisione per 7
di 22007?
Soluzione: 27.
Nella divisione (in interi) per 7 di 22007 non si può ottenere 0, poiché 7 non è tra i fattori di
22007: quindi si possono avere come resti solo i numeri da 1 a 6; proseguendo nella divisione (nei
numeri decimali periodici, cioè non più negli interi, bensì nei razionali) se il resto è 1 si ottiene:
1,0
:7 = 0,142857…
30
20
60
40
50
1…
e di qui in poi quozienti e resti si ripetono. Questo mostra che la somma delle prime 6 cifre
decimali sarebbe la stessa anche se il resto fosse 2, 3, 4, 5, 6: basta pensare di entrare in
questa divisione rispettivamente alla riga 3, 2, 5, 6, 4. Quindi in ogni caso la somma è 27.
Vedi la soluzione di S4 per una dimostrazione del fatto che il resto della divisione (intera) per
7 di 22007 è proprio 1.
Kangourou della Matematica 2007
finale nazionale italiana
Mirabilandia, 7 maggio 2007
LIVELLO JUNIOR
J1. (5 punti ) Considera i numeri interi da 1 a 25 compresi. Vuoi sceglierne alcuni in modo che
la somma di due qualunque tra quelli che scegli non sia un multiplo di 3. Quanti numeri puoi
scegliere al massimo?
Soluzione: 10.
Nell’insieme dei numeri scelti non possono comparire due multipli di 3 e neppure un numero che
diviso per 3 dia resto 1 insieme ad uno che diviso per 3 dia resto 2. Ora, i numeri che divisi
per 3 danno resto 1 sono 9 e quelli che danno resto 2 sono 8. Dunque, perché il numero di
elementi che scegli sia massimo, devi scegliere tutti i numeri che danno resto 1 e uno qualsiasi
dei multipli di 3.
J2. (7 punti ) In un cono circolare retto il raggio del cerchio di base
misura 3 cm e la generatrice 6 cm. Una formica vuole arrampicarsi sulla
superficie laterale del cono dal punto A sul cerchio di base al punto
medio della generatrice opposta BC (vedi figura). Quanto misura il
percorso più breve che può fare la formica?
Soluzione: 3 5 cm.
Lo sviluppo della superficie laterale del cono è un settore circolare di
centro C e raggio pari alla lunghezza della generatrice (6 cm) e arco
pari alla circonferenza di base (6π cm): quindi è una semicirconferenza
sulla quale il punto A sta a un’estremità del diametro e il punto B sta sul
raggio perpendicolare a CA. Visto sullo sviluppo, il percorso più breve
da A al punto medio M di BC è ovviamente quello rettilineo, quindi si
deve calcolare la lunghezza di AM, sapendo che CM è lungo 3 cm e CA è
lungo 6 cm.
C
A
B
B
M
C
A
J3. (11 punti ) Il quadrato di un numero ab di 2 cifre finisce con le stesse cifre ab . Quanti e
quali numeri hanno questa proprietà?
Soluzione: Sono 2: 625=25x25 e 5776=76x76.
Infatti l’uguaglianza
(10a + b)2=100a2 +20ab + b2 = 100X +10a + b,
dove a è una cifra maggiore di 0 e X può denotare anche un numero di due cifre, implica
b2 = b + 10y
(ove y denota un numero di una cifra sola) e, visto che le uniche cifre il cui quadrato abbia
come cifra delle unità la cifra stessa sono 1, 5, 6, si devono esaminare i casi seguenti.
• b = 1. Allora 100a2 + 20a + 1 = 100X + 10a + 1, cioè 100a2 + 10a = 100X, impossibile poiché
questo si verifica solo se a = 10.
• b = 5. Allora 100a2 + 100a + 25 = 100X + 10a + 5, cioè 100a2+ 90a + 20=100X: questo si
verifica solo se a = 2 e quindi il numero è 25.
• b = 6. Allora 100a2 + 100a + 20a + 36=100X + 10a + 6, cioè 100a2+ 100a + 10a + 30=100X:
questo si verifica solo se 10a + 30 = 100 e quindi a = 7, cioè il numero è 76.
