solitoni - Aracne editrice

A
Giuseppe Vatinno
I solitoni nella Fisica–Matematica
Prefazione di
Antonio Degasperis
Copyright © MMXV
Aracne editrice int.le S.r.l.
www.aracneeditrice.it
[email protected]
via Quarto Negroni, 
 Ariccia (RM)
() 
 ----
I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,
di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: marzo 
Indice

Prefazione
di Antonio Degasperis

Introduzione

Capitolo I
I solitoni nella fisica–matematica
.. Il problema spettrale diretto,  – .. Il problema spettrale inverso,  – .. Soluzione di equazioni di evoluzione non lineari, 
– .. I Solitoni,  – .. Trasformazioni di Bäcklund,  – .. Leggi di
conservazione, .

Capitolo II
Trasformata spettrale di matrici, associata all’equazione di Schrödinger

Capitolo III
Il metodo di riduzione e le due KdV accoppiate
.. Risultati nel caso  ×  (M = ),  – .. Metodo dell’accoppiamento
nel caso  × ,  – .. Studio grafico della soluzione solitonica nel caso
g > , λ > ,  – .. Quantità conservate per l’equazione delle KDV
accoppiate, .

A. Soluzione ad un solitone nel caso scalare (problema diretto)

A. Soluzione ad un solitone nel caso scalare (problema inverso)

A. Soluzione ad N solitoni nel caso scalare

A. Soluzione a due solitoni


A. Relazione fra cambiamenti della funzione u(x) e cambiamenti
della sua trasformata spettrale
.. Evoluzione temporale; Classe delle equazioni integrabili, .

Bibliografia della tesi

Bibliografia
Prefazione
di A D
Esistono, come da osservazioni ed esperimenti, tanti tipi di onde:
onde dispersive, onde d’urto, pacchetti d’onda, onde che si rompono
ed altre ancora. Solo un tipo d’onda, il solitone, ha suscitato nella
comunità scientifica un interesse, sia applicativo che teorico, tale da
meritare un nome di battesimo. Sebbene la storia del solitone ha
inizio molto prima, il suo battesimo è del  ed i solitoni entrano
nel  con la voce–chiave Solitons nel prestigioso Physics Abstract
che pubblica periodicamente un catalogo dei campi più avanzati e
produttivi della ricerca internazionale. Infatti la “Teoria dei Solitoni”
entra con successo in vari lavori di ricerca, dalla matematica pura
(algebra, geometria differenziale ed analisi) alla meccanica dei continui
materiali e dei campi, alle equazioni di propagazione non lineare con
molte e diverse applicazioni in fisica ed anche fuori dalla fisica come la
biologia ed i mercati finanziari. Tant’è che l’uso della parola “solitone”
è diventato paradigmatico.
Questa premessa ha un’implicazione ovvia: un libro sui solitoni
può attrarre l’attenzione e l’interesse di un gran numero di lettori.
Questo numero potenziale tuttavia si restringe perché questo libro è
scritto per quei lettori che hanno un bagaglio di conoscenze matematiche pari a quello di un laureato, per esempio in matematica o in fisica
o in ingegneria. Bagaglio che deve comprendere l’algebra delle matrici
e l’analisi applicata alle equazioni differenziali. In realtà questo libro
di Giuseppe Vatinno possiede alcune peculiarità che lo differenziano
da altri suoi scritti sulla scienza di tipo divulgativo–speculativo, quindi
non specialistico ed indirizzati ad un pubblico più vasto. La ragione
principale di queste peculiarità sta nella sua concezione e motivazione
originaria.
Il materiale presentato da Vatinno in questo libro coincide essenzialmente con la sua tesi di laurea del . Quindi non è stato concepito
come libro ma, dopo circa  anni dalla sua scrittura, motivata dal

