INGEGNERIA ELETTRONICA e delle TELECOMUNICAZIONI

INGEGNERIA ELETTRONICA e delle TELECOMUNICAZIONI
FISICA GENERALE 1 - Prova scritta del 27 giugno 2011
COGNOME ____________________ NOME ____________________________
NOTA: questo foglio deve essere restituito NOTA: e’ obbligatorio giustificare
brevemente ma in modo esauriente e comprensibile le risposte.
Esercizio 1 Una carrucola, di massa trascurabile, composta da due cilindri coassiali
saldati, può ruotare senza attrito attorno al suo asse dove si pone l’origine di un sistema di
coordinate Oxyz. Attorno al cilindro di raggio r è avvolta una fune inestensibile cui è
appeso un blocco di massa m , attorno cilindro di raggio R ( R > r ) è avvolta una
r
seconda fune tirata verticalmente verso il basso con una forza Fo come in figura.
r
1.1 Si calcoli Fo in modo da tenere in equilibrio il sistema.
r
1.2 Si calcoli l’accelerazione del blocco se si applica una forza Fo pari a 3/2 di quella
calcolata nella domanda 1.1.
1.3 Nell’ipotesi della domanda 1.2 si calcolino le componenti (x e y) della forza che
l’asse di rotazione esercita sulla carrucola.
1.4 Nell’ipotesi della domanda 1.2, e supponendo che al tempo t = 0 il blocco abbia
r
velocità nulla, si calcoli la potenza sviluppata dalla forza Fo in funzione di t.
y
x
m
Fo
Esercizio 2 In un circuito RC la resistenza è cilindrica, di lunghezza l =1.256cm e
raggio r =1mm, composta da un materiale con n=1013e−/cm3 e di mobilità
µ=500cm2/V.s ; il condensatore è piano di area A=8cm2 e distanza d=0.885mm. Al
tempo t = 0 il condensatore e’ scarico: si chiude il circuito su una pila che eroga una
tensione Vo=10V fino al tempo t1, quando si stacca la pila e si chiude il condensatore
sulla resistenza iniziando così il processo di scarica.
2.1 Si calcolino la resistenza, la capacità e la costante tempo (τ=RC) del circuito.
2.2 Si calcolino la carica sul condensatore e la corrente nel circuito per 0 < t < t1 = τ.
2.3 Si calcoli il rapporto fra la potenza dissipata nella resistenza e la potenza erogata dal
generatore per 0 < t < t1 = τ.
2.4 Si calcolino la carica sul condensatore e la corrente nel circuito per τ = t1 < t < ∞
e si costruisca il grafico delle due quantità per 0 < t < ∞.
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FISICA GENERALE 1 - Prova scritta del 27 giugno 2011
RISPOSTE
Esercizio 1
r 
r

F
1.1 Per tenere in equilibrio il sistema o =  0, − mg , 0  .
R


r
r
3
r
e si chiami T la tensione della fune in
1.2 Da qui in poi si ponga Fo = mg
2
R
prossimita’ del blocco. Scrivendo la I equazione cardinale sul blocco (proiezione
sull’asse y) e la II equazione cardinale sulla carrucola (sull’asse di rotazione),
ricordando che il momento della carrucola è nullo, si ottiene il sistema:
T − mg = mA
g
 Fr R − Tr = 0 , da cui si ricava A =
2
 o
r 3
r
= mg e indichiamo con F la forza che
T
1.3 Dalla domanda precedente si trova
2
l’asse di rotazione esercita sulla carrucola. Applichiamo alla carrucola la I equazione
r 
r r r r

3  r
F
=  0,
mg 1 + , 0  .
F
+
F
+
T
=
0
cardinale o
, da cui
2  R


g
1.4 La velocità del blocco vale V y = At = t , mentre quella del punto di applicazione
2
r
R gR
=
t . Quindi la potenza richiesta è
della forza Fo vale V0 y = V y
r 2 r
r r 3
Po = Vo • Fo = mg 2 t .
4
Esercizio 2
1
l
= 50kΩ ,
n q e µ πr 2
2.1
R=
2.2
t
−

Q (t ) = CVo 1 − e τ


 ,


C = εo
A
= 8 pF , τ = RC = 0.4 µs .
d
V
I (t ) = Q& (t ) = o e
R
−
t
τ
=
CVo
τ
e
−
t
τ
.
2t
2.3
Vo2 − τ
= RI =
e , mentre quella
R
2
La potenza dissipata nella resistenza è Pdiss
t
Pgen = Vo I =
erogata dal generatore vale
Vo2 −τ
e . Il rapporto richiesto è
R
t
−
Pdiss
= e τ : si noti che esso è il 100% all’inizio del processo di carica,
quindi
Pgen
per poi diminuire esponenzialmente.
2.4 Si nota che Q1 ≡ Q (t1 ) = CVo 1 − e −1 = 5.06 pC . Per t > t1 si ha
(
Q (t ) = Q1e
−
t −τ
τ
)
t −τ
 1 −
= CVo 1 − e τ
 e
V  1
I (t ) = Q& (t ) = − o 1 − e
R  e
−
t −τ
τ
=−
e
Q1
τ
e
−
t −τ
τ
. Combinando le espressioni delle
domande 2.2 e 2.4 si costruisce il grafico che segue.
Q
CVo
Q1
τ
2τ
τ
2τ
t
I
CVo/τ
CVo/eτ
−Q1/τ
t