J4. (14 punti ) Ho 52 carte su ciascuna delle quali è indicato un numero intero positivo e la
somma di tutti i numeri indicati è un numero dispari. Gioco con un amico in questo modo: dopo
aver messo tutte le carte in fila sul tavolo, uno rimuove una carta a un’estremità della fila e
poi passa la mano all’altro che fa la stessa cosa; si itera finché non restano più carte sul
tavolo. Alla fine per ogni giocatore si sommano i numeri scritti sulle carte che ha scelto; vince
chi ha le carte la somma dei cui numeri è maggiore. C’è una strategia vincente per chi inizia il
gioco? In caso affermativo indicane una, in caso negativo fornisci una motivazione.
Soluzione: Sì.
Basta considerare la somma delle carte di posto pari e quella delle carte di posto dispari e
scegliere come carta di inizio quella appartenente all’insieme X la cui somma è maggiore,
pescando alle mosse successive la carta di lato a quella appena rimossa dall’avversario. Infatti in
questo modo si costringe l’avversario a pescare sempre dall’insieme complementare di X.
J5. (18 punti ) Sette circonferenze poste in sequenza sono tangenti a due rette non parallele
e sono tangenti esternamente la prima alla seconda, la seconda alla terza e così via. Se il raggio
della più piccola è r e quello della più grande è R, quanto vale il raggio della terza?
Soluzione: (R/r)1/3r.
Si
osserva
innanzitutto
che
le
circonferenze hanno i centri allineati su
una delle bisettrici dell’angolo formato
dalle due rette e i raggi in progressione
geometrica. Infatti, consideriamo tre
circonferenze consecutive di raggi a, b,
c e i triangoli rettangoli individuati dal
segmento congiungente i centri, dalla
retta parallela ad una delle rette date e passante per il centro della circonferenza più piccola
e dai segmenti che proiettano gli altri due centri su tale retta (vedi figura). I triangoli sono
simili; visto che i cerchi sono tangenti, l’ipotenusa del più piccolo è costituita dai raggi dei due
cerchi più piccoli e quindi misura a + b; similmente l’ipotenusa del più grande misura a + 2b + c : vale
quindi la proporzione (b-a) : (a+b) = (c-a) : (a+2b+c), cioè b2 = ac, vale a dire c/b = b/a = costante.
Detta k la costante di proporzionalità, si ha R=k6r, cioè k=(R/r)1/6 e quindi la terza
circonferenza ha raggio k2r=(R/r)1/3r.
J6. (22 punti ) Un insieme S di numeri naturali positivi è detto “poroso” se è vuoto oppure non
contiene tre interi consecutivi. Quanti sono i sottoinsiemi porosi dell’insieme {1, 2, 3, …, 10}?
Soluzione: 504.
Infatti, sia S un sottoinsieme poroso di N = {1, 2, 3, …, n}. Esso può
• non contenere n: in tal caso è un sottoinsieme poroso di N’ = {1, 2, 3, … , n – 1};
•
•
contenere n ma non contenere n – 1: in tal caso S \ {n } è un sottoinsieme poroso di N’’ =
{1, 2, 3, … , n – 2};
contenere n e n – 1 ma non contenere n – 2: in tal caso S \ {n – 1, n } è un sottoinsieme
poroso di N’’’ = {1, 2, 3, … , n – 3}.
Si ha così una partizione dell’insieme dei sottoinsiemi porosi di N in insiemi disgiunti, per cui –
detti Pn, Pn – 1, Pn – 2, Pn – 3 rispettivamente il numero di sottoinsiemi porosi di N, N’, N’’, N’’’ – si ha
Pn = Pn – 1 + Pn – 2 + Pn – 3. Il calcolo del numero di sottoinsiemi porosi di {1, 2, … , 10} può quindi
essere fatto per ricorrenza, dopo aver osservato che P0 = 1, P1 = 2, P2 = 4 e quindi P3 = 7, P4 = 13,
P5 = 24, P6 = 44, P7 = 81, P8 = 149, P9 = 274, P10 = 504.