Prefazione
l’esame di laurea in fisica, questa stessa tesi cambia veste e diventa
il presente libro. Questa operazione ha il pregio di immettere nella
letteratura scientifica specialistica italiana un saggio, non un libro di
testo, su un argomento sul quale la produzione libraria, sebbene estremamente vasta, è quasi esclusivamente in inglese. Altra peculiarità di
questo scritto è la sua pubblicazione “ritardata”.
A causa dello sviluppo esplosivo della ricerca internazionale, anche
italiana, sui solitoni negli ultimi  anni, il contenuto non porta il
lettore alla conoscenza raggiunta nei giorni nostri.
Questo libro va visto quindi come un esempio di un lavoro di
ricerca sui solitoni, limitatamente ai solitoni “olimpici”, cioè quelli
puri, che esistono nell’olimpo matematico, privi di effetti terreni come
dissipazione, dispersioni di ordine più alto o interazioni con altri tipi
di onde. Questi sono solitoni “modello”, utili a catturare solo alcune
delle dinamiche delle onde non lineari. Ciononostante questo saggio rende conto, al prezzo di laboriosi conti algebrici e pur sempre
nella loro purezza matematica, di un interessante fenomeno: quello
dell’accoppiamento dinamico tra equazioni d’onda “solitoniche”.
Così il libro, dopo aver iniziato il lettore all’argomento dando giustamente le idee e gli strumenti matematici di base nei primi capitoli
sull’esempio della famosa equazione di Korteweg e de Vries, passa
decisamente alla generalizzazione della tecnica spettrale al caso di
campi con valore nell’algebra (non commutativa) delle matrici, cioè
al caso di “onde matriciali” (parenti delle onde di luce che sono onde
vettoriali).
Questo passaggio, naturale nell’ambito di un interesse puramente
matematico, ha viceversa notevoli ricadute applicative soprattutto nell’ottica non lineare applicata alle telecomunicazioni. Questa direzione
applicativa porta necessariamente al problema che costituisce la parte
più originale del libro e cioè allo sviluppo di un metodo algebrico di
riduzione del numero dei campi dinamici ovvero del numero degli
elementi della matrice che si propaga come onda.
La parte finale del libro mostra infatti come risolvere questo
problema e come arrivare finalmente ad un sistema di due sole
equazioni, tipo quella di Korteweg e de Vries, accoppiate. Questo
risultato è completato dalla presentazione del comportamento dinamico dei solitoni come particolari soluzioni di queste equazioni
accoppiate. Il lettore che avrà avuto la capacità di seguire gli argomen-
Prefazione

ti, ed il calcolo, per arrivare a questo risultato, come ricompensa del
suo sforzo, avrà raggiunto una comprensione, seppure parziale, della
teoria dei solitoni e sarà sufficientemente equipaggiato per entrare in
problematiche e risultati della ricerca più recente.
Antonio D
già Professore Ordinario
di Metodi Matematici della Fisica
Sapienza – Università di Roma
Introduzione
I solitoni
Le “onde solitarie” sono “onde di traslazione” che si originano dall’esatto bilanciamento tra termini dispersivi e termini non–lineari;
questo comporta che la loro forma non cambia nel tempo.
Le onde solitarie che in più hanno urti completamente elastici si
chiamano “solitoni”.
Le onde solitarie, invece, hanno urti anelastici (con creazione di
radiazioni residue e/o creazione/distruzione di onde solitarie).
I solitoni possono essere anche interpretati quindi come “particelle”
a motivo delle loro peculiari particolarità topologiche e cioè di essere
oggetti estesi, ma localizzati.
I solitoni emergono come soluzioni esatte di certe classi di equazioni alle derivate parziali non lineari di evoluzione e integrabili con
determinate condizioni al contorno.
Il nome soliton fu coniato nel  dai fisici Norman J. Zabusky
e Martin Kruskal che avevano trovato una soluzione numerica di
una equazione non lineare dopo che un avvocato aveva dato un parere negativo sul nome inizialmente pensato, solitron — in analogia
con le particelle elementari —, protetto però da un TM di una ditta
costruttrice di materiale elettronico .
La prima descrizione di un solitone è quella fornita dall’ingegnere
britannico J. Scott Russell (–) che lo vide risalire l’Union Canal
(lungo circa  Km, unisce Falkirk con Glasgow, in Scozia).
. Comunicazione personale del Prof. Antonio Degasperis ricevuta da Zabusky
stesso.
. Scott Russell si occupava di imbarcazioni per navigare i numerosi canali scozzesi e
una volta scoperti i solitoni cercò subito di costruire barche che potessero sfruttare l’energia
di tale moto.


