Programma dettagliato

PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA 2
CORSI DI LAUREA IN INGEGNERIA AMBIENTALE E MECCANICA
DOCENTI: VALENTINA TADDEI E GIULIANA D’ERCOLE
CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI DUE O PIU’ VARIABILI
Topologia in R^n: distanza, intorno, punti interni, di accumulazione, di chiusura e di frontiera,
insiemi aperti e chiusi, insiemi limitati, insiemi connessi.
Funzioni di più variabili reali: dominio, immagine, grafico, insiemi di livello.
Limiti e Continuità: definizione di limite, teoremi sui limiti, limite lungo una direzione, coordinate
polari, definizione di funzione continua, teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi.
Calcolo differenziale: definizione di derivata parziale e direzionale,funzioni derivabili, vettore
gradiente, funzione differenziabile, piano tangente, relazione tra continuità, derivabilità e
differenziabilità (con dimostrazione), teorema del differenziale (con dimostrazione), teorema di
derivazione delle funzioni composte,funzioni a gradiente nullo su un connesso (con
dimostrazione), gradiente e curve di livello (con dimostrazione), derivate successive, teorema di
Schwarz.
Estremi liberi e vincolati: massimi e minimi relativi, teorema di Fermat, punti critici, punti di sella,
formula di Taylor con resto di Peano (con dimostrazione), matrice Hessiana, classificazione dei
punti critici (con dimostrazione), massimi e minimi vincolati, metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Equazione differenziale ordinaria di ordine n; equazioni in forma normale; soluzione di un
equazione differenziale.
Problema di Cauchy: condizioni iniziali; soluzione locale del problema di Cauchy, teoremi di
esistenza e unicità locale.
Equazioni a variabili separabili: formula risolutiva del problema di Cauchy (con dimostrazione),
dominio della soluzione.
Equazioni lineari del primo ordine: formula risolutiva del problema di Cauchy (con dimostrazione).
Equazioni lineari di ordine n. Equazione omogenea, equazione completa, integrale generale,
integrale generale dell'equazione omogenea (con dimostrazione), soluzioni linearmente
indipendenti, determinante Wronskiano, condizione necessaria e sufficiente per l'indipendenza di n
soluzioni.
Equazioni lineari del II ordine a coefficienti costanti, equazione caratteristica, integrale generale
dell'equazione omogenea (con dimostrazione), soluzione particolare della completa: metodo della
verosimiglianza e metodo di variazione delle costanti arbitrarie.
INTEGRALI MULTIPLI
Domini normali rispetto all'asse x e rispetto all'asse y. Misura o area di un dominio normale. Domini
regolari. Definizione di integrale doppio di una funzione su un dominio regolare. Teorema di
integrabilità delle funzioni continue. Proprietà e significato geometrico dell'integrale doppio.
Formule di riduzione per gli integrali doppi. Baricentro di un insieme. Matrice Jacobiana,
determinante Jacobiano, Teorema di cambiamento di variabili negli integrali doppi. Cambiamento
di coordinate,coordinate ellittiche.
Domini normali rispetto ad un piano e rispetto ad un asse. Domini regolari. Definizione di integrale
triplo di una funzione continua su un dominio regolare, suo significato geometrico e sue proprietà.
Teorema di integrabilità delle funzioni continue. Formule di riduzione per gli integrali tripli:
integrazione per fili e per strati. Cambiamento di variabili negli integrali tripli, coordinate cilindriche
e sferiche. Volume di un solido di rotazione. Primo teorema di Guldino.
CURVE E INTEGRALE CURVILINEO DI UNA FUNZIONE
Curve, equazioni parametriche, sostegno, curve equivalenti, curva semplice, curva chiusa, curva
regolare: vettore e versore tangenti,versore normale, equazione della retta tangente e della retta
normale. Curve non parametriche: grafici, curve polari. Curve rettificabili, Teorema di rettificabilità
delle curve regolari e regolari a tratti. Invarianza della lunghezza per parametrizzazioni equivalenti
e cambi d’orientamento.
Integrale curvilineo di una funzione: significato geometrico e definizione, proprietà. Invarianza
dell'integrale curvilineo per parametrizzazioni equivalenti (con dimostrazione). Integrale curvilineo
su curve regolari a tratti.
CAMPI VETTORIALI
Campo vettoriale e di classe C^1. Lavoro di un campo lungo una curva orientata regolare e
regolare a tratti, invarianza dell'integrale curvilineo per parametrizzazioni equivalenti, proprietà.
Campo conservativo e potenziale, lavoro di un campo conservativo (con dimostrazione).
Rotore di un campo, campi irrotazionali, insiemi aperti semplicemente connessi, relazione tra
campi conservativi e irrotazionali (con dimostrazione).
Forme differenziali, primitiva, forme esatte e chiuse. Integrale di una forma differenziale sul bordo
di un dominio regolare orientato positivamente; formule di Gauss-Green (con dimostrazione),
teorema della divergenza (con dimostrazione) e teorema di Stokes nel piano.
SUPERFICI ED INTEGRALI DI SUPERFICIE
Definizione, superfici regolari, equazioni parametriche, piano tangente, vettore normale. Area di
una superficie regolare. Integrali di superficie.