Kangourou della Matematica 2007
finale nazionale italiana
Mirabilandia, 7 maggio 2007
LIVELLO STUDENT
S1. (5 punti ) In un cono circolare retto il raggio del cerchio di base
misura 3 cm e la generatrice 6 cm. Una formica vuole arrampicarsi sulla
superficie laterale del cono dal punto A sul cerchio di base al punto
medio della generatrice opposta BC (vedi figura). Quanto misura il
percorso più breve che può fare la formica?
Soluzione: 3 5 cm.
Lo sviluppo della superficie laterale del cono è un settore circolare di
centro C e raggio pari alla lunghezza della generatrice (6 cm) e arco pari
alla circonferenza di base (6π cm): quindi è una semicirconferenza sulla
quale il punto A sta a un’estremità del diametro e il punto B sta sul raggio
perpendicolare a CA. Visto sullo sviluppo, il percorso più breve da A al
punto medio M di BC è ovviamente quello rettilineo, quindi si deve calcolare
la lunghezza di AM, sapendo che CM è lungo 3 cm e CA è lungo 6 cm.
C
A
B
B
M
C
S2. (7 punti ) Ho 52 carte su ciascuna delle quali è indicato un numero intero positivo e la
somma di tutti i numeri indicati è un numero dispari. Gioco con un amico in questo modo: dopo
aver messo tutte le carte in fila sul tavolo, uno rimuove una carta a un’estremità della fila e
poi passa la mano all’altro che fa la stessa cosa; si itera finché non restano più carte sul
tavolo. Alla fine per ogni giocatore si sommano i numeri scritti sulle carte che ha scelto; vince
chi ha le carte la somma dei cui numeri è maggiore. C’è una strategia vincente per chi inizia il
gioco? In caso affermativo indicane una, in caso negativo fornisci una motivazione.
Soluzione: Sì.
Basta considerare la somma delle carte di posto pari e quella delle carte di posto dispari e
scegliere come carta di inizio quella appartenente all’insieme X la cui somma è maggiore,
pescando alle mosse successive la carta di lato a quella appena rimossa dall’avversario. Infatti in
questo modo si costringe l’avversario a pescare sempre dall’insieme complementare di X.
A
S3. (11 punti) Sia ABC un qualunque triangolo le cui altezze relative ai vertici A, B, C
soddisfino rispettivamente le relazioni: hA ≥ 3 cm, hB ≥ 4 cm, hC ≥ 5 cm. Quanti centimetri
quadrati misura al minimo l’area di ABC ?
Soluzione: 10.
Si denotino con a e c rispettivamente le lunghezze di BC
e di AB e con X l’area di ABC. Risulta
2X =c hC ≥ hB hC ≥ 20 cm2.
Può risultare X = 10 cm2: le disuguaglianze appena scritte
mostrano che ciò succede purché hC = 5 cm e c = hB = 4 cm,
cioè purché il triangolo sia rettangolo in A e
a = 16 + 25 = 41 .
In tal caso hA = 20/a = 400 / 41 ≥ 3 e quindi anche
l’ultima ipotesi è soddisfatta.
A
hB
hC
hA
C
S4. (14 punti ) Quanto vale la somma delle prime ventuno cifre dopo la virgola della divisione
per 7 di 22007?
Soluzione: 88.
Osserviamo che se a = 7q + r e b =7q’ + r’ risulta ab = 7(7qq’ + qr’ + q’r) + rr’: quindi per cercare
il resto (intero) nella divisione per 7 di un numero si può incominciare col cercare il resto della
divisione per 7 dei suoi fattori opportunamente raggruppati, farne il prodotto e poi
eventualmente dividere ancora per 7. In particolare 22007 = (23)667 e il resto nella divisione per
7 di 23 = 8 è 1. Quindi il prodotto dei resti è 1667 = 1 e di conseguenza quando si porta avanti
la divisione (nei numeri decimali periodici, cioè non più negli interi, bensì nei razionali) si
avranno come prime cifre quelle della divisione di 1 per 7: 0,142857…. La somma delle prime 18
cifre è 27x3=81. A tale numero va aggiunto 7, somma delle restanti 3 cifre.
