Universitá degli Studi di Bari
Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Programma di
METODI ANALITICI IN FINANZA - A.A. 2009/2010
Prof. Mario Coclite
Modello Media -Varianza di Markowitz - Rendimento di un titolo e di un portafoglio.
Vendita allo scoperto. Diversificazione. Portafogli composti da due titoli rischiosi. Insieme possibile. Insieme di minima varianza. Frontiera efficiente. Portafogli composti esclusivamente da
titoli rischiosi. Teorema sui fondi composti soltanto da titoli rischiosi (Teorema dei due fondi).
Portafoglio di minima varianza assoluta e portafoglio di diversificazione. Teorema dei due fondi
con titolo non rischioso (Teorema di un sol fondo).
Derivati e arbitraggi - Derivati. Opzioni. Opzioni Americane, Asiatiche, Europee. Payoff
di una opzione. Straddle. Scopi finanziari delle opzioni. Problemi del mercato delle opzioni:
valutazione e replicazione. Arbitraggi. Principio di assenza di arbitraggio. Put - Call parity
e stime dei prezzi delle opzioni. Prezzi e probabilità neutrali al rischio. Prezzo d’arbitraggio.
Completezza dei mercati. Una generalizzazione della put - call parity.
Equazioni paraboliche - Equazioni paraboliche a coefficienti costanti. Problema di Cauchy con dato iniziale continuo. Soluzione classica. Richiami sulla trasformata di Fourier. Soluzione fondamentale di un operatore parabolico a coefficienti costanti. Polo di una soluzione
fondamentale. Problema di Cauchy con dato iniziale localmente sommabile assunto nel senso di
L1loc o con dato iniziale assunto q.o. Teorema di esistenza di una soluzione classica di un problema di Cauchy con dato iniziale localmente sommabile assunto nel senso di L1loc . Problema di
Cauchy non omogeneo. Teorema di esistenza di una soluzione classica. Problemi forward e problemi backward. Cattiva positura dei problemi backward. Operatore aggiunto di un operatore
parabolico. Soluzione fondamentale di un operatore aggiunto. Γ∗ (t, x; T, y) = Γ(T, y; t, x).
Soluzione di problemi di Cauchy come valore atteso del dato iniziale composto con un vettore
aleatorio multi-normalmente distribuito.
Equazioni paraboliche a coefficienti variabili. Ipotesi fondamentali. L’identità (L+α)(eαt u)(t, x) =
eαt Lu(t, x). Segno del prodotto di matrici semidefinite. Principio del massimo debole, di confronto, unicità e stime a priori del massimo per problemi di Cauchy-Dirichlet in un cilindro
limitato.
Principio del massimo debole in uno strato per la classe delle funzioni per cui lim inf
|x|→∞
inf u(t, x) ≥
0<t<T
0. Principio del massimo debole in uno strato per la classe delle funzioni per cui u(t, x) ≥
2
−cec|x| . Teorema di unicità nella classe delle soluzioni classiche che soddisfano la disegua2
glianza |u(t, x)| ≤ cec|x| . Unicità delle soluzioni classiche rappresentabili mediante la soluzione
fondamentale. Proprietà riproduttiva della soluzione fondamentale. Stime integrali della solu-
1
zione fondamentale. Stime a priori del massimo nella classe delle funzioni che soddisfano la
2
diseguaglianza
|u(t, x)| ≤ cec|x| .
Z
Γ(t, x; s, y)u(s, y)dy ≤ u(t, x) per funzioni tali che Lu ≤ 0 ≤ u, oppure limitate
Stime
RN
inferiormente e Lu ≤ 0 = a. Unicità delle soluzioni classiche limitate inferiormente.
Richiami di calcolo stocastico - Integrazione stocastica in L2loc . Martingale locali. Condizioni sufficienti affinchè una martingala locale sia una martingala. Variazione quadratica di
una martingala locale e di una funzione integrale stocastica.
Processi di Ito. Drift e coefficiente di diffusione. Variazione quadratica. Unicità della rappresentazione di un processo di Ito. Normalità di un processo di Ito con drift e coefficiente di
diffusione deterministici.
Formula di Ito per il moto browniano. Formula di Ito generale. Martingale ed equazioni
paraboliche. Moto browniano geometrico. Condizione necessaria e sufficiente affinchè un moto
browniano geometrico sia una martingala.
Modello di Black & Scholes - Composizione del mercato. Portafogli o strategie. Valore
di una strategia. Strategie autofinanzianti. Rendimento di una strategia. Caratterizzazione delle
strategie autofinanzianti mediante i prezzi scontati dell’azione e del valore del portafoglio. Strategie o portafogli Markoviani. Unicità della rappresentazione del loro valore. Caratterizzazione
dei portafogli autofinanzianti markoviani tramite l’equazione di Black & Scholes. Riduzione
dell’equazione di Black & Scholes all’equazione del calore. Derivati europei sul sottostante stocastico di un mercato di Black & Scholes. Strategie ammissibili. Derivati europei replicabili.
Completezza e assenza di arbitraggi dal modello di Black & Scholes. Valutazione delle opzioni europee sul sottostante stocastico di un mercato di Black & Scholes. Dividendi continui.
Cenni al caso in cui i parametri del modello di Black & Scholes sono funzioni continue del
tempo. Ammissibilità e assenza di arbitraggi. Principio di non arbitraggio. Prezzo di mercato
del rischio. Valutazione di derivati il cui sottostante non è scambiato sul mercato. Strategie di
copertura. Le greche. Le greche delle opzioni plain vanilla. Stime dei prezzi delle opzioni plain
vanilla. Strategie di gamma-vega hedging. Opzioni asiatiche e relativa equazione di Black &
Scholes. Riduzione dell’equazione di Black & Scholes a un equazione parabolica per opzioni con
media aritmetica. Riduzione dell’equazione di Black & Scholes per opzioni asiatiche con media
geometrica all’equazione di Kolmogorov.
Testi consigliati
D. Luenberger: Investimenti e Finanza, Casa Editrice Apogeo, Milano, 2007.
A. Pascucci: Calcolo Stocastico per la Finanza, 1a edizione, Casa Editrice Springer-Verlag
Italia, 2008.
E. Rosazza Gianin, C. Sgarra: Esercizi di Finanza Matematica, 1a edizione, Casa
Editrice Springer-Verlag Italia, 2007.
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