Introduzione
Riportiamo il brano originale :
Stavo osservando il moto di un battello che veniva trainato rapidamente
lungo uno stretto canale da un paio di cavalli, quando il battello improvvisamente si fermò; non altrettanto fece la massa d’acqua del canale che
esso aveva messo in moto; essa si accumulò attorno alla prua del battello in
uno stato di violenta agitazione, dopo di che mosse in avanti con grande
velocità, assumendo la forma di una grande solitaria elevazione, un cumulo
d’acqua arrotondato e ben definito che continuò la sua corsa lungo il canale,
apparentemente senza mutamento di forma o riduzione di velocità. La
seguii a cavallo lungo la sponda del canale e la superai mentre stava ancora
procedendo ad una velocità di otto o nove miglia all’ora [circa – km/h,
ndt], ancora conservando il suo aspetto originario di circa trenta piedi di
lunghezza [circa  m] e un piede e mezzo [circa , m] in altezza. La sua
altezza diminuì gradualmente e dopo un inseguimento di un miglio o due
[circa – km] la persi nei meandri del canale. Questo, nel mese di agosto del
, fu il mio primo casuale incontro con quel fenomeno bello e singolare
che ho chiamato “onda di traslazione”.
In natura vi sono molti esempi di onde solitarie; oltre l’esempio
idrodinamico descritto da Russell, i solitoni sono presenti in ottica non
lineare, in Relatività Generale, in fenomeni atmosferici, geologici, nelle telecomunicazioni, ma sono stati anche osservati nella descrizione
matematica della propagazione di epidemie.
Figura . Solitoni bidimensionali (falsi colori) in un superfluido, [Markus Greiner,
Università del Colorado]
. S R, J., Report on waves, Fourteenth meeting of the British Association for the
Advancement of Science, .
Introduzione

I solitoni hanno specifiche proprietà dovute, come detto, all’equilibrio tra le due componenti non lineare (che tende a “concentrare”
la forma d’onda) e dispersiva (che tende a “disfare” la forma d’onda).
Dunque un solitone trasla senza cambiare forma; un’altra proprietà
assai interessante, come già accennato, è che in un urto tra due solitoni essi emergono identici, a meno di uno “spostamento di fase”, cioè
il loro urto è sempre elastico. Inoltre, la loro velocità è proporzionale
all’ampiezza e inversamente proporzionale alla larghezza, in pratica
alla forma (shape) dell’onda stessa.
Riportiamo quindi una lista di equazioni integrabili (non tutte con
il metodo della Trasformata Spettrale su cui ci soffermeremo invece
dettagliatamente) e che quindi esibiscono soluzioni solitoniche; tra le
più note ci sono: l’equazione Korteweg–de Vries (KdV) e le sue varianti (KdV regolarizzata, transazionale, cilindrica, sferica, modificata),
l’equazione di Benjamin–Ono, l’equazione di Boussinesq, l’equazione
di Burgers, l’equazione di Schrödinger non lineare, l’equazione del
Boomerone (che presenta solitoni che non si muovono a velocità
costante come nella KdV), l’equazione Sine–Gordon, l’equazione di
campo chirale, l’equazione ridotta di campo di Einstein e quella che
regola i sistemi caotici di Fermi–Pasta—Ulam.
Soffermiamoci su alcune di queste equazioni partendo dalla più
nota e cioè l’equazione KdV.
Figura . Una immagine dell’Union Canal

Introduzione
Figura . L’ingegnere britannico John Scott Russell
L’equazione KdV
L’equazione di Korteweg–de Vries fu scritta nel  nel contesto della fluidodinamica ed è stata applicata anche nella fisica dei plasmi.Essa
descrive la propagazione di onde in un canale rettangolare poco profondo (rispetto alla lunghezza d’onda stessa e alla sua ampiezza) e
cioè proprio il caso di quello in cui più di  anni prima Russell aveva
visto la creazione dell’onda solitaria. C’è da dire che in questo lasso
di tempo ci furono molte discussioni teoriche per cercare di interpretare il fenomeno registrato dall’ingegnere britannico e si metteva in
dubbio che i solitoni potessero esistere realmente. La KdV dimostrò
che i solitoni potevano esistere. Tuttavia, nel  non c’erano strumenti matematici adeguati alla suo studio e così la KdV non venne
considerata per molti anni e fu solo agli inizi degli anni Sessanta del
XX secolo che fu riconsiderata per il paradosso di Fermi–Pasta–Ulam.
I primi calcolatori permisero di studiare numericamente una catena
unidimensionale di oscillatori accoppiati con i primi vicini in modo
. Diederik Korteweg (–) era un fisico–matematico dell’Università di Amsterdam e fu allievo di Jhoannes Diederik Van der Waals (–); Gustav De Vries
(–) fu suo allievo (poi insegnante nelle superiori) e proprio nella sua tesi di dottorato scrisse la famosa equazione. La tesi aveva il titolo: Bijdrage tot de kennis der lange
golven, (Contributo alla conoscenza delle onde lunghe). La KdV è ricavata dall’equazione di
Navier–Stokes in regime di acqua bassa e fondale piatto.
Introduzione

non lineare (quadratico o cubico).Sulla base dei principi della meccanica statistica ci si attendeva una progressiva stocasticizzazione del moto
con apparizioni di frequenze sempre più elevate ed una diffusione dell’energia su tali frequenze (Principio di Equipartizione dell’Energia).
La simulazione invece mostrava che se si partiva con una configurazione iniziale con l’energia concentrata nel modo normale di più bassa
frequenza essa tendeva agli altri modi normali in tempi brevi, ma poi
si mostrava una inattesa ricorrenza in cui l’energia era nuovamente
concentrata quasi completamente nel modo iniziale. Nel tentativo di
risolvere questo problema Zabusky e Kruskal furono ricondotti allo
studio della KdV che rappresentava una approssimazione continua
della catena di oscillatori di Fermi, Pasta, Ulam.
∂t φ + ∂x φ + φ∂x φ = 
()
La cui soluzione solitonica è:

"p


φ(x, t) = csech
c
#
(x − ct − a)
()
Dove “sec” è la secante iperbolica, “a” una costante e “c” la velocità.
Nella () si può osservare l’equilibrio tra il termine dispersivo (dovuto
alla derivata terza) e quello non lineare (dovuto al prodotto della
funzione stessa per la derivata prima.
Si noti che esistono, naturalmente, anche altri tipi di soluzioni della
() che non sono solitoniche.
L’equazione di Benjamin–Ono (BO)
ut + uux + Huxx = 
()
Dove H è la trasformata di Hilbert. L’equazione BO è piuttosto una
equazione integro–differenziale ed è stata introdotta per descrivere le
onde interne in un fluido stratificato.

Introduzione
L’equazione di Schrödinger non lineare
i
∂u
∂t
+
∂ u
∂
x
+ |u| u = 
()
Questa equazione ha diverse applicazioni ad esempio nella fisica del
plasma dove rappresenta la propagazione di onde circolarmente polarizzate di Alfvén o di onde a radio–frequenze e, più in generale,
descrive l’evoluzione temporale dell’inviluppo di un’onda quasi monocromatica di piccola ampiezza in un mezzo non lineare e debolmente
dispersivo.
L’equazione di Hirota
ut + iau + ib(uxx − η |u| u) + cux + d(uxxx − η |u| ux ) = 
()
Questa equazione per a = c = d =  e b = − ed η = + −  diviene
la () e cioè l’equazione di Schrödinger non lineare. La riporto per
enfatizzare la sua generalità.
L’equazione Sine–Gordon (SG)
ϕtt − ϕxx + sinϕ = 
()
L’equazione SG si presenta in diversi campi, dalla geometria differenziale all’ottica non lineare dove dà conto del fenomeno della trasparenza autoindotta, alla superconduttività (propagazione di onde di spin
in un liquido magnetico anisotropo. Inoltre essa è stata studiata come
modello di una teoria di campo (sia classica che quantistica) grazie
alla sua invarianza relativistica.
I sistemi di equazioni non lineari alle derivate parziali, la “trasformata spettrale” e il “metodo dell’accoppiamento”
Lo scopo di questo libro è di presentare una particolare tecnica per ottenere equazioni di evoluzione con opportune condizioni al contorno
che presentano determinate soluzioni solitoniche e che quindi siano
Introduzione

integrabili.La fisica–matematica è stata dominata da due grandi tipi
di equazioni differenziali: quella di Newton della dinamica che è una
equazione differenziale ordinaria del secondo ordine (che è difficile
risolvere esattamente nel caso generale) e le equazioni differenziali alle
derivate parziali come l’equazione delle onde o del calore (ancor più
difficili da risolvere). La difficoltà di risolvere esattamente tali equazioni
ha portato a sviluppare metodi specifici. Un metodo di risoluzione
delle equazioni differenziali alle derivate parziali lineari a coefficienti
costanti è quello della Trasformata di Fourier (TdF).La generalizzazione non lineare della TdF è chiamata Trasformata Spettrale (TS) e fu
introdotta da Gardner, Greene, Kruskal e Miura nel  per risolvere
il problema di Cauchy della KdV. Successivamente, Lax formalizzò
questa tecnica e qualche anno più tardi Zacharov e Shabat la estesero
per risolvere il problema di Cauchy dell’equazione di Schrödinger non
lineare (). Si è trovano infatti diverse classi di equazioni di evoluzioni
non lineari alle derivate parziali che si sanno risolvere esattamente con
la TS, cioè quelle integrabili. La più semplice equazione di una certa
classe è proprio l’equazione KdV .
Una possibile generalizzazione della tecnica della TS è ai sistemi di
N  equazioni differenziali non lineari alla derivate parziali di evoluzione e determinare poi un sotto–sistema di M < N  di tali equazioni e ciò
equivale a richiedere la compatibilità temporale delle variabili dipendenti ridotte da N  a M. Dunque si tratta di una sorta di problema di
retro–ingegneria analitica in cui si conoscono le soluzioni (accoppiate)
e si vogliono trovare le equazioni differenziali alle derivate parziali
che le originano. In generale non si può sapere se una equazione
differenziale alle derivate parziali non lineare è integrabile o meno.
Ad esempio, si può scrivere una “KdV matriciale” fatta da N  equazioni KdV accoppiate.Nella mia tesi di laurea — da cui è tratto questo
. Tecnicamente, l’utilizzo della TS per solitoni nel “problema diretto” porta a risolvere
una equazione (lineare) di Schrödinger con un certo “potenziale” mentre nel “problema
inverso” occorre risolvere l’equazione integrale lineare di Gel’fand–Levitan–Marchenko
GLM (imponendo che il coefficiente di riflessione sia nullo). La TS ha due componenti:
una continua che corrisponde alle normali onde che si disperdono (presenti anche nel caso
lineare) ed una discreta (non presente nel caso lineare) che corrisponde ai solitoni.
. La funzione incognita deve essere “assolutamente integrabile” nel senso che a ∞ e
−∞ deve e tendere a zero.
. Riduzione di sistemi di equazioni di evoluzione, alle derivate parziali, non lineari, con il
metodo della trasformata spettrale, Tesi di laurea, Facoltà di Fisica de La Sapienza, Roma, .

Introduzione
Figura . Le due KdV accoppiate sono le equazioni (.) della pagina riportata
nell’originale della tesi di laurea.Si noti che quando il parametro di accoppiamento
g va a zero le due KdV si disaccoppiano completamente.
libro — mediante l’originale “metodo dell’accoppiamento ”, nel caso
 ×  , sono pervenuto ad una riduzione a sole due equazioni KdV
. L’accoppiamento tra le equazioni come elementi di matrice deve essere
necessariamente lineare perché l’equazione di riduzione è lineare.
. In questo caso una base “naturale” per i calcoli matriciali è quelle delle matrici di
Introduzione

Figura . La nuova equazione KdV () altamente non lineare modificata che si
ottiene dall’ulteriore riduzione.
accoppiate a cui erano state imposte le due soluzioni solitoniche, anch’esse accoppiate. Le equazioni risultano legate da una “costante di
accoppiamento” che nel limite in cui tende a zero restituisce due KdV
disaccoppiate. Associate ad esse ci sono poi infinite quantità conservaPauli.

Introduzione
te. Si nota poi che, con una ulteriore riduzione si ottiene una nuova
equazione KdV modificata altamente non lineare. Tale metodo è stato
poi utilizzato nella ricerca per accoppiare casi di matrice di rango
superiore, come  × .
Campi applicativi
Come già accennato, il campo in cui i solitoni trovano maggiori applicazioni è quello dell’ottica non lineare dove le equazioni di Maxwell in
coordinate cilindriche divengono equazioni non lineari accoppiate di
Schrödinger (prendendo il nome di sistemi di Manakov); sono inoltre
utilizzati nei sistemi a guida d’onda solida (fibre ottiche), nei condensati di Bose – Einstein, in ferromagnetismo, nella modellizzazione delle
“onde di spin” (modello di Heisenberg), nella teoria di campo chirale
(QCD, Quantum Chromo Dynamics), in fisica del plasma, nello studio
delle onde marine, nella superconduttività, mentre in geofisica sono
utilizzati per studiare alcuni tipi terremoti.In biologia trovano applicazione nella descrizione del comportamento di Proteine e Dna; in
neurologia sono soluzioni delle equazioni di trasmissione dei segnali
neuronali.
Non ultimo, anche in matematica pura sono studiati i solitoni
nelle algebre di Lie infinito dimensionali e nell’analisi complessa delle
superfici di Riemann.
Problemi aperti
Attualmente, la ricerca nel campo della TS ha fatto molti passi in
avanti ma persistono alcune problematiche di fondo assai interessanti (più per la Matematica che per la Fisica).
Una di queste riguarda il fatto che la tecnica della TS si sa ben
applicare nel caso di una sola variabile e poi successivamente si è
estesa al caso di due variabili. Tuttavia non si è ancora riusciti ad
avere una generalizzazione al caso di tre o più variabili; anzi pare
che questo sia impossibile (anche se, appunto, non è stato ancora
dimostrato). In ogni caso si tratta di un campo di ricerca tra i più
affascinanti e di punta dell’odierna fisica–matematica e questo per
Introduzione

un motivo ben evidente: tutta la fisica “classica” newtoniana è una
fisica lineare ma la natura è non – lineare e trovare soluzioni esatte è
di grande importanza per avere una conoscenza aderente del mondo
fisico.
:
Scott Russel era un ingegnere ed una persona pragmatica.
Il ruolo dei solitoni nella scienza moderna è notevole, ma il primo utilizzo che
se ne fece gu molto pratico. Russel lavorava per una compagnia che gestiva i battelli
in servizio sui canali e utilizzò i solitoni per disegnare le carene in modo che si
risparmiasse energia.
Inoltre, cosa quasi mai raccontata, l’osservazione che fece del solitone era
dovuto al fatto che un battello si era incagliato e dei cavalli lo stavano trainando. I
cavalli esausti si fermarono e così fu osservato il primo solitone della storia.
:
Per la sua stessa natura, questo libro presenta inevitabili ripetizioni di concetti
che risulteranno quindi espressi più volte (come, ad esempio, le diverse tipologie
di equazioni differenziali risolubili con il metodo della Trasformata Spettrale).