B
S5. (18 punti ) Un insieme S di numeri naturali positivi è detto “poroso” se è vuoto oppure non
contiene tre interi consecutivi. Quanti sono i sottoinsiemi porosi dell’insieme {1, 2, 3, …, 10}?
Soluzione: 504.
Infatti, sia S un sottoinsieme poroso di N = {1, 2, 3, …, n}. Esso può
• non contenere n: in tal caso è un sottoinsieme poroso di N’ = {1, 2, 3, … , n – 1};
•
•
contenere n ma non contenere n – 1: in tal caso S \ {n } è un sottoinsieme poroso di N’’ =
{1, 2, 3, … , n – 2};
contenere n e n – 1 ma non contenere n – 2: in tal caso S \ {n – 1, n } è un sottoinsieme
poroso di N’’’ = {1, 2, 3, … , n – 3}.
Si ha così una partizione dell’insieme dei sottoinsiemi porosi di N in insiemi disgiunti, per cui –
detti Pn, Pn – 1, Pn – 2, Pn – 3 rispettivamente il numero di sottoinsiemi porosi di N, N’, N’’, N’’’ – si ha
Pn = Pn – 1 + Pn – 2 + Pn – 3. Il calcolo del numero di sottoinsiemi porosi di {1, 2, … , 10} può quindi
essere fatto per ricorrenza, dopo aver osservato che P0 = 1, P1 = 2, P2 = 4 e quindi P3 = 7, P4 = 13,
P5 = 24, P6 = 44, P7 = 81, P8 = 149, P9 = 274, P10 = 504.
S6. (22 punti ) 2007 sacchetti numerati contengono ciascuno almeno 3000 monete. Le monete
di ogni singolo sacchetto sono tutte uguali tra loro per peso e forma e sono contrassegnate
con il numero del sacchetto. Escluso un sacchetto che contiene monete false, tutti gli altri
contengono monete ufficiali. Le monete ufficiali hanno tutte lo stesso peso, diverso dal peso
delle monete false: i due pesi non sono noti. Hai a disposizione una bilancia elettronica. Trova
una strategia per stabilire con tre pesate qual è il sacchetto contenente monete false,
mostrandone l’efficacia.
Soluzione: Denotiamo con p il peso di una moneta ufficiale e con p + x quello di una moneta falsa;
inoltre dopo aver allineato i sacchetti, sia il k-esimo quello irregolare. Poniamo per brevità 2007=n.
I pesata: una moneta da ogni sacchetto. Il peso totale sarà: A = np + x
II pesata: 1 moneta dal primo sacchetto, 2 dal secondo ecc. Il peso totale sarà: B =n(n + 1)p/2 + kx
III pesata: n monete dal primo, 1 dal secondo e via crescendo. Il peso totale sarà:
⎧ n se k = 1
n (n + 1)
C=
p + f (k )x ove f (k ) = ⎨
.
2
⎩k − 1 altrimenti
Siamo in presenza di un sistema di 3 equazioni in 3 incognite. Come risultato dell’eliminazione di p
e x avremo un test per riconoscere k.
Eliminando p tra le seconde due equazioni si ha
(1)
B – C = [k – f(k )]x .
Per eliminarlo tra le prime 2 moltiplichiamo la prima per n+1 e la seconda per 2:
(n + 1)A =n (n + 1)p + (n + 1)x
2B =n (n + 1)p + 2kx
e sottraiamo membro a membro:
(2)
(n + 1)A – 2B = (n + 1 – 2k)x
Esaminiamo il rapporto tra i primi membri di (2) e (1)
se k = 1
(n + 1)A − 2B = n + 1 − 2k = ⎧ − 1
⎨
B −C
k − f (k ) ⎩n + 1 − 2k altrimenti
Se vale – 1, allora k = 1: infatti non può risultare n = 2k - 2, non essendo n pari.
2k = n + 1 + [(n + 1)A - 2B]/[B - C].
Se non vale – 1, basta risolvere l'equazione in k: